2022-2023学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）椭圆的短轴长是焦距的（ ）
A．1倍B．倍C．倍D．倍
2．（5分）已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA＝AB＝1，（ ）
A．B．
C．D．
3．（5分）若数列{an}的前n项和Sn＝2an+1+n，a1＝2，则a3＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）北京永定河七号桥是丰沙铁路下行线珠窝站和沿河城站间跨越永定河的铁路桥，为中国最大跨度的钢筋混凝土铁路拱桥，全长217.98米，主跨150米，则该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为（ ）
A．70.3米B．70.5米C．70.7米D．70.9米
5．（5分）在等差数列{an}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{an}的前17项和为（ ）
A．166B．172C．168D．170
6．（5分）设A是函数图象上一点，，，若|AM|+|AN|＝6（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知数列{an}为单调递增数列，且，则a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）B．（﹣12，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣14，+∞）
8．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，，则△PCD的重心到平面PAD（的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知M：x2+（y﹣1）2＝4与圆N：（x﹣a）2+y2＝a2没有公共点，则a的值可以是（ ）
A．B．C．D．1
（多选）10．（5分）某公司超额完成上一年度制定的销量计划，准备在年终奖的基础上再增设20个“幸运奖”，随机抽取“幸运奖”，发放的奖金数由多到少依次成等差数列．已知第3名对应的“幸运奖”奖金为1500元，前8名对应的“幸运奖”奖金共11400元，则（ ）
A．第1名对应的“幸运奖”奖金为1600元
B．第1名对应的“幸运奖”奖金为1650元
C．该公司共需准备“幸运奖”奖金22000元
D．该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元
（多选）11．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上上任意一点（异于左右顶点），O为坐标原点，M，N分别为线段PF1，PF2的中点，若四边形PMON的周长为6，则（ ）
A．C的长轴长为3B．C的离心率为
C．D．
（多选）12．（5分）若{an}不是等比数列，但{an}中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称{an}是局部等比数列．下列数列中是局部等比数列的是（ ）
A．{（﹣2）n+8}B．
C．D．{n2+25}
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．（5分）若直线y＝﹣ax+5的倾斜角为77°，则直线y＝ax﹣2的倾斜角为 ．
14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，则异面直线BE与B1F所成角的余弦值为 ．
15．（5分）若数列{an+1﹣an}是等比数列且a1＝0，，，则an＝ ．
16．（5分）直线y＝kx+2k（k≠0）与抛物线y2＝﹣4x交于A，B两点，过A，垂足分别为A1，B1，则的最小值为 ，此时k＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）经过点A（﹣2，1）且与直线y＝﹣x+1相切的圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）直线l：y＝k（x﹣2）与圆C交于E，F两点，若
18．（12分）在等差数列{an}中，a2＝3，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若{an}的公差大于0，求数列的前n项和Sn．
19．（12分）已知椭圆的离心率为an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝BC＝2，且二面角为A1﹣BC﹣A为45°．
（1）求棱AC的长；
（2）若D为棱A1B1的中点，求平面CC1D与平面A1BC夹角的正切值．
21．（12分）在数列{an}中，a3＝64，且．
（1）证明：{a2n}，{a2n﹣1}都是等比数列．
（2）求{an}的通项公式．
（3）若，求数列{bn}的前n项和Sn，并比较与的大小．
22．（12分）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F上一点，且P不在x轴上，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．
（1）证明：∠APN＝2∠NPF．
（2）若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，试判断直线DR是否过定点．若是，求出定点的坐标，请说明理由．
2022-2023学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）椭圆的短轴长是焦距的（ ）
A．1倍B．倍C．倍D．倍
【分析】根据椭圆的几何性质，即可求解．
【解答】解：∵椭圆方程为，
∴a＝，b＝，
∴b＝c，
∴椭圆的短轴长是焦距的倍，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
2．（5分）已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA＝AB＝1，（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用正交分解和向量的基底求出结果．
【解答】解：由于SA⊥平面ABC，
所以：SA⊥AB，SA⊥AC，
由于AB⊥AC，AB＝1，
