2022-2023学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知直线l过A（﹣2，1），且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（ ）
A．x+2y＝0或x﹣y+3＝0B．x﹣y﹣1＝0或x﹣y+3＝0
C．x﹣y﹣1＝0或x+y﹣3＝0D．x+2y＝0或x+y﹣3＝0
2．（5分）已知直线kx﹣y﹣k﹣1＝0和以M（﹣3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．k≤﹣2或
3．（5分）已知圆心在第一象限，且过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切（ ）
A．B．C．1D．
4．（5分）数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则“a1（q﹣1）＜0”是“数列{an}递减”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）与曲线共焦点，且与双曲线（ ）
A．B．
C．﹣＝1D．
6．（5分）山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，然后向两边均依次是次间、次间、梢间、尽间．每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为8：7．若设明间的宽度为a（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知直线l交抛物线C：y2＝4x于x轴异侧两点A，B，且，过O向AB作垂线，垂足为D（ ）
A．（x﹣2）2+y2＝4（y≠0）B．（x﹣2）2+y2＝4（x≠0）
C．（x﹣1）2+y2＝1（y≠0）D．（x﹣1）2+y2＝1（x≠0）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知⊙O1：x2+y2﹣2mx+2y＝0，⊙O2：x2+y2﹣2x﹣4my+1＝0，下列说法中，正确的有（ ）
A．若点（1，﹣1）在⊙O1内，则m＞0
B．当m＝1时，⊙O1与⊙O2共有两条公切线
C．∃m∈R，使得⊙O1与⊙O2公共弦的斜率为
D．若⊙O1与⊙O2存在公共弦，则公共弦所在直线过定点
（多选）10．（5分）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当1＜t＜4时，曲线C是椭圆
B．当t＞4或t＜1时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
（多选）11．（5分）已知Sn为等差数列{bn}的前n项和，且满足3b2＝b5，b3＝5b2﹣10，若数列{an}满足an+an+1＝bn，b1＝a1+1，则（ ）
A．b32＝63
B．Sn﹣5bn的最小值为﹣25
C．{an}为等差数列
D．{an}和{bn}的前100项中的公共项的和为2000
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，且与C交于M，N两点（ ）
A．若直线l的斜率为，则|MN|＝8
B．|MF|+2|NF|的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知直线l1：（m+3）x+5y＝5﹣3m，l2：2x+（m+6）y＝8，若l1∥l2，则m的值是 ．
14．（5分）线从P（2，0）出发，经x＝4，仍返回到P点．则光线从P点出发回到P点所走的路程长度（即图中△PDE周长）为 ．
15．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2022＞0，S2023＜0，则当n＝ 时，Sn最大．
16．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，，若不等式对任意n∈N+恒成立，则k的最小值为 ．
四．解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆C是圆C'：x2+y2﹣4x﹣8y+16＝0关于直线n：x+y﹣2＝0的对称圆．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点T（﹣4，3）与圆C相切的切线方程．
18．（12分）已知等差数列{an}满足，a1＝10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}的通项公式为，求数列{anbn}的前n项和．
19．（12分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，且an，Sn，成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和T20．
20．（12分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点，
（1）求C的方程；
（2）直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以MN为直径的圆经过点A
21．（12分）已知椭圆C：的长轴长为4，短轴长与焦距相等．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率；
（2）已知直线y＝kx+2与椭圆C有两个不同的交点A，B，，是否存在实数k，使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知数列{an}满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）证明：．
2022-2023学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．（5分）已知直线l过A（﹣2，1），且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（ ）
