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2021-2022学年辽宁省本溪第二高级中学高二（上）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年辽宁省本溪第二高级中学高二（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．24种B．81种C．64种D．256种
2．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0．则m＝（ ）
A．B．C．2D．4
3．（5分）已知圆C：x2+y2+2x+4y+4＝0，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
4．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠D1AD＝60°，∠C1DC＝30°，则异面直线AD1与DC1所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）用3，4，5，6，7，9这6个数组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（ ）
A．在这样的六位数中，奇数共有480个
B．在这样的六位数中，3、5、7、9相邻的共有120个
C．在这样的六位数中，4，6不相邻的共有504个
D．在这样的六位数中，4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有60个
6．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（3，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或k≤﹣2B．
C．k≥﹣2D．
7．（5分）已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，x＝﹣2是抛物线C的准线，点N（0，t）（t≠0），连接FN交抛物线C于M点，，则△OFN的面积为（ ）
A．6B．3C．2D．4
8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于A，B两点，若|AF1|，|AF2|恰好是Rt△F1AF2的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（ ）
A．是，共线的充分条件
B．若，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则λ+μ＝1是A，B，C三点共线的充分不必要条件
（多选）10．（5分）已知抛物线y2＝mx（m＞0）焦点与双曲线点x21的一个焦点重合，点P（2，y0）在抛物线上，则下列说法错误的是（ ）
A．双曲线的离心率为2
B．m＝8
C．双曲线的渐近线为y＝±3x
D．点P到抛物线焦点的距离为6
（多选）11．（5分）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
（多选）12．（5分）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（ ）
A．|AF|+|BF|＝6
B．△ABF的周长的取值范围是（6，12）
C．当时，△ABF的面积为
D．当m＝1时，△ABF为直角三角形
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）点M（8，0）到抛物线y2＝10x上的点的距离的最小值为 ．
14．（5分）的展开式中x4的系数为 ．
15．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1的中点，连接AD，BD，则点C1到平面ABD的距离为 ．
16．（5分）已知椭圆，A，C分别是椭圆的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则sin∠BDF＝ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求以，为边的平行四边形的面积；
（2）若||，且分别与，垂直，求向量的坐标．
18．（12分）在二项式的展开式中；
（1）若n＝9，求常数项；
（2）若第4项的系数与第7项的系数比为﹣1：14，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中的各项的系数之和．
19．（12分）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝16上，求实数m的值．
20．（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任：该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）．
（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？
（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？
（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，PA＝BC＝3，AD＝2，∠ABC＝60°，E为侧棱PA（包含端点）上的动点．
（Ⅰ）当时，求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）当直线BE与平面CDE所成角的正弦值为时，求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y1＝0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3＝3k2，试求m，n满足的关系式．
2021-2022学年辽宁省本溪第二高级中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．24种B．81种C．64种D．256种
【分析】根据分步乘法计算原理，由题中条件，可直接求出结果．
【解答】解：4位同学报名参加三个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有4×4×4×4＝256，
故选：D．
【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查学生的推理能力，属于中档题．
2．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0．则m＝（ ）
A．B．C．2D．4
【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合已知即可求得m值．
【解答】解：双曲线是焦点在x轴上的双曲线，
a＝m，b＝1，渐近线方程为y，
