浙江省杭州市钱塘高级中学2023-2024学年高一上学期新生综合能力测试理科数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州市钱塘高级中学2023-2024学年高一上学期新生综合能力测试理科数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学部分
（共140分）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题4分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.
1. 如图，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据外角定理结合题意，可得答案.
【详解】由图可得，则.
故选：C.
2. 已知，，是实数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对于A：根据不等式性质分析判断；对于BCD：举反例分析说明.
【详解】因为，则，故A正确；
例如，可得，故B错误；
例如，可得，故C错误；
例如，可得，故D错误；
故选：A.
3. 两个定值电阻，和它们并联后的总电阻存在以下数量关系：，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意化简整理即可.
【详解】因为，整理得.
故选：C.
4. 某旅行团入住杭州某酒店，有二人间，三人间种房型供选择，二人间元晚，三人间房元晚，已知18人入住二人间，30人入住三人间，当晚共花费3000元，可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据人数确定房间数，再乘以单价可得每种房型的花费，根据两种房型的花费之和为元可得方程.
【详解】人入住二人间花费元，
人入住三人间花费元，
所以可得，
故选：A.
5. 己知函数，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，有最小值B. 当时，无最大值
C. 当时，有最小值D. 当时，有最大值
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数最值，结合二次不等式逐项分析判断.
【详解】对于选项AB：当时，显然，即，
当时，则，
显然当越大，越接近于0，但不能取0，
即没有最小值；
当时，则；
当a，b异号时，则，且，
此时当时，取到最大值2；
综上所述：没有最小值，有最大值2，故AB错误
对于选项CD：当时，
当时，则，
可知b越小，越大，即取不到最大值，且当时，有最小值1；
当时，则；
当a，b在y轴两侧时，此时，
令，解得或（舍去）；
令，解得；
令，解得；
则，
当时，取到最小值；
综上所述：有最小值，无最大值，故C错误，D正确；
故选：D.
6. 如图，AD是外角的平分线，与的外接圆交于点D，连结BD交AC于点F，且，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，根据题意结合圆的性质用表示其他角，进而逐项分析判断.
【详解】设，则，
因为AD是的外角的平分线，则，
又因为，则，
可得，，，
对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：C.
7. 己知、是函数图象上任意两点，如果对于函数自变量取值范围内的、，都有成立，那么就称该函数是自变量取值范围上的“平缓函数”，则以下函数是“平缓函数”的是（ ）
A. ，x取任意实数B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用“平缓函数”定义，逐项判断.
【详解】对于，且，
则，
不符合题意，选项A错误；
对于，且，
，
不符合题意，选项B错误；
对于，且，则，
，
不符合题意，选项C错误；
对于，且，则，

,
符合题意，选项D正确.
故选：D.
8. 如图，一张矩形纸片被分成四块面积相同的部分，己知，，则矩形纸片的面积为（ ）
A. 13B. 15C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据面积关系先确定出的位置，然后再根据面积关系求解出，利用勾股定理求解出矩形的宽，则矩形纸片的面积可知.
【详解】设矩形的长为，宽为，
因为，所以，即为中点，
又因为，所以到的距离等于，即为中点，
作交于点，如图所示，
因为，所以到的距离等于，即共线，
又因为到的距离等于，到的距离等于，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以矩形纸片的面积为，
故选：C.
9. 对于一个函数：当自变量取时，其函数值等于，则称为这个函数的H数．若二次函数（，为常数且）有且只有一个H数1，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意以及一元二次方程的性质建立不等式组，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由题意，令，则方程的解为1
所以，解得，
故可得，
显然当时，；当时，；当时，或4
由题意可得.
故选:D.
10. 如图以O圆心的扇形中，，若，，，，四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，，取的中点，连接，结合垂径定理可得，进而可得面积.
【详解】由题意可知：，，
取的中点，连接，可知，
可知，，
可得，
所以四边形的面积为.
故选：D.
二、填空题：本大题有7小题，每空4分，共44分.
11. 已知，，用含的代数式表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意消去即可得结果.
【详解】因为，，即，
所以.
故答案：.
12. 在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，己知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________．
【答案】10
【解析】
【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可.
【详解】根据题意，
从袋中随机摸出一个红球的概率是，
所以.
故答案为：10
13. 如图，点C、D在以为直径的半圆周上，为圆的半径，连结交于点E，若E为的中点，，则阴影部分的面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用垂径定理可得，进而可知，结合扇形的面积公式运算求解.
【详解】由题意可知：，则，
即，解得，
在中，则，可知，
所以阴影部分的面积为.
故答案为：.
14. 如图，为的直径，弦于点E，，点F在上，D是优弧的中点，连结交于点G，则的长为___________．

【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，，，根据题意利用垂径定理可得，，注意到，结合比例关系可得，即可得结果.
【详解】连接，则，即，解得，
可知，
连接，由题意可知，即为等腰三角形，
取的中点，连接，

