2023-2024学年山东省青岛市即墨区高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省青岛市即墨区高二上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．写出数列的一个通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】数列分子为，分母为，由此可求得一个通项公式.
【详解】数列，
则其分母为，分子为，则其通项公式为.
故选：B
2．某学校有学生1000人，其中男生600人，女生400人，现按分层抽样从中随机选择200人，则其中女生为（ ）
A．70人B．80人C．90人D．100人
【答案】B
【分析】根据分层抽样的定义求解即可.
【详解】根据分层抽样，女生人数为人，
故选：B.
3．已知在等差数列中，，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根据题意，结合等差数列的性质，以及等差中项公式，即可求解.
【详解】由等差数列中，因为，可得，所以，
又由，且，可得.
故选：C.
4．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，则（ ）
A．与互斥B．与相互对立
C．与相互独立D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求出概率，结合互斥事件，相互独立及概率的乘法公式进行计算即可.
【详解】依题得，，，，
对A，有共同的样本点2,3，所以不互斥，A错误；
对B，与共同的样本点，所以，B错误；
对C，，，则，则，
，，则，则C错误；
对D，，，D正确.
故选：D
5．设是数列的前项和，,，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对数的运算性质可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，再利用等比数列求和公式可求得的值.
【详解】因为是数列的前项和，，，
所以，，所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，
则，解得.
故选：A.
6．某同学参与了自媒体《数学的维度》栏目约稿启事，为了估计投稿人数，随机了解到个投稿回执编号，从小到大依次为、、、、、，这个编号把区间分成个小区间，可以用前个区间的平均长度估计第个区间的长度，进而求得投稿人数的估计值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出前个区间的平均长度，加上即可得解.
【详解】由题意可知，前个区间的长度分别为、、、、、，
这个区间的平均长度为，因此，投稿人数的估计值为.
故选：C.
7．天气预报元旦假期甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（ ）
A．0.58B．0.82C．0.12D．0.42
【答案】A
【分析】考虑对立事件的概率，然后得到该事件的概率即可.
【详解】甲地不降雨的概率为，乙地不降雨的概率为，
所以甲乙两地都不降雨的概率为，
所以甲乙两地至少有一个降雨的概率为，
故选：A
8．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
【答案】D
【分析】由已知，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：， ，进而判断选项即可.
【详解】因为是等差数列，且，
所以，，
即，所以，，且，所以B错误，D正确；
因为，所以等差数列是递减数列，所以A错误；
所以当时，取得最大值，所以C错误.
故选：D
二、多选题
9．已知数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，则（ ）
A．将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列
B．取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列
C．从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列
D．数列不是等比数列
【答案】ABC
【分析】直接利用等比数列的性质和等比数列的定义判断即可.
【详解】由于数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，
对于A：将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列，故A正确；
对于B：取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列且公比为，故B正确；
对于C：从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列且公比为，故C正确；
对于D：数列是一个无穷等比数列，故数列仍是公比为的等比数列，故D错误．
故选：ABC．
10．一个盒子装有标号的5张标签，则（ ）
A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为
B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为
D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
【答案】AD
【分析】根据题意，利用古典摡型的概率计算公式，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，有放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中标号相等的取法有种，所以概率为，所以A正确；
对于B中，有放回的随机选取两张标签，，有种取法，
其中第一次标号大于第二次的取法有种，所以概率为，所以B不正确；
对于C中，无放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中标号之和为5的有种取法，所以概率为，所以C不正确；
对于D中，无放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中第一次标号大于第二次有种，所以概率为，所以D正确；
故选：AD.
11．为了解甲､乙两个班级学生的数学学习情况，从两个班学生的数学成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲､乙两个班级的数学成绩，则（ ）
A．甲班众数大于乙班众数
B．乙班成绩的60百分位数为125
C．甲班的中位数为124
D．甲班平均数大于乙班平均数估计值
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用数据图中的数据，结合众数、中位数、平均数，以及频率分布直方图的面积，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由数据图，可得甲班数学成绩的众数为分，乙班数学成绩的众数为分，
所以甲班众数大于乙班众数，所以A正确；
对于B中，乙班数学成绩的频率分布直方图，可得：
前二个矩形的面积之和为，
前三个矩形的面积之和为，
所以乙班成绩的60百分位数为分，所以B正确；
对于C中，根据中位数的定义，可得甲班的中位数为分，所以C不正确；
对于D中，甲班的平均数为：，
乙班的平均估计值为：，
可得，即甲班平均数大于乙班的平均数的估计值，所以D正确.
故选：ABD.
12．设是数列的前项和，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，得到，设，求得，结合，得到，可判定A正确；由，求得的最大值为，可判定D正确；由，求得，可判定C正确；结合，可判定B错误.
【详解】由，可得，
设，则，
所以
因为，可得，解得，所以A正确；
由，
当且仅当时，即时，，
所以的最大值为，所以D正确；
由，可得，
则有，
所以，
即，所以C正确；
由，所以B错误.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 .
【答案】
【分析】根据古典概型特点，求出，根据得到结果.
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
14．等差数列满足，则 .
