2022-2023学年北京八中高二(上)期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年北京八中高二(上)期末数学试卷,共21页。
A.﹣1或1B.0或1C.﹣1或2D.﹣3或2
2.(4分)在的展开式中,常数项为( )
A.﹣112B.112C.﹣1120D.1120
3.(4分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.y=±x
4.(4分)如图,在空间四边形ABCD中,设E,F分别是BC,CD的中点,则()等于( )
A.B.C.D.
(多选)5.(4分)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是( )
A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是,3,﹣1),,﹣3,1),则l1∥l2
B.直线l的方向向量,﹣1,2),平面α的法向量是,4,﹣1),则l⊥α
C.两个不同的平面α,β的法向量分别是,2,﹣1),,4,2),则α⊥β
D.直线l的方向向量,3,0),平面α的法向量是,﹣5,0),则l∥α
6.(4分)“a>1”是“直线y=ax﹣1的倾斜角大于”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.(4分)当动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体对角线A1C上运动时,异面直线BP与AD1所成角的取值范围是( )
A.[,]B.[,]C.[,]D.[,]
8.(4分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,若|AF|=3,则△AOB的面积为( )
A.B.C.D.
9.(4分)已知⊙M:x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|•|AB|最小时,直线AB的方程为( )
A.2x﹣y﹣1=0B.2x+y﹣1=0C.2x﹣y+1=0D.2x+y+1=0
10.(4分)点P在直线l:y=x+p(p>0)上,若存在过P的直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,且2|PA|=|AB|,则称点P为“M点”,那么下列结论中正确的是( )
A.直线l上的所有点都是“M点”
B.直线l上仅有有限个点是“M点”
C.直线l上的所有点都不是“M点”
D.直线l上有无穷多个点(但不是所有的点)是“M点”
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.(5分)过点(3,1)作圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的弦,其中最短的弦长为 .
12.(5分)若(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7,则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= ,a4= .(用数字作答)
13.(5分)用1,2,3三个数字组成一个四位数,要求每个数字至少出现一次,共可组成 个不同的四位数.(用数字作答)
14.(5分)已知双曲线C:1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若,•0,则C的离心率为 .
15.(5分)将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0﹣1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n次全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 .
三、解答题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
16.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求直线AC与平面EMN的夹角的正弦值;
(Ⅲ)求点A到平面EMN的距离.
17.(14分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱).
(1)求在1次游戏中,
(i)摸出3个白球的概率;
(ii)获奖的概率;
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列.
18.(14分)已知椭圆C:mx2+3my2=1(m>0)的长轴长为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程和离心率;
(2)设点A(3,0),动点B在y轴上,动点P在椭圆C上,且P在y轴的右侧,若|BA|=|BP|,求四边形OPAB面积的最小值.
19.(14分)如图,在三棱柱PAD﹣QBC中,侧面ABCD为正方形,AB=4,PA=PD,AB⊥AP,DC⊥DP,点M在线段PB上,PD∥平面MAC.
(Ⅰ)求证:M为PB的中点;
(Ⅱ)求二面角B﹣PD﹣A的大小;
(Ⅲ)在线段AC上是否存在点N,使得直线MN与平面BDP所成的角为30°,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
20.(14分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)一条动直线l与椭圆C交于不同两点M,N,O为坐标原点,△OMN的面积为,求证:|OM|2+|ON|2为定值.
21.(15分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.对任意的点P(x,y),定义|OP|=|x|+|y|.任取点A(x1,y1),B(x2,y2),记A'(x1,y2),B'(x2,y1),若此时|OA|2+|OB|2≥|OA'|2+|OB'|2成立,则称点A,B相关.
(Ⅰ)分别判断下面各组中两点是否相关,并说明理由;
①A(﹣2,1),B(3,2);②C(4,﹣3),D(2,4).
(Ⅱ)给定n∈N*,n≥3,点集Ωn={(x,y)|﹣n≤x≤n,﹣n≤y≤n,x,y∈Z}.