∵双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，即y，∴m＝2．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线方程的求法，是基础题．
3．（5分）已知圆C：x2+y2+2x+4y+4＝0，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
【分析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：∵圆C：x2+y2+2x+4y+4＝0，
∴（x+1）2+（y+2）2＝1，即圆心C（﹣1，﹣2），半径r＝1，
∴圆上的点到坐标原点的距离的最小值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和两点之间的距离公式，属于基础题．
4．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠D1AD＝60°，∠C1DC＝30°，则异面直线AD1与DC1所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接BC1，BD，则∠DC1B（或其补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，设AD＝1，结合已知条件可求出BD，C1D，BC1的长，再在△C1BD中利用余弦定理可得
异面直线AD1与DC1所成角的余弦值，进而求出正弦值．
【解答】解：连接BC1，BD，如图所示，
由长方体的性质可知AD1∥BC1，∴∠DC1B（或其补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，
设AD＝1，
∵∠D1AD＝60°，∴，AD1＝2，
又∵∠C1DC＝30°，∴，CD＝3，
又∵，
∴在△C1BD中，由余弦定理可得cs∠DC1B，
∴异面直线AD1与DC1所成角的正弦值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查了异面直线所成的角，属于中档题．
5．（5分）用3，4，5，6，7，9这6个数组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（ ）
A．在这样的六位数中，奇数共有480个
B．在这样的六位数中，3、5、7、9相邻的共有120个
C．在这样的六位数中，4，6不相邻的共有504个
D．在这样的六位数中，4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有60个
【分析】根据排列的基本原理对每个选项一一分析即可．
【解答】解：这样的六位数奇数共有AA480个，A正确；
3、5、7、9相邻的共有AA144，B错误；
4，6不相邻的共有 个，C错误；
4个奇数按数位从高到低，从小到大排序的共有 个，D错误．
故选：A．
【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查学生的推理能力，属于中档题．
6．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（3，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或k≤﹣2B．
C．k≥﹣2D．
【分析】直接利用两点间的坐标公式和直线的斜率的关系求出结果．
【解答】解：直线l过点P（3，1）且斜率为k，与连接两点A（2，3），B（﹣3，﹣2）的线段有公共点，
由图，可知，，
当时，直线l与线段AB有交点．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和两点间的坐标之间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7．（5分）已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，x＝﹣2是抛物线C的准线，点N（0，t）（t≠0），连接FN交抛物线C于M点，，则△OFN的面积为（ ）
A．6B．3C．2D．4
【分析】通过已知条件，x＝﹣2是抛物线C的准线，可得p＝4，并且将0转化为中点问题，得出带未知数的中点坐标，由该中点坐标在抛物线上，需满足其解析式，即可求出中点坐标，最后应用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵x＝﹣2是抛物线C的准线，
∴，即p＝4，
则抛物线C：y2＝8x，焦点F（2，0），
∵0，M，N，F三点共线，
∴M为NF的中点，
又∵F（2，0），N（0，t），
∴，
将点 代入抛物线y2＝8x，
可得|t|，
所以△OFN的面积为|OF|•|ON|2×44．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于中档题．
8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于A，B两点，若|AF1|，|AF2|恰好是Rt△F1AF2的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】由题意画出图形，由已知求得A的坐标，然后把点A的坐标代入双曲线方程，整理即可求得双曲线的离心率．
【解答】解|AF1|，|AF2|恰好是Rt△F1AF2的“勾”“股”，
∴AF1⊥AF2，∴OA＝OF1＝OF2＝c．
∴A（，），
∴，可得，
整理得：e4﹣8e2+4＝0，解得（舍）或，
即．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的离心率的求解，考查了运算能力，属于中档题．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（ ）
A．是，共线的充分条件
B．若，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则λ+μ＝1是A，B，C三点共线的充分不必要条件
【分析】A根据充分条件概念判断；B根据向量平行概念判断；C根据向量共面条件判断；D根据充分必要条件概念判断．
【解答】解：对于A，由，可得向量的方向相同，此时向量共线，所以A正确；
对于B，若，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
对于C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，
若，则，
即，有P，A，B，C四点共面，所以C正确；
对于D，若P，A，B，C为空间四点，且有 不共线），
当λ+μ＝1时，即μ＝1﹣λ，可得，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，
即λ+μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D不正确，