可知，可知三点共线，
则，即，解得，
又因为，可得，
则，可得，
所以.
故答案为：.
15. 对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中、均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：___________，__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意结合二次函数解析式列式求解即可.
【详解】对于二次函数可得，且，解得；
对于二次函数可得，整理得；
故答案为：；.
16. 如图，有一张矩形纸片ABCD，E、F、G分别为BC、AD、CD边上一点，将沿AE折叠，使B点落在H处，展开后将沿FG折叠，使点D落在E处，若F为AH中点，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知：为正方形，且，结合勾股定理分析求解.
【详解】由题意可知：为正方形，且，
则，即，
整理得.
故答案为：.
17. 某兴趣小组为了了解本校学生的课外阅读情况，对学校2000名学生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅统计图．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本校各年级人数扇形统计图中，“九年级”所对应的圆心角的度数为_____________；
（2）阅读书籍数量最多的年级是___________，这一年级阅读的书籍总量是___________；
（3）本校平均书籍阅读量是___________本．
【答案】 ①. ②. 七年级 ③. 2040 ④.
【解析】
【分析】根据扇形统计图求九年级所占的频率进而可得结果；先求各年级人数，进而求各年级阅读的书籍总量，即可得结果；根据平均数的定义求本校平均书籍阅读量.
【详解】由题意可知：九年级所占的频率为，
所以“九年级”所对应的圆心角的度数为；
由题意可知：七年级人数为，八年级人数为，九年级人数为，
七年级人数阅读的书籍总量为；
八年级人数阅读的书籍总量为；
七年级人数阅读的书籍总量为；
因为，
可知阅读书籍数量最多的年级是七年级，这一年级阅读的书籍总量是2040；
本校平均书籍阅读量是本；
故答案为：；七年级；2040；.
三、解答题：本大题有4小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 如图，在中，是角平分线，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可证，进而可得结果；
（2）根据题意结合角平分线的性质可得，进而可得，取的中点，连接，利用勾股定理分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：，且，
则，则，所以.
【小问2详解】
由题意可得：
因为是角平分线，则，可得，
则，解得，
可得，
取的中点，连接，
由可得，
则，
即，解得.
19. 已知矩形的面积为4，设矩形的相邻两边的长分别为，.
（1）请写出关于的函数表达式，并写出的取值范围；
（2）若矩形的周长为：
①由矩形的周长为，得，即_______（用含，的代数式表示）；
②圆圆说可以取6，方方说可以取10，圆圆和方方的说法对吗？为什么？
【答案】（1）；
（2）①；②圆圆的说法错误，方方的说法是对的，原因见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的面积公式，结合函数的概念，可得答案；
（2）①由题意结合函数的概念，可得答案；②结合（1）中的函数，利用解一元二次方程，根据方程的解的情况，可得结论.
【小问1详解】
由题意可得，则，且，故.
所以关于的函数表达式为的取值范围为.
【小问2详解】
①由，则.
即答案为:；
②若，则，
结合，得，即，
由于，该方程无实数解，故圆圆的说法错误；
若，则，
结合，得，即，
解得，符合题意，故方方的说法是对的，
故圆圆的说法错误，方方的说法是对的.
20. 在平面直角坐标系中，己知函数，（，为常数，且）．
（1）判断函数图象与轴的交点个数，并说明理由；
（2）若经过，两点中的其中一个点，求该函数的表达式；
（3）当时，总有，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）令，解得或，分类讨论与2是否相等，即可得结果；
（2）注意到不经过，即不经过，代入运算即可；
（3）由题意可得对任意恒成立，进而列式求解即可.
【小问1详解】
令，整理得，解得或，
若，即时，函数图象与轴的交点个数为1；
若，即时，函数图象与轴的交点个数为2.
【小问2详解】
当时，可得，
即不经过，
即经过，则，解得，
所以
【小问3详解】
若，即，
可得对任意恒成立，
则，解得，
所以取值范围为.
21. 如图，已知内接于，点A为弧的中点，D是延长线上一点，交AB于点E．
（1）求证：；
（2）若的半径为10，，，求的长；
（3）连接，若，且，，记，的面积为，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）3 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，由题意可知：，结合角度关系分析证明；
（2）设的中点为，连接，由垂径定理可得，进而可得，再结合平行线的性质分析求解；
（3）设的中点分别为，连接，可知为矩形，进而可得，结合面积关系分析证明.
【小问1详解】
由题意可知：，
设，则，可知，
因为，可得，
则，所以.
【小问2详解】
设的中点为，连接，
可知，即三点共线，
可得，则，，
所以，
又因为∥，则，所以.
【小问3详解】
由（1）可知：，则，
设的中点分别为，连接，
则，可知为矩形，
则∥，且，可得，
因为，，则，
可得，且，
则，
，
所以.1
1
1