(i)求集合Ωn中与点A(1,1)相关的点的个数;
(ii)若S⊆Ωn,且对于任意的A,B∈S,点A,B相关,求S中元素个数的最大值.
2022-2023学年北京八中高二(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.(4分)已知直线l1:ax﹣y﹣1=0,l2:ax+(a+2)y+1=0.若l1⊥l2,则实数a=( )
A.﹣1或1B.0或1C.﹣1或2D.﹣3或2
【分析】直接利用两条直线垂直,列出关于a的方程,求解即可.
【解答】解:因为l1⊥l2,
所以a•a+(﹣1)×(a+2)=0,解得a=﹣1或2.
故选:C.
【点评】本题考查了两条直线垂直关系的应用,解题的关键是掌握两条直线垂直的等价条件,即已知直线l1,l2的方程分别是:l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
2.(4分)在的展开式中,常数项为( )
A.﹣112B.112C.﹣1120D.1120
【分析】求出展开式的通项公式,然后令x的指数为0,由此即可求解.
【解答】解:二项式的展开式的通项公式为TC,r=0,1,…,8,
令0,解得r=2,所以展开式的常数项为C112,
故选:B.
【点评】本题考查了二项式定理的应用,属于基础题.
3.(4分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.y=±x
【分析】根据双曲线的离心率平方整理得到,即可求解.
【解答】解:因为双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,
所以,即,所以,所以双曲线的渐近线的方程为.
故选:C.
【点评】本题考查了双曲线的性质,属于基础题.
4.(4分)如图,在空间四边形ABCD中,设E,F分别是BC,CD的中点,则()等于( )
A.B.C.D.
【分析】根据向量三角形法则、向量共线定理即可得出.
【解答】解:连接AF,E,F分别是BC,CD的中点,
则().
故选:C.
【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
(多选)5.(4分)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是( )
A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是,3,﹣1),,﹣3,1),则l1∥l2
B.直线l的方向向量,﹣1,2),平面α的法向量是,4,﹣1),则l⊥α
C.两个不同的平面α,β的法向量分别是,2,﹣1),,4,2),则α⊥β
D.直线l的方向向量,3,0),平面α的法向量是,﹣5,0),则l∥α
【分析】对于A:验证,是否平行即可.
对于B:验证是否平行即可.
对于C:验证数量积是否为零即可.
对于D:验证是否平行于即可.
【解答】解:因为,3,﹣1),,﹣3,1),即,又因为l1,l2不重合,所以l1∥l2,A正确.
因为,﹣1,2),,4,﹣1),所以与不平行,所以l不垂直于α,B错误.
因为,2,﹣1),,4,2),所以2×(﹣3)+2×4+(﹣1)×2=0,所以,所以α⊥β,C正确.
因为,3,0),,﹣5,0),所以,所以,所以l⊥α,D错误.
故选:AC.
【点评】本题主要考查通过向量判断直线、平面的位置关系,属于基础题.
6.(4分)“a>1”是“直线y=ax﹣1的倾斜角大于”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系以及充分条件、必要条件的定义可解.
【解答】解:当a>1时,则直线y=ax﹣1的倾斜角大于,充分性成立,
当直线y=ax﹣1的倾斜角大于,则a>1或a<0,必要性不成立,
故“a>1”是“直线y=ax﹣1的倾斜角大于”的充分不必要条件,
故选:A.
【点评】本题考查直线倾斜角与斜率的关系以及充分条件、必要条件的定义,属于基础题.
7.(4分)当动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体对角线A1C上运动时,异面直线BP与AD1所成角的取值范围是( )
A.[,]B.[,]C.[,]D.[,]
【分析】以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出BP与AD1所成角的取值范围.
【解答】解:设BP与AD1所成角为θ.
