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数学6.2 角同步测试题
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这是一份数学6.2 角同步测试题，共32页。试卷主要包含了，点，分别在、上运动不与点重合，已知等内容，欢迎下载使用。
1．如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
(1)图中∠AOD的补角是 ；∠BOD的余角是 ．
(2)已知∠COD＝40°，求∠COE的度数．
2．如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠2﹣∠1＝34°，OE是∠AOD的平分线，OF⊥OE．
(1)求∠AOE的度数．
(2)找出图中与∠BOF互补的角，并求出∠BOF补角的度数．
3．，点，分别在、上运动不与点重合．
(1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ；
(2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
4．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD= ∠COE；
(2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
(3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由.
5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，．
(1)若，求∠AOD的度数；
(2)试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由．
6．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
(1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
(2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
(3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
7．如图，与互为补角，与互为余角，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
8．若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°；
(2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值；
(3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值．
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．
(1)若∠BOE＝60°，求∠DOE的度数；
(2)若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．
10．已知：射线在的内部，，，平分．
(1)如图，若点，，在同一条直线上，是内部的一条射线，请根据题意补全图形，并求的度数；
(2)若，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
11．如图（1），直线、相交于点，直角三角板边落在射线上，将三角板绕点逆时针旋转180°．
(1)如图（2），设，当平分时，求（用表示）
(2)若，
①如图（3），将三角板旋转，使落在内部，试确定与的数量关系，并说明理由．
②若三角板从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为，当与互余时，求的值．
12．如图，直线、相交于点，，．
(1)若，则 __________．
(2)从（1）的时刻开始，若将绕以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分．
(3)从（1）的时刻开始，若将绕点逆时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与、重合的情况）
13．如图，直线AB与CD相交于点O，OE 是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是 ；
（2）若∠COF=2∠COE，求△BOE 的度数；
（3）试判断 OF是否平分∠AOC，请说明理由．
14．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD．
（1）已知∠AOC＝38°12'，求∠BOG的度数；
（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠EOB的平分线吗？说明理由．
15．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
专题32 与角平分线+余角补角有关的计算
1．如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
(1)图中∠AOD的补角是 ；∠BOD的余角是 ．
(2)已知∠COD＝40°，求∠COE的度数．
【答案】(1)∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．
(2)50°
【分析】（1）根据互为补角的和等于180°、互为余角的和为90°分别找出即可；
（2）根据角平分线的定义表示出∠BOC与∠AOC，再根据角平分线的定义即可得解．
（1）
解：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，
∴∠COE +∠COD＝∠AOE+∠BOD＝×180°＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD的补角是∠BOD和∠COD；∠BOD的余角是∠COE和∠AOE．
故答案为：∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．
（2）
∵OD平分∠BOC，∠COD＝40°，
∴∠BOC＝2∠COD＝80°，
由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣80°＝100°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE∠AOC＝50°．
【点睛】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．
2．如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠2﹣∠1＝34°，OE是∠AOD的平分线，OF⊥OE．
(1)求∠AOE的度数．
(2)找出图中与∠BOF互补的角，并求出∠BOF补角的度数．
【答案】(1)59°
(2)∠AOF；21°
【分析】（1）根据垂线的定义确定∠COB＝∠AOC＝90°，进而得到∠1+∠2＝90°，再根据∠2﹣∠1＝34°用∠1表示∠2，进而可求出∠1的度数，根据角的和差关系求出∠AOD的度数，最后根据角平分线的定义即可求出∠AOE．
（2 ）根据补角的定义即可得出图中与∠BOF互补的角．根据垂线的定义确定∠EOF＝90°，再根据角的和差关系即可求出∠BOF补角的度数．
（1）
解：∵CO⊥AB，
∴∠COB＝∠AOC＝90°．
∴∠1+∠2＝90°．
∵∠2﹣∠1＝34°，
∴∠2=∠1+34°．
∴∠1+∠1+34°=90°．
∴∠1=28°．
∴∠AOD＝∠AOC+∠1＝90°+28°＝118°．
∵OE是∠AOD的平分线，
∴．
（2）
解：点O在直线AB上，
∴∠AOF+∠BOF=180°．
∴图中与∠BOF互补的角是∠AOF．
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°．
∴∠AOF＝∠EOF﹣∠AOE＝21°．
【点睛】本题考查垂线的定义，角的和差关系，角平分线的定义，补角的定义，熟练掌握这些知识点是解题关键．
3．，点，分别在、上运动不与点重合．
(1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ；
(2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
【答案】(1)135°
(2)∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，值为45°
(3)60°或45°
【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；
（2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．
（1）
解：∵、分别是和的平分线，
∴∠EBA=∠OBA，∠BAE=∠BAO，
∵，
∴∠EAB+EBA=90°，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，
∴，
，
，
，
；
（2）
解： ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；
（3）
解：∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE=135°，
∴，
，
，
，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°；
②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°，
此时∠ABO=120°＞90°，舍去；
③当∠F=3∠E时，得，
此时∠ABO=45°；．
④当∠E=3∠F时，得，
此时∠ABO=135°＞90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．
【点睛】前两问熟练运用三角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明=90°，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键．
4．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD= ∠COE；
(2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
(3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由.
