+河南省南阳市第九完全学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份+河南省南阳市第九完全学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷+，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 13B. 0.1C. 4D. 3
2.在掷一枚骰子100次的试验中，“偶数朝上”的频数为47，则“偶数朝上”的频率为( )
A. 47B. 0.53C. 0.47D. 53
3.已知x= 3+1，则x2−2x+1的值为( )
A. 0B. 3C. 1D. 2+1
4.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是( )
A. x2−6x+9=0B. x2+2x+1=0C. x2+3=xD. (x−1)2−1=0
5.如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是( )
A. OA⋅CD=AB⋅OD
B. OAOB=ODOC
C. ∠A=∠D
D. ∠B=∠C
6.有4张背面相同，正面分别印有0，−5，π，2.5的卡片，现将这4张卡片背面朝上，从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为( )
A. 34B. 13C. 14D. 12
7.如图是简化后的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB段为助滑道，BC段为着陆坡，着陆坡的坡角为α，A点与B点的高度差为120米，A点与C点的高度差为h米，则着陆坡BC的长度为( )
A. (h−120)sinα米B. (120−h) csα米
C. 120−ℎcsα米D. ℎ−120sinα米
8.已知ab=cd=14(b+d≠0)，则a+2c2b+4d的值为( )
A. 116B. 23C. 14D. 18
9.在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，cs∠ADE=35，AB=3，则AD的长为( )
A. 3B. 165C. 203D. 4
10.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0,5)，(12,0)，把△AOB绕点O旋转，使点A，B分别落到点A1，B1处，且A1B1/​/x轴，点B1在第一象限，则点A的对应点A1的坐标为( )
A. (−6013,2513)B. (−2513,6013)C. (−2513,1613)D. (−1613,6013)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简 12− 6 3= ______ ．
12.生活委员小刚对本班50名学生所穿校服尺码的数据统计如表：
则该班学生所穿校服尺码为“XXL”的人数有______ 个.
13.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=−110(x−4)2+185，由此可知铅球推出的距离______ m.
14.如图，平面直角坐标系xOy中，A(0,2)，B(2,0)，C为AB的中点，P是OB上的一个动点，△ACP周长最小时，点P的横坐标是______ ．
15.如图，在▱ABCD中，∠ABC=60°，BC=6，DC=4，点E、F分别是边AB、AD的中点，连接CE、BF.点G、H分别是BF、CE的中点，连接GH，则线段GH的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：(2 5−3)(3 5+2)+sin30°+cs45°−13tan260°．
17.(本小题9分)
以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．
(1)在图①中，PDPA的值为______；
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP=3；
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
18.(本小题9分)
在一个密闭的口袋里装有四个除颜色外都相同的小球，其中1个红色，1个黄色，2个白色．
(1)小明从口袋中随机摸出1个小球，恰好是黄色的概率为______ ；
(2)小明随机一次从口袋中摸出两个小球，试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求摸到的两个小球的颜色恰为一红一白的概率为______ ；
(3)往口袋里再放入一个完全相同的黄色小球，先摸出一个小球放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸到的小球的颜色恰为一红一白的概率是______ ．
19.(本小题9分)
如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时，望见渔船D在南偏东45°方向，又航行半小时到达C处望见渔船D在南偏东62°方向，若海监船的速度为40海里/小时，求A、B之间的距离．(精确到0.1海里，参考数据：sin62°≈0.88，cs62°≈0.47，tan62°≈1.88)
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
(1)求证：AC⋅CD=CP⋅BP；
(2)若AB=10，BC=12，当PD//AB时，求BP的长．
21.(本小题10分)
新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋．
(1)直接写出：①每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间的函数关系式______；
②每天的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式______．
(2)小王希望每天获利1760元，则销售单价应定为多少元？
(3)若每袋口罩的利润不低于15元，则小王每天能否获得2000元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由．
22.(本小题10分)