故选：AC．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的基本概念，考查了充分条件与必要条件的基本概念，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知抛物线y2＝mx（m＞0）焦点与双曲线点x21的一个焦点重合，点P（2，y0）在抛物线上，则下列说法错误的是（ ）
A．双曲线的离心率为2
B．m＝8
C．双曲线的渐近线为y＝±3x
D．点P到抛物线焦点的距离为6
【分析】由双曲线方程求得a，b，c的值，得双曲线的离心率判断A；求出双曲线的渐近线方程判断C；由抛物线与双曲线有共同焦点求得m值判断B；由抛物线焦半径公式求出点P到抛物线焦点的距离判断D．
【解答】解：由双曲线方程可得a＝1，b，c＝2，离心率为e2，A正确；
双曲线的渐近线为y＝±x，C错误；
抛物线y2＝mx（m＞0）与x21的一个焦点重合，可得2，即m＝8，B正确；
由m＝8，可得抛物线y2＝8x的准线方程为x＝﹣2，则点P（2，y0）到抛物线的准线的距离为2﹣（﹣2）＝4，
到焦点的距离也为4，D错误．
故选：CD．
【点评】本题考查抛物线与双曲线的基本性质，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，利用组合数的计算公式，逐项计算，即可求解．
【解答】解：对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科，
根据分步计数原理，可得选法总数为种，所以A正确；
对于B中，先从物理、历史中选1门，有种选法，
若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有种选法，
由分步计数原理，可得选法共有种，所以B正确；
对于C中，先从物理和历史中选1门，有种选法，
若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有种选法，
若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1种选法，
由分类计数原理，可得共有•（•1），所以C正确；
对于D中，若物理必选，只有1种选法，
若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有种选法，
若化学、生物都选，则只有1种选法，
由分类计数原理，可得选法总数为，所以D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（ ）
A．|AF|+|BF|＝6
B．△ABF的周长的取值范围是（6，12）
C．当时，△ABF的面积为
D．当m＝1时，△ABF为直角三角形
【分析】根据椭圆的定义可求|AF|+|BF|的值，结合三角形的边长关系可判断△ABF周长的取值范围，计算0，可判断△ABF是直角三角形，计算面积可判断，m＝1时求得A、B坐标即可判断．
【解答】解：设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|+|BF|＝|AF|+|AF′|＝6，A正确；
△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|，因为|AF|+|BF|为定值6，
∴|AB|的范围是（0，6），
∴△ABF的周长的范围是（6，12），B正确；
将与椭圆方程联立，可解得，
∴|AB|＝3，∴△ABF的面积为：3，C错误；
将y＝1与椭圆方程联立，解得，
又F（，0），
∴•（2，0）•（0，﹣1）＝0，∴AB⊥BF，
∴△ABF为直角三角形，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）点M（8，0）到抛物线y2＝10x上的点的距离的最小值为 ．
【分析】设抛物线y2＝10x上的动点P（x0，y0）（x0≥0），再结合两点之间的距离公式，以及配方法，即可求解．
【解答】解：设抛物线y2＝10x上的动点P（x0，y0）（x0≥0），
则，
∵点M（8，0），
∴|PM|，
当x0＝3时，|PM|取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．
14．（5分）的展开式中x4的系数为 4 ．
【分析】依题意，所求的（1）（1﹣x）5展开式中x4的系数由两部分组成，一部分是（1）中的1与（1﹣x）5展开式中x4的系数之积，第二部分是（1）中的的系数1与（1﹣x）5展开式中x5的系数之积．
【解答】解：∵（1）（1﹣x）5展开式中x4的系数为：
1•（﹣1）4+1•（﹣1）5＝5﹣1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二项式系数的性质，考查理解与运算能力，属于基础题．
15．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1的中点，连接AD，BD，则点C1到平面ABD的距离为 ．
【分析】取A1B1的中点O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面ABD的一个法向量，再求出的坐标，利用公式求点C1到平面ABD的距离．
【解答】解：如图，设O为A1B1的中点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
由已知，得A（﹣1，0，2），B（1，0，2），，，
∴，，
设平面ABD的法向量为，
则，取y＝1，可得，
又，
则点C1到平面ABD的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查空间中点到平面的距离，训练了利用空间向量求点到面的距离，考查计算能力，是中档题．
16．（5分）已知椭圆，A，C分别是椭圆的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则sin∠BDF＝ ．
【分析】根据椭圆的性质求出A，C，B，F的坐标，再根据题意可得∠BDF，，根据向量的夹角公式即可求出．
【解答】解：如图椭圆1，A，C分别是椭圆的上、下顶点，
B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，
∴A（0，），C（0，），B（﹣2，0），F（﹣1，0），
∴（2，），（﹣1，），
∴cs，，
∴cs∠BDF，
∴sin∠BDF．
故答案为：．
【点评】本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求以，为边的平行四边形的面积；
（2）若||，且分别与，垂直，求向量的坐标．
【分析】（1）由题意可得：（﹣2，﹣1，3），（1，﹣3，2），cs，，sin，，由此能求出以，为边的平行四边形的面积．
（2）设（x，y，z），由题意得，由此能求出向量的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得：（﹣2，﹣1，3），（1，﹣3，2），
∴cs，，…（4分）
∴sin，，
∴以，为边的平行四边形的面积：
S＝2||||sin，147（6分）
（2）设（x，y，z），
由题意得，
解得，或，
∴（1，1，1），或（﹣1，﹣1，﹣1）．…（12分）
