2023-2024学年江西省九江第一中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省九江第一中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由复数乘除法法则进行计算，根据共轭复数的概念得出结果.
【详解】由，得，.
故选：B.
2．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ）
A．－3B．－4
C．3D．4
【答案】A
【分析】根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求出，得到答案.
【详解】∵，
∴，
故存在实数，使得，
即，故，解得，
∴.
故选：A
3．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件得出，即可求出结果.
【详解】由双曲线方程，知渐近线方程为，
又因为，，所以，得到，
所以双曲线渐近线方程为，
故选：C.
4．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线 与所成的角大小等于（ ）
A．60°B．45°C．30°D．90°
【答案】A
【分析】取的中点，连接，根据异面直线所成角的定义找到异面直线与所成角，再由正方体的结构特征及已知求大小.
【详解】取的中点，连接，
因为分别为，，，的中点，
所以，所以，故为异面直线与所成的角，
在正方体中，由分别为，，的中点，
则，即为等边三角形，所以，
即异面直线与所成的角大小等于.
故选：A
5．圆的圆心在抛物线上，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆心，代入抛物线方程求出，进而求出焦点坐标即可.
【详解】圆的圆心坐标为，
将代入方程得，所以抛物线方程为，
所以该抛物线的焦点坐标为.
故选：B
6．设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题：
① 若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则，其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据线面位置关系的判定定理，性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解.
【详解】对①，由，可得，故①正确；
对②，若，，则或，故②错误；
对③，，，则和可能平行、异面或相交，故③错误；
对④，根据线面垂直的性质知，垂直于同一平面的两直线平行，故④正确；
所以其中正确命题的个数是.
故选：B.
7．椭圆：的左、右焦点分别为，，若与抛物线的焦点重合，椭圆与过点的幂函数的图像交于点，且幂函数在点处的切线过点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得幂函数的解析式，从而求得点的坐标，代入椭圆方程结合，即可求得离心率.
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，则，
又因为幂函数过点，则，则，
所以幂函数为，设，
则在点处的切线斜率为，
则可得切线方程为，
由幂函数在点处的切线过点，可得，
解得，即，又点在椭圆上，
则，且，解得，
则，所以.
故选：B
8．已知平面向量满足，，，，则与夹角的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的运算法则求出的夹角，从而建立直角坐标系转化为直线与圆的最值问题.
【详解】因为，所以，又，，
所以，
解得，则向量的夹角为.
建立如图所示的直角坐标系，设，，，
因为，所以，即.
当与圆相切时，，解得；
所以与夹角最小值为.
故选：D.
二、多选题
9．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是（ ）
A．点到平面的距离为定值
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与直线所成的角为定值
D．直线与平面所成线面角为定值
【答案】ABC
【分析】利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解.
【详解】对于，在正方体中，直线与平行，平面，
平面，所以直线与平面平行，
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值.故A正确;
对于B，由于，而为定值，在正方体中，
，平面，平面，所以平面，
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，
为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，由题意得在正方体中，，，，
所以平面，而平面，所以，
故这两条异面直线所成的角为，故C正确；
对于D，因为，平面，平面，所以平面，
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，
所以点到平面的距离d不变，所以直线与平面所成线面角由的长度确定，
，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定.故D错误.
故选：ABC.
10．过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（ ）
A．存在四条直线，使
B．存在直线，使弦的中点为
C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为
D．若，都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是
【答案】ACD
【分析】由双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系逐项分析即可.
【详解】对于A，通径，实轴故有四条，
对于B，假设存在直线l，使弦AB的中点为，
设直线的方程为，与联立得：
恒成立.
所以，
，
所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上，
故不存在这样的直线l，故B错误.
对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，
代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确；
对于D，设直线l方程为：.
联立得：，恒成立.
所以，，则，.
若A、B都在该双曲线的右支上，则，
即，所以，解得，故D正确；
故选：ACD.
