2022-2023学年江西省宜春市丰城九中八年级（上）期末数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省宜春市丰城九中八年级（上）期末数学试卷（B卷）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式： 5, 13, 0.5a,−2 b2c, c2+b2是最简二次根式的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.若把分式x+y2xy中的x和y都扩大3倍，且x+y≠0，那么分式的值( )
A. 扩大3倍B. 不变C. 缩小3倍D. 缩小6倍
3.已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2(x−3)(x+1)，则b，c的值为( )
A. b=3，c=−1B. b=−6，c=2
C. b=−6，c=−4D. b=−4，c=−6
4.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A. 3cm2
B. 4cm2
C. 6cm2
D. 12cm2
5.如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE/​/AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为( )
A. 4B. 5C. 342D. 34
6.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若一次函数y=(m+4)x+m−1的图象与y轴的交点在x轴的下方，则m的取值范围是______．
8.已知xy>0，化简二次根式x −yx2的结果是______ ．
9.若a=78，b=87，则5656= ______ (用a、b的代数式表示)
10.当x ______ 时，分式2x2−4x+7的最大值为______ ．
11.如图，长方体的长BE=15cm，宽AB=10cm，高AD=20cm，同时点M在CH上，且CM=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是______ cm．
12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，点M为EF的中点，则AM的最小值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共17分。
13.如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：
(1)FC的长；
(2)EF的长．
14.阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如2 3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：2 3+1=2( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3−1)( 3)2−1=2( 3−1)2= 3−1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2.我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x=a+b，y=ab，则a2+b2=(a+b)2−2ab=x2−2y=4+6=10.这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+……+1 2019+ 2017；
(2)m是正整数，a= m+1− m m+1+ m，b= m+1+ m m+1− m且2a2+1823ab+2b2=2019.求m．
(3)已知 15+x2− 26−x2=1，求 15+x2+ 26−x2的值．
四、解答题：本题共9小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解下列方程：
(1)3x−2−x2−x=−2
(2)x+1x−1−4x2−1=1
16.(本小题8分)
(1)已知：am=−2，an=5，求am+n的值．
(2)已知：x+2y+1=3，求3x⋅9y×3的值．
17.(本小题8分)
观察下列等式：回答问题：
① 1+112+122=1+11−11+1=112
② 1+122+132=1+12−12+1=116
③ 1+132+142=1+13−13+1=1112，
…
(1)根据上面三个等式的信息，猜想 1+142+152= ______ ；
(2)请你找出其中规律，并将第n(n≥1)个等式写出来．
18.(本小题8分)
(1)画出函数y=|x−1|的图象．
(2)设P(x,0)是x轴上的一个动点，它与x轴上表示−3的点的距离为y，求y关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象．
19.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
20.(本小题8分)
已知直线l：y=kx+6与x轴交于点B(−8,0)，又知点A的坐标为(−6,0)，
(1)求k的值；
(2)若点P(x,y)是直线l在第二象限直线上的一个动点，当点P运动过程中，请求出△OPA的面积S和x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当S=278时，点P的坐标为______ ．
21.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE=∠E，PE交CD于点F．
(1)求证：PC=PE；
(2)求∠CPE的度数．
22.(本小题9分)
先阅读下面的例题，再按要求解答下列问题：
求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，
∵(y+2)2≥0，
∴(y+2)2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
(1)求代数式m2+m+4的最小值；
(2)求代数式24−2x2+8x的最大值；