【点评】本题考查平行四边形面积的求法，考查向量的坐标的求法，解题时要认真审题，是基础题．
18．（12分）在二项式的展开式中；
（1）若n＝9，求常数项；
（2）若第4项的系数与第7项的系数比为﹣1：14，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中的各项的系数之和．
【分析】（1）根据二项展开式的通项，令x的指数等于零，即可得出答案；
（2）根据二项展开式的通项，结合第4项的系数与第7项的系数比为﹣1：14，求出n，①根据二项式系数之和公式即可得出答案；②令x＝1，即可得出二项展开式中的各项的系数之和．
【解答】解：（1）若n＝9，则，k＝0，…，9，
令，
∴k＝3，
∴常数项为；
（2），k＝0，…，n，
∵，
∴n＝10，
①；
②令x＝1，
∴各项系数之和为（﹣1）10＝1．
【点评】本题考查了二项式定理中的通项公式，系数、二项式系数之和以及系数之和的计算，属于基础题．
19．（12分）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝16上，求实数m的值．
【分析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x的一元二次方程，然后表示出AB的中点坐标，代入圆的方程计算即可．
【解答】解：（1）由题意，设双曲线的方程为，
又因为双曲线过点，
所以双曲线的方程为；
（2）由 ，得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，
设A（x1，y1）B（x2，y2），
则，
所以y1+y2＝4m，则AB中点坐标为（m，2m），
代入圆x2+y2＝16中，得5m2＝16，
所以m＝±．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程和几何性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
20．（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任：该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）．
（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？
（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？
（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？
【分析】由题意可分析出：至多有1名可分为两种情况，即一个也没有和只有一个；
至少有2名可以分为三种情况，以此类推，
再根据实际的要求用排列组合计算出结果即可．
【解答】解：（1）至多有1名主任参加可以分为两种情况：
①若无主任参加，有选派方法；
②若只有1名主任参加，有选派方法；
故共105种派法．
（2）呼吸内科至少2名医生参加，有种派法．
（3）张雅既是主任，也是女医生，属于特殊元素，故优先考虑．
①若有张雅，有种选派方法；
②若无张雅，则李亮必定去，有种选派方法．
故共有87种．
【点评】本题考查了分步和分类计数原理，正确分步和分类是解决此题的关键．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，PA＝BC＝3，AD＝2，∠ABC＝60°，E为侧棱PA（包含端点）上的动点．
（Ⅰ）当时，求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）当直线BE与平面CDE所成角的正弦值为时，求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．
【分析】（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，由已知结合平行线截线段成比例可得OE∥PC，再由线面平行的判定可得PC∥平面BDE；
（Ⅱ）过A作AF⊥BC于F，则在Rt△ABF中，由已知求解三角形可得AF，AB，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，设AE＝a（0≤a≤3）．求出平面CDE的一个法向量，由直线BE与平面CDE所成角的正弦值为求得a，再求出平面BDE的一个法向量，由两平面法向量所成角的余弦值求解二面角B﹣DE﹣C的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE；
由题意，AD∥BC，．
∵，∴，
∴OE∥PC．
∵OE⊂平面ADE，PC⊄平面BDE，
∴PC∥平面BDE；
（Ⅱ）过A作AF⊥BC于F，则在Rt△ABF中，BF＝1，，．
以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，
设AE＝a（0≤a≤3）．
则A（0，0，0），，，D（0，2，0），E（0，0，a）；
，，，；
设向量（x1，y1，z1）为平面CDE的一个法向量，
则由，有，令y1＝a，得（0，a，2）；
记直线BE与平面CDE所成的角为θ，
则sinθ＝|cs|，解得a＝2，此时，（0，2，2）；
设向量（x，y，z）为平面BDE的一个法向量，
则由，有，令y＝1，得；
cs．
∴二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y1＝0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3＝3k2，试求m，n满足的关系式．
【分析】（1）由点到直线的距离公式d1，求得b＝1，由e，即可求得a的值，求得椭圆C的标准方程；
（2）当直线斜率不存在时，求出A，B的坐标，得到直线AN，BN的斜率，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l：y＝k（x﹣1），代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得直线AN，BN的斜率和，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．
【解答】解：（1）由椭圆C：1（a＞b＞0），焦点在x轴上，
则M（1，0）到直线x﹣y1＝0的距离d1，
∴b＝d＝1，
离心率e，解得：a，
∴椭圆C的标准方程；
（2）①当直线斜率不存在时，由，解得x＝1，，
不妨设，，
∵k1+k3＝2，
∴，
∴m，n的关系式为3n＝2m．
②当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y＝k（x﹣1），
联立椭圆整理得：（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3＝0，
由韦达定理可知：x1+x2，x1•x2，
∴，
，
．
∴，
∴m，n的关系式为3n＝2m．
【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，直线的斜率公式的综合应用，综合性较强，运算量大，极易出错，属于中档题．
