2023-2024学年吉林省吉林市丰满区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市丰满区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.x满足什么条件时分式15−x有意义( )
A. x≠0B. x≠±5C. x≠−5D. x≠5
2.如所示图形中具有稳定性的是( )
A. B. C. D.
3.在下列计算中，正确的是( )
A. a3⋅a3=3a6B. (−3a2)3=−27a6
C. a3+a4=a7D. a6÷a2=a3
4.等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是( )
A. 55°B. 70°C. 40°或70°D. 55°或70°
5.若16x2+mx+1是完全平方式，则m的值是( )
A. ±8B. ±4C. 8D. −8
6.如图所示，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为( )
A. 10个B. 8个C. 6个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.在平面直角坐标系中，点A(2,6)关于y轴对称的点B的坐标是______ ．
8.分解因式：m3n−mn=______．
9.若等腰三角形有两条边长分别为1和3，则其周长为______ ．
10.若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为______．
11.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为 ．
12.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为5cm，AB=3cm，则△ABC的周长为______ cm．
13.如图，在△ABC中，M为边BC的中点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，且BE=CF.若∠BME=25°，则∠A= ______ °.
14.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 ．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
运用完全平方公式计算：(4m−3n)2．
16.(本小题5分)
计算：a−3a2+4a+4⋅a2−4a−3+2a+2．
17.(本小题5分)
解方程：32−13x−1=56x−2．
18.(本小题5分)
先化简，再求值：(2xx−2+xx+2)÷xx2−4，其中x=−1．
19.(本小题7分)
如图，AC=EB，∠ACB=∠EBD，BC=DB，求证△ABC≌△EDB．
20.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=17，DC=5，求S△ABD．
21.(本小题7分)
在3×3的方格纸中，每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中△ABC是一个格点三角形.请在图①和图②中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并画出对称轴．
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AC=2n，∠B=∠ACB=15°，∠D=90°，求CD的长.(用含n的式子表示)
23.(本小题8分)
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．
(1)设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x，两队半个月完成总工程的______ (用含x的式子表示)．
(2)哪个队的施工速度快？
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，连接A，BM平分∠ABC，交AC于点M，过点M作MN/​/BC，交AB于点N．
(1)若∠C=72°，求∠BAD的度数．
(2)求证：NB=NM．
25.(本小题10分)
如图，在三角形ABC中，AB=BC=AC=8，点M从点A出发，沿折线A→B→C→A以每秒4个单位长度的速度向终点A运动.点N从点B出发，沿折线B→C→A以每秒2个单位长度的速度运动.M，N两点同时出发，点M停止时，点N也随之停止.设点M运动的时间为t秒．
(1)当M，N两点重合时，求t的值．
(2)当△BMN是以MN为底边的等腰三角形时，求t的值．
(3)直接写出∠BMN=90°时t的值．
26.(本小题10分)
用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形，并解答下列问题．

