2022-2023学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷，共19页。

A．B．
C．D．
2．（3分）函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝（ ）
A．B．1C．2D．
3．（3分）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．72B．36C．24D．12
4．（3分）已知双曲线C：（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
5．（3分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝﹣x2，则曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线斜率是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣eD．e﹣2+1
6．（3分）下列结论中正确的个数为（ ）
①y＝ln2，则y′；
②y，则y′|x＝3
③y＝2x，则y′＝2xln2；
④y＝lg2x，则y′．
A．0B．1C．2D．3
7．（3分）已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线y＝f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线斜率小于零
B．函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增
C．函数f（x）在x＝1处取得极大值
D．函数f（x）在区间（﹣3，3）内至多有两个零点
8．（3分）没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176B．2352C．1722D．1302
9．（3分）已知函数f（x）＝xln（1+x），则（ ）
A．f（x）在（﹣1，+∞）单调递增
B．f（x）有两个零点
C．曲线y＝f（x）在点（，f（））处切线的斜率为﹣1﹣ln2
D．f（x）是偶函数
10．（3分）已知函数f（x）＝ex+ax2﹣x+1，则“f（x）有极值”是（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．（3分）已知函数f（x）＝sin2x﹣xf'（0），则该函数的图象在处的切线方程为（ ）
A．3x+y﹣π＝0B．3x﹣y﹣π＝0C．x+3y﹣π＝0D．3x+y+π＝0
12．（3分）已知函数f（x）＝ex﹣3，，若f（m）＝g（n）成立，则n﹣m的最小值为（ ）
A．﹣1+ln2B．1+ln2C．﹣2+ln2D．2+ln2
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
13．（4分）展开式中常数项为 ．
14．（4分）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点A到焦点F的距离为4，设点M为抛物线C准线l上的动点．若△MAF为正三角形，则抛物线C方程为 ．
15．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），且当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0，则不等式（x﹣2018）2f（x﹣2018）﹣f（﹣1）＜0的解集为 ．
16．（4分）把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有 种．（用数字作答）
17．（4分）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ．
18．（4分）函数y＝f（x）图像上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定叫曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
②设点A、B是抛物线y＝x2+1上任意不同的两点，则φ（A，B）≤2；
③设曲线y＝ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2＝1，若t⋅φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；
④y＝x3与y＝x2在原点附近处的“弯曲度”一样．
以上正确命题的序号为 ．（写出所有正确的）
三、解答题共4小题，共40分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19．（10分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64；
条件③：展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式，若_____（填写条件的序号，若是选择多个方案，就按照选择的第一个方案解答给予计分），求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中所有的有理项．
20．（10分）已知函数，a∈R．
（1）若函数f（x）在x＝1处取得极值，求a的值．
（2）讨论函数f（x）的单调区间．
21．（10分）如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围．
22．（10分）已知函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a．
（1）若a＜1且仅存在两个的整数，使得f（x）＜0，求a的取值范围；
（2）讨论f（x）零点的个数；
（3）证明，∀t∈（0，1），有f（tx1+（1﹣t）x2）≤tf（x1）+（1﹣t）f（x2）．
2022-2023学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（3分）下列函数的极限计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用函数极限的运算法则即可得出．
【解答】解：A，∵，∴A错误，
B，∵，∴B错误，
C，∵e，∴e2，∴C错误，
D，∵1，∴D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了函数极限的运算法则，属于中档题．
2．（3分）函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝（ ）
A．B．1C．2D．
【分析】根据已知条件，分别求出函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率和于x＝m时的瞬时变化率，然后列方程求出m的值．