所以AC＝6．
所以空间的一个单位正交基底可以为．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：向量的基底，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
3．（5分）若数列{an}的前n项和Sn＝2an+1+n，a1＝2，则a3＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接把n＝1和n＝2代入递推关系式即可求解结论．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn＝2an+1+n，a3＝2，
∴2＝S8＝2a2+2，
则a2＝，
n＝2代入可得2+＝S2＝6a3+2，
则a7＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
4．（5分）北京永定河七号桥是丰沙铁路下行线珠窝站和沿河城站间跨越永定河的铁路桥，为中国最大跨度的钢筋混凝土铁路拱桥，全长217.98米，主跨150米，则该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为（ ）
A．70.3米B．70.5米C．70.7米D．70.9米
【分析】以拱桥对应的抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，利用待定系数法可求出结果．
【解答】解：以拱桥对应的抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，
依题意可得A（75，﹣40），
设该抛物线的方程为x2＝﹣2py（p＞4），
将A的坐标代入，得，
所以该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为70.7米．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
5．（5分）在等差数列{an}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{an}的前17项和为（ ）
A．166B．172C．168D．170
【分析】由已知结合等差数列的性质及前n项和公式求解．
【解答】解：在等差数列{an}中，∵a3+a4+a5+a16＝4a8＝28，∴a2＝7，
又a10＝13，
∴S17＝．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的性质及前n项和，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）设A是函数图象上一点，，，若|AM|+|AN|＝6（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用双曲线的性质建立关系式，进一步求出结果．
【解答】解：由于，整理得：，
则函数的图象相当于是双曲线．
根据，
所以，是双曲线，
根据双曲线的定义，，
由于|AM|+|AN|＝6，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：双曲线的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
7．（5分）已知数列{an}为单调递增数列，且，则a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）B．（﹣12，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣14，+∞）
【分析】根据题意，由数列的函数特性可得对一切正整数n恒成立，设f（n）＝3×4n+2n+a，n∈N*，分析f（n）的单调性，即可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}中，，
若数列{an}为单调递增数列，则有，
设f（n）＝6×4n+2n+a，n∈N*，
又由f（n）＝6×4n+2n+a（n∈N*）为增函数，所以f（n）min＝f（1）＝14+a＞2，解可得a＞﹣14，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查数列的函数特性，涉及数列的通项公式，属于基础题．
8．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，，则△PCD的重心到平面PAD（的距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAD的法向量，利用向量法可求△PCD的重心到平面PAD的距离．
【解答】解：设AC与BD交于点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，8），0，0），7，0），﹣1，
，．
设平面PAD的一个法向量为，则令x＝1，z＝6，
∴平面PAD的一个法向量为．
设△PCD的重心为G，所以△PCD的重心G的坐标为，即，
所以，
设点G到平面PAD的距离为d，
则d＝．
∴点G到平面PAD的距离为．
故选：C．
【点评】本题考查点到面的距离的求法，考查坐标法的应用，属中档题．
二、选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知M：x2+（y﹣1）2＝4与圆N：（x﹣a）2+y2＝a2没有公共点，则a的值可以是（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据两圆的位置关系，利用圆心距和半径之间的关系即可求得结果．
【解答】解：由题意可知，圆M的圆心M（0，半径r1＝5，圆N的圆心N（a，半径r2＝|a|，
圆心距，易知两圆相离或两圆内含，
可得或，解得，
又a8＞0，所以．
故选：BC．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）某公司超额完成上一年度制定的销量计划，准备在年终奖的基础上再增设20个“幸运奖”，随机抽取“幸运奖”，发放的奖金数由多到少依次成等差数列．已知第3名对应的“幸运奖”奖金为1500元，前8名对应的“幸运奖”奖金共11400元，则（ ）
A．第1名对应的“幸运奖”奖金为1600元
B．第1名对应的“幸运奖”奖金为1650元
C．该公司共需准备“幸运奖”奖金22000元