如图所示,以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系,
设|AB|=1.则B(0,0,0),C(1,0,0),A1(0,1,1),C1(1,0,1),D1(1,1,1),
(1,0,1),(1,0,0),(﹣1,1,1).
设λ,则λ(1﹣λ,λ,λ)≤λ≤1,
∴cs,
∈[,],
∴θ∈[,].
∴BP与AD1所成角的取值范围是[,].
故选:B.
【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法,考查异面直线所成角的概念等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
8.(4分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,若|AF|=3,则△AOB的面积为( )
A.B.C.D.
【分析】由抛物线的定义可求出xA=2,yA=2,进而得到直线AB的方程,再与抛物线方程联立,求出点B的坐标,再利用面积公式S△AOB|OF|•|yA﹣yB|即可求出结果.
【解答】解:如图所示,抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=﹣1,
∵|AF|=3,
∴xA=2,代入抛物线方程可得yA=2,
∴kAB2,
∴直线AB的方程为y=2(x﹣1),
联立方程,解得或,
∴,
∴S△AOB|OF|•|yA﹣yB|,
故选:C.
【点评】本题主要考查了抛物线的定义和性质,考查了直线与抛物线的位置关系,同时考查了学生的运算求解能力,是中档题.
9.(4分)已知⊙M:x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|•|AB|最小时,直线AB的方程为( )
A.2x﹣y﹣1=0B.2x+y﹣1=0C.2x﹣y+1=0D.2x+y+1=0
【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|•|AB|,说明要使|PM|•|AB|最小,则需|PM|最小,此时PM与直线l垂直.写出PM所在直线方程,与直线l的方程联立,求得P点坐标,然后写出以PM为直径的圆的方程,再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程.
【解答】解:化圆M为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,
圆心M(1,1),半径r=2.
∵2S△PAM=|PA|•|AM|=2|PA|.
∴要使|PM|•|AB|最小,则需|PM|最小,此时PM与直线l垂直.
直线PM的方程为y﹣1(x﹣1),即y,
联立,解得P(﹣1,0).
则以PM为直径的圆的方程为.
联立,相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0.
故选:D.
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用,考查圆的切线方程,考查过圆两切点的直线方程的求法,是中档题.
10.(4分)点P在直线l:y=x+p(p>0)上,若存在过P的直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,且2|PA|=|AB|,则称点P为“M点”,那么下列结论中正确的是( )
A.直线l上的所有点都是“M点”
B.直线l上仅有有限个点是“M点”
C.直线l上的所有点都不是“M点”
D.直线l上有无穷多个点(但不是所有的点)是“M点”
【分析】先判断直线l与抛物线的位置关系,再设直线l上任意点P为(t,t+p),设A为(x,y),B为(x0,y0),再根据2|PA|=|AB|,求出B点坐标,又A,B两点都在抛物线上,从而得x,y的方程组,然后判断方程组是否有解即可求解问题.
【解答】解:联立,
可得(y﹣p)2+p2=0,(p>0),∴该方程无解,
∴直线l:y=x+p与抛物线:y2=2px(p>0)无交点,
设直线l上任意点P为(t,t+p),设A为(x,y),B为(x0,y0),
则,,
又根据题意可得,
∴(x0﹣t,y0﹣t﹣p)=3(x﹣t,y﹣t﹣p),
∴,∴,
∴B为(3x﹣2t,3y﹣2t﹣2p),
又A为(x,y),且A、B两点都在抛物线:y2=2px上,
∴,消去x可得:
3y2﹣6(t+p)y+2[(t+p)2+pt]=0(*),
∴Δ=36(t+p)2﹣24[(t+p)2+pt]=12(t2+p2),又p>0,
∴∀t∈R,Δ>0,(*)式方程有解,
∴对直线l上的任意点P,抛物线上都存在A,B两点,满足2|PA|=|AB|,
即直线l上的所有点都是“M点”.
故选:A.
【点评】本题考查新定义的应用,方程思想,化归转化思想,属难题.