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1．（5分）4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．24种B．81种C．64种D．256种
2．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0．则m＝（ ）
A．B．C．2D．4
3．（5分）已知圆C：x2+y2+2x+4y+4＝0，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
4．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠D1AD＝60°，∠C1DC＝30°，则异面直线AD1与DC1所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）用3，4，5，6，7，9这6个数组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（ ）
A．在这样的六位数中，奇数共有480个
B．在这样的六位数中，3、5、7、9相邻的共有120个
C．在这样的六位数中，4，6不相邻的共有504个
D．在这样的六位数中，4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有60个
6．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（3，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或k≤﹣2B．
C．k≥﹣2D．
7．（5分）已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，x＝﹣2是抛物线C的准线，点N（0，t）（t≠0），连接FN交抛物线C于M点，，则△OFN的面积为（ ）
A．6B．3C．2D．4
8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于A，B两点，若|AF1|，|AF2|恰好是Rt△F1AF2的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（ ）
A．是，共线的充分条件
B．若，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则λ+μ＝1是A，B，C三点共线的充分不必要条件
（多选）10．（5分）已知抛物线y2＝mx（m＞0）焦点与双曲线点x21的一个焦点重合，点P（2，y0）在抛物线上，则下列说法错误的是（ ）
A．双曲线的离心率为2
B．m＝8
C．双曲线的渐近线为y＝±3x
D．点P到抛物线焦点的距离为6
（多选）11．（5分）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
（多选）12．（5分）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（ ）
A．|AF|+|BF|＝6
B．△ABF的周长的取值范围是（6，12）
C．当时，△ABF的面积为
D．当m＝1时，△ABF为直角三角形
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）点M（8，0）到抛物线y2＝10x上的点的距离的最小值为 ．
14．（5分）的展开式中x4的系数为 ．
15．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1的中点，连接AD，BD，则点C1到平面ABD的距离为 ．
16．（5分）已知椭圆，A，C分别是椭圆的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则sin∠BDF＝ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求以，为边的平行四边形的面积；
（2）若||，且分别与，垂直，求向量的坐标．
18．（12分）在二项式的展开式中；
（1）若n＝9，求常数项；
（2）若第4项的系数与第7项的系数比为﹣1：14，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中的各项的系数之和．
19．（12分）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝16上，求实数m的值．
20．（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任：该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）．
（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？
（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？
（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，PA＝BC＝3，AD＝2，∠ABC＝60°，E为侧棱PA（包含端点）上的动点．
（Ⅰ）当时，求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）当直线BE与平面CDE所成角的正弦值为时，求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y1＝0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3＝3k2，试求m，n满足的关系式．
2021-2022学年辽宁省本溪第二高级中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．24种B．81种C．64种D．256种
【分析】根据分步乘法计算原理，由题中条件，可直接求出结果．
【解答】解：4位同学报名参加三个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有4×4×4×4＝256，
故选：D．
【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查学生的推理能力，属于中档题．
2．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0．则m＝（ ）
A．B．C．2D．4
【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合已知即可求得m值．
【解答】解：双曲线是焦点在x轴上的双曲线，
a＝m，b＝1，渐近线方程为y，
∵双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，即y，∴m＝2．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线方程的求法，是基础题．