【解答】解：函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于，
由f（x）＝x2，得f'（x）＝2x，所以f'（m）＝2m，
因为f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，
所以2＝2m，解得m＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的实际应用，属于基础题．
3．（3分）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．72B．36C．24D．12
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合插空法求解即可．
【解答】解：晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有72种排法，
故选：A．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了插空法，属基础题．
4．（3分）已知双曲线C：（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】利用双曲线的渐近线方程求解a，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：由双曲线C：（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，
可得双曲线方程为x2﹣y2＝1，
所以双曲线的离心率e．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
5．（3分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝﹣x2，则曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线斜率是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣eD．e﹣2+1
【分析】由已知求出x＞0时函数的解析式，求出f'（x），即可得出答案．
【解答】解：令x＞0，则﹣x＜0，
又当x＜0时，f（x）＝﹣x2，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2，
∵f（x）为奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2，
故x＞0时，f（x）＝x2，则f'（x）＝2x，
∴曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线斜率是f'（1）＝2，
故选：B．
【点评】本题考查求函数的解析式和导数的几何意义，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6．（3分）下列结论中正确的个数为（ ）
①y＝ln2，则y′；
②y，则y′|x＝3
③y＝2x，则y′＝2xln2；
④y＝lg2x，则y′．
A．0B．1C．2D．3
【分析】利用求导法则逐项判断可得答案．
【解答】解：①，y′＝（ln2）′＝0，故①错误；
②，y′，则y′|x＝3，故②正确；
③，y′＝（2x）′＝2xln2，故③正确；
④，故④正确；
综上，结论中正确的有②③④，
故选：D．
【点评】本题考查导数的运算法则，考查学生对求导公式的记忆，属基础题．
7．（3分）已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线y＝f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线斜率小于零
B．函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增
C．函数f（x）在x＝1处取得极大值
D．函数f（x）在区间（﹣3，3）内至多有两个零点
【分析】由题意利用导数与原函数之间的关系结合图像考查题中的说法是否正确即可．
【解答】解：逐一考查所给的说法：
A．曲线y＝f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线斜率等于零，选项A错误；
B．函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，选项B错误；
C．函数f（x）在x＝1左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，选项C错误；
D．函数f（x）在区间（﹣3，3）先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查导函数与原函数之间的关系，利用导数图像确定原函数性质的方法等知识，属于基础题．
8．（3分）没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176B．2352C．1722D．1302
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合平均分组问题求解即可．
【解答】解：某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，
则不同的安排方式共有1176，
故选：A．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了平均分组问题，属基础题．
9．（3分）已知函数f（x）＝xln（1+x），则（ ）
A．f（x）在（﹣1，+∞）单调递增
B．f（x）有两个零点
C．曲线y＝f（x）在点（，f（））处切线的斜率为﹣1﹣ln2
D．f（x）是偶函数
【分析】求导，判断导数的正负，求出单调区间，可判断A，根据函数值的情况及零点定义，可判断B，利用导数的几何意义，可判断C，根据函数的定义域不关于原点对称，可判断D．
【解答】解：由f（x）＝xln（1+x），得（x＞﹣1），
当x∈（0，+∞）时，，∴f′（x）＞0，
当x∈（﹣1，0）时，，∴f′（x）＜0，
故f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣1，0）单调递减，A错误；
当x＝0时，f（0）＝0，当﹣1＜x＜0时，f（x）＝xln（1+x）＞0，
当x＞0时，f（x）＞0，所以f（x）只有x＝0一个零点，B错误；
令，
则曲线y＝f（x）在点处切线的斜率为﹣1﹣ln2，C正确；
由函数的定义域为（﹣1，+∞），不关于原点对称，故f（x）不是偶函数，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，函数的零点与奇偶性，属中档题．