如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE/​/BC，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α≤360°)，直线BD、CE相交于点P．
(1)若∠ABC=45°，将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BD与CE的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
(2)若∠ABC=60°，将△ADE绕点A逆时针旋转．
①(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图3所示的情况加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由．
②若AC=3，E是AC的中点，当以A、D、E、P为顶点的四边形是矩形时，请直接写出CP的长．
23.(本小题11分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于点A(−2,0)、B(4,0)，与y轴交于点C，且OC=2OA．
(1)该抛物线的解析式为______；
(2)直线y=kx+l(k>0)与y轴交于点D，与直线BC交于点M，与抛物线上直线BC上方部分交于点P，设m=PMDM，求m的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点D、P为(2)中求出的点，点Q为x轴的一个动点，点N为坐标平面内一点，当以点P、D、Q、N为顶点的四边形为矩形时，直接写出点N的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A选项： 13= 33，故A选项不符合题意；
B选项： 0.1= 1010，故B选项不符合题意；
C选项： 4=2，故C选项不符合题意；
D选项： 3是最简二次根式，故D选项符合题意；
故选：D．
对四个选项的二次根式进行化简，即可确定出答案．
本题考查了二次根式的化简，关键在根号内不能含分母和开得尽方的因数或因式．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得：
47÷100=0.47，
∴“偶数朝上”的频率为0.47，
故选：C．
利用频率=频数÷总次数，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握频率=频数÷总次数是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：x2−2x+1=(x−1)2，
当x= 3+1时，
原式=( 3+1−1)2=3．
故选：B．
先利用完全平方公式把代数式因式分解，再进一步代入求得数值即可．
此题考查二次根式的化简求值，正确利用完全平方公式因式分解，再代入可以使计算简便是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.Δ=(−6)2−4×1×9=0，有两个相等的实数根，不符合题意；
B.Δ=22−4×1×1=0，有两个相等的实数根，不符合题意；
C.x2+3=x整理为x2−x+3=0，
Δ=(−1)2−4×1×3=−11<0，则该方程没有实数根，不符合题意．
D.由(x−1)2−1=0解得x=0或2，则该方程有两个不相等的实数根，符合题意．
故选：D．
先求出Δ=b2−4ac的值，再比较出其与0的大小关系，或解方程即可解答．
本题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式(Δ=b2−4ac)可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．
5.【答案】A
【解析】解：A、不能判定；
B、能判定，利用两边成比例夹角相等；
C、能判定，两角对应相等的两个三角形相似；
D、能判定，两角对应相等的两个三角形相似．
故选：A．
本题中已知∠AOB=∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
6.【答案】D
【解析】解：一共有4张卡片，其中整数有2个，故从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为24=12．
故选：D．
直接由概率公式求解即可．
此题考查的是概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】D
【解析】解：过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，则四边形BFGE矩形，
∴FG=BE，
∵AF=120米，AG=h米，
∴FG=BE=(h−120)米，
在Rt△BEC中，BC=BEsinα=h−120sinα米，
故选：D．
过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，可得四边形BFGE矩形，从而得FG=BE，然后在Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵ab=cd=14，
∴b=4a，d=4c，
∴a+2c2b+4d=a+2c8a+16c=18，
故选：D．
根据比例的性质即可得到结论．
题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE，
∵矩形ABCD的对边AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵cs∠ADE=35，
∴ABAC=35，
∴AC=5，
由勾股定理得，BC= AC2−AB2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，
故选：D．
易证∠ACD=∠ADE，由矩形的性质得出∠BAC=∠ACD，则ABAC=35，得出AC=5，由勾股定理得BC= AC2−AB2=4，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握勾股定理与解直角三角形是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可得：OA1=AO=5，OB1=BO=12，
则A1B1=AB= 52+122=13，
∴DO⋅13=5×12，
故DO=6013，
∴DA1= 52−(6013)2=2513，
∴点A的对应点A1的坐标为(−2513,6013).