(3)某居民小区要在一块靠墙(墙长15m)的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x(m)，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,6)，点B在x轴的正半轴上．若点P、Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P、Q的“涵矩形”.下图为点P、Q的“涵矩形”的示意图
(1)点B的坐标为(3,0)
①若点P的横坐标为32，点Q与点B重合，则点P、Q的“涵矩形”的周长为______；
②若点P、Q的“涵矩形”的周长为6，点P的坐标为(1,4)，则点E(2,1)，F(1,2)，G(4,0)中，能够成为点P、Q的“涵矩形”的顶点的是______；
(2)四边形PMQN是点P、Q的“涵矩形”，点M在△AOB的内部，且它是正方形
①当正方形PMQN的周长为8，点P的横坐标为3时，求点Q的坐标；
②当正方形PMQN的对角线长度为 2时，连结OM.直接写出线段OM的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 5, 13, 0.5a,−2 b2c, c2+b2是最简二次根式的有 5， c2+b2．
故选：A．
利用最简二次根式的定义：(1)被开方数不含开方开的尽的数或因式，(2)被开方数中不含分母，分别判断即可．
本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及将二次根式化为最简二次根式的方法是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．把原式中的x、y分别换成3x、3y进行计算，再与原分式比较即可．
【解答】
解：把原式中的x、y分别换成3x、3y，那么
3x+3y2⋅3x⋅3y=13×x+y2xy，则分式的值缩小3倍．
故选C．
3.【答案】D
【解析】解：2(x−3)(x+1)
=2(x2−2x−3)
=2x2−4x−6，
ax2+bx+c=2x2−4x−6
所以a=2，b=−4，c=−6．
故选：D．
首先把2(x−3)(x+1)，利用整式的乘法计算得出结果，与多项式ax2+bx+c的每一项相对应，求出a、b、c的数值即可．
此题考查整式的乘法计算方法以及代数式中每一项的意义．
4.【答案】C
【解析】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9−AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．
解得AE=4．
∴△ABE的面积为3×4÷2=6.故选C．
根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，求CD的长度是本题的关键．
由矩形的性质和三角形中位线定理可得CD=6，由勾股定理可得AC=10，由直角三角形斜边上的中线性质可得OB的长．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，AD=BC=8，
∵OE/​/AB，
∴OE/​/CD，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∵OE=3，
∴CD=6，
在Rt△ADC中，AC= AD2+CD2=10，
∵点O是斜边AC上的中点，
∴BO=12AC=5，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查动点函数的图象，考查了分段函数的图象，具有很强的综合性．
要找出准确反映S与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中S随x变化的情况．
【解答】
解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，
当0当2由以上分析可知，这个分段函数的图象开始是正比例函数图象的一部分，最后为水平直线的一部分．
故选C．
7.【答案】m<1且m≠−4
【解析】解：∵一次函数y=(m+4)x+m−1，
∴m+4≠0，
∴m≠−4，
在y=(m+4)x+m−1中，令x=0，解得：y=m−1，
与y轴的交点在x轴的下方，则有m−1<0，
解得：m<1．
故答案为：m<1且m≠−4．
根据一次函数的图象的定义和性质知，一次函数y=(m+4)x+m−1的图象与y轴的交点在x轴的下方．则应有m+4≠0，m−1<0，求解即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数与y轴的交点，转化为解不等式的问题是解决本题的关键．
8.【答案】− −y
【解析】解：根据题意，xy>0，
得x和y同号，
又∵x −yx2中−yx2≥0，
∴y<0，
∴x<0，y<0，
则原式=x⋅ −y x2=x⋅ −y−x=− −y，
故答案为：− −y．
二次根式有意义，y<0，结合已知条件得y<0，化简即可得出最简形式．
本题主要考查了二次根式的化简，掌握开平方的结果为非负数是关键．
9.【答案】a7b8
【解析】解：原式=(7×8)7×8
=78×7×87×8
=(78)7×(87)8
=a7b8．
故答案为：a7b8．
把底数和幂中的56都分解成7×8，然后利用积的乘方和幂的乘方法则即可求解．
本题考查了幂的运算，正确理解幂的运算性质，把所求的式子变形是关键．
10.【答案】=2 23
【解析】解：∵x2−4x+7=(x−2)2+3，(x−2)2≥0，
∴x2−4x+7≥3，
∴x=2时，x2−4x+7的最小值为3，
∴x=2时，分式2x2−4x+7的最大值为23，
故答案为：=2，23．
先运用配方法得出x2−4x+7的最小值，再得出2x2−4x+7的最大值．
本题考查了配方法的应用，以及分式的最值，熟练掌握运算方法是解题的关键．
11.【答案】25
【解析】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm
∴AM= 202+(10+5)2=25(cm)；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∴AM= (20+5)2+102=5 29(cm)；
只要把长方体的上表面剪开与左面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∴AM= (20+10)2+52=5 37(cm)；
∵25<5 29<5 37，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm，
故答案为：25．