【答案】(1)2
(2)
(3)或
【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论；
（2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解；
（3）分两种情况讨论：①是内；②在外，分析清楚角关系求解即可．
（1）
解：，与射线重合，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）
解：由（1）得，，
是的角平分线，
，
，
；
（3）
解：能，
①当是内时，有：
，，
则，
解得：；
②当在外时，有：
，，
则，
解得：．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，．
(1)若，求∠AOD的度数；
(2)试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据垂直的定义先求解 再利用角平分线的定义求解 结合对顶角的定义可得答案；
（2）由垂直的定义及补角的性质可得结论．
(1)
解：∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，即∠COF+∠COE=90°，
∵∠COF=2∠COE，
∴∠COF=60°，∠COE=30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠COB=2∠COE=60°．
∴∠AOD=∠COB=60°．
(2)
解：OF平分∠AOC，理由如下：
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，即∠COF+∠COE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠EOB=∠COE，
∴∠AOF=∠COF，即OF平分∠AOC．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义、垂直的定义、余角与补角，掌握它们的概念与性质是解决此题关键．
6．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
(1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
(2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
(3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据等角的补角相等可得，进而根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等可得，进而根据角的和求解即可；
（3）根据角平分线的意义，以及角度的和差计算可得，即可求得答案．
（1）
证明：OC平分∠BOD
射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”
（2）
射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，
（3）
射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，
射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，
【点睛】本题考查了新定义，等角的补角相等，根据邻补角求角度，角平分线的意义，几何图形中角度的和差关系，理解题意，数形结合是解题的关键．
7．如图，与互为补角，与互为余角，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)72°
(2)126°
【分析】（1）由与互为余角，得到+=90°，由．即可求出∠BOC；
（2）求出∠AOC的度数，根据平分，求出∠AOE，即可得到∠BOE．
(1)
解：∵与互为余角，
∴+=90°，
∵．
∴5=90°，
∴=18°，∠BOC=72°；
(2)
解：∵∠AOC+=180°，∠BOC=72°，
∴∠AOC=108°，
∵平分，
∴∠AOE=∠AOC=54°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=126°．
【点睛】此题考查了余角的定义，角平分线求角度的计算，角度的和差计算，正确掌握余角定义及角平分线定义是解题的关键．
8．若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°；
(2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值；
(3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值．
【答案】(1)50
(2)25秒
(3)11或47
【分析】（1）由余角的性质可求解；
（2）由角的数量关系列出等式可求解；
（3）分两种情况讨论即可.
（1）
解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，
故答案为：50；
（2）
解：∵三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转，
∴经过t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40º，∠AOE=90º-2t，
∵，
∴2t-40º=（90º-2t），
解得t=25.
即运动时间为25秒.
