还剩12页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2023-2024学年吉林省长春吉大附中实验学校高二上学期期中考试数学试题含答案
展开
这是一份2023-2024学年吉林省长春吉大附中实验学校高二上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线方程确定直线斜率，再利用斜率与倾斜角的关系求解．
【详解】直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，又，故．
故选：C．
2．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由求得，进而利用数量积的坐标运算求解.
【详解】∵，，∴，
∴.
故选：D.
3．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据为直径得到圆心坐标和半径，然后求圆的方程即可.
【详解】由题意得圆心为，即，半径，
所以圆的方程为.
故选：B
4．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.
故选：A.
5．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】B
【分析】先将题中条件：“”化成：“”利用四点共面的充要条件，列出方程求出m．
【详解】P∈平面ABC，若则x+y+z＝1．
.又动点Q在所在平面内运动，
所以，解得.
故选：B
6．细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C，两个花瓣端点记为A、B，切点记为D，则不正确的是（ ）
A．在同一直线上B．12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上
C．D．弧形所在圆的半径BC变化时，存在
【答案】D
【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.
【详解】已知外圈两个圆的圆心都为，令最外面圆半径为，花瓣所在圆半径为，
对于A：因为大圆与小圆内切且切点为，所以切点与两个圆心共线，即在同一条直线上，A正确；
对于B：由两圆内切可知为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，B正确；
对于C：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以，C正确；
对于D：由得，所以，
又，所以，
所以，所以恒成立，D错误，
故选：D
7．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把作为基底，然后用基底把表示出来，然后求出其模即可
【详解】如图，
,
所以
，
所以，
所以的长为，
故选：D
8．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积．
【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
的周长为，
由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线，
，，直线的方程为，
即代入整理得，
解得或（舍），所以点的纵坐标为，
.
故选：C.
二、多选题
9．对于抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．准线方程为D．准线方程为
【答案】BD
【分析】把抛物线的方程化为标准方程求解即可得答案．
【详解】因为，所以，
所以抛物线开口向上，焦点为，准线方程为，结合选项可得：BD正确．
故选：BD．
10．已知圆，直线．则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
C．直线与圆有一个交点
D．若圆与圆恰有三条公切线，则
【答案】AD
【分析】化简直线的方程为，可判定A正确；根据圆心到直线的距离，可判定B错误；根据点在圆内部，可判定C错误；根据两圆的位置关系，列出方程，求得的值，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为直线，
可得，令，解得，
所以直线恒过点点，所以A正确；
对于B中，由圆，可得圆心，半径为，
要使得圆上恰有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离，则满足，
当时，直线，
可得圆心到直线的距离为，所以B错误；
对于C中，因为直线恒过点点，设为点，
可得，所以点在圆内部，
所以直线圆圆有两个交点，所以C错误；
对于D中，因为圆，可得，
要使得圆与圆恰有三条公切线，
可得，即，解得，所以D正确.
故选：AD.
11．已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为B．当时，以点为中点的椭圆的弦的斜率为
C．存在点，使得D．的最小值为1
【答案】ABD
【分析】A项中需先解出的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B利用点差法计算可得；C项中先求出点的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D项中根据椭圆定义得，并结合基本不等式判断.
【详解】对于A：因为点在椭圆内部，所以且，所以，
所以，故A正确；
对于B：由，得，则，
所以椭圆方程为，设以为中点的椭圆的弦与椭圆相交于，，则，
则，，所以，
即，
所以，即，故B正确；
对于C：设，若，即，
则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，
又由A项知：，得，
又因为，得，
所以得，所以该圆与椭圆无交点，故C错误；
对于D：由椭圆定义得，
所以
，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ABD.
12．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段B1C上存在点G，使平面EFG//平面BDC1
C．当时，直线EG与BC1所成角的余弦值为
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
【答案】ACD
【分析】由等积法可以判断A；
建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算可以判断B,C；根据题意设出球心，然后求出t的最大值，进而求出外接球半径的最大值.
【详解】对A，，故A正确；
对B，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，
设平面的法向量为，，
所以，令x=1，则.
设，
所以，若平面EFG//平面BDC1，则，故B错误；
对C，设EG与BC1所成角为，此时，，
所以.故C正确；
对D，因为平面，且，所以根据球的性质容易判断，三棱锥的外接球球心在过线段EF的中点且垂直于平面的直线上，记球心为，由，易得,则外接球半径，
而，则当时，，即.故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则 .
【答案】
【分析】根据双曲线的渐近线方程求解.
【详解】由题得，
因为，所以解得.
故答案为：3.
14．在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为 ．
【答案】/
【分析】先求出直线的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可．
【详解】取，，
则，，
所以点到直线的距离为．
故答案为：．
15．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
【答案】
【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可.