A．x+2y＝0或x﹣y+3＝0B．x﹣y﹣1＝0或x﹣y+3＝0
C．x﹣y﹣1＝0或x+y﹣3＝0D．x+2y＝0或x+y﹣3＝0
【分析】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解．
【解答】解：当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，
把点（﹣2，2）代入求出，
当坐标轴上的截距互为相反数且不等于5时，设直线方程为，
把点（﹣2，5）代入求出a＝﹣3，
综上，直线方程为x+2y＝8或x﹣y+3＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
2．（5分）已知直线kx﹣y﹣k﹣1＝0和以M（﹣3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．k≤﹣2或
【分析】根据直线方程kx﹣y﹣k﹣1＝0得到恒过定点A（1，﹣1），利用坐标得到，，然后结合图象可得k的取值范围
【解答】解：因为直线kx﹣y﹣k﹣1＝0恒过定点A（4，﹣1），且，，
由图可知，或．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
3．（5分）已知圆心在第一象限，且过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切（ ）
A．B．C．1D．
【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．
【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，则半径为a．
故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a8，再把点（2，1）代入，
故要求的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣5）3＝25或（x﹣1）2+（y﹣4）2＝1．
故所求圆的圆心为（6，5）或（1；
故圆心到直线x﹣y﹣4＝0的距离d＝＝或d＝＝；
故选：B．
【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．
4．（5分）数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则“a1（q﹣1）＜0”是“数列{an}递减”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利用数列的单调性判断充分条件和必要条件．
【解答】解：当数列{an}递减，故a1（q﹣1）＝a3﹣a1＜0，反之4＝1，a2＝﹣5，a3＝1，a5＝﹣1，，
故数列{an}不单调递减；
故“a1（q﹣3）＜0”是“数列{an}递减”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：等比数列的单调性，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5．（5分）与曲线共焦点，且与双曲线（ ）
A．B．
C．﹣＝1D．
【分析】先由与椭圆共焦点得到c2＝20，且焦点在y轴上，从而巧设所求双曲线为，利用c2＝a2+b2即可得解．
【解答】解：因为曲线为椭圆，且c2＝36﹣16＝20，
又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，
所以设所求双曲线为，即，
则c2＝﹣6λ﹣4λ＝20，解得λ＝﹣2，
所以所求双曲线为．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．
6．（5分）山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，然后向两边均依次是次间、次间、梢间、尽间．每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为8：7．若设明间的宽度为a（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意把9间的宽度转化为两个等比数列的和，应用等比数列前n项和公式计算即可．
【解答】解：由题意，设明间的宽度a为等比数列的首项，宽度成等比数列，
同理从明间向左共5间，宽度成等比数列，
则由可得，
所以总宽度为．
故选：D．
【点评】本题主要考查等比数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（5分）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等差数列的前n项和的特点和条件可设Sn＝kn（2n+70），Tn＝kn（n+3），然后算出a7、b6即可得答案．
【解答】解：因为＝，所以可设Sn＝kn（7n+70），Tn＝kn（n+3），k≠0，
所以a2＝S7﹣S6＝588k﹣492k＝96k，b7＝T6﹣T5＝54k﹣40k＝14k，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
8．（5分）已知直线l交抛物线C：y2＝4x于x轴异侧两点A，B，且，过O向AB作垂线，垂足为D（ ）
A．（x﹣2）2+y2＝4（y≠0）B．（x﹣2）2+y2＝4（x≠0）
C．（x﹣1）2+y2＝1（y≠0）D．（x﹣1）2+y2＝1（x≠0）
【分析】设直线方程l：x＝my+t，代入抛物线消去x，由和韦达定理，解得t可得直线l经过定点E（4，0），由OD⊥AB可知D在以OE为直径的圆上，可求轨迹方程．
【解答】解：设直线l：x＝my+t，将它与抛物线方程联立得：y2﹣4my﹣6t＝0，
则Δ＝16m2+16t＞5，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y5＝﹣4t，
