2022-2023学年河南省新乡市长垣市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省新乡市长垣市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. “翻开九年上册数学课本，恰好是第88页”是不可能事件
B. “太阳从西方升起”是必然事件
C. “明天会下雨”描述的事件是随机事件
D. 射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
3.将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则新的函数解析式为( )
A. y=(x−2)2+1B. y=(x+2)2+1C. y=(x+2)2−1D. y=(x+1)2−2
4.已知点P(m−3,m−1)关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
5.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是( )
A. 23B. 12C. 16D. 18
6.如图，△ABC中，点D在线段AC上，连接BD，要使△ABD与△ABC相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是( )
A. ADAB=BDBC
B. ∠ADB=∠ABC
C. ∠ABD=∠C
D. AB2=AD⋅AC
7.如图，点P是函数y=5x(x>0)图象上的一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，连接OP，设△POQ的面积为S，点P的坐标为(x,y)，下列结论正确的是( )
A. S随x的增大而减小
B. S随x的增大而增大
C. 无论x怎样变化，S始终为定值
D. 以上说法都不对
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD=2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是( )
A. 30°
B. 35°
C. 45°
D. 60°
9.二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数值y的部分对应值如下表．
则当x=5时，y的值为( )
A. 2B. 1C. 5D. 10
10.如图，在矩形ABCD中，顶点A(0,4)，B(−2,0)，C(−4,1)，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为( )
A. (5,2)
B. (−2,5)
C. (2,−5)
D. (5,−2)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一元二次方程x2=x的解是______ ．
12.如图，为估算某鱼塘的宽AB的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且CD=12AC，CE=12BC.若测得ED的长为10m，则AB的长为______m.
13.已知点P(x1,y1).Q(x2,y2)，M(x3,y3)在反比例函数y=−9x的图象上，并且x114.如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形ABC绕A点逆时针旋转，点B的对应点点D落在弧AC上，则阴影部分的面积为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接DQ.则DQ的长度的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知关于x的方程x2+ax+a−2=0．
(1)当a=1时，求该方程的根；
(2)求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P为BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B．
(1)求证：△ABP∽△PCM；
(2)当BP=2时，求CM的值．
18.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A(2,4)、B(4,n)两点，与坐标轴分别交于M、N两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出kx+b>mx中x的取值范围；
(3)求△AOB的面积．
19.(本小题8分)
如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上的一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF．
(1)求证：△ABC≌△ABF；
(2)当∠CAB=______时，四边形ADFE为菱形；
(3)当AB=______时，四边形ACBF为正方形．
20.(本小题8分)
小磊进行铅球训练，他尝试用数学模型来研究铅球的运动情况．小磊某次试投时，铅球的运动路径可以看作抛物线，铅球从距地面2m处的A点处出手，在距出手点A水平距离4m处达到最高点B，最高点B距地面的距离为3m.小磊以地面为x轴，出手点A所在的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图所示．
(1)写出A，B两点的坐标：A ______，B ______；
(2)求铅球运动路径所在抛物线的函数解析式；
