2023年湖北省重点高中八校联考自主招生优录数学试卷（二）（含解析）

这是一份2023年湖北省重点高中八校联考自主招生优录数学试卷（二）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A. a<1B. a≤1C. a≤1且a≠0D. a<1且a≠0
2.已知直线y=kx+2过一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2−2x+3的交点个数为( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，按下列步骤作图：
步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．
步骤2：分别以点D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点M．
步骤3：作射线AM交BC于点F．
则AF的长为( )
A. 6B. 3 5C. 4 3D. 6 2
4.已知抛物线y=a(x−h)2+k与x轴有两个交点A(−1,0)，B(3,0)，抛物线y=a(x−h−m)2+k与x轴的一个交点是(4,0)，则m的值是( )
A. 5B. −1C. 5或1D. −5或−1
5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
6.如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND.甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25.若ND=58DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)( )
A. 9.0mB. 12.8mC. 13.1mD. 22.7m
7.若关于x的一元一次不等式组3x−2≥2(x+2)a−2x<−5的解集为x≥6，且关于y的分式方程y+2ay−1+3y−81−y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是( )
A. 5B. 8C. 12D. 15
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF.若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为( )
A. 125
B. 32
C. 2
D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是______ ．
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=12，BD=16，分别以点A，B，C，D为圆心，12AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______ .(结果保留π)
11.如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O.若AE=BE，BC′=2，则AD的长为______ ．
12.“盲盒”为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种“盲盒”各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元(每种“盲盒”的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和)，则C盒的成本为______ 元.
13.如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF=4，CF=6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合.若DE/​/BC，AF=EF，则四边形ADFE的面积为______ ．
14.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE=BF，连接CE、DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2.则线段AG的最小值为______ ．
15.如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F.若BF=6，则BE的长是 ．
16.已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D.若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M=A×B的过程，称为“合分解”．
例如∵609=21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234=18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
(1)判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
(2)把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M=A×B.A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P(M)；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q(M).令G(M)=P(M)Q(M)，当G(M)能被4整除时，求出所有满足条件的M．
18.(本小题12分)
已知抛物线y=−2x2+bx+c经过点(0,−2)，当x<−4时，y随x的增大而增大，当x>−4时，y随x的增大而减小.设r是抛物线y=−2x2+bx+c与x轴的交点(交点也称公共点)的横坐标，m=r9+r7−2r5+r3+r−1r9+60r5−1．
(1)求b、c的值；
(2)求证：r4−2r2+1=60r2；