3．（5分）已知圆C：x2+y2+2x+4y+4＝0，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
【分析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：∵圆C：x2+y2+2x+4y+4＝0，
∴（x+1）2+（y+2）2＝1，即圆心C（﹣1，﹣2），半径r＝1，
∴圆上的点到坐标原点的距离的最小值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和两点之间的距离公式，属于基础题．
4．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠D1AD＝60°，∠C1DC＝30°，则异面直线AD1与DC1所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接BC1，BD，则∠DC1B（或其补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，设AD＝1，结合已知条件可求出BD，C1D，BC1的长，再在△C1BD中利用余弦定理可得
异面直线AD1与DC1所成角的余弦值，进而求出正弦值．
【解答】解：连接BC1，BD，如图所示，
由长方体的性质可知AD1∥BC1，∴∠DC1B（或其补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，
设AD＝1，
∵∠D1AD＝60°，∴，AD1＝2，
又∵∠C1DC＝30°，∴，CD＝3，
又∵，
∴在△C1BD中，由余弦定理可得cs∠DC1B，
∴异面直线AD1与DC1所成角的正弦值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查了异面直线所成的角，属于中档题．
5．（5分）用3，4，5，6，7，9这6个数组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（ ）
A．在这样的六位数中，奇数共有480个
B．在这样的六位数中，3、5、7、9相邻的共有120个
C．在这样的六位数中，4，6不相邻的共有504个
D．在这样的六位数中，4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有60个
【分析】根据排列的基本原理对每个选项一一分析即可．
【解答】解：这样的六位数奇数共有AA480个，A正确；
3、5、7、9相邻的共有AA144，B错误；
4，6不相邻的共有 个，C错误；
4个奇数按数位从高到低，从小到大排序的共有 个，D错误．
故选：A．
【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查学生的推理能力，属于中档题．
6．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（3，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或k≤﹣2B．
C．k≥﹣2D．
【分析】直接利用两点间的坐标公式和直线的斜率的关系求出结果．
【解答】解：直线l过点P（3，1）且斜率为k，与连接两点A（2，3），B（﹣3，﹣2）的线段有公共点，
由图，可知，，
当时，直线l与线段AB有交点．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和两点间的坐标之间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7．（5分）已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，x＝﹣2是抛物线C的准线，点N（0，t）（t≠0），连接FN交抛物线C于M点，，则△OFN的面积为（ ）
A．6B．3C．2D．4
【分析】通过已知条件，x＝﹣2是抛物线C的准线，可得p＝4，并且将0转化为中点问题，得出带未知数的中点坐标，由该中点坐标在抛物线上，需满足其解析式，即可求出中点坐标，最后应用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵x＝﹣2是抛物线C的准线，
∴，即p＝4，
则抛物线C：y2＝8x，焦点F（2，0），
∵0，M，N，F三点共线，
∴M为NF的中点，
又∵F（2，0），N（0，t），
∴，
将点 代入抛物线y2＝8x，
可得|t|，
所以△OFN的面积为|OF|•|ON|2×44．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于中档题．
8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于A，B两点，若|AF1|，|AF2|恰好是Rt△F1AF2的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】由题意画出图形，由已知求得A的坐标，然后把点A的坐标代入双曲线方程，整理即可求得双曲线的离心率．
【解答】解|AF1|，|AF2|恰好是Rt△F1AF2的“勾”“股”，
∴AF1⊥AF2，∴OA＝OF1＝OF2＝c．
∴A（，），
∴，可得，
整理得：e4﹣8e2+4＝0，解得（舍）或，
即．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的离心率的求解，考查了运算能力，属于中档题．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（ ）
A．是，共线的充分条件
B．若，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则λ+μ＝1是A，B，C三点共线的充分不必要条件
【分析】A根据充分条件概念判断；B根据向量平行概念判断；C根据向量共面条件判断；D根据充分必要条件概念判断．
【解答】解：对于A，由，可得向量的方向相同，此时向量共线，所以A正确；
对于B，若，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
对于C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，
若，则，
即，有P，A，B，C四点共面，所以C正确；
对于D，若P，A，B，C为空间四点，且有 不共线），
当λ+μ＝1时，即μ＝1﹣λ，可得，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，
即λ+μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D不正确，
故选：AC．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的基本概念，考查了充分条件与必要条件的基本概念，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知抛物线y2＝mx（m＞0）焦点与双曲线点x21的一个焦点重合，点P（2，y0）在抛物线上，则下列说法错误的是（ ）