画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出AM的长即可．
本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
12.【答案】65
【解析】解：∵四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵12AP.BC=12AB.AC，
∴AP.BC=AB.AC．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC=5．
∵AB=3，AC=4，
∴5AP=3×4
∴AP=125．
∴AM=65
故答案为：65．
根据矩形的性质就可以得出，EF，AP互相平分，且EF=AP，垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
13.【答案】解：(1)由题意可得，AF=AD=10cm，
在Rt△ABF中，∵AB=8，
∴BF=6cm，
∴FC=BC−BF=10−6=4cm．
(2)由题意可得EF=DE，可设DE的长为x，
则在Rt△EFC中，
(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
即EF的长为5cm．
【解析】(1)由于△ADE翻折得到△AEF，所以可得AF=AD，则在Rt△ABF中，第一问可求解；
(2)由于EF=DE，可设EF的长为x，进而在Rt△EFC中，利用勾股定理求解直角三角形即可．
本题主要考查了矩形的性质以及翻折的问题，能够熟练运用矩形的性质求解一些简答的问题．
14.【答案】解：(1)原式= 3−12+ 5− 32+ 7− 52+……+ 2019− 20172
=12( 3−1+ 5− 3+ 7− 5+……+ 2019− 2017)
=12( 2019−1)
= 2019−12；
(2)∵a= m+1− m m+1+ m=( m+1− m)2，b= m+1+ m m+1− m=( m+1+ m)2，
∴a+b=( m+1− m)2+( m+1+ m)2=2(2m+1)，ab=1．
∵2a2+1823ab+2b2=2019，
∴2(a2+b2)+1823=2019，
∴a2+b2=98，
∴(a+b)2−2ab=98，
∴4(2m+1)2−2=98，
∴m=2或−3，
∵m是正整数，
∴m=2；
(3)∵ 15+x2− 26−x2=1，
∴( 15+x2− 26−x2)2=1，
∴15+x2−2 15+x2⋅ 26−x2+26−x2=1，
∴ 15+x2⋅ 26−x2=20，
∴( 15+x2+ 26−x2)2=( 15+x2− 26−x2)2+4 15+x2⋅ 26−x2=12+4×20=81，
∵ 15+x2≥0， 26−x2≥0，
∴ 15+x2+ 26−x2=9．
【解析】(1)根据阅读材料的方法先进行分母有理化，再提取公因数12，继而两两相消，进一步计算即可；
(2)先求出a+b=2(2m+1)，ab=1，再将所求代数式化简为(a+b)2−2ab=98，然后代入计算即可；
(3)利用完全平方公式求出 15+x2⋅ 26−x2=20，那么( 15+x2+ 26−x2)2=( 15+x2− 26−x2)2+4 15+x2⋅ 26−x2=12+4×20=81，进而求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法，完全平方公式以及平方差公式．
15.【答案】解：(1)化为整式方程得：3=x=−2x+4，
解得：x=13，
经检验x=13是分式方程的解，
所以原方程的解是：x=13；
(2)化为整式方程得：x2+2x+1−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验x=1不是分式方程的解，
所以原方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：(1)∵am=−2，an=5，
∴am+n
=am⋅an
=(−2)×5
=−10；
(2)∵x+2y+1=3，
∴x+2y=2，
∴3x⋅9y×3
=3x⋅(32)y×3
=3x⋅32y×3
=3x+2y×3
=32×3
=9×3
=27．
【解析】(1)利用同底数幂乘法的法则将am+n化成am⋅an，代入计算即可得出答案；
(2)由x+2y+1=3，可得x+2y=2，再把3x⋅9y×3变为3x+2y×3，代入计算即可得出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
17.【答案】1120
【解析】解：(1)根据上面三个等式的信息，猜想： 1+142+152=1+14−14+1=1120；
故答案为：1120；
(2)∵ 1+112+122=1+11−11+1=112， 1+122+132=1+12−12+1=116， 1+132+142=1+13−13+1=1112，⋯
∴ 1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1．
(1)由前面的三个等式猜想结果；
(2)根据观察，可得规律．
本题考查了算术平方根的规律探究，观察等式发现规律是解题关键．
18.【答案】解：(1)当x≥1时，函数解析式为y=x−1；
当x<1时，函数解析式为y=−x+1，
故该函数的图象如图1所示
(2)由题意y=|x+3|．
函数图象如图2所示：

【解析】此题主要考查了y=|ax+b|的图象与性质，正确去绝对值画出图象是解题关键．
(1)利用绝对值的性质结合当x≥1时，函数解析式为y=x−1； 当x<1时，函数解析式为y=−x+1，画出图象即可；
(2)列出函数关系式，根据函数关系式画出图象即可解决问题．
19.【答案】(1)证明：∵DE⊥BC．
∴∠DFB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC/​/DE，
∵MN/​/AB，即CE/​/AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD．
(2)解：四边形BECD是菱形．
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE．
∵BD/​/CE，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴平行四边形BECD是菱形．
(3)解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC．