(3)以下结论：m<1，m=1，m>1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
19.(本小题10分)
如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB=120m，楼高CD=99m，某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外.在点A处测得点E的俯角∠EAM=45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠FAM=60°，已知每层楼的高度为3m，EF=40m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？( 3≈1.73)
20.(本小题12分)
如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF=∠CAE，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BF=10，EF=20，求⊙O的半径和AD的长．
21.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6 3cm，AC=12cm.点P是CA边上的一动点，点P从点C出发以每秒2cm的速度沿CA方向匀速运动，以CP为边作等边△CPQ(点B、点Q在AC同侧)，设点P运动的时间为x秒，△ABC与△CPQ重叠部分的面积为S．
(1)当点Q落在△ABC内部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S(用含x的代数式表示，不要求写x的取值范围)；
(2)当点Q落在AB上时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S的值；
(3)当点Q落在△ABC外部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S(用含x的代数式表示)．
22.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A(0,−1)，B(4,1).直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE/​/x轴，交AB于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
(3)把抛物线y=x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22−4×a×1=4−4a>0，
解得：a<1，且a≠0．
故选：D．
由一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ>0，a≠0，继而可求得a的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ>0．
2.【答案】C
【解析】解：∵直线y=kx+2过一、二、三象限．
∴k>0．
联立直线y=kx+2与抛物线y=x2−2x+3组成方程组得：
y=kx+2y=x2−2x+3．
∴x2−2x+3=kx+2．
∴x2−(2+k)x+1=0．
∴Δ=(−2−k)2−4=k2+4k
∵k>0．
∴Δ>0．
∴直线y=kx+2与抛物线y=x2−2x+3的交点个数为2个．
故选：C．
先判断k的正负性，再建立方程组，利用判别式即可判断交点个数．
本题考查一次函数的性质，以及二次函数与一次函数的交点特征．关键在于建立方程组，利用一元二次方程的判别式的正负性进行判断．
3.【答案】B
【解析】解：由作法得AF平分∠BAC，
过F点作FH⊥AB于H，如图，
∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，
∴FH=FC，
在△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=8，
∴AC= AB2−BC2=6，
设CF=x，则FH=x，
∵S△ABF+S△ACF=S△ABC，
∴12×10⋅x+12×6⋅x=12×6×8，解得x=3，
在Rt△ACF中，AF= AC2+CF2= 62+32=3 5．
故选：B．
利用基本作图得到AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到FH=FC，再根据勾股定理计算出AC=6，设CF=x，则FH=x，然后利用面积法得到12×10⋅x+12×6⋅x=12×6×8，解得x=3，最后利用勾股定理计算AF的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一个角等于已知角).也考查了角平分线的性质．
4.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=a(x−h)2+k的对称轴为直线x=h，抛物线y=a(x−h−m)2+k的对称轴为直线x=h+m，
∴当点A(−1,0)平移后的对应点为(4,0)，则m=4−(−1)=5；
当点B(3,0)平移后的对应点为(4,0)，则m=4−3=1，
即m的值为5或1．
故选：C．
先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A点或B点向右平移得到点(4,0)得到m的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO=∠NCO=45°，OD=OC，∠DOC=90°，
∴∠DON+∠CON=90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠DON+∠DOM=90°，
∴∠DOM=∠CON，
在△DOM和△CON中，
∠DOM=∠CONOD=OC∠MDO=∠NCO，
∴△DOM≌△CON(ASA)，
∵S四边形MOND=S△DOM+S△DON，S△DOC=S△DON+S△CON，
∴S△DOC=S四边形MOND=1
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2=4，