11．给出下列命题正确的是（ ）．
A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．点到直线的的最大距离为
D．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
【答案】CD
【分析】选项A可根据直线的方向向量与平面的法向量垂直判断；选项B的倾斜角的范围可由直线的斜率得到；选项C可根据直线求得其过定点A，当直线与垂直时距离最大得到最大距离；选项D可由空间向量基本定理判断四点是否共面.
【详解】因为，所以，
所以与平行或者直线在平面内，故A错误；
直线的斜率为，
因为，所以，
又，故由的图像和性质可知，，故B错误；
将整理成，
故，解得，
所以直线恒过，如下图，

故点到直线的的最大距离为，故C正确；
由可得，
所以，
即，
故，
所以，，，四点共面，
故D正确；
故选：CD.
12．某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为C的左､右焦点且，A为C上一动点，直线.说法中正确的有（ ）
A．椭圆C的“蒙日圆”的面积为
B．对直线l上任意点P，都有
C．椭圆C的标准方程为
D．椭圆C的“蒙日圆”的两条弦都与椭圆C相切，则面积的最大值为6
【答案】AC
【分析】根据条件，得出，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A，根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个点，得出蒙日圆方程的半径，即可判断出选项A的正误；对于选项B，根据直线与椭圆位置关系的判断方法，得出直与椭圆相切，从而得出切点不合条件，即可判断出选项B的正误；对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，设，，得到，再利用重要不等式及面积公式即可得出结果.
【详解】因为， 又 ，所以，故椭圆的方程为，所以选项C正确；
对于选项A，设蒙日圆的半径为，所以蒙日圆的方程为，
如图1，过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点,
易知点的坐标为，且点在蒙日圆上，所以，故“蒙日圆”的面积为，所以选项 A 正确；
对于选项B，因为直线的方程为，椭圆方程，
联立，消得，则，
所以直线与椭圆相切，由椭圆定义知，切点到两焦点的距离和为，所以选项B错误；
对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，
如图2，连接，设，则，，
设，
所以，又 ( 当且仅当时取等号 )，
所以，即，
所以，故选项D错误；
故选：AC.
三、填空题
13．若，则 ．
【答案】
【分析】由题意利用利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．
【详解】解：若，则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，若点为椭圆上一点，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】由已知点在椭圆内，根据椭圆定义可知，所以，所以其最大值为，即可得解.
【详解】
如图所示，
由椭圆方程为，则，，
又点，满足，所以点在椭圆内，
由椭圆定义可知，
即，
所以，
故答案为：.
15．已知分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆半径为的内切圆半径为．若，则
【答案】
【分析】利用平面几何图形的性质解题，由同一点出发的圆的切线长相等，可得，再结合双曲线的定义得，从而可求得的内心的横坐标，即有轴，在，中，运用解直角三角形知识，及正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率．
【详解】如图，记的内切圆圆心为，
内切圆在边上的切点分别为，
易知两点横坐标相等，，
由，即，
得，即，
记点的横坐标为，则，
则，得．
记的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，同理，在中，，
所以，即，所以．
故答案为：
四、双空题
16．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为 ；过靠近点的三等分点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是
【答案】
【分析】先判断当平面平面时，三棱锥的体积最大，求得，再找出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得半径，进而得到表面积；当垂直于截面圆时，截面圆半径最小，面积最小即得答案.
【详解】第一空：设点到平面的距离为，
在中，取的中点，连接交于点，连接，

因为为等边三角形，为的中点，则，
由题意可知，、分别为、的中点，则，则，，
翻折后，则有，所以二面角的平面角为，
过点在平面内作或其延长线上，
因为，，，、平面，
所以平面，
因为平面，则，
又因为，，、平面，
所以平面，
所以，且，则，
当为直角时，取最大值，
因为为的中点，为定值，
故当为直角时，取最大值，
此时，平面平面，
故是边长为的等边三角形，
因为，则，
因为为的中点，为的中点，则且，
同理可得，则为四边形的外心，
设等边的外心为点，过点作平面，
因为平面，则，
过点作平面的垂线交于点，则为四棱锥的外接球球心，
连接，则为球的一条半径，
因为平面平面，平面平面，，
平面，则平面，因为平面，则，
又因为平面，则，故四边形为矩形，
且，则，
因为，则，则，
所以，
所以球的表面积为；
第二空： 因为等边的外心为点，，则，，又，，
则，
当过点的截面与垂直时，截面圆的半径取最小值，
且，
因此，过的三等分点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是.