10．（3分）已知函数f（x）＝ex+ax2﹣x+1，则“f（x）有极值”是（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】先由f′（x）＝ex+2ax﹣1一定有零点求解a的范围，再结合充分必要条件的判定逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：由f（x）＝ex+ax2﹣x+1，得f′（x）＝ex+2ax﹣1，
∵f（x）有极值，∴f′（x）＝ex+2ax﹣1一定有零点，
即方程ex+2ax﹣1＝0有根，也就是2ax＝1﹣ex有根，
令g（x）＝1﹣ex，
设y＝2ax与曲线y＝1﹣ex切于（t，1﹣et），
则过切点的切线方程为y＝﹣et（x﹣t）+1﹣et，把O（0，0）代入，
可得0＝tet+1﹣et，即（t﹣1）et+1＝0，
令h（t）＝（t﹣1）et+1，h′（t）＝tet，
当t∈（﹣∞，0）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，当t∈（0，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，
则h（t）≥h（0）＝0，可得方程（t﹣1）et+1＝0仅有一个0根，
由2a＝﹣e0＝﹣1，得a，即当a时，f′（x）＝ex+2ax﹣1有一零点，
又由图可知，对于任意实数a，方程f′（x）＝ex+2ax﹣1一定有零点，
∴f（x）有极值是必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查充分必要条件的判定及应用，考查运算求解能力，是中档题．
11．（3分）已知函数f（x）＝sin2x﹣xf'（0），则该函数的图象在处的切线方程为（ ）
A．3x+y﹣π＝0B．3x﹣y﹣π＝0C．x+3y﹣π＝0D．3x+y+π＝0
【分析】先求出函数f（x）＝sin2x﹣xf'（0）的导数，再令x＝0求出f′（0），求出f（x）的解析式，即可得出答案．
【解答】解：f（x）＝sin2x﹣xf'（0），则f'（x）＝2cs2x﹣f'（0），
∴f'（0）＝2cs0﹣f'（0），解得f′（0）＝1，
∴，
则切点，
故切线方程为，即3x+y﹣π＝0，
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于基础题．
12．（3分）已知函数f（x）＝ex﹣3，，若f（m）＝g（n）成立，则n﹣m的最小值为（ ）
A．﹣1+ln2B．1+ln2C．﹣2+ln2D．2+ln2
【分析】令f（m）＝g（n）＝t，即可用t表示m，n，设h（t）＝n﹣m＝2elnt﹣3，t＞0，利用导数即可求得n﹣m的最小值．
【解答】解：令f（m）＝g（n）＝t，即em﹣3lnt，解得m＝lnt+3，n＝2e．
设h（t）＝n﹣m＝2elnt﹣3，t＞0，
则h′（t）＝2e，
易知h′（t）＝2e单调递增，又h′（）＝0，
由h′（t）＞0，得t，由h′（t）＜0，得0＜t．
∴h（t）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以h（t）min＝h（）＝ln2﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查函数的最值及其意义，训练了利用导数求最值，是中档题．
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
13．（4分）展开式中常数项为 ﹣4 ．
【分析】求得二项式展开式中的通项公式，再令x的指数为0，计算可得所求值．
【解答】解：（x3）4的展开式的通项公式为Tr+1（x3）4﹣r（）r（﹣1）rx12﹣4r，r＝0，1，…，4，
令12﹣4r＝0，解得r＝3，
T4（﹣1）3＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查二项式展开式中通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
14．（4分）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点A到焦点F的距离为4，设点M为抛物线C准线l上的动点．若△MAF为正三角形，则抛物线C方程为 y2＝4x ．
【分析】根据抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，即可求解．
【解答】解：如图，设抛物线的准线与x轴的交点为K，
根据题意可知AF|＝|AM|＝4，
∴AM∥FK，
又△MAF为正三角形，
∴|MF|＝4，∠MFK＝60°，
∴|FK|＝2，即p＝2，
∴抛物线C方程为y2＝4x，
故答案为：y2＝4x．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
15．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），且当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0，则不等式（x﹣2018）2f（x﹣2018）﹣f（﹣1）＜0的解集为 {x|x＜2017 或x＞2019} ．
【分析】由2f（x）+xf′（x）＜0，（x＜0），变式得2xf（x）+x2f′（x）＞0，
构造函数F（x）＝x2f（x）；结合题意，得出F（x）在（﹣∞，0）是增函数；
根据偶函数的性质解决即可．
【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＜0，（x＜0）；
得：2xf（x）+x2f′（x）＞0，
即[x2f（x）]′＞0；
令F（x）＝x2f（x）；
则当x＜0时，F'（x）＞0，即F（x）在（﹣∞，0）上是增函数；
∴F（x﹣2018）＝（x﹣2018）2f（x﹣2018），F（﹣1）＝f（﹣1）；
即不等式等价为F（x﹣2018）﹣F（﹣1）＜0；
∵F（x）在（﹣∞，0）是增函数；
偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（﹣x）＝f（x），
∴F（﹣x）＝F（x），F（x）在（0，+∞）递减，
∴由F（x﹣2018）＜F（﹣1）＝F（1）得，|x﹣2018|＞1，
∴x＞2019或x＜2017．
∴原不等式的解集是{x|x＜2017或x＞2019}．
【点评】本题考查了导函数的应用，难点是结合题型，对符合函数的逆向求导，构造函数，根据导函数的性质解决实际问题．技巧性较强．
16．（4分）把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有 144 种．（用数字作答）
【分析】根据题意分2步进行：①先将票分为符合条件的4份，有2个人各一张，2个人各2张；②再将分好的4份全排列，对应到4个人，即可得答案．
【解答】解：根据题意，可分为两步进行：
①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，