A．双曲线的离心率为2
B．m＝8
C．双曲线的渐近线为y＝±3x
D．点P到抛物线焦点的距离为6
【分析】由双曲线方程求得a，b，c的值，得双曲线的离心率判断A；求出双曲线的渐近线方程判断C；由抛物线与双曲线有共同焦点求得m值判断B；由抛物线焦半径公式求出点P到抛物线焦点的距离判断D．
【解答】解：由双曲线方程可得a＝1，b，c＝2，离心率为e2，A正确；
双曲线的渐近线为y＝±x，C错误；
抛物线y2＝mx（m＞0）与x21的一个焦点重合，可得2，即m＝8，B正确；
由m＝8，可得抛物线y2＝8x的准线方程为x＝﹣2，则点P（2，y0）到抛物线的准线的距离为2﹣（﹣2）＝4，
到焦点的距离也为4，D错误．
故选：CD．
【点评】本题考查抛物线与双曲线的基本性质，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，利用组合数的计算公式，逐项计算，即可求解．
【解答】解：对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科，
根据分步计数原理，可得选法总数为种，所以A正确；
对于B中，先从物理、历史中选1门，有种选法，
若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有种选法，
由分步计数原理，可得选法共有种，所以B正确；
对于C中，先从物理和历史中选1门，有种选法，
若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有种选法，
若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1种选法，
由分类计数原理，可得共有•（•1），所以C正确；
对于D中，若物理必选，只有1种选法，
若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有种选法，
若化学、生物都选，则只有1种选法，
由分类计数原理，可得选法总数为，所以D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（ ）
A．|AF|+|BF|＝6
B．△ABF的周长的取值范围是（6，12）
C．当时，△ABF的面积为
D．当m＝1时，△ABF为直角三角形
【分析】根据椭圆的定义可求|AF|+|BF|的值，结合三角形的边长关系可判断△ABF周长的取值范围，计算0，可判断△ABF是直角三角形，计算面积可判断，m＝1时求得A、B坐标即可判断．
【解答】解：设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|+|BF|＝|AF|+|AF′|＝6，A正确；
△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|，因为|AF|+|BF|为定值6，
∴|AB|的范围是（0，6），
∴△ABF的周长的范围是（6，12），B正确；
将与椭圆方程联立，可解得，
∴|AB|＝3，∴△ABF的面积为：3，C错误；
将y＝1与椭圆方程联立，解得，
又F（，0），
∴•（2，0）•（0，﹣1）＝0，∴AB⊥BF，
∴△ABF为直角三角形，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）点M（8，0）到抛物线y2＝10x上的点的距离的最小值为 ．
【分析】设抛物线y2＝10x上的动点P（x0，y0）（x0≥0），再结合两点之间的距离公式，以及配方法，即可求解．
【解答】解：设抛物线y2＝10x上的动点P（x0，y0）（x0≥0），
则，
∵点M（8，0），
∴|PM|，
当x0＝3时，|PM|取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．
14．（5分）的展开式中x4的系数为 4 ．
【分析】依题意，所求的（1）（1﹣x）5展开式中x4的系数由两部分组成，一部分是（1）中的1与（1﹣x）5展开式中x4的系数之积，第二部分是（1）中的的系数1与（1﹣x）5展开式中x5的系数之积．
【解答】解：∵（1）（1﹣x）5展开式中x4的系数为：
1•（﹣1）4+1•（﹣1）5＝5﹣1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二项式系数的性质，考查理解与运算能力，属于基础题．
15．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1的中点，连接AD，BD，则点C1到平面ABD的距离为 ．
【分析】取A1B1的中点O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面ABD的一个法向量，再求出的坐标，利用公式求点C1到平面ABD的距离．
【解答】解：如图，设O为A1B1的中点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
由已知，得A（﹣1，0，2），B（1，0，2），，，
∴，，
设平面ABD的法向量为，
则，取y＝1，可得，
又，
则点C1到平面ABD的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查空间中点到平面的距离，训练了利用空间向量求点到面的距离，考查计算能力，是中档题．
16．（5分）已知椭圆，A，C分别是椭圆的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则sin∠BDF＝ ．
【分析】根据椭圆的性质求出A，C，B，F的坐标，再根据题意可得∠BDF，，根据向量的夹角公式即可求出．
【解答】解：如图椭圆1，A，C分别是椭圆的上、下顶点，
B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，
∴A（0，），C（0，），B（﹣2，0），F（﹣1，0），
∴（2，），（﹣1，），
∴cs，，
∴cs∠BDF，
∴sin∠BDF．
故答案为：．
【点评】本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求以，为边的平行四边形的面积；
（2）若||，且分别与，垂直，求向量的坐标．
【分析】（1）由题意可得：（﹣2，﹣1，3），（1，﹣3，2），cs，，sin，，由此能求出以，为边的平行四边形的面积．
（2）设（x，y，z），由题意得，由此能求出向量的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得：（﹣2，﹣1，3），（1，﹣3，2），
∴cs，，…（4分）
∴sin，，
∴以，为边的平行四边形的面积：
S＝2||||sin，147（6分）
（2）设（x，y，z），
由题意得，
解得，或，
∴（1，1，1），或（﹣1，﹣1，﹣1）．…（12分）
【点评】本题考查平行四边形面积的求法，考查向量的坐标的求法，解题时要认真审题，是基础题．
18．（12分）在二项式的展开式中；
（1）若n＝9，求常数项；