(3)若铅球投掷距离(铅球落地点与出手点的水平距离OC的长度)不小于10m，成绩记为优秀，请通过计算，判断小磊此次成绩是否能达到优秀．
21.(本小题8分)
我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具−三分角器.图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长.使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．

(1)为了说明了上述方法的正确性，需要对其进行严谨的数学证明，请根据上述内容，完成证明；已知：如图2，BC是半圆O的直径，点A在直线BC上，且AB=BO，EB⊥AC，EF与⊙O相切于点F，求证：∠1=∠2=∠3；
(2)若∠MEN=120°，半圆O的半径为3，连接OE，交圆O于点H，求弧BH的长．
22.(本小题8分)
某商场将每件进价为80元的某商品按每件100元出售，每天可售出100件.后来经过市场调查发现：这种商品单价每降低1元，其销售量就增加10件.若该商品降价销售，设每件商品降价x元，商场每天获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)①若商场经营该商品每天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？
②每件商品降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)商场为避免恶意竞争，规定降价范围为1≤x≤6，请直接写出销售该商品每天的销售利润y(元)的取值范围．
23.(本小题8分)
问题情境：数学活动课上，老师要求学生出示两个大小不一样的等腰直角三角形，如图1所示，把Rt△ADE和Rt△ABC摆在一起，其中直角顶点A重合，延长CA至点F，满足AF=AC，然后连接DF，BE．

(1)实践猜想：图1中的BE与DF的数量关系为______ ，位置关系为______ ；
(2)拓展探究：当△ADE绕着点A旋转一定角度α时，如图2所示，(1)中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)解决问题：当AB=2，AD= 2，△ADE旋转得到D，E，F三点共线时，直接写出线段DF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
2.【答案】C
【解析】解：A、、“翻开九年数学书，恰好是第35页”是随机事件，故本选项不符合题意；
B、“太阳从西方升起”是不可能事件，故本选项不符合题意；
C“明天会下雨”是随机事件，故本选项正确，符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据概率的意义逐项进行判断即可．
此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
3.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
∴y=(x+2)2+1，
故选：B．
根据函数平移规律直接代入即可得到答案．
本题考查函数平移规律：上加下减，左加右减；解题的关键是根据此规律代入计算．
4.【答案】D
【解析】解：∵点P(m−3,m−1)关于原点的对称点P′在第四象限，
∴点P在第二象限，
∴m−3<0m−1>0，
解得：1故选D．
根据点所在象限确定范围．
本题考查点的坐标的符号，利用对称性确定P点所在象限是求解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，树状图如下，
由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是212=16，
故选：C．
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
6.【答案】A
【解析】解：在△ABD与△ABC中，由于∠A=∠A，若添加∠ADB=∠ABC或∠ABD=∠C，
满足“两角对应相等的两个三角形相似”，故要使△ABD与△ABC相似，可添加一个条件B或C．
在△ABD与△ABC中，由于∠A=∠A，若添加ABAD=ACAB，即AB2=AD⋅AC，
满足“两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似”，故要使△ABD与△ABC相似，可添加一个条件D．
在△ABD与△ABC中，若添加ADAB=BDBC，由于不能说明∠ADB=∠ABC，也不能说明三边对应成比例，
故要使△ABD与△ABC相似，不能添加一个条件A．
故选：A．
利用相似三角形的判定定理，逐个试验得结论．
本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵点P(x,y)是函数y=5x(x>0)图象上的一动点，
∴x⋅y=5，
∵S=12OQ⋅PQ，
∴S=12xy=52，
∴无论x怎样变化，S始终为定值，
故选：C．
由点P(x,y)是函数y=5x(x>0)图象上的一动点可得x⋅y=5，即可得S=12xy=52，从而可得答案．
本题考查反比例函数y=kx中k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数图象上点坐标的特征．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BCD=2∠BAD，
∴∠BCD=120°，∠BAD=60°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠DAE=90°−∠BAD=90°−60°=30°，
∴∠DOE=2∠DAE=2×30°=60°，