则有2个人各1张，2个人各2张，且分得的票必须连号，相当于将1，2，3，4，5，6这6个数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，
即在其中的5个空隙中插入3个板子，其有C10种情况；
其中出现3张三连号的有：123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456；共4种情况，不满足题意，
所以有10﹣4＝6种情况；
②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有A24种情况．
由分步计数原理可得，共有6×24＝144种不同的分法．
故答案为：144．
【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是能够先把6张电影票分4份且两张连续，此题是中档题．
17．（4分）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 （﹣∞，4] ．
【分析】由已知结合分段函数的性质，对数函数的性质，函数的单调性即可求解．
【解答】解：当﹣1＜x＜0时，f（x）＝lg（x+1）＜0，
因为f（x）的值域为R且x＞0时，f（x）＝x4，
当a≤0时，函数在x＞0上单调递增，f（x）的值域为R，显然符合题意，‘
当a＞0时，f（x）4，当且仅当x＝2时取等号，
由题意得24≤0，
故0＜a≤4，
综上a的取值范围为（﹣∞，4]．
故答案为：（﹣∞，4]．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质及分段函数值域的应用，体现转化思想的应用，属于中档题．
18．（4分）函数y＝f（x）图像上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定叫曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
②设点A、B是抛物线y＝x2+1上任意不同的两点，则φ（A，B）≤2；
③设曲线y＝ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2＝1，若t⋅φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；
④y＝x3与y＝x2在原点附近处的“弯曲度”一样．
以上正确命题的序号为 ①② ．（写出所有正确的）
【分析】利用曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”的概念，对四个选项逐一分析可得答案．
【解答】解：对于①，若f（x）＝2x﹣1，则函数图象上任意两点处的切线斜率都等于2，故φ（A，B）＝0，故①正确；
对于②，∵y′＝2x，∴φ（A，B）2，当且仅当y1＝y2时取等号，故②正确；
对于③，依题意知φ（A，B）≥0，故当t≤0时，t•φ（A，B）＜1恒成立，符合题意，
当t＞0时，∵t•φ（A，B）＜1恒成立，∴t恒成立，
∵x1﹣x2＝1，
∴|AB|，
∴，
令m，则m＞0，1，
∴0＜t≤1，故③错误．
对于④，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）为原点附件关于原点对称的两点，
∵y＝f（x）＝x3的导数f′（x）＝3x2≥0，则kA＝kB，
∴对于f（x）＝x3，原点附件的弯曲度0；
∵y＝g（x）＝x2的导数g′（x）＝2x，kA≠kB，
∴对于g（x）＝x2，原点附件的弯曲度0，故④错误；
故选：①②．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查对“弯曲度”的理解与应用，考查运算求解能力，属于难题．
三、解答题共4小题，共40分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19．（10分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64；
条件③：展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式，若_____（填写条件的序号，若是选择多个方案，就按照选择的第一个方案解答给予计分），求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中所有的有理项．
【分析】（1）先求出n的值，再利用二项式系数的性质求得展开式中二项式系数最大的项．
（2）先求出n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中所有的有理项．
【解答】解：若选①：由，解得n＝6（负值舍去）；
若选②：由，解得n＝6；
若选③：设第r+1项为常数项，，
由r＝2及，得n＝6，
综上可得，n＝6．
（1）由n＝6得，展开式的二项式系数最大为，
则二项式系数最大项为；
（2）设第r+1项为有理项，由，
因为0≤r≤6，r∈N，所以r＝0，2，4，6，
则有理项为．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
20．（10分）已知函数，a∈R．
（1）若函数f（x）在x＝1处取得极值，求a的值．
（2）讨论函数f（x）的单调区间．
【分析】（1）求导得f′（x），由f（x）在x＝1处取得极值得f′（1）＝0，解得a，再检验此时，f（x）是否在x＝1处取得极值，即可得出答案．
（2）求导得f′（x），分四种情况：当a＝0时，当a＜0时，当a时，当0＜a时，当a时，分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，即可得出答案．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝a，
因为f（x）在x＝1处取得极值，
所以f′（1）＝0，
解得a＝1，
当a＝1时，f′（x），
令f′（x）＝0得x＝1或2，
所以在（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝a，
当a＝0时，f′（x），
令f′（x）＝0，得x＝2，
所以在（0，2）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（2，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当a≠0时，令f′（x）＝0，得x＝2或x，
若a＜0，则在（0，2）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（2，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
若02，即a时，
在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（，2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