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.(5分)过点(3,1)作圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的弦,其中最短的弦长为 2 .
【分析】过点P(3,1)作圆的弦,其中最短的弦满足:过点P且与过点P的直径垂直,可得最短的弦长=2.
【解答】解:x2+y2﹣4x﹣4y+4=0化为(x﹣2)2+(y﹣2)2=4,
可得圆心C(2,2),半径r=2.
过点P(3,1)作圆的弦,其中最短的弦满足:过点P且与过点P的直径垂直,
|CP|,
∴最短的弦长=222,
故答案为:2.
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质、两点之间的距离公式、弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12.(5分)若(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7,则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= ﹣2 ,a4= 560 .(用数字作答)
【分析】由题意分别令x=0,x=1即可求出第一问,然后因为a4为二项式的展开式中含x4项的系数,所以利用二项式定理即可求解.
【解答】解:由题意令x=0,则a0=1,
令x=1,则a1,
所以a1+a2+...+a7=﹣1﹣1=﹣2,
因为a4为二项式的展开式中含x4项的系数,则a560,
故答案为:﹣2;560.
【点评】本题考查了二项式定理的应用,涉及到赋值法的应用,属于基础题.
13.(5分)用1,2,3三个数字组成一个四位数,要求每个数字至少出现一次,共可组成 36 个不同的四位数.(用数字作答)
【分析】根据题意分成三种情况,分别根据定序问题査出各类所包含的情况数,进而求出所有组成的不同四位数.
【解答】解:已知用1,2,3三个数字组成一个四位数且每个数字至少出现一次,
所以包含一下三种形式:
①两个1,一个2,一个3;
②一个1,两个2,一个3;
③一个1,一个2,两个3.
其余情况①可以组成12种情况,同理情况②③均可以组成12种情况,
因此一共可以组成36个不同数字.
故答案为:36.
【点评】本题考查了排列组合的应用问题,属于基础题.
14.(5分)已知双曲线C:1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若,•0,则C的离心率为 2 .
【分析】由题意画出图形,结合已知可得OB=F1O=c,设B(x1,y1),A(x2,y2),由点B在渐近线y上,求得B点坐标,再由A为F1B的中点,得到A点坐标,把A代入渐近线y,即可求得C的离心率.
【解答】解:如图,
∵,∴A为F1B的中点,且O为F1F2的中点,
∴AO为△F1F2B的中位线,
又∵,∴F1B⊥F2B,则OB=F1O=c.
设B(x1,y1),A(x2,y2),
∵点B在渐近线y上,
∴,得.
又∵A为F1B的中点,∴,
∵A在渐近线y上,
∴,得c=2a,则双曲线的离心率e.
故答案为:2.
【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,考查计算能力,是中档题.
15.(5分)将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0﹣1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n次全行的数都为1的是第 2n﹣1 行;第61行中1的个数是 32 .
【分析】本题考查的知识点是归纳推理,我们可以根据图中三角形是将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,结合杨辉三角我们易得到第1行,第3行,第7行,…全都是1,则归纳推断可得:第n次全行的数都为1的是第2n﹣1行;由此结论我们可得第63行共有64个1,逆推即可得到第61行中1的个数.
【解答】解:由已知中的数据
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…
全行都为1的是第2n﹣1行;
∵n=6⇒26﹣1=63,
故第63行共有64个1,
逆推知第62行共有32个1,
第61行共有32个1.
故答案为:2n﹣1,32
【点评】归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
三、解答题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
16.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求直线AC与平面EMN的夹角的正弦值;
(Ⅲ)求点A到平面EMN的距离.
【分析】(Ⅰ)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明MN∥平面BDE.
(Ⅱ)求出平面EMN的法向量和与直线AC的方向向量,利用向量法可求直线AC与平面EMN的夹角的正弦值;
(Ⅲ)设MA与平面EMN所成角为α,利用||sinα,可求点A到平面EMN的距离.