故选：B．
根据勾股定理、结合旋转的性质得出A1B1，AB的长，进而利用三角形面积得出DO的长，再利用勾股定理得出答案．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】2− 2
【解析】解：原式= 3( 4− 2) 3=2− 2．
分子提 3，与分母约分，然后再化简．
在进行二次根式的化简运算时，要先化简再计算可使计算更简便．
12.【答案】15
【解析】解：该班学生所穿校服尺码为“XXL”的人数为：50×0.3=15(个)，
故答案为：15．
根据频数、频率、总数之间的关系进行计算即可．
本题考查频数分布表，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．
13.【答案】(4+ 81422)
【解析】解：∵y=−110(x−4)2+185，
∴令y=0，则−110(x−4)2+185=0，
解得x=4+ 81422或x=4− 81422(舍去)，
铅球推出的距离为(4+ 81422)m，
故答案为：(4+ 81422).
根据铅球落地时，高度y=0，实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．
14.【答案】23
【解析】解：作A点关于x轴的对称点A′，连接A′C交x轴于点P，
∵AP=A′P，
∴△ACP周长=AP+PC+AC=A′P+PC+AC≥AC+A′C，
∴当A′、P、C三点共线时，△ACP的周长最小，
∵A(0,2)，
∴A′(0,−2)，
∵B(2,0)，C为AB的中点，
∴C(1,1)，
设直线A′C的解析式为y=kx+b，
∴k+b=1b=−2，
∴k=3b=−2，
∴y=3x−2，
令y=0，则x=23，
∴P(23,0)，
∴P点的横坐标为23，
故答案为23．
作A点关于x轴的对称点A′，连接A′C交x轴于点P，当A′、P、C三点共线时，△ACP的周长最小，求出直线A′C的解析式为y=3x−2，即可求P点坐标．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
15.【答案】 72
【解析】解：如图，将平行四边形ABCD放在坐标系里，B点与原点重合，BC与x轴重合，
∵BC=6，DC=4，
∴B(0,0)，C(6,0)，
∵∠ABC=60°，AB=4，
∴A的横坐标为2，纵坐标为2 3，
∴A(2,2 3)，D(8,2 3)，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，
∴E(1, 3)，F(5,2 3)，
∵点G、H分别是BF、CE的中点，
∴H(72, 32)，G(52, 3)，
∴HG= (72−52)2+( 3− 32)2= 72．
故答案为： 72．
将平行四边形ABCD放在坐标系里，B点与原点重合，BC与x轴重合，将平行四边形的顶点用坐标表示，B(0,0)，C(6,0)，又因为∠ABC=60°，AB=4，可知A(2,2 3)，D(8,2 3)，根据中点坐标横坐标等于线段两端点坐标横坐标和的一半，纵坐标等于线段两端点坐标纵坐标和的一半，可求得E(1, 3)，F(5,2 3)，从而可知H(72, 32)，G(52, 3)，利用两点之间距离公式可知HG= (72−52)2−( 3− 32)2= 72．
本题主要考查了平行四边形性质，建立直角坐标系，利用中点的性质求值，建立直角坐标系，熟练正确求点坐标是解决问题的关键．
16.【答案】解：原式=30+4 5−9 5−6+12+ 22−13×( 3)2
=30+4 5−9 5−6+12+ 22−13×3
=472−5 5+ 22．
【解析】利用乘法公式、特殊角的三角函数值进行计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17.【答案】1：3
【解析】解：(1)如图①中，
∵AB/​/CD，
∴△PCD∽△PBA．
∴PDPA=CDAB=13，
故答案为：1：3；
(2)
①取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点．
由勾股定理知：AB= 32+42=5．
∵AP=3，
∴BP=2．
∵BE/​/FA，
∴△EPB∽△FPA．
∵AP：BP=AF：BE=3：2．
∴取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点；
②如图③所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB/​/CD，
∴△APB∽△CPD．
(1)如图①中，利用平行线的性质求解即可．
(2)①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
本题属于相似综合题，主要考查作图−应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】14 13 425
【解析】解：(1)小明从口袋中随机摸出1个小球，恰好是黄色的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两次摸到小球的颜色恰为一红一白的结果有4个，
∴两次摸到小球的颜色恰为一红一白的概率为412=13，
故答案为：13；
(3)列表如下：
由表可知，共有25个等可能的结果，两次摸到小球的颜色恰为一红一白的结果有4个，
∴两次摸到小球的颜色恰为一红一白的概率为425，
故答案为：425．
(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)根据题意列表得出所有等可能结果，并从中找到摸到的两个小球的颜色恰为一红一白的结果数，再根据概率公式求解即可；