∴AB=2，AB=−2(舍去)
故选：C．
根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，利用数形结合的思想解答．
6.【答案】C
【解析】解：在Rt△MCB中，∠MCB=60°，CB=30m，tan∠MCB=MBCB，
∴MB=CB⋅tan∠MCB=30× 3≈51.9m，
∵山坡DF的坡度i=1：1.25，EF=50m，
∴DE=40m，
∵ND=58DE，
∴ND=25m，
∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差=40+25−51.9=13.1m，
故选：C．
根据正切的定义求出MB，根据坡度的概念求出DE，进而求出ND，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：3x−2≥2(x+2)①a−2x<−5②，
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x>a+52，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴a+52<6，
∴a<7；
分式方程两边都乘(y−1)得：y+2a−3y+8=2(y−1)，
解得：y=a+52，
∵方程的解是正整数，
∴a+52>0，
∴a>−5；
∵y−1≠0，
∴a+52≠1，
∴a≠−3，
∴−5∴能使a+52是正整数的a是：−1，1，3，5，
∴和为8，
故选：B．
解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，注意解分式方程一定要检验．
8.【答案】D
【解析】解：设A(a,0)，
∵矩形ABCD，
∴D(a,ka)，
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为 k2a，
∴E(2a,k2a)，
∵E为AC的中点，
∴点C(3a,ka)，
∴点F(3a,k3a)，
∵△AEF的面积为1，AE=EC，
∴S△ACF=2，
∴12×(ka−k3a)×2a=2，
解得：k=3．
故选：D．
首先设A(a,0)，表示出D(a,ka)，再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF=1，转化为S△ACF=2，列出等式即可求得．
本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
9.【答案】49
【解析】解：列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有4种结果，
所以前后两次摸出的球都是白球的概率为49．
故答案为49．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查用列举法求概率．
10.【答案】96−25π
【解析】解：在菱形ABCD中，有：AC=12，BD=16．
∴AB= (12BD)2+(12AC)2=10．
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°．
∴四个扇形的面积，是一个以12AB的长为半径的圆．
∴图中阴影部分的面积=12×12×16−π×52=96−25π．
故答案为：96−25π．
先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．
本题考查菱形的性质、扇形面积计算．关键在于图中四个扇形的面积实际上是一个圆的面积．
11.【答案】3
【解析】解：由题意可得，
△DCA≌△DC′A，OC=OC′，∠COD=∠C′OD=90°，
∴点O为CC′的中点，
∵点D为BC的中点，
∴OD是△BCC′的中位线，
∴OD=12BC′，OD/​/BC′，
∴∠COD=∠EC′B=90°，
∵AE=BE，BC′=2，
∴OD=1，
在△EC′B和△EOA中，
∠EC′B=∠EOA∠C′EB=∠OEABE=AE，
∴△EC′B≌△EOA(AAS)，
∴BC′=AO，
∴AO=2，
∴AD=AO+OD=2+1=3，
故答案为：3．
根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到OD的长，然后全等三角形的判定和性质可以得到AO的长，从而可以求得AD的长．
本题考查翻折变换、三角形的中位线、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出DO和AO的长，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】155
【解析】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱，C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．
∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量=22−2−3−1−1−3−2=10(个)．
∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，
∴B盒中多接口优盘数量=12×10=5(个)，蓝牙耳机的数量=5×33+2(个)，迷你音响数量=10−5−3=2(个)，
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为x，y，z元，
由题知2x+3y+z=145①3x+5y+2z=245②，
②×3−①×4得：x+3y+2z=155，
∴C盒的成本为155元．
故答案为：155．