【解答】解:(Ⅰ)证明:在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,
点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
则M(0,0,1),B(2,0,0),C(0,4,0),N(1,2,0),D(0,0,2),E(0,2,2),
则(1,2,﹣1),(2,0,﹣2),(0,2,0),
设平面BDE的法向量(x,y,z),
则,即,取x=1,得(1,0,1),
∵•0,MN⊄平面BDE,∴MN∥平面BDE.
(Ⅱ)解:(1,2,﹣1),(0,4,﹣1),(0,2,1),
设平面EMN的一个法向量为(a,b,c),
则,取a=4,得(4,﹣1,2),
∴平面EMN的一个法向量为(4,﹣1,2),
又(0,4,0),
设直线AC与平面EMN所成角为θ,
则sinθ=|cs,|,
∴直线AC与平面EMN的夹角的正弦值为;
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)得(0,0,﹣1),设MA与平面EMN所成角为α,
则点A到平面EMN的距离为||sinα=||×|cs,|=||1.
【点评】本题考查线面平行的证明,考查求线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查点到面的距离的求法,考查运算求解能力,属中档题.
17.(14分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱).
(1)求在1次游戏中,
(i)摸出3个白球的概率;
(ii)获奖的概率;
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列.
【分析】(1)(i)甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,事件数是C52C32,摸出3个白球事件数为
C32C21C21;由古典概型公式,代入数据得到结果.
(ii)获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球,且它们互斥,根据(i)求出摸出2个白球的概率,再相加即可求得结果,注意运算要正确,因为第二问要用本问的结果.
(2)在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2,根据上面的结果,代入公式得到结果,写出分布列.
【解答】解:(1)(i)设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i=,0,1,2,3),则
P(A3)•,
(ii)设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=A2∪A3,
又P(A2))••,且A2、A3互斥,
所以P(B)=P(A2)+P(A3);
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=(1)2,
P(X=1)(1),
P(X=2)=()2,
所以X的分布列是:
【点评】此题是个中档题.本题考查古典概型及共概率计算公式,离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力,属于中档题.
18.(14分)已知椭圆C:mx2+3my2=1(m>0)的长轴长为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程和离心率;
(2)设点A(3,0),动点B在y轴上,动点P在椭圆C上,且P在y轴的右侧,若|BA|=|BP|,求四边形OPAB面积的最小值.
【分析】(1)将椭圆方程化为标准方程,由题意可得a,可得b,即可得到椭圆方程,再由离心率公式计算即可得到所求值;
(2)设AP中点为D,由|BA|=||BP|,所以BD⊥AP,求得AP的斜率,进而得到BD的斜率和中点,可得直线BD的方程,即有B的坐标,求得四边形OPAB的面积为S=S△OAP+S△OMB,化简整理,运用基本不等式即可得到最小值.
【解答】解:(1)椭圆C:mx2+3my2=1,即为1,所以a2,b2,
a2,b2,可得2a=22,
m,可得a,b,
即有椭圆C:1,
由c2,即e;
(2)设AP中点为D,由|BA|=||BP|,所以BD⊥AP,
由题意,可得直线BD的斜率存在,P(x0,y0)(y0≠0),
则D(,),直线AP的斜率为kAP,
直线BD的斜率为,
可得BD的方程为y(x),
令x=0可得y,即B(0,),
由1,可得x02=6﹣3y02,
化简可得B(0,),
则四边形OPAB的面积为S=S△OAP+S△OMB3|y0|3||
(2|y0|)•23,
当且仅当2|y0|,即y0=±∈[,]时,等号成立.
所以四边形OPAB面积的最小值为3.
【点评】本题考查椭圆的方程和离心率的求法,注意运用椭圆的性质和离心率公式,考查四边形面积的最值的求法,注意运用直线的斜率公式和基本不等式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
19.(14分)如图,在三棱柱PAD﹣QBC中,侧面ABCD为正方形,AB=4,PA=PD,AB⊥AP,DC⊥DP,点M在线段PB上,PD∥平面MAC.
