高中考试数学解答题——极值点偏移终极套路（含答案）

这是一份高中考试数学解答题——极值点偏移终极套路（含答案），共22页。
下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.
★已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．
★已知函数，若方程有两个不相等的实数根，求证：.
【招式演练】
★已知函数有两个不同的零点．
求的最值；
证明： ．
★已知函数， 为自然对数的底数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明： （为函数的导函数）
★已知函数的图象的一条切线为轴.（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证： .
★已知函数且函数图象上点处的切线斜率为.
（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；
（2）对于函数图象上的不同两点如果在函数图象上存在点使得点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
★已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.[来源:Z*xx*k.Cm]
（1）求的取值范围.
（2）设的两个极值点为，证明.
★已知函数，A，B是曲线上两个不同的点.
（Ⅰ）求的单调区间，并写出实数的取值范围；
（Ⅱ）证明：.
[来源:学+科+网]
【新题试炼】
【2018河北衡水金卷】已知函数.
（1）若函数，试研究函数的极值情况；
（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.
在高考创新试题层出不穷的大环境下，学生首先要掌握基本的知识方法和解题策略，对新题、难题的突破，更需在掌握双基的前提下，淡化特殊技巧、重视思想方法、去模式化的解题策略，以不变应万变，培养学生分析问题、解决问题的能力.只有学生学会自我分析，利用熟知的知识方法去解决各类未知的创新试题，教师才算成功培养学生解题思维，同时对学生认知的广阔性、逆向性也是一种需要.
值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.
下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.
★已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．
解法一：齐次构造通解偏移套路
于是．
又，设，则．因此，，．
要证，即证：，．即：当时，有．设函数，，则，
所以，为上的增函数．注意到，，因此，．学&科网
于是，当时，有．所以，有成立，．学&科网
解法二 变换函数能妙解
证法2：欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实根．显然，否则，函数为单调函数，不符合题意．
由，
解法三 构造函数现实力
证法3：由，是方程的两个不同实根得，令，，由于，因此，在，．[来源:Z*xx*k.Cm]
设，需证明，只需证明，只需证明，即，即．来源： 微信公众号 中学数学研讨部落
即，，故在，故，即．令，则，因为，，在，所以，即．学&科网
解法四 巧引变量（一）
证法4：设，，则由得，设，则，．欲证，
解法五 巧引变量（二）
证法5：设，，则由得，设，则，．
欲证，需证，
即只需证明，
即，
设，，
故在，因此，命题得证．学&科网
★已知函数，若方程有两个不相等的实数根，求证：.
欲证：，结合的单调性，
即证：
等价于证明：[来源:学|科|网Z|X|X|K]
令，构造函数，
求导由单调性易得原不等式成立，略.
法二：接后续解:
由得：
构造函数，
求导由单调性易得在恒成立，
又因为，故成立.
法三：接④后续解：
视为主元，设
则在上单调递增，故，
再结合，故成立.
法四：构造函数，学&科网
则，
从而在上单调递增，故，即
对恒成立，
从而，则，
由，且在单调递增，
故，
即，从而成立. 学&科网
【招式演练】
★已知函数有两个不同的零点．
求的最值；
证明： ．
【答案】（1），无最小值 （2）见解析

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.
★已知函数， 为自然对数的底数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明： （为函数的导函数）
【答案】（1）见解析（2）见解析
（2）∵，
∴，
当时， 在上单调递增，与直线不可能有两个交点，故．
令，则；令，则，故在上单调递增，在上单调递减．不妨设，且，
要证，需证，
即证，
又，所以只需证，即证：当时，
．学&科网
设，
则，
∴在上单调递减，又，
故，原不等式成立．学科*网
★已知函数的图象的一条切线为轴.（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证： .
【答案】（1）（2）见解析

当时， ，
记，
记函数的导函数为，则
，
故在上单调递增，
所以，所以，
不妨设，则，
而， ，有单调性知，即.
★已知函数且函数图象上点处的切线斜率为.
（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；
（2）对于函数图象上的不同两点如果在函数图象上存在点使得点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析（2）不存在
令，
构造函数，
则，
则时，恒成立，
故在上单调递增从而得出不存在
试题解析：
函数的定义域为，且，
又，整理得.
（1）.
1）当时，易知， 时，
故在上单调递增，在上单调递减.
2）当地，令，解得或，则
①当，即时，
在上恒成立，则在上递增.
当时，在及上单调递增：在上单调递减.
当时， 在上递增.
当时， 在及上单调递增； 在上递减.
点睛：对于导数问题，做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此题第二问的类型，要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论.
★已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求的取值范围.
（2）设的两个极值点为，证明.
【答案】（1）（2）见解析
试题解析：（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即方程在有两个不同根.学&科网
转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点
又，即时， ， 时，，
所以在上单调增，在上单调减，从而.
又有且只有一个零点是1，且在时，，在时， ，所以由的图象，
要想函数与函数的图象在上有两个不同交点，
只需，即
（2）由（1）可知分别是方程的两个根，即， ，
设，作差得， ，即.
原不等式等价于
令，则，，
设， ，，
∴函数在上单调递增，
∴，学科/网
即不等式成立，故所证不等式成立.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
★已知函数，A，B是曲线上两个不同的点.
（Ⅰ）求的单调区间，并写出实数的取值范围；
（Ⅱ）证明：.
【答案】（Ⅰ）的取值范围是；（Ⅱ）见解析.

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
【新题试炼】
【2018河北衡水金卷】已知函数.
（1）若函数，试研究函数的极值情况；
（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
②当时，，恒成立，所以不存在极值；
③当时，，或；
,
所以在处取极大值，
在处取极小值.
综上，当时，在处取极大值，在处取极小值；当时，不存在极值；时，在处取极大值，在处取极小值.
（2），定义域为，
，而，
故，即在区间内单调递增
又，，
且在区间内的图象连续不断，
故根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.
所以存在，使得，
由得单调递减；
若在区间内有两个不等实根（）
则.
要证，即证
又，而在区间内单调递减，
故可证，
又由，
即证，
即
记，其中
记，则，
当时，；
在高考创新试题层出不穷的大环境下，学生首先要掌握基本的知识方法和解题策略，对新题、难题的突破，更需在掌握双基的前提下，淡化特殊技巧、重视思想方法、去模式化的解题策略，以不变应万变，培养学生分析问题、解决问题的能力.只有学生学会自我分析，利用熟知的知识方法去解决各类未知的创新试题，教师才算成功培养学生解题思维，同时对学生认知的广阔性、逆向性也是一种需要.