2023-2024学年江苏省启东中学高二上学期期中质量监测数学含答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线在轴上的截距为（）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的截距式方程即可求解.
【详解】由可得，所以在轴上的截距为，
故选：B
2. 抛物线的准线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线方程即可求解准线方程.
【详解】由得，即，故准线方程为，
故选：C
3. 在数列中，，．是该数列的前项和，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由递推公式及等差数列的定义可知数列是首项为2，公差为2的等差数列，写出的表达式即可求得结果.
【详解】根据题意由可得，
由等差数列定义可得数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以可得，
，
即可得.
故选：B
4. 已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆焦点所在轴，列出关于k的不等式求解即可.
【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，所以有，解得.
故选：A
5. 圆C：关于直线对称圆的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案.
【详解】将圆的方程化为标准方程可得，，
所以，圆心，半径.
设，
由已知可得，，解得，
所以，圆的圆心为，半径，
所以，圆的方程为.
故选：D.
6. 折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的性质，结合等面积法即可求解.
【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，故对折5次后，得到腰长为等腰直角三角形，斜边长为，
设该等腰直角三角形的内切圆半径为，则由等面积法可得，解得.
故选：A.
7. 已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记椭圆的右焦点为，由椭圆定义转化为，当是的延长线椭圆的交点时，可取得最大值．
【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上，
，，
，当是的延长线椭圆的交点时，取等号，
所以的最大值为，
故选：B．
8. 已知圆O：，，是圆O上两点，满足，，则（）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用，是圆O上两点，建立方程组，两式相加并进行配方，解出即可.
【详解】因为，是圆O：上两点，
所以，将两式相加，
又因为,
所以，
即，解得,
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 对于直线l：，下列说法正确的是（）
A. l的斜率一定存在B. l恒过定点
C. 时，l的倾斜角为60°D. 时，l不经过第二象限
【答案】ABD
【解析】
分析】由直线方程进行判断．
【详解】直线方程为，斜率为，一定存在，A正确；
，所以直线过点，B正确；
时斜率为，倾斜角为，C错误；
时，直线方程为，即，斜率是2，为正，与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，D正确
故选：ABD．
10. 已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，则（）
A. B.
C. 对任意的正整数，有D. 使得的最小正整数为4047
【答案】AD
【解析】
【分析】根据等比数列的单调性，结合可判断，进而可判断A，根据等比中项可判断B，根据结合数列的单调性以及等比数列的性质即可求解CD.
【详解】由于为正项等比数列，所以，
由，得，
所以，
若，则为单调递减的等比数列，由于，所以，
此时不满足，故A错误，
当时，此时，显然不满足，
当，则为单调递增的等比数列，由于和可得，
，因为，所以，所以B正确；
对于C,当时，，当时，，
则的最小值为，故对任意的正整数，有，故C错误，
对于D，又，则，故，
，，所以使得的最小正整数为4047，故D正确．
故选：AD．
11. 已知点P在圆C：上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，则（）
A. 点P到直线l的距离大于1
B. 点P到直线l的距离小于7
C. 当∠PAB最大时，
D. 以BC为直径的圆与圆C的公共弦所在直线的方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离确定圆上的点到直线距离的最大值和最小值判断AB，利用切线长判断C，由两圆方程相减得公共弦所在直线方程判断D．
【详解】由已知圆心为，半径为4，圆心到直线的距离为，直线与圆相交，因此点P到直线l的距离为0，A错；
点P到直线l距离最大距离为，B正确；
由已知，
当与圆相切时，最大，为过点的切线长，C正确；
以为直径的圆的方程为，即，
圆方程与此方程相减得，即为公共弦所在直线方程，D正确，
故选：BCD．
12. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，，是C的左、右焦点，是C上一点，连结交C于点B，则（）
A. C的离心率为B.
C. 的周长为D. 的内切圆半径为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据渐近线方程和点A的坐标求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析.
【详解】对于A选项：由渐近线方程可知，，离心率,即，故A正确；
对于B选项：由点A在双曲线上得，且，解得,即，,又，,故B正确；
对于C选项：,,，周长为，故C错误；
对于D选项：设，则，，在中，,，设的周长为l，内切圆半径为r，由三角形面积公式：，代入可得，故D正确.
故选:ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线：和直线：垂直，则________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据两直线垂直的条件，列式计算，即得答案.
【详解】由题意知直线：和直线：，
故，
故答案为：
14. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得抛物线方程为，直线方程为，联立方程组，结合抛物线的焦点弦长公式，即可求解.
【详解】如图所示，由抛物线的焦点为，
可得，解得，所以抛物线的方程为，
又由过点且斜率为的直线，
联立方程组，整理得，其中，
设，可得，
又由抛物线的定义，可得.
故答案为：.
15. 写出满足下列两个条件的一个双曲线C的方程：________.
①焦距为；②直线与C的一支有2个公共点.
【答案】（或），其中（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据焦距设双曲线方程，联立双曲线与直线方程得到一元二次方程，再利用根的分布得到不等式组，解之即可.
【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为，
因为焦距为，所以，则，
要使直线与C的一支有2个公共点，则直线与C的右支有2个公共点，
联立方程，消去，得，
则即，解得；
当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为，
因为焦距为，所以，则，
要使直线与C的一支有2个公共点，则直线与C的下支有2个公共点，
联立方程，消去，得，
则即，解得；
综上，满足题意的双曲线C的方程为：（或），其中.