（3）
解：图2中∠AOE=90º-2t=40º，∠D1O E1=∠DOE=90º
∵三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，
情况①如图：
经过秒后，∠EOE1=5t
∵直线OC恰好平分，
∴
∵∠BOC=40 º
∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140º
即40º+5t+45º=140º
解得：t=11；
情况②如图：
此时有：5t-10º-45º=180º，
解得t=47
故的值为11或47.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，平角的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．
(1)若∠BOE＝60°，求∠DOE的度数；
(2)若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．
【答案】(1)∠DOE=120°；
(2)∠AOF=45°．
【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠EOC=∠BOE=60°，利用邻补角定义求出∠DOE即可；
（2）根据角平分线的定义，∠BOD：∠BOE=2：3，求出∠BOD，再根据对顶角可求出∠AOC，利用垂直，求出∠AOF．
（1）
解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=60°，
∴∠EOC=∠BOE=60°，
∴∠DOE=180°-60°=120°；
（2）
解：∵∠BOD：∠BOE=2：3，
设∠BOD=x，则∠COE＝∠BOE＝x，
∵∠COE+∠BOE+∠BOD=180°，
∴x+x+x=180°，
∴x=45°，即∠BOD=45°，
∵OF⊥CD，∠AOC=∠BOD=45°，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=90°-45°=45°．
【点睛】本题考查了角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，垂直定义，角的计算等；正确找出各个角之间的关系是正确计算的关键．
10．已知：射线在的内部，，，平分．
(1)如图，若点，，在同一条直线上，是内部的一条射线，请根据题意补全图形，并求的度数；
(2)若，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)图见解析，99°
(2)当射线在的内部时，；当射线在的外部时，
【分析】（1）作出∠AOD的平分线OE，根据∠AOC:∠BOC=9:1求出∠BOC=18°，依据∠COD=2∠COB得∠COD=36°，从而可求∠AOD=126°，根据OE平分∠AOD得∠DOE=63°,从而可求出的度数；
（2）分两种情况考虑：当射线在的内部时，先求出∠AOD=∠AOC-∠COD=7α,，根据角平分线得出；当射线在的外部时，先求出∠AOD=∠AOC+∠COD=11α, 根据角平分线得出．
（1）
解：补全图形，如图所示：
∵点A，，在同一条直线上，
∴(平角的定义) ．
∵，
∴， ．
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴(角平分线的定义)．
∴
（2）
解：当射线在的内部时，如图，
∵，
∴∠AOC=9α，
∵
∴
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=7α,
∵平分
∴∠DOE=∠AOD=α，
∴∠COE=∠COD+∠DOE=2α+α=α；
当射线在的外部时，如图，
∵，
∴∠AOC=9α，
∵
∴，∠BOD=α
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=11α,
∵平分
∴∠DOE=∠AOD=α，
∴∠COE=∠DOE -∠COD =α-2α=α．
【点睛】本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义、平角定义以及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想．
11．如图（1），直线、相交于点，直角三角板边落在射线上，将三角板绕点逆时针旋转180°．
(1)如图（2），设，当平分时，求（用表示）
(2)若，
①如图（3），将三角板旋转，使落在内部，试确定与的数量关系，并说明理由．
②若三角板从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为，当与互余时，求的值．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②4秒或22秒
【分析】（1）利用角的和差关系求解 再利用角平分线的含义求解即可；
（2）①设，再利用角的和差关系依次求解， ，， 从而可得答案；②由题意得：与重合是第18秒，与重合是第8秒，停止是36秒．再分三种情况讨论：如图，当时 ，，如图，当时 ，，如图，当时，，，再利用互余列方程解方程即可.
（1）
解：
∵平分
∴
（2）
解：①设，则，
∴
∴，
∴
②由题意得：与重合是第18秒，与重合是第8秒，停止是36秒．
如图，当时 ，，
则，
∴
如图，当时 ，，
则，方程无解，不成立
如图，当时，，，
则，
∴
综上所述秒或22秒
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解，互为余角的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键.