（2）若第4项的系数与第7项的系数比为﹣1：14，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中的各项的系数之和．
【分析】（1）根据二项展开式的通项，令x的指数等于零，即可得出答案；
（2）根据二项展开式的通项，结合第4项的系数与第7项的系数比为﹣1：14，求出n，①根据二项式系数之和公式即可得出答案；②令x＝1，即可得出二项展开式中的各项的系数之和．
【解答】解：（1）若n＝9，则，k＝0，…，9，
令，
∴k＝3，
∴常数项为；
（2），k＝0，…，n，
∵，
∴n＝10，
①；
②令x＝1，
∴各项系数之和为（﹣1）10＝1．
【点评】本题考查了二项式定理中的通项公式，系数、二项式系数之和以及系数之和的计算，属于基础题．
19．（12分）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝16上，求实数m的值．
【分析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x的一元二次方程，然后表示出AB的中点坐标，代入圆的方程计算即可．
【解答】解：（1）由题意，设双曲线的方程为，
又因为双曲线过点，
所以双曲线的方程为；
（2）由 ，得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，
设A（x1，y1）B（x2，y2），
则，
所以y1+y2＝4m，则AB中点坐标为（m，2m），
代入圆x2+y2＝16中，得5m2＝16，
所以m＝±．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程和几何性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
20．（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任：该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）．
（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？
（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？
（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？
【分析】由题意可分析出：至多有1名可分为两种情况，即一个也没有和只有一个；
至少有2名可以分为三种情况，以此类推，
再根据实际的要求用排列组合计算出结果即可．
【解答】解：（1）至多有1名主任参加可以分为两种情况：
①若无主任参加，有选派方法；
②若只有1名主任参加，有选派方法；
故共105种派法．
（2）呼吸内科至少2名医生参加，有种派法．
（3）张雅既是主任，也是女医生，属于特殊元素，故优先考虑．
①若有张雅，有种选派方法；
②若无张雅，则李亮必定去，有种选派方法．
故共有87种．
【点评】本题考查了分步和分类计数原理，正确分步和分类是解决此题的关键．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，PA＝BC＝3，AD＝2，∠ABC＝60°，E为侧棱PA（包含端点）上的动点．
（Ⅰ）当时，求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）当直线BE与平面CDE所成角的正弦值为时，求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．
【分析】（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，由已知结合平行线截线段成比例可得OE∥PC，再由线面平行的判定可得PC∥平面BDE；
（Ⅱ）过A作AF⊥BC于F，则在Rt△ABF中，由已知求解三角形可得AF，AB，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，设AE＝a（0≤a≤3）．求出平面CDE的一个法向量，由直线BE与平面CDE所成角的正弦值为求得a，再求出平面BDE的一个法向量，由两平面法向量所成角的余弦值求解二面角B﹣DE﹣C的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE；
由题意，AD∥BC，．
∵，∴，
∴OE∥PC．
∵OE⊂平面ADE，PC⊄平面BDE，
∴PC∥平面BDE；
（Ⅱ）过A作AF⊥BC于F，则在Rt△ABF中，BF＝1，，．
以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，
设AE＝a（0≤a≤3）．
则A（0，0，0），，，D（0，2，0），E（0，0，a）；
，，，；
设向量（x1，y1，z1）为平面CDE的一个法向量，
则由，有，令y1＝a，得（0，a，2）；
记直线BE与平面CDE所成的角为θ，
则sinθ＝|cs|，解得a＝2，此时，（0，2，2）；
设向量（x，y，z）为平面BDE的一个法向量，
则由，有，令y＝1，得；
cs．
∴二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y1＝0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3＝3k2，试求m，n满足的关系式．
【分析】（1）由点到直线的距离公式d1，求得b＝1，由e，即可求得a的值，求得椭圆C的标准方程；
（2）当直线斜率不存在时，求出A，B的坐标，得到直线AN，BN的斜率，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l：y＝k（x﹣1），代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得直线AN，BN的斜率和，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．
【解答】解：（1）由椭圆C：1（a＞b＞0），焦点在x轴上，
则M（1，0）到直线x﹣y1＝0的距离d1，
∴b＝d＝1，
离心率e，解得：a，
∴椭圆C的标准方程；
（2）①当直线斜率不存在时，由，解得x＝1，，
不妨设，，
∵k1+k3＝2，
∴，
∴m，n的关系式为3n＝2m．
②当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y＝k（x﹣1），
联立椭圆整理得：（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3＝0，
由韦达定理可知：x1+x2，x1•x2，
∴，
，
．
∴，
∴m，n的关系式为3n＝2m．
【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，直线的斜率公式的综合应用，综合性较强，运算量大，极易出错，属于中档题．
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