根据蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱，C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱可知B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱总数量，再根据B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，可求B盒中多接口优盘数量．再根据B盒中蓝牙耳机和迷你音响数量比为3：2，可求出B盒中蓝牙耳机和迷你音响的数量．然后设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为x，y，z元，根据A盒成本145元，B盒成本245元，列方程，进而可求C盒成本．
本题考查三元一次方程组的应用，解题关键是根据题目信息求出B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量，并根据题意列方程组．
13.【答案】5 3
【解析】解：∵纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，
∴DE垂直平分AF．
∴AD=DF，AE=EF．
∵DE/​/BC，
∴DE为△ABC的中位线．
∴DE=12BC=12(BF+CF)=12(4+6)=5．
∵AF=EF，
∴△AEF为等边三角形．
∴∠FAC=60°．
在Rt△AFC中，
∵FCAF= 3，
∴AF=2 3．
∴四边形ADFE的面积为：12DE×AF=12×5×2 3=5 3．
故答案为：5 3．
由沿直线DE翻折，点A与点F重合可知：DE垂直平分AF，因为DE/​/BC，所以DE为△ABC的中位线，DE=12BC=5；由折叠可得AE=EF，因为AF=EF，可得△AEF为等边三角形，∠FAC=60°；在Rt△AFC中，解直角三角形可得AF的长，四边形ADFE的面积为12DE×AF，结论可得．
本题主要考查了折叠问题，三角形的中位线，平行线的性质，三角形的面积，解直角三角形．利用中点的性质得到对应的部分相等是解题的关键．
14.【答案】 2
【解析】解：如图1，取CD的中点H，连接GH，
在正方形ABCD中，AB=BC=2，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF，
∴BE=CF，
在△DCF和△CBE中，
CD=CB∠DCF=∠BCF=BE，
∴△DCF≌△CBE(SAS)，
∴∠CDF=∠BCE，
∵∠DCE+∠BCE=90°，
∴∠CDF+∠DCE=90°，
∴∠CGD=90°，
∴点G在以DC为直径的圆上，
如图2，连接AC，BD交于点O，取DC的中点H，
由勾股定理得：AC= 22+22=2 2，
∵E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，
∴点G在以H为圆心，CH为半径的14圆上运动，当点G与O重合时，AG最小，
此时AG=AO=12AC= 2，
即AG的最小值= 2．
故答案为： 2；
根据正方形的性质可得AB=BC=2，∠B=∠DCF=90°，然后利用“边角边”证明△DCF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等和同角的余角相等可得∠DGC=90°，从而确定AG最小时G的位置，根据勾股定理可得结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，确定出AG最小时点G的位置是解题关键，也是本题的难点．
15.【答案】9
【解析】解：如图，
在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE/​/AB，且DE=12AB，
∴DEAB=EFBF=12，
∵BF=6，
∴EF=3．
∴BE=BF+EF=9．
故答案为：9．
由题意可知，DE是△ABC的中线，则DE/​/AB，且DE=12AB，可得DEAB=EFBF=12，代入BF的长，可求出EF的长，进而求出BE的长．
本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题基础．
16.【答案】3 22或3或6 2−6或6−3 2
【解析】解：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，如图：
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD=∠ADH=45°，AD=CD=12AC，
∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，
∴AH=DH=BH，
∴DH=12BC，
若AC=6，则BC=AC⋅cs45°=3 2，此时DH=3 22，即点D到直线AB的距离为3 22；
若AB=BC=6，则DH=12BC=3，即点D到直线AB的距离为3；
②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，如图：
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，
∴△CDH是等腰直角三角形，AD=DH=CH，
在△ABD和△HBD中，
∠ABD=∠HBD∠A=∠DHBBD=BD，
∴△ABD≌△HBD(AAS)，
∴AB=BH，
若AB=AC=6时，BH=6，BC= AB2+AC2=6 2，
∴CH=BC−BH=6 2−6，
∴AD=6 2−6，即此时点D到直线AB的距离为6 2−.6
若BC=6，则AB=BC⋅cs45°=3 2，
∴BH=3 2，
∴CH=6−3 2，
∴AD=6−3 2，即此时点D到直线AB的距离为6−3 2；
综上所述，点D到直线AB的距离为3 22或3或6 2−6或6−3 2．
故答案为：3 22或3或6 2−6或6−3 2．
分两种情况：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，由△AHD和△BHD是等腰直角三角形可得AH=DH=BH，故DH=12BC，若AC=6，则DH=3 22，即点D到直线AB的距离为3 22；若AB=BC=6，则点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，由△CDH是等腰直角三角，得AD=DH=CH，证明△ABD≌△HBD(AAS)，有AB=BH，若AB=AC=6时，则此时点D到直线AB的距离为6 2−6；若BC=6，则此时点D到直线AB的距离为6−3 2．