若2，即0＜a时，
在（0，2）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（2，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
若2，即a时，
在（0，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
综上所述，当a＝0时，f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
当a＜0时，f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
当a时，f（x）在（0，），（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，
当0＜a时，f（x）在（0，2），（，+∞）上单调递增，在（2，）上单调递减，
当a时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
21．（10分）如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意知当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°，设 F（﹣c，0），由直线斜率可求得b，c关系式，再与a2＝b2+c2联立可得a，c关系，由此即可求得离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）椭圆方程可化为，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y＝k（x+c），将其代入椭圆方程消掉y变为关于x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k，c表示出中点G的坐标，由GD⊥AB得kGD•k＝﹣1，则D点横坐标也可表示出来，易知△GFD∽△OED，故，用两点间距离公式即可表示出来，根据式子结构特点可求得的范围；
【解答】解：（Ⅰ）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°．
设 F（﹣c，0），则 ．
将 代入a2＝b2+c2，得a＝2c．
所以椭圆的离心率为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ），椭圆的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y＝k（x+c），将其代入3x2+4y2＝12c2，
整理得 （4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2﹣12c2＝0．
则 ，，所以．
因为 GD⊥AB，所以 ，．
因为△GFD∽△OED，
所以 ．
所以的取值范围是（9，+∞）．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，运算量大，综合性强，对能力要求较高．
22．（10分）已知函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a．
（1）若a＜1且仅存在两个的整数，使得f（x）＜0，求a的取值范围；
（2）讨论f（x）零点的个数；
（3）证明，∀t∈（0，1），有f（tx1+（1﹣t）x2）≤tf（x1）+（1﹣t）f（x2）．
【分析】（1）设g（x）＝ex（2x﹣1），y＝ax﹣a，利用数形结合可得a的取值范围；
（2）设切点坐标为（t，（2t﹣1）et），则切线斜率为（2t+1）et，切线方程为y﹣（2t﹣1）et＝（2t+1）et（x+t），可得a＝（2t+1）et＝+（2t2﹣t+1）et，利用分类讨论结合图可得f（x）零点的个数；
（3）利用构造函数法可证结论成立．
【解答】解：函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，
设g（x）＝ex（2x﹣1），y＝ax﹣a，
因为存在两个整数x1，x2，使得f（x1），f（x2）都小于0，
所以存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线y＝ax﹣a的下方，
g′（x）＝ex（2x+1），
当x时，g′（x）＜0，当x时，[g（x）]min＝g（）＝﹣2e．
当x＝0时，g（0）＝﹣1，g（1）＝e＞0，
直线y＝ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1，
且g（﹣1）＝﹣3e﹣1＜﹣a﹣a，解得a．g（﹣2）≥﹣2a﹣a，解得a，
所以a的取值范围是：[，）．
（2）设切点坐标为（t，（2t﹣1）et），则切线斜率为（2t+1）et，
所求切线方程为y﹣（2t﹣1）et＝（2t+1）et（x+t），即y＝（2t+1）etx+（2t2﹣t+1）et，
所以a＝（2t+1）et＝+（2t2﹣t+1）et，解得t＝0或t，
当t＝0时，a＝1；当t时，a＝4e，
如下图所示，当a≤0时，直线y＝ax﹣a与函数g（x）的图象只有一个公共点；
当0＜a＜1或a＞4e，直线y＝ax﹣a与函数g（x）的图象只有2个公共点；
当a＝1或a＝4e，直线y＝ax﹣a与函数g（x）的图象只有一个公共点；
当1＜a＜4e，直线y＝ax﹣a与函数g（x）的图象无公共点；
综上所述：当1＜a＜4e时，函数f（x）无零点，
当a≤0或a＝1或a＝4e时，函数f（x）只有1个零点，
当0＜a＜1或a＞4e时，函数f（x）只有2个零点，
（3）证明：不妨设x1≤x2，构造函数p（x）＝tf（x）+（1﹣t）f（x2）﹣f（tx+（1﹣t）x2），其中x≤x2．
因为f′（x）＝（2x+1）ex﹣a，p′（x）＝tf′（x）﹣tf′（tx+（1﹣t）x2）＝t（2x+1）ex﹣t[2tx+2（1﹣t）x2+1]e，
令h（x）＝（2x+1）ex，其中x，则h′（x）＝（2x+3）ex≥0，且h′（x）不恒为0，
故函数h（x）在[，+∞）上为增函数，
因为tx+（1﹣t）x2﹣x＝（t﹣1）（x﹣x2）≥0，故tx+（1﹣t）x2≥x，
所以p（x）≤p（tx+（1﹣t）x2），故p′（x）＝t•h（x）﹣t•h（tx+（1﹣t）x2）≤0，
所以，函数p（x）在[，+∞）上为增函数，
故当x∈[，x2]时，p（x）≥p（x2）＝0，
因为x1∈[，x2]时，则p（x1）≥p（x2）＝0，
因此，，∀t∈（0，1），有f（tx1+（1﹣t）x2）≤tf（x1）+（1﹣t）f（x2）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性与极值及其切线方程、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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