故选：D．
根据圆内接四边形的性质求出∠BAD=60°，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由表可知，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(0,5)，(1,2)，(2,1)，
则c=5a+b+c=24a+2b+c=1，
解得：a=1b=−4c=5，
∴二次函数解析式为：y=x2−4x+5，
当x=5时，函数值y=x2−4x+5=52−4×5+5=10．
故选：D．
先任选三组数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，再计算当x=5时的函数值．
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，点D作DF⊥y轴于点F，
∵A(0,4)，B(−2,0)，C(−4,1)，
∴OA=4，OB=2，CE=1，OE=4，
∴BE=OE−OB=4−2=2，
∵四边形ABCD是矩形，CE⊥x轴，DF⊥y轴，
∴∠CEB=∠AFD=∠CBA=∠BAD=∠AOB=90°，BC=AD，
∴∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
又∵∠ADF+∠DAF=90°，∠BAO+∠DAF=90°，
∴∠ADF=∠BAO，
∴∠CBE=∠ADF，
在△CBE和△ADF中，
∠CBE=∠ADF∠CEB=∠AFDBC=DA，
∴△CBE≌△ADF(AAS)，
∴DF=BE=2，AF=CE=1，
∴OF=OA+AF=4+1=5，
∴D(−2,5)，
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴第1次旋转结束时，点D的坐标为(5,2)，
第2次旋转结束时，点D的坐标为(2,−5)，
第3次旋转结束时，点D的坐标为(−5,−2)，
第4次旋转结束时，点D的坐标为(−2,5)，
……
发现规律：旋转4次一个循环，
∵2022÷4=505⋯⋯2，
∴第2022次旋转结束时，点D的坐标为(2,−5)．
故选：C．
过点C作CE⊥x轴于点E，点D作DF⊥y轴于点F，根据已知条件求出点D的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点D的坐标，发现规律，进而求出第2022次旋转结束时，点D的坐标．
本题考查坐标与图形，图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2022次旋转后矩形的位置是解题的关键．
11.【答案】x1=0，x2=1
【解析】解：x2−x=0，
x(x−1)=0，
x=0或x−1=0，
所以x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1．
先移项得到x2−x=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
12.【答案】20
【解析】解：∵CD=12AC，CE=12BC，
∴CDAC=CEBC=12，
∵∠DCE=∠ACB，
∴△DCE∽△ACB，
∴EDAB=CDAC=12，
∵ED=10m，
∴AB=20m．
故答案为：20．
首先根据两边对应成比例且夹角相等可得△DCE∽△ACB，再根据对应边成比例可得答案．
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
13.【答案】y3【解析】解：∵在反比例函数y=−9x中，k=−9<0，
∴在每一象限内，y随着x增大而增大，
∵x1∴y3故答案为：y3在反比例函数y=−9x中，k=−9<0，根据反比例函数增减性即可确定．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
14.【答案】 3+13π
【解析】解：过A作AF⊥BD于F，则∠AFB=90°，如图，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形ABC绕A点逆时针旋转，点B的对应点点D落在弧AC上，
∴扇形ABC和扇形ADE的面积相等，AB=AD=BC=BD=2，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=12AB=12×2=1，由勾股定理得：AF= 22−12= 3，
∴阴影部分的面积S=S扇形ABC−(S扇形ABD−S△ABD)
=90π×22360−(60π×22360−12×2× 3)
= 3+13π，
故答案为： 3+13π.
连接BD，过A作AF⊥BD于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形ADE的面积相等，AB=AD=BC=BD=2，求出△ABD是等边三角形，求出∠ABF=60°，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴影部分的面积S=S扇形ABC−(S扇形ABD−S△ABD)求出答案即可．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=nπr2360．
15.【答案】1≤DQ≤3
【解析】解：如图，以点C为圆心，CP为半径作圆，连接CD并延长，交⊙C于点Q′和Q，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2 2，
∴AB= AC2+BC2= (2 2)2+(2 2)2=4，
∵点D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=12AB=2，