本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形．
17.【答案】解：(1)∵168=12×14，2+4≠10，
∴168不是“合和数”．
∵621=23×27，十位数字相同，且个位数字3+7=10，
∴621是“合和数”．
(2)设A的十位数字为m，个位数字为n，(m,n为自然数，且3≤m≤9，1≤n≤9)，
则A=10m+n，B=10m+10−n，
∴P(M)=m+n+m+10−n=2m+10，Q(M)=|(m+n)−(m+10−n)|=|2n−10|．
∴G(M)=P(M)Q(M)=2m+10|2n−10|=m+5|n−5|=4k(k是整数)．
∵3≤m≤9，
∴8≤m+5≤14，
∵k是整数，
∴m+5=8或m+5=12，
①当m+5=8时，
m+5=8|n−5|=1或m+5=8|n−5|=2，
当m=3时，n=6或4，当m=3时，n=7或3，
∴M=36×34=1224或M=37×33=1221，
②当m+5=12时，
m+5=12|n−5|=1或 m+5=12|n−5|=3，
当m=7时，n=6或4，当m=7时，n=8或2，
∴M=76×74=5624或M=78×72=5616．
综上，满足条件的M有：1224，1221，5624，5616．
【解析】(1)根据“合和数”的定义直接判定即可；
(2)设A的十位数字为m，个位数字为n，则A=10m+n，B=10m+10−n，得出P(M)=m+n+m+10−n=2m+10，Q(M)=|(m+n)−(m+10−n)|=|2n−10|，当G(M)能被4整除时，设值为4k，对m+5=8或12进行讨论．
本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及数的分解，正确地读懂题目信息是前提，解题的关键是用字母m，n表示出P(M)，Q(M)．
18.【答案】解：(1)∵y=−2x2+bx+c经过点(0,−2)，当x<−4时，y随x的增大而增大，当x>−4时，y随x的增大而减小，即对称轴为直线x=−4，
∴c=−2−b−4=−4，解得b=−16c=−2；
(2)证明：由题意，抛物线的解析式为y=−2x2−16x−2，
∵r是抛物线y=−2x2−16x−2与x轴的交点的横坐标，
∴2r2+16r+2=0，
∴r2+8r+1=0，
∴r2+1=−8r
∴(r2+1)2=(−8r)2，
∴r4+2r2+1=64r2，
∴r4−2r2+1=60r2．
(3)m>1正确，理由如下：
由(2)知：r4−2r2+1=60r2；
∴r4−62r2+1=0，
∴r7−62r5+r3=0，
而m−1=r9+r7−2r5+r3+r−1r9+60r5−1−1
=r9+r7−2r5+r3+r−1−(r9+60r5−1)r9+60r5−1
=r7−62r5+r3+rr9+60r5−1
=rr9+60r5−1，
由(2)知：r2+8r+1=0，
∴8r=−r2−1，
∵−r2−1<0，
∴8r<0，即r<0，
∴r9+60r5−1<0，
∴rr9+60r5−1>0，
即m−1>0，
∴m>1．
【解析】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图象上的点的坐标、对称轴、增减性、与x轴交点坐标等知识，解题的关键是用比差法时，判断r和r9+60r5−1的符号．
(1)当x<−4时，y随x的增大而增大，当x>−4时，y随x的增大而减小，可得对称轴为直线x=−4，且抛物线y=−2x2+bx+c经过点(0,−2)，列出方程组即可得答案；
(2)由r是抛物线y=−2x2−16x−2与x轴的交点的横坐标，可得r2+8r+1=0，r2+1=−8r，两边平方得(r2+1)2=(−8r)2，r4+2r2+1=64r2，即可得结果r4−2r2+1=60r2；
(3)m>1正确，可用比差法证明，由(2)可得r4−62r2+1=0，即r7−62r5+r3=0，而m−1=r9+r7−2r5+r3+r−1r9+60r5−1−1=rr9+60r5−1，再由r2+8r+1=0，判断r<0，r9+60r5−1<0，
故rr9+60r5−1>0，从而m>1．
19.【答案】解：根据题意可知：
四边形ABDM是矩形，
∴AB=MD=120m，
在Rt△AME中，ME=AMtan45°=AM，
在Rt△AMF中，MF=AMtan60°= 3AM，
∵EF=MF−ME=40m，
∴ 3AM−AM=40，
∴AM≈54.6(m)，
∴MF≈54.6×1.73≈94.46(m)，
∴DF=120−94.46=25.54(m)，
25.54÷3≈8.5，
∴至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
【解析】利用锐角三角函数关系表示出ME、MF，根据EF=MF−ME=40m可得AM=54.6m，求出DF，根据每层楼的高度为3m即可得出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
即∠AEO+∠OEB=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠BEF=∠CAE，
∴∠BEF=∠BAE，
∵OA=OE，
∴∠BAE=∠AEO，
∴∠BEF=∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB=90°，
∴∠OEF=90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：如图，设⊙O的半径为x，则OE=OB=x，
∴OF=x+10，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2=OF2，
∴x2+202=(x+10)2，
解得：x=15，
∴⊙O的半径为15；
∵∠BEF=∠BAE，∠F=∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴BEAE=BFEF=1020=12，
设BE=a，则AE=2a，
由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