【详解】
由题可知在的同侧，
设点关于直线的对称点为，
则，解得即．
将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，
所以直线的方程为，
设将军在河边饮马的地点为，
则即为与的交点，
，解得，
所以．
故答案为：
16．如图，在一个高为，底面半径为的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切球筒和乒乓球厚度均忽略不计一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则此椭圆的离心率是 ．
【答案】
【分析】依图求出长半轴、短半轴的长，从而确定椭圆的离心率.
【详解】
设椭圆的长半轴、短半轴的长度分别为，，作出圆柱的轴截面，
使得该轴截面与椭圆所在平面的交线恰为椭圆的长轴，
设椭圆的长轴端点为，，中点为，设两个球的球心分别为，，
由对称性可知是的中点，
轴截面截两球得到两个大圆，，
设与相切于点，
则在中，，
过点，作，交轴截面的边界于点，易知，
从而，即，
又由对称性，易知椭圆的半短轴长即为圆柱的底面半径，即，
从而椭圆的半焦距，故椭圆的离心率为．
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线经过点．
(1)若与直线：垂直，求的方程；
(2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据两直线垂直得到的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；
（2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.
【详解】（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或.
18．已知为圆：上任意一点，且点
(1)求的最大值和最小值；
(2)过作圆的切线，求切线方程．
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)或
【分析】（1）先把圆的方程化为标准方程，求出圆心于半径，转化为圆心到点的距离加减半径即可求得的最大值与最小值；
（2）分别讨论切线方程的斜率是否存在，再根据圆心到切线的距离等于圆的半径求解即可.
【详解】（1）由圆：
化为标准方程可得：，
所以圆心的坐标为，半径，
又，
所以最大值为，最小值为．
（2）①当切线的斜率k存在时，
设切线的方程为，即
由切线的性质可知圆心到切线的距离等于半径，即 ，
解得：，所以切线方程为：；
②当切线的斜率k不存在时，切线的方程为：，
此时圆心到切线的距离，符合条件；
所以，切线方程为或.
19．已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.
【答案】(1)
(2)见解析.
【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.
（2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证.
【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得，
所以抛物线的方程为.
（2）设，
联立，
由韦达定理得，
所以
所以，
所以以为直径的圆经过原点O.得证
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线方程确定直线斜率，再利用斜率与倾斜角的关系求解．
【详解】直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，又，故．
故选：C．
2．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由求得，进而利用数量积的坐标运算求解.
【详解】∵，，∴，
∴.
故选：D.
3．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据为直径得到圆心坐标和半径，然后求圆的方程即可.
【详解】由题意得圆心为，即，半径，
所以圆的方程为.
故选：B
4．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.
故选：A.
5．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】B
【分析】先将题中条件：“”化成：“”利用四点共面的充要条件，列出方程求出m．
【详解】P∈平面ABC，若则x+y+z＝1．
.又动点Q在所在平面内运动，
所以，解得.
故选：B
6．细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C，两个花瓣端点记为A、B，切点记为D，则不正确的是（ ）
A．在同一直线上B．12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上
C．D．弧形所在圆的半径BC变化时，存在
【答案】D
【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.
【详解】已知外圈两个圆的圆心都为，令最外面圆半径为，花瓣所在圆半径为，
对于A：因为大圆与小圆内切且切点为，所以切点与两个圆心共线，即在同一条直线上，A正确；
对于B：由两圆内切可知为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，B正确；
对于C：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以，C正确；
对于D：由得，所以，
又，所以，
所以，所以恒成立，D错误，
故选：D
7．在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把作为基底，然后用基底把表示出来，然后求出其模即可
【详解】如图，
,
所以
，
所以，
所以的长为，
故选：D
8．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积．
【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
的周长为，
由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线，
，，直线的方程为，
即代入整理得，
解得或（舍），所以点的纵坐标为，
.
故选：C.
二、多选题
9．对于抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．准线方程为D．准线方程为
【答案】BD
【分析】把抛物线的方程化为标准方程求解即可得答案．
【详解】因为，所以，
所以抛物线开口向上，焦点为，准线方程为，结合选项可得：BD正确．
故选：BD．
10．已知圆，直线．则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
C．直线与圆有一个交点
D．若圆与圆恰有三条公切线，则
【答案】AD
【分析】化简直线的方程为，可判定A正确；根据圆心到直线的距离，可判定B错误；根据点在圆内部，可判定C错误；根据两圆的位置关系，列出方程，求得的值，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为直线，
可得，令，解得，
所以直线恒过点点，所以A正确；
对于B中，由圆，可得圆心，半径为，
要使得圆上恰有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离，则满足，
当时，直线，
可得圆心到直线的距离为，所以B错误；
对于C中，因为直线恒过点点，设为点，
可得，所以点在圆内部，
所以直线圆圆有两个交点，所以C错误；
对于D中，因为圆，可得，
要使得圆与圆恰有三条公切线，
可得，即，解得，所以D正确.