(Ⅰ)求证:M为PB的中点;
(Ⅱ)求二面角B﹣PD﹣A的大小;
(Ⅲ)在线段AC上是否存在点N,使得直线MN与平面BDP所成的角为30°,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【分析】(Ⅰ)设AC与BD交点为O,连接OM,根据线面垂直的性质定理,即可证明结论;
(Ⅱ)由题意可得ED、EO、EP两两垂直,则建立以E为原点,以ED、EO、EP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系E﹣xyz,利用向量法,即可得出答案;
(Ⅲ)由(Ⅰ)得M为PB的中点,则M(﹣1,2,),假设存在点N,使得直线MN与平面BDP所成的角为30°,设tt(4,4,0),利用向量法,列出关于t的方程,求解即可得出答案.
【解答】解:(Ⅰ)证明:设AC与BD交点为O,连接OM,
∵侧面ABCD为正方形,
∴O为BD的中点,
∵PD∥平面MAC,PD⊂平面PBD,且平面PBD∩平面MAC=OM,
∴PD∥OM,
∴M为PB的中点;
(Ⅱ)在正方形ABCD中,AB∥CD,DC⊥DP,则AB⊥DP,
又AB⊥AP,DP∩AP=P,AP⊂平面APD,DP⊂平面APD,
∴AB⊥平面APD,
取AD的中点E,连接PE,连接OE交BC于点F,
∵PE⊂平面APD,∴AB⊥PE,
∵PA=PD,∴PE⊥AD,
又AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
∴PE⊥平面ABCD,
则建立以E为原点,以ED、EO、EP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系E﹣xyz,如图所示:
AB=4,PA=PD,则E(0,0,0),A(﹣2,0,0),B(﹣2,4,0),D(2,0,0),P(0,0,),C(2,4,0),
设平面PDB的一个法向量为(x,y,z),(4,﹣4,0),(2,0,),
则,取x=1,则y=1,z,
∴平面PDB的一个法向量为(1,1,),
又AB⊥平面APD,则平面APD的一个法向量为(0,4,0),
设二面角B﹣PD﹣A的平面角为α,且α为锐角,
则csα=|cs,|,
故二面角B﹣PD﹣A的大小为60°;
(Ⅲ)由(Ⅰ)得M为PB的中点,则M(﹣1,2,),假设存在点N,使得直线MN与平面BDP所成的角为30°,设tt(4,4,0),
∴(4t,4t,0),即N(4t﹣2,4t,0),则(4t﹣1,4t﹣2,),
由(Ⅱ)得平面PDB的一个法向量为(1,1,),
∴|cs|,即64t2﹣80t+21=0,解得t或t,
故或.
【点评】本题考查直线与平面平行、二面角、直线与平面的夹角,考查转化思想和数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题,
20.(14分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)一条动直线l与椭圆C交于不同两点M,N,O为坐标原点,△OMN的面积为,求证:|OM|2+|ON|2为定值.
【分析】(Ⅰ)由题意设椭圆C的标准方程为1(a>b>0),则,求解即可得出答案;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆C的方程为1,分类讨论直线l的斜率不存在、存在时,分别设直线l的方程为x=m(m),线l的方程为y=kx+n,M(x1,y1),N(x2,y2),利用韦达定理和根的判别式,即可得出答案.