即a2+(2a)2=302，
解得：a=6 5，
∴AD=2a=12 5，
∵∠CAE=∠BAE，
∴CE=BE，
∴OE⊥BC，
∵OE⊥EF，
∴BC/​/EF，
∴ABAF=ADAE，即3040=AD12 5，
∴AD=9 5．
【解析】(1)连接OE，根据圆周角定理得∠AEB=90°，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，等边对等角及等量代换可得∠OEF=90°，根据切线的判定定理可得结论；
(2)如图，设⊙O的半径为x，则OE=OB=x，根据勾股定理列方程可得x的值，证明△EBF∽△AEF，列比例式BEAE=BFEF=1020=12，设BE=a，则AE=2a，根据勾股定理列方程可得a的值，证明BC/​/EF，列比例式可得结论．
本题考查的是切线的判定，平行线分线段成比例定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理是解(1)题的关键，证明△EBF∽△AEF，确定AE和BE的关系是解(2)题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1中，当点Q落在△ABC内部时，S= 34×(2x)2= 3x2．
(2)如图2中，当点Q落在AB上时，过点Q作QH⊥AC于H．
∵∠QHA=∠ACB=90°，
∴QH/​/BC，
∴QHBC=AHAC，
∴ 3x6 3=12−x12，
∴x=4，
∴CP=8，CH=PH=4，
∴S= 34×82=16 3．
(3)如图3中，点Q落在△ABC外部时，设CQ交AB于N，PQ交AB于M，过点N作NH⊥AC于H，过点M作MJ⊥AC于J，作NT//PQ交AC于T．
由(2)可知，CH=HT=4，CT=NT=8，NH=4 3，AT=4，
∴S△BCN=12×6 3×4=12 3，
∵NT//PM，
∴△AMP∽△ANT，
∴APAT=MJMH，
∴12−2x4=MJ4 3，
∴MJ=12 3−2 3x，
∴S=S△ABC−S△BCN−S△AMP=12×6 3×12−12 3−12×(12−2x)×(12 3−2 3x)=−2 3x2+24 3x−48 3(4【解析】(1)如图1中，当点Q落在△ABC内部时，求出等边△PQC的面积即可．
(2)如图2中，当点Q落在AB上时，过点Q作QH⊥AC于H.利用平行线分线段成比例定理求出QH即可．
(3)如图3中，点Q落在△ABC外部时，设CQ交AB于N，PQ交AB于M，过点N作NH⊥AC于H，过点M作MJ⊥AC于J，作NT//PQ交AC于T.利用相似三角形的性质求出MJ，求出△BCQ，△APQ的面积即可．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
22.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(0,−1)，B(4,1)，
∴c=−116+4b+c=1，
解得：b=−72c=−1，
∴该抛物线的函数表达式为y=x2−72x−1；
(2)如图1，设直线AB的函数表达式为y=kx+n，
∵A(0,−1)，B(4,1)，
∴n=−14k+n=1，
解得：k=12n=−1，
∴直线AB的函数表达式为y=12x−1，
令y=0，得12x−1=0，
解得：x=2，
∴C(2,0)，
设P(t,t2−72t−1)，其中0∵点E在直线y=12x−1上，PE/​/x轴，
∴t2−72t−1=12x−1，
∴x=2t2−7t，
∴E(2t2−7t,t2−72t−1)，
∴PE=t−(2t2−7t)=−2t2+8t=−2(t−2)2+8，
∵PD⊥AB，
∴∠AOC=∠PDE=90°，
又∵PE/​/x轴，
∴∠OCA=∠PED，
∴△PDE∽△AOC，
∵AO=1，OC=2，
∴AC= 5，
∴△AOC的周长为3+ 5，
令△PDE的周长为l，则3+ 5l=ACPE，
∴l=3 5+55⋅[−2(t−2)2+8]=−6 5+105(t−2)2+24 55+8，
∴当t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为24 55+8．
此时，点P的坐标为(2,−4)．
(3)如图2，满足条件的点M坐标为(2,−4)，(6,12)，(−2,12)．
由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y=x2−4x，对称轴为直线x=2，
①若AB是平行四边形的对角线，
当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，
即MN经过AB的中点C(2,0)，
∵点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为(2,−4)，
②若AB是平行四边形的边，
Ⅰ.当MN//AB且MN=AB时，四边形ABNM是平行四边形，
∵A(0,−1)，B(4,1)，点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2−4=−2，
∴点M的坐标为(−2,12)；
Ⅱ.当NM//AB且NM=AB时，四边形ABMN是平行四边形，
∵A(0,−1)，B(4,1)，点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2+4=6，
∴点M的坐标为(6,12)；
综上所述，点M的坐标为(2,−4)或(−2,12)或(6,12)．
【解析】(1)利用待定系数法将A(0,−1)，B(4,1)代入y=x2+bx+c，即可求得答案；
(2)先运用待定系数法求出AB的函数表达式，设P(t,t2−72t−1)，其中0(3)分两种情况：①若AB是平行四边形的对角线，②若AB是平行四边形的边，分别进行讨论即可．
本题是二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，三角形周长，平行四边形性质等，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．黑
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