D．该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元
【分析】根据第3名对应的“幸运奖”奖金为1500元，前8名对应的“幸运奖”奖金共11400元，以及等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】解：设第1名，第2名，…4元，a2元，…，a20元，等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，
第3名对应的“幸运奖”奖金为1500元，前3名对应的“幸运奖”奖金共11400元，
第3名对应的“幸运奖”奖金为1500元，前8名对应的“幸运奖”奖金共11400元，
则a3＝a1+2d＝1500，S4＝8a1+28d＝11400，解得d＝﹣50，a4＝1600，
则，
故第8名对应的“幸运奖”奖金为1600元，该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元．
故选：AD．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上上任意一点（异于左右顶点），O为坐标原点，M，N分别为线段PF1，PF2的中点，若四边形PMON的周长为6，则（ ）
A．C的长轴长为3B．C的离心率为
C．D．
【分析】根据题意易得：四边形PMON是平行四边形，且四边形PMON的周长为|PF1|+|PF2|＝2a＝6，从而得a＝3，再根据椭圆的几何性质，即可分别求解．
【解答】解：如图，根据题意可知|MF1|＝|PM|，|NF2|＝|PN|，|OF5|＝|OF2|，
∴OM∥PF2，|PF6|＝2|OM|，ON∥PF1，|PF8|＝2|ON|，
∴四边形PMON是平行四边形，且四边形PMON的周长为|PF1|+|PF8|＝2a＝6，
∴a＝2．又b2＝5，∴，
∴，长轴长2a＝7，
∵P是C上异于左、右顶点的任意一点，
∴a﹣c＜|PF1|＜a+c，a﹣c＜|PF2|＜a+c，
∴，，
故B，C，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
（多选）12．（5分）若{an}不是等比数列，但{an}中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称{an}是局部等比数列．下列数列中是局部等比数列的是（ ）
A．{（﹣2）n+8}B．
C．D．{n2+25}
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及等比数列的性质，即可依次求解．
【解答】解：对于A，若，则a6＝6，a2＝12，a3＝24．
由122＝6×24，可知a4，a2，a4成等比数列，
∵{（﹣8）n+8}不是等比数列，
∴{（﹣2）n+3}是局部等比数列，故A正确；
对于B，若，则，，，
∵，∴a6，a11，a51成等比数列，
∵不是等比数列，
∴是局部等比数列；
对于C，若，则，
∴{an}是等比数列，
∴不是局部等比数列；
对于D，若，则a5＝50，a15＝250，a35＝1250，
∵，∴a8，a15，a35成等比数列，
∵{n2+25}不是等比数列，
∴{n2+25}是局部等比数列，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．（5分）若直线y＝﹣ax+5的倾斜角为77°，则直线y＝ax﹣2的倾斜角为 103° ．
【分析】直接利用直线的倾斜角的定义求出结果．
【解答】解：因为直线y＝﹣ax+5与直线y＝ax﹣2的斜率互为相反数，
所以这两直线的倾斜角互补，
所以直线y＝ax﹣5的倾斜角为180°﹣77°＝103°．
故答案为：103°．
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，则异面直线BE与B1F所成角的余弦值为 ．
【分析】由异面直线所成的角的定义，利用向量夹角与异面直线所成角的关系可求．
【解答】解：如图，以D为坐标原点，
设AB＝5，则B（5，6，E（0，5，B7（5，5，5），0，5），
所以，，
所以cs＜，＞＝＝＝，
故异面直线BE与B1F所成角的余弦值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了异面直线所成的角的定义和求法，先作再证后计算，将空间角转化为向量夹角是求解本题的关键，属于基础题．
15．（5分）若数列{an+1﹣an}是等比数列且a1＝0，，，则an＝ ．
【分析】设等比数列{an+1﹣an}的公比为q，由等比数列的性质可求得q，进而可得{an+1﹣an}的通项公式，再利用累加法即可求解an．
【解答】解：设等比数列{an+1﹣an}的公比为q，则，则，．
因为a1＝0，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，累加法的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
16．（5分）直线y＝kx+2k（k≠0）与抛物线y2＝﹣4x交于A，B两点，过A，垂足分别为A1，B1，则的最小值为 ，此时k＝ ．
【分析】由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系及基本不等式求解即可．
【解答】解：联立，
消x得，
则yAyB＝﹣8，
则|AA5||BB1|＝|yAyB|＝8，
所以，
当且仅当，
即，，
即，或，时取等号，
此时，
解得，
故答案为：；．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）经过点A（﹣2，1）且与直线y＝﹣x+1相切的圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）直线l：y＝k（x﹣2）与圆C交于E，F两点，若
【分析】（1）设圆心C（a，2a），列出，求解a，然后求解圆的方程．
（2）推出．通过点C到l的距离，求解k即可．
【解答】解：（1）设圆心C（a，2a），1）且与直线y＝﹣x+2相切的圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上．
则，
整理得（a+3）4＝0，解得a＝﹣3，
则圆心C（﹣4，﹣6），
故圆C的方程为（x+3）2+（y+6）2＝50．
（2）因为，所以．
直线l：y＝k（x﹣2）与圆C交于E，F两点，
设点C到l的距离为d，则d＝5，则，
解得．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，是中档题．