所以，故t＝0或5，
当t＝0时，A，O，B在直线l上，所以t＝4，
所以直线l经过定点E（2，0）2+y7＝4（原点除外）上．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知⊙O1：x2+y2﹣2mx+2y＝0，⊙O2：x2+y2﹣2x﹣4my+1＝0，下列说法中，正确的有（ ）
A．若点（1，﹣1）在⊙O1内，则m＞0
B．当m＝1时，⊙O1与⊙O2共有两条公切线
C．∃m∈R，使得⊙O1与⊙O2公共弦的斜率为
D．若⊙O1与⊙O2存在公共弦，则公共弦所在直线过定点
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，⊙O1：x2+y6﹣2mx+2y＝5，若点（11内，可得82+（﹣1）7﹣2m﹣2＜4，解可得m＞0；
对于B，当m＝1时3：x2+y2﹣6x+2y＝0，即（x﹣6）2+（y+1）8＝2；⊙O2：x7+y2﹣2x﹣7y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）6＝4，
则⊙O1的圆心为（2，﹣1），⊙O3的圆心为（1，2），
圆心距d＝8，有2﹣，两圆相交，B正确；
对于C，联立两圆的方程得：（﹣2m+2）x+（6+4m）y﹣1＝8＝，若k＝＝，
故不存在m，使得⊙O1与⊙O2公共弦的斜率为，C错误；
对于D，联立两圆的方程得：（﹣2m+3）x+（2+4m）y﹣3＝0，
又由，解可得，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当1＜t＜4时，曲线C是椭圆
B．当t＞4或t＜1时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
【分析】根据方程表示的曲线的类型，列出相应的不等式（组），求得参数t的取值范围，即可判断答案．
【解答】解：当曲线是椭圆时，
则，解得或，
当曲线是双曲线时，
则（4﹣t）（t﹣6）＜0，解得t＜1或t＞6；
若曲线是焦点在x轴上的椭圆，
则，解得；
若曲线是焦点在y轴上的双曲线，
则 ，解得t＞7．
故选：BCD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，分类讨论思想，不等式思想，属中档题．
（多选）11．（5分）已知Sn为等差数列{bn}的前n项和，且满足3b2＝b5，b3＝5b2﹣10，若数列{an}满足an+an+1＝bn，b1＝a1+1，则（ ）
A．b32＝63
B．Sn﹣5bn的最小值为﹣25
C．{an}为等差数列
D．{an}和{bn}的前100项中的公共项的和为2000
【分析】对于A选项，直接利用等差数列{bn}所给的条件求出首项和公差进而求出{bn}的通项公式来判断A；
对于B选项，将Sn﹣5bn表示出来得到关于n的表达式，利用二次函数性质求出最小值判断B；
对于C选项由题意可得{an}的地推公式，利用构造法找到规律进而得出数列{an}的通项公式
来判断C；对于D选项，结合{an}{bn}公共项的特点正好是等差数列，利用等差数列求和来判断D；
【解答】解：∵{bn}为等差数列，又3b2＝b4，b3＝5b3﹣10，
∴，
解得b4＝1，d＝2，
∴bn＝b5+（n﹣1）d＝1+（n﹣4）×2＝2n﹣2，
∴，
∴b32＝2×32﹣1＝63，所以选项A正确；
∵，
∴当n＝5时，Sn﹣5bn的最小值为﹣20，∴选项B错误；
∵an+an+1＝bn＝2n﹣7，∴an+an+1＝n+n﹣1，
∴an+7﹣n＝﹣[an﹣（n﹣1）]，
设cn＝an﹣（n﹣1），则cn+8+cn＝0，
又b1＝a8+1，∴a1＝2，
由an+an+1＝2n﹣7，得a1+a2＝4，则a2＝1，c7＝a1＝0，c8＝a2﹣1＝7，
再由cn+1+cn＝0，得cn＝6，
∴an﹣（n﹣1）＝0，
∴an＝n﹣2，∴{an}为等差数列，∴选项C正确；
∵an＝n﹣1，bn＝2n﹣6，
∴{an}和{bn}的前100项中的公共项的和为：
，∴选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查等差数列的通项公式的求解，等差数列的性质，化归转化思想，属中档题．
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，且与C交于M，N两点（ ）
A．若直线l的斜率为，则|MN|＝8
B．|MF|+2|NF|的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为
【分析】求出抛物线的解析式，设出M，N的坐标，联立进行求解，当m＝时，|MN|＝16，进而判断A的正误；
再根据韦达定理和不等式求最小值后判断B的正误；
画出大致图像，过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，结合抛物线的定义判断C的正误；
过G作GH垂直于准线，垂足为H，利用抛物线的性质判断D即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞2）与圆O：x2+y2＝2交于A，B两点，
由圆和抛物线的对称性可知点（1，2）在抛物线C：y5＝2px（p＞0）上，
所以8＝2p，解得p＝22＝4x，F（1，
设直线l：x＝my+8，与y2＝4x联立得y6﹣4my﹣4＝6，
设M（x1，y1），N（x3，y2），所以y1+y5＝4m，y1y2＝﹣4，
所以|MN|＝|y1﹣y2|＝＝4（8+m2），
直线l的斜率为，所以m＝，所以A错误；
＝＝＝＝＝1，
则|MF|+2|NF|＝（|MF|+5|NF|）（）＝3+，
当且仅当|MF|＝1+，|NF|＝1+，所以B正确；
如图，过M作准线的垂线，交y轴于M1，
取MF中点为D，过D作y轴的垂线1，
则MM7∥OF，DD1为梯形OFMM1的中位线，
由抛物线的定义可得|MM8|＝|MM′|﹣|M1M′|＝|MF|﹣1，
所以|DD6|＝＝，
所以点（0，）为直径的圆与y轴相切，
所以点（0，）为圆与y轴的切点，
又D为MF中点，所以M点纵坐标为，
