2024开远一中校高一上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024开远一中校高一上学期12月月考试题数学含解析，共20页。试卷主要包含了 下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

1.本试满分150分，考试时间120分钟.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.
一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）．
A. 4B. 3C. 16D. 15
2 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则“是幂函数”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 设是定义在R上的函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
6. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（ ）
A. B. C. D.
7. 下列函数中，以为最小正周期的偶函数为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，若存在两个零点，则a的取值范围是（ ）
A. (﹣4，0]B. (，﹣9)
C. (，﹣9)(﹣4，0]D. (﹣9，0]
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
10. 已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数上单调递增
D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
11. 已知函数是上的减函数，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
12. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的既不充分也不必要条件
B. 命题“”否定为”
C. 若，则
D. 的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 点是角终边上一点，则______．
14. 若一半径为2的扇形的弧长是其半径的，则该扇形的面积为_________．
15. 已知，若的最小值大于9，则满足条件的一个的值为______．
16. 的值为__________．
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (1)化简与求值:;
(2)已知,求的值.
18. 已知函数.
（1）利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象；
（2）解不等式.
19. 已知
（1）求A∪B;
（2）若是的必要不充分条件，求t的取值范围.
20. 函数.
（1）求函数的单调减区间；
（2）将图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.当时，求的值域.
21. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元.
（1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)；
（2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数）
②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.
22. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值.
（2）试判断的单调性，并用定义证明.
（3）解不等式.
开远市第一中学2023年秋季学期高一年级12月考试
数学试卷
1.本试满分150分，考试时间120分钟.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.
一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）．
A. 4B. 3C. 16D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合，根据集合中的元素个数即可求解.
【详解】因为，
有4个元素，
则集合A的真子集个数为，
故选：D.
2. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，且，所以，
所以，
故选：C.
3. 函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可.
【详解】在上为单调递增函数，
又，故，
所以的零点一定在内.
故选：B.
4. 已知函数，则“是幂函数”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的知识求得，根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】若函数为幂函数，则，解得或．
故“是幂函数”是“”的必要不充分条件．
故选：B
5. 设是定义在R上的函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得函数的最小正周期为T=6，再由时，，代入可求得答案.
【详解】因为，所以函数的最小正周期为T=6，所以，
又当时，，所以，所以，
故选：C.
6. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用偶函数的定义，直接求函数解析式.
【详解】由函数为偶函数，
得当时，，，
故选：D.
7. 下列函数中，以为最小正周期的偶函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数定义和周期函数定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
又，所以周期，故正确；
对于B，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
但，不是周期函数，故错误；
对于C，，定义域关于原点对称，，为奇函数，故错误；
对于D，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
又周期为，故错误；
故选：A.
8. 已知函数，，若存在两个零点，则a的取值范围是（ ）
A. (﹣4，0]B. (，﹣9)
C. (，﹣9)(﹣4，0]D. (﹣9，0]
【答案】C
【解析】
【分析】令，将存在两个零点，转化为两函数有两个交点，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】令，
得，
令，
在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示：
因为存在两个零点，
由图象可得：a<﹣9或﹣4故选：C
【点睛】方法点睛：函数零点问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断A、B，利用作差法判断C，利用特殊值判断D.
【详解】对于A：因为，，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，又，所以，故B正确；
对于D：因为，，
所以，
所以，故C正确；
对于D：当，，，，满足，，但是，故D错误；
故选：ABC
10. 已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上单调递增
D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
【答案】ABC
【解析】
【分析】由图像求出表达式，再逐项判断即可.
【详解】由图可知，函数的周期，，由，解得，
将代入函数，可得方程，解得，
由，则，所以.A正确
对于B，由，则，根据正弦函数的对称性，
可知直线是函数的对称轴，故B正确；
对于C，由，则，根据正弦函数的单调性，
函数在上单调递增，故C正确；
对于D，由，
该函数图象向左平移个单位可得新函数的解析式为
，故D错误
故选：ABC.