故答案为：；.
五、解答题
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
又，所以，
又，所以，故，所以.
（2）由余弦定理得，所以，
故．
18．已知圆的圆心在直线上，且经过点和．
(1)求圆的标准方程；
(2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求反射光线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由已知设圆心，根据，可解得与半径，即可得圆的方程；
（2）求点关于轴的对称点，可知直线过点，设直线方程，利用圆心到直线的距离为半径，列方程，可得直线方程.
【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，
设，
由可得，解得，
可知圆心，半径，
所以圆的标准方程为；
（2）取点关于轴的对称点，
可知直线过点，且与圆相切，
若直线的斜率不存在，则，
此时圆心到直线的距离，不合题意；
所以直线的斜率存在，设为，则，即，
则圆心到直线的距离，整理得，
解得或，
所以直线的方程为或.
19．如图，在四棱锥中，面，，，，，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，可得，进而得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接，又因为是的中点，
所以且
因为且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
则，设，
故，
因为，
所以，解得，
所以，则，
因为轴垂直平面，
则可取平面得一条法向量为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助抛物线的定义即可求解；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，再用韦达定理表示面积，借助基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意知，准线方程：，
由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到准线的距离，
所以 ， 解得.
所以.
（2）由（1） 知， 抛物线，直线过，
可设直线的方程为，，不妨设，
联立消得，
所以，，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴面积最小值为.

21．已知是等边三角形，点满足，，将△AMN沿MN折起到的位置，使．
(1)求证：平面MBCN；
(2)在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，或
【分析】（1）先通过勾股定理证明，再由线面垂直判定定理证明即可；
（2）先通过两两垂直构建空间直角坐标系，分别求出两个面的法向量，再由二面角的夹角的平面角求出参数即可.
【详解】（1）设△ABC是边长为6，
因为点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，
所以，
所以，
所以，所以，即且，
因为，所以，
因为，且平面，平面
所以平面；
（2）由（1）可知两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
，
则，
所以，
因为，，
因为平面平面，所以平面的法向量为，
假设线段BC上存在点D，设，，
则，
所以，即
所以,
设平面的法向量为，则
，
令，则，所以，
因为平面与平面所成夹角的余弦值为
所以，
化简得，解得或，
当时， ；当时，，
所以在线段BC上是存在点，使平面与平面所成锐二面角的余弦值为，此时或.
22．已知为圆：上任一点，，，，且满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与轨迹相交于,两点，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，R的坐标为
【分析】（1）由可得，根据向量的加法以及数量积运算可，从而得到，结合椭圆的定义即可求出其轨迹方程.
（2）当过点的直线平行于轴时和垂直于轴时，求得，当不平行于轴时且不垂直于轴时，联立方程，利用韦达定理和点关于轴的对称点，结合，求得三点共线，从而满足，即可判断存在点不同的定点.
【详解】（1）圆：，圆心，半径为，因为，则，
因为，，则在线段上，即，
又因为，所以，即，
所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，，则，，
所以，则动点的轨迹的方程为.
（2）设过点的直线为，
当平行于轴时，直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；
当垂直于轴时，直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，解得或，
所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为，
当不平行于轴时且不垂直于轴时，设直线方程为，，
联立，得，
因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立， ，
又因为点关于轴的对称点的坐标为，
又，，
则，
所以，则三点共线，所以，
综上，存在与点不同的定点，使恒成立，且.