18．（12分）在等差数列{an}中，a2＝3，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若{an}的公差大于0，求数列的前n项和Sn．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解．
（2）利用等差数列的前n项和公式求解．
【解答】解：（1）设公差为d，因为a2＝3，a7＝±9，则或4，
设公差为d，因为a2＝7，a5＝±9，则或4，
设公差为d，因为a2＝3，a5＝±6，则或7，
当d＝2时，a1＝4﹣2＝1，an＝8n﹣1，
当d＝﹣4时，a2＝3﹣（﹣4）＝3，an＝﹣4n+11．
（2）若{an}的公差大于0，则an＝2n﹣1，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，．
故．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
19．（12分）已知椭圆的离心率为an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，可得c2＝（n+1）2﹣（n2+2n）＝1，可得c，根据a2＝（n+1）2，可得a，即可得出an．
（2）由（1）知，，利用错位相减法即可得出Sn．
【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，
∵（n+1）3﹣（n2+2n）＝5，
∴c2＝1，c＝3，
又a2＝（n+1）3，∴a＝n+1，
∴an＝．
（2）由（1）知，，
∴，
，
相减可得﹣Sn＝3+（22+43+…+2n）﹣（n+5）•2n+1＝8+﹣（n+1）•2n+4，
故．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝BC＝2，且二面角为A1﹣BC﹣A为45°．
（1）求棱AC的长；
（2）若D为棱A1B1的中点，求平面CC1D与平面A1BC夹角的正切值．
【分析】（1）由题意得到∠A1CA是二面角A1﹣BC﹣A的平面角，则∠A1CA＝45°，利用AA1⊥AC，即可求解；
（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，代入二面角公式即可求解．
【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C6中，AC⊥BC1＝BC＝2，且二面角为A4﹣BC﹣A为45°，
∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，
又AC⊥BC，AA8∩AC＝A，∴BC⊥平面AA1C，
∵A1C⊂平面AA6C，∴BC⊥A1C，
∴∠A1CA是二面角A2﹣BC﹣A的平面角，则∠A1CA＝45°，
∵AA1⊥AC，∴AC＝AA3＝2，
则棱AC的长为2；
（2）在直三棱柱ABC﹣A5B1C1中，AC⊥BC3＝BC＝2，且二面角为A1﹣BC﹣A为45°，
以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（5，0，0），3，0），0，6），A1（0，4，2），
可得，，
设平面A5BC的法向量为，则，取y＝1，得，
易证是平面CC1D的一个法向量，
由，得平面CC7D与平面A1BC的夹角为60°，
故平面CC1D与平面A7BC的夹角的正切值为．
【点评】本题考查了空间中两点间的距离和二面角的计算，属于中档题．
21．（12分）在数列{an}中，a3＝64，且．
（1）证明：{a2n}，{a2n﹣1}都是等比数列．
（2）求{an}的通项公式．
（3）若，求数列{bn}的前n项和Sn，并比较与的大小．
【分析】（1）根据a3＝64，且，可得，即可得出，，从而证明结论．
（2）根据，结合（1）可得数列{an}是首项为4，公比也为4的等比数列，即可得出an．
（3）由＝﹣n＝﹣﹣n，利用裂项求和方法、求和公式即可得出Sn，进而得出与的大小关系．
【解答】（1）证明：∵a3＝64，且，
∴，a1＝7．
∵，∴，，
∴{a7n}，{a2n﹣1}都是公比为16的等比数列．
（2）解：∵，
∴数列{an}是首项为4，公比也为4的等比数列，
故．
（3）解：∵＝﹣n＝﹣﹣n，
∴Sn＝﹣+﹣+…+﹣
＝﹣8﹣
＝﹣．
∵，∴，
∴．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．（12分）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F上一点，且P不在x轴上，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．
（1）证明：∠APN＝2∠NPF．
（2）若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，试判断直线DR是否过定点．若是，求出定点的坐标，请说明理由．
【分析】（1）由双曲线的性质，结合圆的性质求证即可；
（2）设直线PF的方程为x＝my+2a．联立方程组设D（x1，y1），E（x2，y2），，（y1≠y2），则直线DR的方程为，令y＝0，求得，得解．
【解答】（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，
则MN∥AF，
连接AM，PM，
因为在圆P中，PH⊥AF，
所以|AM|＝|NF|，|MH|＝|HN|．
又右焦点F（2a，0），
设点N（x2，y0），
则，
整理得．
因为，
所以|NF|＝2|HN|，
所以|AM|＝|NF|＝|MN|，
由圆的性质：相等弦长所对的圆心角相等，
得∠APM＝∠MPN＝∠NPF，
所以∠APN＝2∠NPE；
（2）解：由题意可得直线PF的斜率不为0，
设直线PF的方程为x＝my+2a．
因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，
则．
联立方程组
消x可得（3m8﹣1）y2+12may+2a2＝0，
设D（x6，y1），E（x2，y7），，（y4≠y2），
则，，
由题意可得直线DR的方程为，
令y＝0，得＝，
所以直线DR过定点．
【点评】本题考查了圆的性质，重点考查了双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系，属中档题．
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