12．如图，直线、相交于点，，．
(1)若，则 __________．
(2)从（1）的时刻开始，若将绕以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分．
(3)从（1）的时刻开始，若将绕点逆时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与、重合的情况）
【答案】(1)30°
(2)11或23秒
(3)或
【分析】（1）根据，，利用余角性质得出∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，根据，利用余角性质得出∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°即可；
（2）解分两种情形，平分，得出，，设运动秒时 根据运动转过的角度列方程，平分，，根据运动转过的角度列方程，解方程即可；
（3）分四种情况OE在∠COB内，OE在∠AOC内，OE在∠AOD内，OE在∠DOB内，根据射线是的角平分线∠COP=∠EOP，利用角的和差计算即可．
（1）
解：∵，，
∴∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，
∵，
∴∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°，
故答案是：30°；
（2）
解分两种情形，
情况一
∵平分，
∴，
∴，
设运动秒时，平分，
根据题意得：，
解得：；
情况二
∵平分，
∴，
设运动秒时，平分，
根据题意得：，
解得：；
综上：运动11或23秒时，直线平分；
（3）
解：∵射线是的角平分线
∴∠COP=∠EOP，∠AOC=∠EOF=90°，
∴∠AOP=90°+∠COP=90°+∠POE，
∵∠COE=∠BOF，
∴∠POE=，
∴，
∵∠COE=∠BOF，射线是的角平分线，
∴∠POC=，
∴∠AOP=90°-∠COP=90°-，
∴，
∵∠COE=90°+∠COF=∠BOF，射线是的角平分线，
∴∠POC=，
∴∠AOP=90°-∠COP=90°-，
∴，
∵∠COE=90°+∠BOE=∠BOF，射线是的角平分线，
∴∠POC=，
∴∠AOP=90°+∠COP=90°+，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查余角定义，角平分线有关的运算，一元一次方程，分类讨论思想的应用，掌握余角定义，角平分线有关的运算，一元一次方程，分类讨论思想的应用是解题关键．
13．如图，直线AB与CD相交于点O，OE 是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是 ；
（2）若∠COF=2∠COE，求△BOE 的度数；
（3）试判断 OF是否平分∠AOC，请说明理由．
【答案】（1）∠AOE和∠DOE；（2）∠BOE=30°；（3）OF平分AOC．理由见解析．
【分析】（1）根据补角的定义，依据图形可直接得出答案；
（2）根据互余和∠COF＝2∠COE，可求出∠COF、∠COE，再根据角平分线的意义可求答案；
（3）根据互余，互补、角平分线的意义，证明∠FOA＝∠COF即可．
【详解】解：（1）∵∠AOE＋∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE＋∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE
∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE
故答案为：∠AOE或∠DOE；
（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，
∴∠COF＝×90°＝60°，∠COE＝×90°＝30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝30°；
（3）OF平分∠AOC，
∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
∴∠BOE＝∠COE，∠COE＋∠COF＝90°，
∵∠BOE＋∠EOC＋∠COF＋∠FOA＝180°，
∴∠COE＋∠FOA＝90°，
∴∠FOA＝∠COF，
即，OF平分∠AOC．
【点睛】考查互为余角、互为补角、角平分线的意义，解题的关键是熟知：如果两角之和等于180°，那么这两个角互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角；如果两个角的和是直角，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角．
14．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD．
（1）已知∠AOC＝38°12'，求∠BOG的度数；
（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠EOB的平分线吗？说明理由．
【答案】（1）51°48′；（2）OG是∠EOB的平分线，理由见解析
【分析】（1）根据互为余角的意义和对顶角的性质，可得∠AOC＝∠BOD＝38°12′，进而求出∠BOG；
（2）求出∠EOG＝∠BOG即可．
【详解】解：（1）∵OG⊥CD．
∴∠GOC＝∠GOD＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝38°12′，
∴∠BOG＝90°﹣38°12′＝51°48′，
（2）OG是∠EOB的平分线，
理由：
∵OC是∠AOE的平分线，
∴∠AOC＝∠COE＝∠DOF＝∠BOD，
∵∠COE+∠EOG＝∠BOG+∠BOD＝90°，
∴∠EOG＝∠BOG，
即：OG平分∠BOE．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及余角，熟练掌握角平分线的定义及余角是解题的关键．
15．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30
【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．
（2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；
（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．
【详解】解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；
故答案为：60，75；
（2）当，．
设当射线与射线重合时至少需要t秒，
可得，解得：；
答：当射线与射线重合时至少需要秒；
（3）设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或12或21或30．
答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．
【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．
1．如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
(1)图中∠AOD的补角是 ；∠BOD的余角是 ．
(2)已知∠COD＝40°，求∠COE的度数．
2．如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠2﹣∠1＝34°，OE是∠AOD的平分线，OF⊥OE．
(1)求∠AOE的度数．
(2)找出图中与∠BOF互补的角，并求出∠BOF补角的度数．
3．，点，分别在、上运动不与点重合．
(1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ；
(2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
4．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD= ∠COE；
(2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
(3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由.