故选：AD.
11．已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为B．当时，以点为中点的椭圆的弦的斜率为
C．存在点，使得D．的最小值为1
【答案】ABD
【分析】A项中需先解出的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B利用点差法计算可得；C项中先求出点的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D项中根据椭圆定义得，并结合基本不等式判断.
【详解】对于A：因为点在椭圆内部，所以且，所以，
所以，故A正确；
对于B：由，得，则，
所以椭圆方程为，设以为中点的椭圆的弦与椭圆相交于，，则，
则，，所以，
即，
所以，即，故B正确；
对于C：设，若，即，
则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，
又由A项知：，得，
又因为，得，
所以得，所以该圆与椭圆无交点，故C错误；
对于D：由椭圆定义得，
所以
，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ABD.
12．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段B1C上存在点G，使平面EFG//平面BDC1
C．当时，直线EG与BC1所成角的余弦值为
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
【答案】ACD
【分析】由等积法可以判断A；
建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算可以判断B,C；根据题意设出球心，然后求出t的最大值，进而求出外接球半径的最大值.
【详解】对A，，故A正确；
对B，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，
设平面的法向量为，，
所以，令x=1，则.
设，
所以，若平面EFG//平面BDC1，则，故B错误；
对C，设EG与BC1所成角为，此时，，
所以.故C正确；
对D，因为平面，且，所以根据球的性质容易判断，三棱锥的外接球球心在过线段EF的中点且垂直于平面的直线上，记球心为，由，易得,则外接球半径，
而，则当时，，即.故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则 .
【答案】
【分析】根据双曲线的渐近线方程求解.
【详解】由题得，
因为，所以解得.
故答案为：3.
14．在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为 ．
【答案】/
【分析】先求出直线的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可．
【详解】取，，
则，，
所以点到直线的距离为．
故答案为：．
15．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
【答案】
【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可.
【详解】
由题可知在的同侧，
设点关于直线的对称点为，
则，解得即．
将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，
所以直线的方程为，
设将军在河边饮马的地点为，
则即为与的交点，
，解得，
所以．
故答案为：
16．如图，在一个高为，底面半径为的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切球筒和乒乓球厚度均忽略不计一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则此椭圆的离心率是 ．
【答案】
【分析】依图求出长半轴、短半轴的长，从而确定椭圆的离心率.
【详解】
设椭圆的长半轴、短半轴的长度分别为，，作出圆柱的轴截面，
使得该轴截面与椭圆所在平面的交线恰为椭圆的长轴，
设椭圆的长轴端点为，，中点为，设两个球的球心分别为，，
由对称性可知是的中点，
轴截面截两球得到两个大圆，，
设与相切于点，
则在中，，
过点，作，交轴截面的边界于点，易知，
从而，即，
又由对称性，易知椭圆的半短轴长即为圆柱的底面半径，即，
从而椭圆的半焦距，故椭圆的离心率为．
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线经过点．
(1)若与直线：垂直，求的方程；
(2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据两直线垂直得到的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；
（2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.
【详解】（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或.
18．已知为圆：上任意一点，且点
(1)求的最大值和最小值；
(2)过作圆的切线，求切线方程．
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)或
【分析】（1）先把圆的方程化为标准方程，求出圆心于半径，转化为圆心到点的距离加减半径即可求得的最大值与最小值；
（2）分别讨论切线方程的斜率是否存在，再根据圆心到切线的距离等于圆的半径求解即可.
【详解】（1）由圆：
化为标准方程可得：，
所以圆心的坐标为，半径，
又，
所以最大值为，最小值为．
（2）①当切线的斜率k存在时，
设切线的方程为，即
由切线的性质可知圆心到切线的距离等于半径，即 ，
解得：，所以切线方程为：；
②当切线的斜率k不存在时，切线的方程为：，
此时圆心到切线的距离，符合条件；
所以，切线方程为或.
19．已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.
【答案】(1)
(2)见解析.
【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.
（2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证.
【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得，
所以抛物线的方程为.
（2）设，
联立，
由韦达定理得，
所以
所以，
所以以为直径的圆经过原点O.得证
相关试卷
40，吉林省长春市朝阳区长春吉大附中实验学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题： 这是一份40，吉林省长春市朝阳区长春吉大附中实验学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题，共6页。
精品解析：吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题： 这是一份精品解析：吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题，文件包含精品解析吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题原卷版docx、精品解析吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题： 这是一份吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题，共5页。