∵将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，CP=1，
∴点Q在以点C为圆心，CP为半径的圆上，
∵∠CDA=90°，
∴点C、D、Q三点共线，
由图可知，Q可能在线段CD上，
此时，DQ取得最小值：DQ′=CD−CQ′=CD−CP=2−1=1，
也可能在CD延长线上，
此时，DQ取得最大值：DQ=CD+CQ=CD+CP=2+1=3，
∴DQ的长度的取值范围是1≤DQ≤3．
故答案为：1≤DQ≤3．
以点C为圆心，CP为半径作圆，连接CD并延长，交⊙C于点Q′和Q，根据题意可得AB=4，CD⊥AB，CD=AD=2，根据分析图中DQ为最大值，DQ′为最小值．
本题考查勾股定理、旋转的性质、等腰三角形三线合一的性质．分析出当∠CDA=90°时，点Q有两种情况并找出DQ的最大值与最小值是解题的关键．
16.【答案】解：(1)将a=1代入，得x2+x−1=0，
∴a=1，b=1，c=−1，
∵Δ=b2−4ac=1−4×1×(−1)=5，
∴x=−b± b2−4ac2a=−1± 52，
∴x1=−1+ 52，x2=−1− 52；
(2)x2+ax+a−2=0，
∵Δ=a2−4×1×(a−2)=a2−4a+8=(a−2)2+4>0，
∴不论a取任何实数，方程都有两个不相等的实数根．
【解析】(1)利用公式法解一元二次方程即可；
(2)利用根的判别式的取值范围进行证明即可．
此题考查公式法解一元二次方程和跟的判别式的应用，熟练掌握公式法和一元二次方程的解法是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠APM=∠B，
∴∠BAP=180°−∠B−∠APB=180°−∠APM−∠APB=∠CPM，
∴△ABP∽△PCM．
(2)解：∵AB=AC=5，BC=8，BP=2，
∴CP=6．
∵△ABP∽△PCM，
∴ABPC=BPCM，
∴56=2CM，
∴CM=125．
【解析】(1)由AB=AC得到∠B=∠C，由∠APM=∠B进一步得∠BAP=∠CPM，即可证明△ABP∽△PCM；
(2)先求出CP=6.由△ABP∽△PCM得到ABPC=BPCM，代入数值即可得到答案．
此题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)将(2,4)代入y=mx，得m=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x，
将(4,n)代入y=8x，得n=2，
∴点B的坐标为(4,2)，
设一次函数的解析式为y=k1x+b，将点A(2,4)、B(4,2)代入得：
2k1+b=44k1+b=2
解得：k1=−1，b=6，
∴一次函数的解析式为y=−x+6．
(2)解：根据图像可知，不等式的解集为x<0或2(3)解：∵将y=0代入y=−x+6，得−x+6=0，解得x=6，
∴点N的坐标为(6,0)，
S△AOB=12×6×4−12×6×2=6．
【解析】(1)把(2,4)代入y=mx，求出反比例函数解析式，将(4,n)代入y=8x，求出点B的坐标，用待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)根据图像得出不等式kx+b>mx的解集即可；
(3)先求出点N坐标，根据面积差求出面积即可．
本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数解析式，根据函数图象求不等式的解集，求三角形的面积，解题的关键是数形结合，求出一次函数与反比例函数的交点坐标，熟练掌握待定系数法．
19.【答案】(1)证明：∵EF//AB，
∴∠AEF=∠CAB，∠AFE=∠FAB，
又∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
AF=AC∠FAB=∠CABAB=AB，
∴△ABC≌△ABF(SAS)；
(2)60° ；
(3) 4 2
【解析】本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
(1)根据EF/​/AB，可以得到∠FAB和∠CAB的关系，由AC和AF都是圆的半径，AB是△ABC和△ABF的公共边可以得到△ABC和△ABF全等；
(2)根据四边形ADFE为菱形，通过变形可以得到∠CAB的度数；
(3)根据四边形ACBF为正方形，AC=4，AB是该正方形的对角线，可以求得AB的长．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)连接CF，如右图所示，
若四边形ADFE为菱形，则AE=EF=FD=DA，
又∵CE=2AE，CE是圆A的直径，
∴CE=2EF，∠CFE=90°，
∴∠ECF=30°，
∴∠CEF=60°，
∵EF//AB，
∴∠AEF=∠CAB，
∴∠CAB=60°，
故答案为：60°；
(3)若四边形ACBF为正方形，则AC=CB=BF=FA，AB是正方形ACBF的对角线，
∵AC=4，
∴AB= AC2+CB2= 42+42=4 2．
故答案为4 2．
20.【答案】(0,2) (4,3)
【解析】解：(1)由图中数据可得，点A坐标为(0,2)，B点坐标为(4,3)，
故答案为：(0,2)，(4,3)；
(2)依题意，设该抛物线的表达式为y=a(x−4)2+3，
由抛物线过点A，有16a+3=2．
解得a=−116，
∴该抛物线的表达式为y=−116(x−4)2+3；
(3)解：令y=0，得−116(x−4)2+3=0，
解得x1=4+4 3，x2=4−4 3(C在x轴正半轴，故舍去)，
∴点C的坐标为(4+4 3,0)．
∴OC=4+4 3，
由 3>32，可得OC>4+4×32=10．