(3)根据题意列表得出所有等可能结果，并从中找到摸到的两个小球的颜色恰为一红一白的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠ADE=∠BDE=45°，
∴AE=BE=DE，
设BE=x海里，则DE=x海里，
∵BC=12×40=20，
∴CE=x+20，
在Rt△CDE中，∠CDE=62°，
CEDE=tan∠CDE，
∴x+20x=tan62°，
∴x=20tan62∘−1≈201.88−1≈22.73，
∴AB=2x=2×22.73≈45.5，
答：A、B之间的距离为45.5海里．
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x海里，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB=20海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度．
本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．
20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，
∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
∴BPCD=ABCP，
∴AB⋅CD=CP⋅BP．
∵AB=AC，
∴AC⋅CD=CP⋅BP；
(2)解：∵PD//AB，
∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，
∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴BABC=BPBA．
∵AB=10，BC=12，
∴1012=BP10，
∴BP=253．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，属于中档题．
(1)易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，得出比例式BPCD=ABCP，再由AB=AC即可得证；
(2)由PD//AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
21.【答案】y=−10x+500 w=−10x2+700x−10000
【解析】解：(1)①∵销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，
∴y=250−10(x−25)
=−10x+500；
故答案为：y=−10x+500；
②根据题意得：
w=(x−20)(−10x+500)
=−10x2+700x−10000；
故答案为：y=−10x2+700x−10000．
(2)∵y=−10x+500≥120，
∴x≤38，
小王希望每天获利1760元，则−10x2+700x−10000=1760，、
解得：x1=28，x2=42(舍去)，
∴要想获利1760元，销售单价应定为28元；
(3)不能．
∵x−20≥15，
∴x≥35，
由(2)知x≤38，
∴35≤x≤38．
当w=−10(x−35)2+2250=2000时，
解得x=30或40，这与35≤x≤38矛盾，
∴在每袋口罩销售利润不低于15元的情况下，不能获得2000元的总利润．
(1)①根据销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，即可列出函数关系式；②根据每天的销售利润w(元)等于每袋的利润乘以每天的销售量即可 列出每天的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式．
(2)根据平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋，可得关于x的一元一次不等式，从而可解得x的取值范围；根据小王希望每天获利1760元，可得关于x的一元二次方程，解方程并作出取舍即可．
(3)根据每袋口罩的利润不低于15元及(2)的结论，可得x的取值范围；根据利润为2000元，得出关于x的一元二次方程，解方程并与x的取值范围相比较，即可作出判断．
本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
22.【答案】BD=CE BD⊥CE
【解析】解：(1)结论：BD=CE，BD⊥CE．
理由：如图2中，设AC交PB于J．
当∠ABC=45°时，△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∠AJB=∠CJP，
∴∠CPJ=∠BAJ=90°，
∴BD⊥CE．
故答案为：BD=CE，BD⊥CE．
(2)结论不成立．结论：CE= 3BD,BD⊥CE．
理由：如图3中，设AC交BP于H，
∵DE/​/BC，
∴∠ABC=∠ADE=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，AC= 3AB，
∴AE= 3AD，
∴AE：AD=AC：AB，
∴△BAD∽△CAE，
∴CE：BD=AE：AD= 3,∠ABD=∠ACE，
∴CE= 3BD，
∵∠ABD+∠AHB=90°，∠AHB=∠CHP，
∴∠ACE+∠PHC=90°，
∴∠CPH=90°，
∴BD⊥CE．
(3)如图3−1中，当点P在线段CE上，四边形AEPD是矩形时，
在Rt△ACB中，∠CAB=90°，AC=3，∠ABC=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AB=AC⋅tan30°= 3，
∴AD=12AB= 32，