5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，．
(1)若，求∠AOD的度数；
(2)试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由．
6．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
(1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
(2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
(3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
7．如图，与互为补角，与互为余角，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
8．若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°；
(2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值；
(3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值．
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．
(1)若∠BOE＝60°，求∠DOE的度数；
(2)若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．
10．已知：射线在的内部，，，平分．
(1)如图，若点，，在同一条直线上，是内部的一条射线，请根据题意补全图形，并求的度数；
(2)若，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
11．如图（1），直线、相交于点，直角三角板边落在射线上，将三角板绕点逆时针旋转180°．
(1)如图（2），设，当平分时，求（用表示）
(2)若，
①如图（3），将三角板旋转，使落在内部，试确定与的数量关系，并说明理由．
②若三角板从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为，当与互余时，求的值．
12．如图，直线、相交于点，，．
(1)若，则 __________．
(2)从（1）的时刻开始，若将绕以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分．
(3)从（1）的时刻开始，若将绕点逆时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与、重合的情况）
13．如图，直线AB与CD相交于点O，OE 是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是 ；
（2）若∠COF=2∠COE，求△BOE 的度数；
（3）试判断 OF是否平分∠AOC，请说明理由．
14．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD．
（1）已知∠AOC＝38°12'，求∠BOG的度数；
（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠EOB的平分线吗？说明理由．
15．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
专题32 与角平分线+余角补角有关的计算
1．如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
(1)图中∠AOD的补角是 ；∠BOD的余角是 ．
(2)已知∠COD＝40°，求∠COE的度数．
【答案】(1)∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．
(2)50°
【分析】（1）根据互为补角的和等于180°、互为余角的和为90°分别找出即可；
（2）根据角平分线的定义表示出∠BOC与∠AOC，再根据角平分线的定义即可得解．
（1）
解：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，
∴∠COE +∠COD＝∠AOE+∠BOD＝×180°＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD的补角是∠BOD和∠COD；∠BOD的余角是∠COE和∠AOE．
故答案为：∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．
（2）
∵OD平分∠BOC，∠COD＝40°，
∴∠BOC＝2∠COD＝80°，
由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣80°＝100°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE∠AOC＝50°．
【点睛】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．
2．如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠2﹣∠1＝34°，OE是∠AOD的平分线，OF⊥OE．
(1)求∠AOE的度数．
(2)找出图中与∠BOF互补的角，并求出∠BOF补角的度数．
【答案】(1)59°
(2)∠AOF；21°
【分析】（1）根据垂线的定义确定∠COB＝∠AOC＝90°，进而得到∠1+∠2＝90°，再根据∠2﹣∠1＝34°用∠1表示∠2，进而可求出∠1的度数，根据角的和差关系求出∠AOD的度数，最后根据角平分线的定义即可求出∠AOE．
（2 ）根据补角的定义即可得出图中与∠BOF互补的角．根据垂线的定义确定∠EOF＝90°，再根据角的和差关系即可求出∠BOF补角的度数．
（1）
解：∵CO⊥AB，
∴∠COB＝∠AOC＝90°．
∴∠1+∠2＝90°．
∵∠2﹣∠1＝34°，
∴∠2=∠1+34°．
∴∠1+∠1+34°=90°．
∴∠1=28°．
∴∠AOD＝∠AOC+∠1＝90°+28°＝118°．
∵OE是∠AOD的平分线，
∴．
（2）
解：点O在直线AB上，
∴∠AOF+∠BOF=180°．
∴图中与∠BOF互补的角是∠AOF．
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°．
∴∠AOF＝∠EOF﹣∠AOE＝21°．
【点睛】本题考查垂线的定义，角的和差关系，角平分线的定义，补角的定义，熟练掌握这些知识点是解题关键．
3．，点，分别在、上运动不与点重合．
(1)如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，当AO=BO时 ；
(2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，随着点，的运动的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长至，延长至，已知，的平分线与的平分线及其延长线相交于点、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
【答案】(1)135°
(2)∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，值为45°
(3)60°或45°
【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；
（2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．
（1）
解：∵、分别是和的平分线，
∴∠EBA=∠OBA，∠BAE=∠BAO，
∵，
∴∠EAB+EBA=90°，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，
∴，
，
，
，
；
（2）
解： ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；
（3）
解：∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE=135°，
∴，
，
，
，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°；
②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°，
此时∠ABO=120°＞90°，舍去；
③当∠F=3∠E时，得，
此时∠ABO=45°；．
④当∠E=3∠F时，得，
此时∠ABO=135°＞90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．
【点睛】前两问熟练运用三角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明=90°，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键．
4．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD= ∠COE；
(2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
(3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由.