故答案为：（或），其中.（答案不唯一）
16. 已知数列满足，，则__________；数列的前20项和__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，得出数列为等比数列，得到，进而求得和，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】由数列满足，，
可得，
又由，所以
因，可得，
所以，
由，可得，所以，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，可得，
所以，则，
因为，适合上式，所以，
所以数列的前20项的和为：.
【点睛】方法总结：解决数列的新定义问题的要点分析：
1，准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂题设中新定义的含义，将题目中所给的定义转化为题目要求的形式，切忌同已有的概念或定义相混淆；
2、方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项（或特殊项，特定项）体会题意，仔细观察、对比、分析，从整体到局部多角度归纳、联想、抓住相邻项的联系、拆项后的各部分的特征、以及符号特征，从而找到恰当的解决方法.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l关于点B对称的直线的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用两点式求斜率，再由直线垂直得，应用点斜式写出直线l的方程；
（2）由直线平行设直线的方程为，根据已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线的方程．
【小问1详解】
因为点，，所以，
因为，所以，且直线l经过点，
所以直线l的方程为，即．
【小问2详解】
设直线的方程为，
由点到直线l和直线的距离相等，
所以，解得，
所以直线的方程为．
18. 已知圆，点．
（1）过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程；
（2）若圆经过点，且与圆相切于点，求圆方程．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，若直线的斜率存在，设的方程为，利用圆心到直线的距离为，求出，即可得解；
（2）设圆的方程为，依题意圆心在直线上，从而得到方程组，解得即可.
【小问1详解】
圆即，
圆心为，半径，
若直线的斜率不存在，则的方程为，
将代入圆的方程，解得或，
所以，符合条件；
若直线的斜率存在，设的方程为，
即．
因为，所以圆心到直线的距离为，
所以，解得，所以直线的方程为，
综上，直线的方程为或.
【小问2详解】
设圆的方程为．
因为圆经过点，且与圆相切于点，
所以圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆的方程为．
19. 已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，当时，可得，两式相减，得到，再由，即可求解；
（2）由（1）得到，结合裂项相消法求和，求得，因为对任意恒成立，转化为对任意恒成立，令，结合函数的单调性，求得的最小值，即可求解.
【小问1详解】
解：由数列满足，
当时，可得，
两式相减，可得，即，
又由时，可得，适合上式，
所以数列的通项公式.
【小问2详解】
解：由（1）知，可得，
所以
，
因为对任意恒成立，即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，即，
可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又由，，
所以的最小值为，可得，
所以实数的取值范围为.
20. 已知椭圆C：的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．
（1）若是线段AB的中点，求直线l的方程；
（2）若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称．
【答案】（1）;
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用点差法，利用，，代入椭圆，然后相减整理即可得出斜率;
（2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，只需证明即可.
【小问1详解】
设，，
则两式相减，得，
即．
因为是线段AB的中点，所以，，
所以直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即．
【小问2详解】
根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，
只需证，即证．
设直线AB的方程为，
由消x得，
所以，．
所以．
因为，
所以，即点A，D关于x轴对称．
21. 设数列满足：，，且对任意的，都有．
（1）从下面两个结论中选择一个进行证明．
①数列是等差数列；
②数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】由已知根据等比数列的定义可得证是以3为首项，2为公比的等比数列；再由等比数列求得通项公式.
（1）利用定义法证明等差数列等比数列.
（2）由（1）得通项公式，根据错位相减法可求得.
【小问1详解】
又
，从而
因此，数列是以3为首项，2为公比的等比数列，
于是，
证明：①，
数列是等差数列，其首项为，公差为.
②由(*)可知，，
数列等比数列，其首项为，公比为2.
【小问2详解】
由①可知，即，
由②可知，即
，
，
两式相减得，
【点睛】(1)证明等差等比数列方法：定义法，中项法
(2)求前项和方法：分组求和；裂项相消；错位相减.
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，点，以线段FG为直径的圆与圆O相切，记动点G的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）设点M在x轴上，点，在W上是否存在两点A，B，使得当A，B，N三点共线时，是以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标和直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）结合题意，通过相切可判断动点G的轨迹为双曲线，进而求出方程;
（2）利用是以AB为斜边的等腰直角三角形得到：，，找到的关系，并求出，进而得到相应的直线.
【小问1详解】
设，以线段FG为直径的圆的圆心为点C，圆C与圆O相切于点H，
则．因为C为FG的中点，O为的中点，
所以，．
当圆C与圆O内切时，；
当圆C与圆O外切时，，
所以为定值．
又因为，所以动点G的轨迹是以，F为焦点的双曲线．
设它的方程是（，），
则，，即，所以W的方程为．
【小问2详解】
假设存在符合题意的点A，B，
由A，B，N三点共线，知直线AB斜率存在．
设直线AB的方程为，，，
由消去y并整理，得，
则解得，且，
，
设线段AB的中点为，
则，．
设点，则，．
连结TM，则，
即，即，整理得．
由，
得，
即，
即，
所以，
整理，得，解得，
显然满足条件，且．
当时，点M的坐标为，直线AB的方程为；
当时，点M的坐标为，直线AB的方程为．
所以存在满足题意的两点A，B，此时，直线AB的方程为；
或，直线AB的方程为．