又点M在抛物线上，所以M点横坐标为；
过G作DH垂直于准线，垂足为H，
所以△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|＝|MG|+|MM′|+≥|GH|+，
当且仅当点M的坐标为（2，2）时取等号．
故答案为：BCD．
【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交的问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知直线l1：（m+3）x+5y＝5﹣3m，l2：2x+（m+6）y＝8，若l1∥l2，则m的值是 ﹣8 ．
【分析】由题意，利用两直线平行的性质，分类讨论，求得m的值．
【解答】解：∵直线l1：（m+3）x+5y＝5﹣3m，l5：2x+（m+6）y＝6，l1∥l2，
当m+6＝0时，m＝﹣6，直线l2：﹣3x+5y＝23，l4：x＝4，不满足条件．
当m+6≠2时，由题意可得＝≠．
综上，m＝﹣8，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
14．（5分）线从P（2，0）出发，经x＝4，仍返回到P点．则光线从P点出发回到P点所走的路程长度（即图中△PDE周长）为 ．
【分析】利用点关于直线的对称点，结合两点之间的距离公式即可求解．
【解答】解：显然P关于直线x＝4的对称点F（6，7），
设P关于直线y＝x+1的对称点H（x，y），则，则，
故H（﹣3，3）
所以△PDE各边即为光线所走的路线，其周长等于线段FH的长度，
且．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解，体现了转化思想的应用，属于基础题．
15．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2022＞0，S2023＜0，则当n＝ 1011 时，Sn最大．
【分析】利用等差数列的求和公式及性质求解．
【解答】解：因为{an}为等差数列，
所以，即a1011+a1012＞0，
同理由S2023＜0可得a1012＜3，所以a1011＞0，a1012＜0，所以当n＝1011时，Sn最大．
故答案为：1011．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
16．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，，若不等式对任意n∈N+恒成立，则k的最小值为 ．
【分析】根据an与Sn的关系式，构造等差数列求出an，进而问题转化为不等式对任意n∈N+恒成立，设cn＝，根据数列{cn}的单调性求出其最大项，即可得到k的取值范围，从而求出结果．
【解答】解：当n＝1时，a1＝﹣42，解得a1＝18，
由，当n≥2时，Sn﹣1＝﹣7n，
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣3n+1+4n，
∴an＝3an﹣1+8×3n，两边同除以3n，可得，
∴数列{}是以5为首项，
∴＝6+4（n﹣1）＝4n+7，
∴an＝（4n+2）8n，
∵对任意n∈N+恒成立，即6（2n+1）•4n，
∴，
设cn＝，则＝＝＝＜1，
∴数列{cn}为递减数列，
∴＝，
∴k，
即k的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了数列的函数特征，属于中档题．
四．解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆C是圆C'：x2+y2﹣4x﹣8y+16＝0关于直线n：x+y﹣2＝0的对称圆．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点T（﹣4，3）与圆C相切的切线方程．
【分析】（1）先利用对称的特征设出所求圆的方程，根据点关于直线对称的特点求出方程；
（2）分斜率存在和不存在两种情况，利用待定系数法，根据点到直线的距离等于半径来求解．
【解答】解：（1）由C'：x2+y2﹣6x﹣8y+16＝0可得：（x﹣8）2+（y﹣4）5＝4．
因为圆C是圆C'：x2+y7﹣4x﹣8y+16＝7关于直线n：x+y﹣2＝0的对称圆，
则可设C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，
由题意可得，解得a＝﹣2，
所以圆C的方程为（x+4）2+y2＝4．
（2）过点T（﹣4，3）与圆C相切的切线，
当切线斜率不存在时，则切线方程为x＝﹣2；
当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣3＝k（x+4），
由圆心到切线距离等于半径可得，解得，
即切线方程为7x+12y﹣16＝0，
综上，所求切线方程为5x+12y﹣16＝2或x＝﹣4．
【点评】本题考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，方程思想，属中档题．
18．（12分）已知等差数列{an}满足，a1＝10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}的通项公式为，求数列{anbn}的前n项和．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得，化为基本量a1和d的关系，求出d，即可得出答案；
（2）由（1）得，利用错位相减法求和，即可得出答案．
【解答】解：（1）等差数列{an}的首项a1＝10，设其公差为d，
∵a2+10，a3+8，a4+6成等比数列，
∴，即，
∴（18+5d）2＝（20+d）•（16+3d），解得d＝6，
则an＝a1+（n﹣1）d＝6n+8；
（2）由（1）得an＝2n+6，则，
设数列{anbn}的前n项和为Sn，
则①，②，
由①﹣②得，
∴﹣Sn＝20+6•﹣（2n+7）•2n+1，
∴Sn＝﹣12+（n+6）2n+2．