【答案】(1)2
(2)
(3)或
【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论；
（2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解；
（3）分两种情况讨论：①是内；②在外，分析清楚角关系求解即可．
（1）
解：，与射线重合，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）
解：由（1）得，，
是的角平分线，
，
，
；
（3）
解：能，
①当是内时，有：
，，
则，
解得：；
②当在外时，有：
，，
则，
解得：．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，．
(1)若，求∠AOD的度数；
(2)试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据垂直的定义先求解 再利用角平分线的定义求解 结合对顶角的定义可得答案；
（2）由垂直的定义及补角的性质可得结论．
(1)
解：∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，即∠COF+∠COE=90°，
∵∠COF=2∠COE，
∴∠COF=60°，∠COE=30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠COB=2∠COE=60°．
∴∠AOD=∠COB=60°．
(2)
解：OF平分∠AOC，理由如下：
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，即∠COF+∠COE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠EOB=∠COE，
∴∠AOF=∠COF，即OF平分∠AOC．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义、垂直的定义、余角与补角，掌握它们的概念与性质是解决此题关键．
6．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
(1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
(2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
(3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据等角的补角相等可得，进而根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等可得，进而根据角的和求解即可；
（3）根据角平分线的意义，以及角度的和差计算可得，即可求得答案．
（1）
证明：OC平分∠BOD
射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”
（2）
射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，
（3）
射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，
射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，
【点睛】本题考查了新定义，等角的补角相等，根据邻补角求角度，角平分线的意义，几何图形中角度的和差关系，理解题意，数形结合是解题的关键．
7．如图，与互为补角，与互为余角，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)72°
(2)126°
【分析】（1）由与互为余角，得到+=90°，由．即可求出∠BOC；
（2）求出∠AOC的度数，根据平分，求出∠AOE，即可得到∠BOE．
(1)
解：∵与互为余角，
∴+=90°，
∵．
∴5=90°，
∴=18°，∠BOC=72°；
(2)
解：∵∠AOC+=180°，∠BOC=72°，
∴∠AOC=108°，
∵平分，
∴∠AOE=∠AOC=54°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=126°．
【点睛】此题考查了余角的定义，角平分线求角度的计算，角度的和差计算，正确掌握余角定义及角平分线定义是解题的关键．
8．若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°；
(2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值；
(3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值．
【答案】(1)50
(2)25秒
(3)11或47
【分析】（1）由余角的性质可求解；
（2）由角的数量关系列出等式可求解；
（3）分两种情况讨论即可.
（1）
解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，
故答案为：50；
（2）
解：∵三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转，
∴经过t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40º，∠AOE=90º-2t，
∵，
∴2t-40º=（90º-2t），
解得t=25.
即运动时间为25秒.