11. 已知函数是上的减函数，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性，结合反比例函数与一次函数的单调性得到关于的不等式，从而得解.
【详解】由题意可知：在上单调递减，即；
在上也单调递减，即；
又是上的减函数，则，
所以，解得，
显然，，，满足，不满足，故ABC正确，D错误.
故选：ABC.
12. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的既不充分也不必要条件
B. 命题“”的否定为”
C. 若，则
D. 的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】通过分析各个选项即可得出结论.
【详解】由题意，
A项，充分性：当时，，充分性不成立.
必要性：当时，可以取，可以取，此时，必要性不成立.
故“”是“”的既不充分也不必要条件，A正确；
B项，命题“”的否定为”，故错误；
C项，若，则，故错误；
D项，在中函数单调递增，则当函数最大时，函数的值最大，此时，，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 点是角终边上一点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数定义求解即可.
【详解】根据任意角的三角函数定义，得．
故答案为：.
14. 若一半径为2的扇形的弧长是其半径的，则该扇形的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由扇形的弧长及其半径求得圆心角的大小，再求扇形的面积.
【详解】设扇形弧长，半径，圆心角，
则由得，故扇形的面积，
故答案为：
15. 已知，若的最小值大于9，则满足条件的一个的值为______．
【答案】6（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为，则，所以，
故答案为: 6（答案不唯一）.
16. 的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用正切的和角公式进行化简求值.
【详解】已知，
故，
所以
故答案为：2
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (1)化简与求值:;
(2)已知,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
（1）直接利用对数运算法则和指数幂运算法则进行求解；
（2）利用诱导公式化简所求式子，再将代入即可得答案.
详解】(1)原式；
(2)原式
因为,原式.
【点睛】本题考查对数运算法则和指数幂运算法则、诱导公式，考查运算求解能力.
18. 已知函数.
（1）利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；
（2）解不等式.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的五点作图法可完成表格，利用五点作图法可得图象；
（2）根据函数图象列式可求出结果.
【小问1详解】
完成表格如下：
在区间上的图象如图所示：
【小问2详解】
不等式，即.
由，
解得.
故不等式的解集为.
19. 已知
（1）求A∪B;
（2）若是的必要不充分条件，求t的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解集合B中的不等式，得到集合B，再求；
（2）问题转化为，由此列不等式组求出实数t的取值范围．
【小问1详解】
不等式可化为，
解得，则，
.
【小问2详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，故，
当时，即，解得，此时满足，
当时，即时，要使，
则有，由于等号不可能同时成立，故，
又，所以，
综上所述，实数取值范围为.
20. 函数.
（1）求函数的单调减区间；
（2）将的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.当时，求的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用整体法求解的单调减区间；
（2）先根据平移和伸缩变换得到，根据得到，从而求出函数值域.
【小问1详解】
，
令，解得，
所以函数的单调减区间为.
【小问2详解】
的图象先向左平移个单位得到，
将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，
时，，
所以，故，
所以的值域为.
21. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元.
（1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)；
（2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数）
②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.
【答案】（1），从第 3 年开始该设备开始全年盈利；
（2）方案①比较合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）确定，解不等式得到答案.
（2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案.
【小问1详解】
，
解不等式，得，，故，
故从第 3 年该设备开始全年盈利；
【小问2详解】
①，
当且仅当时，即时等号成立.
到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元.
②，当时，.
故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元.
因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理.
22. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值.
（2）试判断的单调性，并用定义证明.
（3）解不等式.
【答案】22.
23. 函数在R上为减函数，证明见解析
24.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义即可证明；
（3）先利用奇偶性将不等式化为，再根据单调性解不等式即可.
【小问1详解】
若函数为奇函数，则，
又，则，所以，
所以，解得；
【小问2详解】
，则函数在R上为减函数，
证明如下：
设，则，
因为，所以，即，且，，
所以，即，所以函数在上为减函数.
【小问3详解】
不等式，即，
又是奇函数，所以，而在R单调递减，故，
即，解得.所以不等式的解集为.
0
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2
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