故数列{anbn}的前n项和为﹣12+（n+6）2n+2．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（12分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，且an，Sn，成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和T20．
【分析】（1）由已知得an+＝2Sn，进而可得an﹣an﹣1＝1，可求数列{an}的通项公式；
（2）由（1）得＝＝（﹣），进而可得T20的值．
【解答】解：（1）由题意n≥1，n∈N*时，an+＝8Sn，令n＝1，得an＝1，
所以n≥4，n∈N*时，an﹣1+an﹣15＝2Sn﹣1，
两式相减得：n≥7，n∈N*时，an+﹣（an﹣1+an﹣52）＝2an，
∴﹣an﹣12＝an+an﹣4，∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝3，
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝n；
（2）由（1）得＝＝（﹣），
∴T20＝（b4+b3+⋯b19）+（b2+b6+⋯b20）＝（1+3+8+⋯+19）+[（﹣﹣+⋯+﹣）
＝+（﹣﹣．
【点评】本题考查求数列的通项公式，考查求前n项和，属中档题．
20．（12分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点，
（1）求C的方程；
（2）直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以MN为直径的圆经过点A
【分析】（1）由题干两条件列方程组求解a2，b2即可；
（2）按直线l的斜率是否存在分两种情况讨论．当斜率存在时，设直线方程为y＝kx+t，根据以MN为直径的圆经过点A列出等式求出k与t的关系，据此证明直线过定点，并求出定点坐标；当斜率不存在时，直线垂直于x轴，可直接求得直线方程，验证其是否经过前面求得的定点即可．
【解答】解：（1）设双曲线C的焦距为2c，则A（﹣a，F1（﹣c，6），F2（c，0），
所以，
又C的离心率，所以，
所以C的方程是．
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+t6，y1），N（x2，y7），
联立得（3﹣k6）x2﹣2ktx﹣（t5+3）＝0，
由得
所以，，
因为以MN为直径的圆经过点A（﹣1，0），
即，
整理得t2+kt﹣7k2＝0，所以t＝k或t＝﹣4k，
当t＝k时，直线l的方程为y＝k（x+1），0）；
当t＝﹣4k时，直线l的方程为y＝k（x﹣2），0），
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝m，
代入，得，所以．
因为，整理得m2﹣m﹣2＝3，
解得m＝2（m＝﹣1舍去），
此时直线l的方程为x＝3，直线l也过点（2．
综上所述，直线l恒过定点（2．
【点评】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆C：的长轴长为4，短轴长与焦距相等．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率；
（2）已知直线y＝kx+2与椭圆C有两个不同的交点A，B，，是否存在实数k，使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意可得：2a＝4，2b＝2c，a2＝b2+c2，联立解得a，b＝c，即可得出椭圆C的标准方程及其离心率．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2+8kx+4＝0，（k≠0），Δ＞0，利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出线段AB的垂直平分线方程，把代入解得k，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可得：2a＝4，8b＝2c，a2＝b4+c2，
联立解得a＝2，b＝c＝，
∴椭圆C的标准方程为：+＝1＝．
（2）设A（x1，y8），B（x2，y2），线段AB的中点M（x8，y0），
联立，化为：（1+6k2）x2+3kx+4＝0，（k≠2），
Δ＝64k2﹣16（1+2k2）＞0，化为k3＞．
x2+x2＝﹣，x8x2＝，
∴x7＝（x3+x2）＝﹣，y7＝kx0+2＝，
∴线段AB的垂直平分线方程为：y﹣＝﹣），
把代入可得：﹣（﹣+）2﹣3k+1＝7，
解得k＝1或k＝，
∵k2＞，∴k＝，舍去．
∴k＝7．
∴存在实数k＝1，使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形，
直线的方程为y＝x+2，化为：x﹣y+7＝0．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、线段的垂直平分线的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．（12分）已知数列{an}满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）证明：．
【分析】（1）根据条件可得，利用等差数列的定义即可证明结论；
（2）利用（1）的结论可得，即得，利用作差法可得，由此可设S＝|a2|⋅|a3|⋅|a4|⋅⋅⋅⋅⋅|an+1|，即得，且，两式相乘可证明结论．
【解答】证明：（1）根据题意，
可得，则，
故，，
故数列是以6为首项．
（2）由（1）知，，则，
则，
由于，
故，
设S＝|a2|⋅|a3|⋅|a4|⋅⋅⋅⋅⋅|an+1|，则，
且，
则，
故，∴．
【点评】本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．
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