（3）
解：图2中∠AOE=90º-2t=40º，∠D1O E1=∠DOE=90º
∵三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，
情况①如图：
经过秒后，∠EOE1=5t
∵直线OC恰好平分，
∴
∵∠BOC=40 º
∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140º
即40º+5t+45º=140º
解得：t=11；
情况②如图：
此时有：5t-10º-45º=180º，
解得t=47
故的值为11或47.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，平角的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．
(1)若∠BOE＝60°，求∠DOE的度数；
(2)若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．
【答案】(1)∠DOE=120°；
(2)∠AOF=45°．
【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠EOC=∠BOE=60°，利用邻补角定义求出∠DOE即可；
（2）根据角平分线的定义，∠BOD：∠BOE=2：3，求出∠BOD，再根据对顶角可求出∠AOC，利用垂直，求出∠AOF．
（1）
解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=60°，
∴∠EOC=∠BOE=60°，
∴∠DOE=180°-60°=120°；
（2）
解：∵∠BOD：∠BOE=2：3，
设∠BOD=x，则∠COE＝∠BOE＝x，
∵∠COE+∠BOE+∠BOD=180°，
∴x+x+x=180°，
∴x=45°，即∠BOD=45°，
∵OF⊥CD，∠AOC=∠BOD=45°，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=90°-45°=45°．
【点睛】本题考查了角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，垂直定义，角的计算等；正确找出各个角之间的关系是正确计算的关键．
10．已知：射线在的内部，，，平分．
(1)如图，若点，，在同一条直线上，是内部的一条射线，请根据题意补全图形，并求的度数；
(2)若，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)图见解析，99°
(2)当射线在的内部时，；当射线在的外部时，
【分析】（1）作出∠AOD的平分线OE，根据∠AOC:∠BOC=9:1求出∠BOC=18°，依据∠COD=2∠COB得∠COD=36°，从而可求∠AOD=126°，根据OE平分∠AOD得∠DOE=63°,从而可求出的度数；
（2）分两种情况考虑：当射线在的内部时，先求出∠AOD=∠AOC-∠COD=7α,，根据角平分线得出；当射线在的外部时，先求出∠AOD=∠AOC+∠COD=11α, 根据角平分线得出．
（1）
解：补全图形，如图所示：
∵点A，，在同一条直线上，
∴(平角的定义) ．
∵，
∴， ．
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴(角平分线的定义)．
∴
（2）
解：当射线在的内部时，如图，
∵，
∴∠AOC=9α，
∵
∴
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=7α,
∵平分
∴∠DOE=∠AOD=α，
∴∠COE=∠COD+∠DOE=2α+α=α；
当射线在的外部时，如图，
∵，
∴∠AOC=9α，
∵
∴，∠BOD=α
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=11α,
∵平分
∴∠DOE=∠AOD=α，
∴∠COE=∠DOE -∠COD =α-2α=α．
【点睛】本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义、平角定义以及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想．
11．如图（1），直线、相交于点，直角三角板边落在射线上，将三角板绕点逆时针旋转180°．
(1)如图（2），设，当平分时，求（用表示）
(2)若，
①如图（3），将三角板旋转，使落在内部，试确定与的数量关系，并说明理由．
②若三角板从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为，当与互余时，求的值．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②4秒或22秒
【分析】（1）利用角的和差关系求解 再利用角平分线的含义求解即可；
（2）①设，再利用角的和差关系依次求解， ，， 从而可得答案；②由题意得：与重合是第18秒，与重合是第8秒，停止是36秒．再分三种情况讨论：如图，当时 ，，如图，当时 ，，如图，当时，，，再利用互余列方程解方程即可.
（1）
解：
∵平分
∴
（2）
解：①设，则，
∴
∴，
∴
②由题意得：与重合是第18秒，与重合是第8秒，停止是36秒．
如图，当时 ，，
则，
∴
如图，当时 ，，
则，方程无解，不成立
如图，当时，，，
则，
∴
综上所述秒或22秒
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解，互为余角的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键.