∴小明此次试投的成绩达到优秀．
(1)根据题意和图象可得结论；
(2)设该抛物线的表达式为y=a(x−4)2+3，由抛物线过点A得到16a+3=2.求得a=−116，于是得到结论；
(3)根据题意解方程即可得到结论．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵EB⊥AC，
∴∠ABE=∠OBE=90°．
∵AB=OB，BE=BE，
∴△ABE≌△OBE(SAS)，
∴∠1=∠2．
∵BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线．
∵EN切半圆O于F，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3．
(2)解：由(1)可得：∠1=∠2=∠3．
∵∠MEN=∠1+∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠2=∠3=40°，
∴∠BOE=50°．
∴弧BH的长为50×π×3180=5π6．
【解析】(1)根据垂直的定义得到∠ABE=∠OBE=90°，根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，根据切线的性质得到∠2=∠3，于是得到结论；
(2)由(1)得∠1=∠2=∠3.根据∠MEN=∠1+∠2+∠3=120°，得到∠1=∠2=∠3=40°，推出∠BOE=50°，代入弧长公式即可求出弧BH的长．
本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，弧长的计算，熟练掌握相关知识点和熟记弧长的计算公式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)根据题意得：y=(100−80−x)(100+10x)=−10x2+100x+2000，
即y与x之间的函数关系式为y=−10x2+100x+2000；
(2)①−10x2+100x+2000=2160，解得x1=2，x2=8．
答：每件商品应降价2元或8元．
②y==−10x2+100x+2000=−10(x−5)2+2250，
当x=5时，y有最大值为2250，
即每件商品降价5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元．
(3)解：∵−10<0，
∴当x<5时，y随x的增大而增大，当x>5时，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=−10(1−5)2+2250=2090，
当x=6时，y=−10(6−5)2+2250=2240，
∴销售该商品每天的销售利润y(元)的取值范围为2090≤y≤2250．
【解析】(1)根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出关系式，即可求解；
(2)把(1)中解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可求解；
(3)根据二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
23.【答案】BE=DF BE⊥DF
【解析】解：(1)∵Rt△ADE和Rt△ABC等腰直角三角形，
∴AD=AE，
延长CA至点F，
∴∠FAD=∠BAE=90°，且AF=AC，
∴△FAD≌△BAE(SAS)，
∴BE=FD，∠F=∠ABE，∠FDA=∠BEA，
如图所示，延长FD交BE于G，
在Rt△ADF中，∠F+∠FDA=90°，
∵∠FDA=∠BEA，
在△GEF中，∠F+∠BEA=90°，即∠FGE=90°，
∴FG⊥BE，即BE⊥DF，
故答案为：BE=DF，BE⊥DF．
(2)成立，理由如下，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=∠FAB=90°，
∴∠BAE=∠FAD，
又∵AF=AC，
∴AF=AB，
∴△ABE≌△AFD(SAS)，
∴BE=DF，∠ABE=∠AFD，∠BMH=∠FMA，
∴∠ABE+∠BMH=∠AFD+∠FMA=90°，
∴∠BHM=90°，
∴BE⊥DF．
(3)△ADE旋转得到D，E，F三点共线，
①如图所示，过点A作AM⊥D1F于M，
∵Rt△ADE是等腰三角形，AD=AE=AD1=AE1= 2，AM⊥D1F，
∴D1E1= AD12+AE12= ( 2)2+( 2)2=2，AM=D1M=12D1E1=12×2=1，
在Rt△AFM中，AF=AB=2，
∴MF= AF2−AM2= 22−12= 3，
∴D1F=MF−D1M= 3−1，即△ADE旋转得到D，E，F三点共线时，DF= 3−1；
②如图所示，过点A作AN⊥D2F于N，
同理，D2F=NF+ND2= 3+1，即△ADE旋转得到D，E，F三点共线时，DF= 3+1；
综上所述，当AB=2，AD= 2，△ADE旋转得到D，E，F三点共线时，线段DF的长为 3−1或 3+1．
(1)Rt△ADE和Rt△ABC等腰直角三角形，证明△FAD≌△BAE即可；
(2)根据△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，证明△ABE≌△AFD即可；
(3)分类讨论，如图所示(见详解)，过点A作AM⊥D1F于M，过点A作AN⊥D2F于N，根据直角三角形的勾股定理即可求解．
本题主要考查三角形的全等的判定和性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键．x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…