【答案】
【分析】根据等差数列，求出公差，然后根据通项公式求出.
【详解】等差数列满足
设等差数列公差为，则
，
故答案为：.
15．某数学老师随机抽取了10名考生的数学成绩：作为样本.经计算得：平均分，则该样本数据的标准差 .（参考公式及数据：样本方差）
【答案】10
【分析】根据给定条件，求出该样本数据的方差即得结果.
【详解】由，得，
所以该样本数据的标准差.
故答案为：10
16．设是数列的前项和，，，则 .
【答案】
【分析】当时，求出的值，当时，由代入等式，可推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，再由可求得数列的通项公式.
【详解】对任意的，，则，
当时，则有，可得；
当时，，
即，
所以，数列是等差数列，首项为，公差为，
所以，，则，
故当时，，
也满足，
故对任意的，.
故答案为：.
四、解答题
17．某校高二年级的1000名学生参加了一次考试，考试成绩全部介于45分到95分之间，为统计学生的考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求的值；
(2)估算这次考试成绩的平均分；
(3)从这1000名学生中选10名学生，已知他们上次考试成绩的平均分，标准差；记他们本次考试成绩的平均分，标准差，他们的本次考试成绩如表所示.判断他们的平均分是否显著提高（如果，则认为本次考试平均分较上次考试有显著提高，否则不认为显著提高）.
【答案】(1)
(2)
(3)平均分显著提高
【分析】（1）结合频率分布直方图的性质计算可得；
（2）根据小矩形的中点值及平均值公式计算公式即可求解；
（3）应用均值公式及标准差公式，及运算即可判断.
【详解】（1）由题知：，所以
（2）平均数约为
（3），
，则，
所以，可以判断平均分显著提高
18．记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知条件求出的值，当时，求出，由结合可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法求出，利用不等式的基本性质可证得结论成立.
【详解】（1）解：由已知得，
当时，，，
于是，
也满足，
综上，的通项公式为.
（2）证明：由（1）知，，
记，
所以，，
所以，，
故.
19．为研究某茶品价格变化的规律，收集了该茶品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.用频率估计概率.
(1)试估计该茶品价格“上涨”､“下跌”､“不变”的概率；
(2)假设该茶品每天的价格变化只受前一天影响，判断第41天该茶品价格“上涨”､“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大？
【答案】(1)“上涨”、“下跌”、“不变”的概率分别为，，
(2)“不变”的概率估计值最大
【分析】（1）计算表格中的“上涨”，“下跌”，“不变”的天数，结合古典概型即可求解；
（2）通过统计表格中前一天上涨，后一天发生的各种情况的概率进行推断.
【详解】（1）由表知：40天中价格“上涨”15天，“下跌”15天，“不变”10天
该茶品价格“上涨”的概率为
该茶品价格“下跌”的概率为
该茶品价格“不变”的概率为
（2）研究：40天中除去最后一天价格“上涨”的有14天，
价格“上涨”后仍“上涨”的有4次，概率为，
价格“上涨”后“下跌”的有2次，概率为，
价格“上涨”后“不变”的有8次，概率为，
所以第41天该茶品价格“不变”的概率估计值最大
20．已知非零数列满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，且，且，
所以，
因为，所以，
所以是首项为9，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）知，因为，
所以，
所以.
21．已知甲､乙两人进行台球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立.设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”.
(1)若进行三局比赛，求“甲至少胜2局”的概率；
(2)若规定多得两分的一方赢得比赛.记“甲赢得比赛”为事件，最多进行6局比赛，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分甲胜3局和胜2局分类讨论，结合独立事件的概率乘法公式即可求解；
（2）分比赛进行2局甲赢得比赛，4局甲赢得比赛，6局甲赢得比赛，三种情况考虑，结合独立事件的概率乘法公式即可求解.
【详解】（1）记“甲至少胜2局”为事件，则
因为互斥，
所以，
（2）若比赛最多进行6局，甲赢得比赛包括以下3种情况：比赛进行2局甲赢得比赛，比赛进行4局甲赢得比赛，比赛进行6局甲赢得比赛
设“比赛进行局甲赢得比赛”
则
因为，且互斥
所以
22．已知等差数列为单调递增数列，成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足.
（i）求数列的通项公式；
（ii）设为非零常数，若数列是等差数列，证明：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据等差数列定义及等比中项联立等式求解即可；
（2）（i）将题干条件化成，根据裂项相消化简即可；
（ii）根据题意求出数列的通项公式后，利用放缩法即可证明不等式成立.
【详解】（1）设数列的公差为，由题知：
所以，所以，所以，
解得，所以
（2）（i）由得，
所以
所以
叠加得：，
所以
又因为，所以
（ii）因为是等差数列，所以，
所以，解得，所以
因为
当时，
当时，显然成立，
所以，.
这10名同学的本次考试成绩
70
72
72
72
74
71
72
72
72
73
时段
价格变化
第1天到第10天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
第11天到第20天
+
0
-
-
+
-
+
0
-
+
第21天到第30天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
第31天到第40天
0
+
0
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0
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+