∴BD= AB2−AD2=32，
∴EC= 3DB=3 32
∵PE=AD= 32，
∴PC=EC−PE=3 32− 32= 3．
如图3−2中，当点P在线段CE的延长线上时，四边形ADPE是矩形，此时P与B重合，BC=2AB=2 3
∴PC=BC=2 3
综上所述，满足条件的PC的值为：2 3或 3．
(1)结论：BD=CE，BD⊥CE.证明△ABD≌△ACE(SAS)，可得结论；
(2)结论不成立．结论：CE= 3BD,BD⊥CE.证明△BAD∽△CAE，可得结论；
(3)分两种情形：如图3−1中，当点P在线段CE上，四边形AEPD是矩形时，如图3−2中，当点P在线段CE的延长线上时，四边形ADPE是矩形，此时P与B重合，分别求出PC，可得结论．
本题考查属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】y=−12x2+x+4
【解析】解：(1)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,0)、B(4,0)两点，
所以可以假设y=a(x+2)(x−4)，
∵OC=2OA，OA=2，
∴C(0,4)，代入抛物线的解析式得到a=−12，
∴y=−12(x+2)(x−4)=−12x2+x+4，
故答案为：y=−12x2+x+4；
(2)如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∵CD/​/PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m=PMDM=PFDC，
∵直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D，则D(0,1)，
∵BC的解析式为y=−x+4，
设P(n,−12n2+n+4)，则F(n,−n+4)，
∴PF=−12n2+n+4−(−n+4)=−12(n−2)2+2，
∴m=PFCD=−16(n−2)2+23，
∵−16<0，
∴当n=2时，m有最大值，最大值为23，此时P(2,4)；
(3)存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2−1中，四边形DQNP是矩形时，
有(2)可知P(2,4)，代入y=kx+1中，得到k=32，
∴直线DP的解析式为y=32x+1，可得D(0,1)，E(−23,0)，
由△DOE∽△QOD可得ODOQ=OEOD，
∴OD2=OE⋅OQ，
∴1=23⋅OQ，
∴OQ=32，
∴Q(32,0)．
根据矩形的性质，将点P向右平移32个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N(2+32,4−1)，即N(72,3)
b、如图2−2中，四边形PDNQ是矩形时，
∵直线PD的解析式为y=32x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y=−23x+163，
∴Q(8,0)，
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N(0+6,1−4)，即N(6,−3)．
②当DP是对角线时，设Q(x,0)，则QD2=x2+1，QP2=(x−2)2+42，PD2=13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2=PD2，
∴x2+1+(x−2)2+16=13，
整理得x2−2x+4=0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为(72,3)或(6,−3)．
(1)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,0)、B(4,0)两点，所以可以假设y=a(x+2)(x−4)，求出点C坐标代入求出a即可；
(2)由△CMD∽△FMP，可得m=PMDM=PFDC，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
(3)存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形讨论：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时，利用相似三角形的性质和勾股定理可求解．
本题是二次函数综合题，考查了一次函数的应用，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．尺码
S
M
L
XL
XXL
XXXL
频率
0.05
0.1
0.2
0.325
0.3
0.025
红
黄
白
白
红
(黄，红)
(白，红)
(白，红)
黄
(红，黄)
(白，黄)
(白，黄)
白
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白
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红
黄
黄
白
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红
(红，红)
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黄
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黄
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白
(红，白)
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(白，白)