【解答】解:(Ⅰ)由题意设椭圆C的标准方程为1(a>b>0),
∵短轴长为,离心率为,
∴,解得b,a,c=1,
∴椭圆C的标准方程为1;
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得椭圆C的方程为1,
当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为x=m(m),
联立直线l与椭圆C得,解得y=±,
此时可假设M(m,),N(m,),
又△OMN的面积为,则S△OMN|MN|•|m|,即2•|m|,解得m=±,
则M(±,1),N(±,﹣1),
∴|OM|2+|ON|2=(±)2+1+(±)2+1=5;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立直线l与椭圆C得,整理得(2+3k2)x2+6knx+3n2﹣6=0,
则Δ=(6kn)2﹣4(2+3k2)(3m2﹣6)>0,即2+3k2>n2,且x1+x2,x1•x2,
又△OMN的面积为,且点O到直线l的距离d,|MN|=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2•,
将x1+x2,x1•x2代入化简得|MN|•2,
∴S△OMN|MN|•d,即•2•,则2+3k2=2n2>n2,符合题意,
∴x1+x2,x1•x2,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2n,y1•y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2(x1•x2)+kn(x1+x2)+n2,
∴|OM|2+|ON|2=x12+y12+x22+y22=(x1+x2)2﹣2x1•x2+(y1+y2)2﹣2y1•y2=()2﹣2•()2﹣2•5,
综上所述,|OM|2+|ON|2为定值5.
【点评】本题考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合应用,考查转化思想和方程思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
21.(15分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.对任意的点P(x,y),定义|OP|=|x|+|y|.任取点A(x1,y1),B(x2,y2),记A'(x1,y2),B'(x2,y1),若此时|OA|2+|OB|2≥|OA'|2+|OB'|2成立,则称点A,B相关.
(Ⅰ)分别判断下面各组中两点是否相关,并说明理由;
①A(﹣2,1),B(3,2);②C(4,﹣3),D(2,4).
(Ⅱ)给定n∈N*,n≥3,点集Ωn={(x,y)|﹣n≤x≤n,﹣n≤y≤n,x,y∈Z}.
(i)求集合Ωn中与点A(1,1)相关的点的个数;
(ii)若S⊆Ωn,且对于任意的A,B∈S,点A,B相关,求S中元素个数的最大值.
【分析】(Ⅰ)根据题意若点A(x1,y1),B(x2,y2)相关,则(x1﹣x2)(y1﹣y2)≥0,利用此不等式即可判定两点是否相关,
(Ⅱ)(i)根据(x1﹣x2)(y1﹣y2)≥0,分别讨论在4个象限内,及坐标轴上与点A(1,1)相关的点的个数,即可算出结果;
(ii)由(Ⅰ)可知若两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2)相关,则(x1﹣x2)(y1﹣y2)≥0,再证明|(x1+y1)﹣(x2+y2)|≥1,即可求出S中元素个数的最大值.
【解答】解:若点A(x1,y1),B(x2,y2)相关,不妨设x1,y1,x2,y2≥0,
则,
∴(x1﹣x2)(y1﹣y2)≥0,
(1)①(2﹣3)(1﹣2)≥0,因此相关;②(4﹣2)(3﹣4)<0,因此不相关,
(2)(i)在第一象限内,(x﹣1)(y﹣1)≥0,可知1≤x≤n 且1≤y≤n,有n2个点,同理可得在第二,第三,第四象限内,各有n2个点,
在x轴正半轴上,点(1,0)满足条件,
在y轴正半轴上,点(0,1)满足条件,
原点(0,0)满足条件,
因此集合Ωn中共有4n2+5个点与点A(1,1)相关,
(ii)若两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2)相关,其中x1,x2≥0,y1,y2≥0,
可知(x1﹣x2)(y1﹣y2)≥0,下面证|(x1+y1)﹣(x2+y2)|≥1,
若x1=x2,则y1≠y2,成立,若x1>x2,则y1≥y2,若x1<x2,则y1≤y2,亦成立,
由于|(x1+y1)﹣(x2+y2)|≤(n+n)﹣(0+0)=2n,
因此最多有2n+1个点两两相关,其中最多有2n﹣1个点在第一象限,最少有1个点在坐标轴正半轴上,一个点为原点,
因此S中元素个数的最大值为4(2n﹣1)+2×1+1=8n﹣1.
【点评】本题主要考查了合情推理中的归纳推理,是中档题.
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