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
【解析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质以及正方形的判定，掌握相关判定和性质是解题的关键．
(1)先证出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2)先证明四边形BECD是平行四边形，再证明CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
(3)证出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
20.【答案】(−132,98)
【解析】解：(1)∵直线l经过点B(−8,0)，
∴将点B(−8,0)代入y=kx+6得：0=−8k+6，
∴k=34；
(2)由(1)得函数解析式为：y=34x+6，
∵A(−6,0)，
∴OA=6，
∵点P(x,y)是第二象限直线上一点，
∴x<0，y>0，
∴S△OPA=12⋅OA⋅y=12×6×(34x+6)=94x+18，
∵x<0，y>0，
∴34x+6>0，
∴x>−8，
∴−8(3)当S=278时，代入S△OPA=94x+18，
可得：278=94x+18，
解得：x=−132，
将x=−132，代入y=34x+6，
解得：y=98，
点P的坐标为P(−132,98)．
(1)直线l经过点B(−8,0)，将其代入函数解析式，即可确定k值；
(2)根据(1)可确定函数解析式，根据图象，△OPA的底为OA=6，高为点P的纵坐标，所以依据三角形面积公式即可确定面积S与x的函数关系式；由于点P在第二象限，所以x<0，y>0，将y=34x+6代入即可确定自变量x的取值范围；
(3)将S=278代入S△OPA=94x+18，求出x，然后将x代入y=34x+6确定y值，即可求出点P的坐标．
本题考查一次函数解析式的确定及一次函数中动点三角形面积、点的坐标的求法，理解题意，作出函数图象，掌握确定函数解析式方法是解题关键．
21.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADP=∠CDP=45°，
在△ADP和△CDP中
AD=DC∠ADP=∠CDPPD=PD，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，
∴PA=PC，
∵∠PAE=∠E，
∴PA=PE，
∴PC=PE；
(2)∵在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠EDF=90°，
由(1)知，△ADP≌△CDP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等)，
∴180°−∠PFC−∠PCF=180°−∠DFE−∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°．
【解析】(1)先证出△ADP≌△CDP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
(2)由△ADP≌△CDP，得∠DAP=∠DCP，进而得∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确寻找全等三角形的条件是解题的关键．
22.【答案】解：(1)m2+m+4=m2+m+14−14+4=(m+12)2+154，
∵(m+12)2≥0，
∴(m+12)2+154≥154，
∴m2+m+4的最小值为154；
(2)24−2x2+8x=−2(x2−4x)+24=−2[(x−2)2−4]+24=−2(x−2)2+32，
∵−2(x−2)2≤0，
∴−2(x−2)2+32≤32，
∴24−2x2+8x的最大值为32；
(3)设花园面积为ym2，
根据题意得：y=x(20−2x)=−2x2+20x=−2(x2−10x)=−2(x−5)2+50，
∵−2<0，
∴当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50m2，
此时AB=5m，BC=10m，符合题意，
答：当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50m2，
【解析】(1)仿照阅读材料即可得到答案；
(2)仿照阅读材料，配成完全平方，即可求出最大值；
(3)根据题意列出二次函数关系式，利用二次函数性质即可解答．
本题考查配方法及二次函数应用，解题的关键是掌握配方法和利用二次函数性质求最大(小)值．
23.【答案】9 F(1,2)
【解析】解：(1)①如图1中，
由题意：矩形PEQF中，EQ=PF=3−32=32，
∴OE=EQ，
∵EP/​/OA，
∴AP=PQ，
∴PE=QF=12OA=3，
∴点P、Q的“涵矩形”的周长=(3+32)×2=9．
②如图2中，
∵点P、Q的“涵矩形”的周长为6，
∴邻边之和为3，
∵矩形的长是宽的两倍，
∴点P、Q的“涵矩形”的长为2，宽为1，
∵P(1,4)，F(1,2)，
∴PF=2，满足条件，
∴F(1,2)是矩形的顶点．
故答案为9，(1,2)．
(2)①如图3中，
∵点P、Q的“涵矩形”是正方形，
∴∠ABO=45°，
∴点A的坐标为(0,6)，
∴点B的坐标为(6,0)，
∴直线AB的函数表达式为y=−x+6，
∵点P的横坐标为3，
∴点P的坐标为(3,3)，
∵正方形PMQN的周长为8，
∴点Q的横坐标为3−2=1或3+2=5，
∴点Q的坐标为(1,5)或(5,1)．
②如图4中，
∵正方形PMQN的对角线为 2，
∴PM=MQ=1，
易知点M在直线y=−x+5上运动，设直线y=−x+5交x轴于F，交y轴于E，作OD⊥EF于D，
∵OE=OF=5，
∴EF=5 2，
∵OD⊥EF，
∴ED=DF，
∴OD=12EF=5 22，
∴OM的最大值为5，最小值为5 22，
∴5 22≤OM≤5．
(1)①根据题意求出PE，EQ即可解决问题．
②求出点P、Q的“涵矩形”的长与宽即可判断．
(2)①求出正方形的边长，分两种情形分别求解即可解决问题．
②点M在直线y=−x+5上运动，设直线y=−x+5交x轴于F，交y轴于E，作OD⊥EF于D.求出OM的最大值，最小值即可判断．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．