(1)由图②和图①可以得到关于面积的等式为______ ．
(2)小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为(2m+3n)(3m+2n)的大长方形图片，求需要M，N，D三种纸片各多少张．
(3)如图③，已知点P为线段AF上的动点，分别以PF，AP为边在AF的两侧作正方形PMEF和正方形APCD.若AF=5，且两个正方形的面积之和为S1+S2=13，利用(1)中得到的结论求图③中阴影部分面积S△PCF．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：令5−x≠0，
解得x≠5，
当x≠5时，分式15−x有意义，
故选：D．
当分式的分母不为零时分式有意义，由此即可解答．
本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：所有图形里，只有三角形具有稳定性．
故选：B．
所有图形里，具有稳定性的是三角形．据此作答即可．
本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性，属于基础题，比较简单．
3.【答案】B
【解析】解：A、a3⋅a3=a6，本选项不正确，故不符合题意；
B、(−3a2)3=−27a6，本选项正确，故符合题意；
C、a3与a4不属于同类项，不能合并，本选项不正确，故不符合题意；
D、a6÷a2=a4，本选项不正确，故不符合题意，
故选：B．
利用同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，分析每一个选项，只有B符合题意，由此选出答案．
本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分当70°的角是顶角时和当70°的角是底角时两种情况进行分析，从而求解．
【解答】
解：①当70°的角是顶角时，底角=(180°−70°)÷2=55°；
②当70°的角是底角时，另一个底角为70°，顶角为180°−70°−70°=40°；
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：原式可化为(4x)2+mx+12，
可见当m=8或m=−8时，
原式可化为(4x+1)2或(4x−1)2，
故选：A．
将原式化为(4x)2+mx+12，再根据完全平方公式解答．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．
6.【答案】B
【解析】解：如图，AB是腰长时，边上有4个点可以作为点C，
AB是底边时，对角线上的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．
故选：B．
分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．
7.【答案】(−2,6)
【解析】解：点A(2,6)关于y轴对称的点的坐标是(−2,6)，
故答案为：(−2,6)．
关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．根据关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数求解即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是本题的解题关键．
8.【答案】mn(m−1)(m+1)
【解析】解：m3n−mn=mn(m2−1)=mn(m−1)(m+1)，
故答案为：mn(m−1)(m+1)．
先提出公因式mn，再利用平方差公式即可解答．
本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
9.【答案】7
【解析】解：①1是腰长时，三角形的三边分别为1、1、3，
∵1+1=2<3，
∴不能组成三角形；
②1是底边时，三角形的三边分别为1、3、3，
能组成三角形，
周长=1+3+3=7，
综上所述，三角形的周长为7．
故答案为：7．
根据等腰三角形的定义，分1是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的定义，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
10.【答案】12
【解析】解：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，
故答案为：12．
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．
本题考查了多边形外角和．
11.【答案】100°
【解析】解：△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°，
∴∠B=180°−50°−30°=100°．
故答案为：100°．
根据轴对称的性质可△ABC≌△A′B′C′，再根据∠A和∠C′的度数即可求出∠B的度数．
本题主要考查了轴对称的性质以及全等的性质，熟练掌握轴对称的性质和全等的性质是解答此题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：由尺规作图可知，MN是AB线段的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为AC+CD+AD=5cm，△ABC的周长为AB+BC+AC，AB=3cm，
∴AB+BC+AC=AB+BD+CD+AC=AB+AD+CD+AC=3+5=8cm，
∴△ABC的周长为8cm，
故答案为：8．
根据尺规作图得到MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解题的关键．
13.【答案】50
【解析】解：∵M为边BC的中点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，
∴BM=CM，∠MEB=∠MFC=90°，
又BE=CF，
∴Rt△BME≌Rt△CMF(HL)，
∴∠BME=∠CMF=25°，
∴∠B=∠C=65°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=50°，
故答案为：50．
证明Rt△BME≌Rt△CMF(HL)，可得∠B=∠C=65°，利用三角形内角和计算即可得答案．
此题考查了直角三角形全等的证明方法和性质，三角形内角和定理，证明Rt△BME≌Rt△CMF(HL)是解题的关键．
14.【答案】60°
【解析】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°．
故答案为60°．
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，
即可解决问题；
本题考查的是最短路线问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
15.【答案】解：(4m−3n)2
=(4m)2−2⋅(4m)⋅(3n)+(3n)2
=16m2−24mn+9n2．
【解析】根据完全平方公式计算即可．
本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟记完全平方公式．
16.【答案】解：a−3a2+4a+4⋅a2−4a−3+2a+2
=a−3(a+2)2⋅(a+2)(a−2)a−3+2a+2
=a−2a+2+2a+2
=aa+2．
【解析】先将分式分解因式，再化简，然后计算加法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：设3x−1=y，则原方程可化为：3y−2=5，
解得y=73，
∴3x−1=73，解得x=109，
将x=109代入最简公分母进行检验，6x−2≠0，
∴x=109是原分式方程的解．
【解析】此题应先设3x−1为y，然后将原方程化为3y−2=5解得y=73，求出x的值，最后对得到的x进行检验．
本题主要考查用换元法解分式方程，求出结果一定要注意必须检验．
18.【答案】解：原式=2x(x+2)+x(x−2)(x+2)(x−2)×(x+2)(x−2)x
=3x+2，
当x=−1时，原式=−1．
【解析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
根据分式的运算法则即可求出答案．
19.【答案】证明：在△ABC和△EDB中，
AC=EB∠ACB=∠EBDBC=DB，
∴△ABC≌△EDB(SAS)．
【解析】由SAS证明△ABC≌△EDB即可．
本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：作DE⊥AB于点E，如图，

∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DC=5，
∴CD=DE=5，
∴S△ABD=12×AB×DE=12×17×5=852．
【解析】作DE⊥AB，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解．
本题考查了角平分线的性质，解题的关键是理解角平分线上的点到两条边的垂线段相等．
21.【答案】解：如下图，△A1B1C1、△A2B2C2即为所求，其对称轴分别为l1、l2．

【解析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解．
本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
22.【答案】解：∵∠B=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，
∵∠D=90°，AC=2n，
∴CD=12AC=12×2n=n．
【解析】先根据三角形外角的性质求出∠DAC=30°，再根据含30°直角三角形的性质得出答案．
本题考查了三角形外角的性质，含30°直角三角形的性质．
23.【答案】16+12x
【解析】解：(1)设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x，
∴乙半个月完成总工程的12x，
∵甲队单独施工1个月完成总工程的13，
∴甲半个月完成总工程的16，
∴两队半个月完成总工程的16+12x，
故答案为：16+12x；
(2)由(1)得16+12x=1−13，
解得x=1，
经检验x=1是原方程的解，
∴乙队单独施工1个月能完成总工程，
∴乙队的施工速度快．
(1)设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x，根据工作总量=工作效率×工作时间分别求出两队半个月的工作量，然后求和即可得到答案；
(2)根据(1)所求，结合题意可建立方程16+12x=1−13，解方程即可得到答案．
本题主要考查了分式方程的实际应用，列代数式，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°．
∵∠C=72°，
∴∠CAD=180°−∠ADC−∠C
=180°−90°−72°
=18°，
∴∠BAD=18°；
(2)证明：∵MN/​/BC，
∴∠NMB=∠CBM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠NBM=∠CBM．
∴∠NBM=∠NMB．
∴NB=NM．
【解析】(1)先根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，根据三角形内角和定理求出∠CAD的度数，即可知∠BAD的度数．
(2)根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明NB=NM．
本题考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质．
25.【答案】解：(1)∵M比N快2个单位长度，M落后N有8个单位长度，
∴追上的时间为t=8÷(4−2)=4；
(2)如图1，当点M在边AB上，点N在边BC上时，BM=BN，

即8−4t=2t，
∴t=43，
如图2，当点M、N都在边AC上时，BM=BN，
过B作BD⊥AC于D，则AD=CD，MD=ND，

∴AM=CN，
即24−4t=2t−8，
∴t=163，
综上，t的值为43或163；
(3)如图3，当点M在边AB上，点N在边BC上时，∠BMN=90°，

∴∠BNM=90°−60°=30°，
∴BN=2BM，
∴2t=2(8−4t)，
解得：t=85，
如图4，当点M、N都在边AC上时，∠BMN=90°，

∴CM=12AC=4，
∴4t−16=4，
解得：t=5；
综上：t=85或t=5．
【解析】(1)M比N快2个单位长度，M落后N有8个单位长度，算出追上的时间即可得t的值；
(2)分两种情况：①当点M在边AB上，点N在边BC上时，BM=BN，②如图，当点M、N都在边AC上时，BM=BN，过B作BD⊥AC于D，则AD=CD，MD=ND，则AM=CN，再列出方程求出t的值即可；
(3)如图，当点M在边AB上，点N在边BC上时，∠BMN=90°，可得BN=2BM，如图，当点M、N都在边AC上时，∠BMN=90°，可得CM=12AC=4，再建立方程求解即可．
本题考查的是方程的几何应用，等边三角形的性质，等腰三角形的定义，含30°的直角三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
26.【答案】(m+n)2=m2+2mn+n2
【解析】解：(1)由图形的面积关系可得：(m+n)2=m2+2mn+n2；
(2)∵(2m+3n)(3m+2n)=6m2+4mn+9mn+6n2=6m2+13mn+6n2，
∴需要M，N两种纸片各6张，D种纸片13张．
(3)设PF=m，AP=n．
∵AF=5，AP+PF=AF，
∴m+n=5．
∵S1+S2=13，
∴m2+n2=13．
∵(m+n)2=m2+2mn+n2，
∴52=13+2mn，
∴mn=6，
∴S△PCF=12mn=12×6=3．
(1)根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答；
(2)根据多项式乘多项式即可解答；
(3)设PF=m，AP=n，则m+n=5，m2+n2=13，根据完全平方公式可求得mn=6，从而解决本题．
本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，掌握面积法是解题关键．