12．如图，直线、相交于点，，．
(1)若，则 __________．
(2)从（1）的时刻开始，若将绕以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分．
(3)从（1）的时刻开始，若将绕点逆时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与、重合的情况）
【答案】(1)30°
(2)11或23秒
(3)或
【分析】（1）根据，，利用余角性质得出∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，根据，利用余角性质得出∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°即可；
（2）解分两种情形，平分，得出，，设运动秒时 根据运动转过的角度列方程，平分，，根据运动转过的角度列方程，解方程即可；
（3）分四种情况OE在∠COB内，OE在∠AOC内，OE在∠AOD内，OE在∠DOB内，根据射线是的角平分线∠COP=∠EOP，利用角的和差计算即可．
（1）
解：∵，，
∴∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，
∵，
∴∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°，
故答案是：30°；
（2）
解分两种情形，
情况一
∵平分，
∴，
∴，
设运动秒时，平分，
根据题意得：，
解得：；
情况二
∵平分，
∴，
设运动秒时，平分，
根据题意得：，
解得：；
综上：运动11或23秒时，直线平分；
（3）
解：∵射线是的角平分线
∴∠COP=∠EOP，∠AOC=∠EOF=90°，
∴∠AOP=90°+∠COP=90°+∠POE，
∵∠COE=∠BOF，
∴∠POE=，
∴，
∵∠COE=∠BOF，射线是的角平分线，
∴∠POC=，
∴∠AOP=90°-∠COP=90°-，
∴，
∵∠COE=90°+∠COF=∠BOF，射线是的角平分线，
∴∠POC=，
∴∠AOP=90°-∠COP=90°-，
∴，
∵∠COE=90°+∠BOE=∠BOF，射线是的角平分线，
∴∠POC=，
∴∠AOP=90°+∠COP=90°+，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查余角定义，角平分线有关的运算，一元一次方程，分类讨论思想的应用，掌握余角定义，角平分线有关的运算，一元一次方程，分类讨论思想的应用是解题关键．
13．如图，直线AB与CD相交于点O，OE 是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是 ；
（2）若∠COF=2∠COE，求△BOE 的度数；
（3）试判断 OF是否平分∠AOC，请说明理由．
【答案】（1）∠AOE和∠DOE；（2）∠BOE=30°；（3）OF平分AOC．理由见解析．
【分析】（1）根据补角的定义，依据图形可直接得出答案；
（2）根据互余和∠COF＝2∠COE，可求出∠COF、∠COE，再根据角平分线的意义可求答案；
（3）根据互余，互补、角平分线的意义，证明∠FOA＝∠COF即可．
【详解】解：（1）∵∠AOE＋∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE＋∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE
∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE
故答案为：∠AOE或∠DOE；
（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，
∴∠COF＝×90°＝60°，∠COE＝×90°＝30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝30°；
（3）OF平分∠AOC，
∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
∴∠BOE＝∠COE，∠COE＋∠COF＝90°，
∵∠BOE＋∠EOC＋∠COF＋∠FOA＝180°，
∴∠COE＋∠FOA＝90°，
∴∠FOA＝∠COF，
即，OF平分∠AOC．
【点睛】考查互为余角、互为补角、角平分线的意义，解题的关键是熟知：如果两角之和等于180°，那么这两个角互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角；如果两个角的和是直角，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角．
14．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD．
（1）已知∠AOC＝38°12'，求∠BOG的度数；
（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠EOB的平分线吗？说明理由．
【答案】（1）51°48′；（2）OG是∠EOB的平分线，理由见解析
【分析】（1）根据互为余角的意义和对顶角的性质，可得∠AOC＝∠BOD＝38°12′，进而求出∠BOG；
（2）求出∠EOG＝∠BOG即可．
【详解】解：（1）∵OG⊥CD．
∴∠GOC＝∠GOD＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝38°12′，
∴∠BOG＝90°﹣38°12′＝51°48′，
（2）OG是∠EOB的平分线，
理由：
∵OC是∠AOE的平分线，
∴∠AOC＝∠COE＝∠DOF＝∠BOD，
∵∠COE+∠EOG＝∠BOG+∠BOD＝90°，
∴∠EOG＝∠BOG，
即：OG平分∠BOE．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及余角，熟练掌握角平分线的定义及余角是解题的关键．
15．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30
【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．
（2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；
（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．
【详解】解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；
故答案为：60，75；
（2）当，．
设当射线与射线重合时至少需要t秒，
可得，解得：；
答：当射线与射线重合时至少需要秒；
（3）设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或12或21或30．
答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．
【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．
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