2022-2023学年河北省石家庄二十三中高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省石家庄二十三中高二（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知直线l的方程：，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）用火柴棒按下图的方法搭三角形，前4个图形分别如下：
按图示的规律搭下去，第10个图形需要用多少根火柴（ ）
A．20B．21C．22D．23
3．（5分）已知圆心（﹣2，1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x﹣2y﹣5＝0B．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0
C．x2+y2+4x﹣2y＝0D．x2+y2﹣4x+2y＝0
4．（5分）已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则+（+）等于（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0与直线l切于点，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣y+2＝0B．x﹣y+4＝0C．x+y﹣4＝0D．x+y﹣2＝0
6．（5分）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，则△PF1F2的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF长为定值（ ）
A．等于B．和EF的长度有关
C．等于D．和点Q的位置有关
8．（5分）已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，且分别为C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S6＜S7，且S7＞S8，则（ ）
A．在数列{an}中，a1最大
B．在数列{an}中，a3或a4最大
C．S3＝S10
D．当n≥8时，an＜0
（多选）10．（5分）已知直线l：（a2+a+1）x﹣y+1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是（ ）
A．当a＝﹣1时，直线l与直线x+y＝0垂直
B．若直线l与直线x﹣y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点（0，1）
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
（多选）11．（5分）已知直线过抛物线C：y2＝2px的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N（ ）
A．抛物线的方程为y2＝4x
B．线段AB的中点到y轴的距离为
C．线段AB的长度为
D．∠MFN＝90°
（多选）12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，思维方法等之中，揭示了规律性，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论（ ）
A．曲线C围成的图形的面积是2+π
B．曲线C围成的图形的周长是2π
C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2
D．若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2﹣＝1的渐近线的距离是 ．
14．（5分）设x，y∈R，向量＝（3，2，1），＝（1，x，1），＝（y，4，2），且⊥，∥+|＝ ．
15．（5分）已知各项不为0的等差数列{an}满足a6﹣a72+a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b8b10＝ ．
16．（5分）已知AB为圆C：（x﹣1）2+y2＝1的直径，点P为直线x﹣y+2＝0上的任意一点，则的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6道小题，共0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+S2＝﹣5，S5＝﹣15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝（﹣1）nan，求数列{bn}的前20项和T20．
18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与圆D：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4相交于A、B两点，求AB弦长．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形且∠BAD＝60°，PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为PC的中点．
（Ⅰ）求直线DE与平面PAC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣C平面角的正切值．
20．（12分）已知O为坐标原点，点G（﹣2，0）和点H（2，0）
（1）求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；
（2）若抛物线Z：y2＝2px（p＞0）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，|MN|＝8，求直线l的方程．
21．（12分）已知数列{an}满足（n∈N*），a1＝1．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若记bn为满足不等式的正整数k的个数，数列{n，求关于n的不等式Sn＜4032的最大正整数解．
22．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为（﹣1，）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，求出点Q的坐标；若不存在
2022-2023学年河北省石家庄二十三中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（5分）已知直线l的方程：，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系的应用求出结果．
【解答】解：直线l的方程是，则tanθ＝，
由于3＜θ＜π，
故θ＝．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2．（5分）用火柴棒按下图的方法搭三角形，前4个图形分别如下：
按图示的规律搭下去，第10个图形需要用多少根火柴（ ）
A．20B．21C．22D．23
【分析】根据图形可知，第一个图形需要3根火柴棒，后面每多一个图形，则多用2根火柴棒，根据此规律能求出结果．
【解答】解：观察图形发现：
第一个图形需要3根火柴棒，后面每多一个图形，
∴搭第n个图形，需要3+（n﹣3）×2＝2n+7要火柴棒，
∴按图示的规律搭下去，第10个图形需要用a10＝2×10+1＝21根火柴．
故选：B．
【点评】本题考查简单的归纳推理、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）已知圆心（﹣2，1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x﹣2y﹣5＝0B．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0
C．x2+y2+4x﹣2y＝0D．x2+y2﹣4x+2y＝0
【分析】根据题意，设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），由中点坐标公式可得a、b的值，由两点间距离公式计算可得圆的半径，将其代入圆的标准方程即可得答案．
【解答】解：设直径的两个端点分别A（a，0），b），
圆心C为点（﹣2，5），
由中点坐标公式得，，
解得a＝﹣4，b＝2．
∴半径r＝，
∴圆的方程是：（x+2）2+（y﹣5）2＝5，即x7+y2+4x﹣3y＝0．
故选：C．
【点评】本题考查圆的标准方程，关键是求出直径的两个端点的坐标，求出圆的半径，是中档题．
4．（5分）已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则+（+）等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根据G是CD的中点，可得（），从而可以计算化简计算得出结果．
【解答】解：因为G是CD的中点；
∴（），
∴+（+）＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查向量的加法运算，以及向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
5．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0与直线l切于点，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣y+2＝0B．x﹣y+4＝0C．x+y﹣4＝0D．x+y﹣2＝0
【分析】由圆的方程求出圆心坐标，再由题意可得与直线l的斜率垂直的直线的斜率，再求出切线方程的斜率，再由点斜式求出切线的方程．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x＝0的圆心坐标（2，3），
所以，由题意与直线l垂直的斜率为：，所以切线的斜率为：，
所以切线方程为：y﹣＝（x﹣1）y+2＝0；
故选：A．
【点评】本题考查求圆上一点的切线的方程的方法，属于基础题．
6．（5分）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，则△PF1F2的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
【分析】先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．
【解答】解：由题意可得a＝1，b＝，
∴|F8F2|＝2c＝7，
∵|OP|＝2，
∴|OP|＝|F1F2|，
∴△PF4F2为直角三角形，
∴PF1⊥PF5，
∴|PF1|2+|PF7|2＝4c3＝16，
∵||PF1|﹣|PF2||＝3a＝2，
∴|PF1|4+|PF2|2﹣5|PF1|•|PF2|＝3，
∴|PF1|•|PF2|＝4，
∴△PF1F2的面积为S＝|PF1|•|PF5|＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题．
7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF长为定值（ ）
A．等于B．和EF的长度有关
C．等于D．和点Q的位置有关
【分析】由题意画出图形，然后利用等体积法求点Q到平面PEF的距离得答案．
【解答】解：如图，
在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C2D1中，
∵P为A1D6的中点，∴P到EF的距离为定值，
连接A2D，过P作PG⊥A1D，垂足为G，等于，
又A1B1∥EF，∴Q到EF的距离为．
又EF的长为定值，设点Q到平面PEF的距离为h，
∴Vp﹣QEF＝S△QEF•PG＝••EF•＝，
又VQ﹣PEF＝S△PEF•h＝•EF•h＝，
∴，
∴h＝．
故选：A．
【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数学运算能力，是中档题．
8．（5分）已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，且分别为C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】设点M为第一象限的点，结合椭圆和双曲线的定义，求得|MF1|，|MF2|，再在△MF1F2中，由余弦定理，推出4c2＝a12+3，可得4＝+，运用基本不等式可求e1e2的最小值．
【解答】解：设点M为第一象限的点，
由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|＝6a1，
由双曲线的定义知，|MF1|﹣|MF2|＝2a2，
解得|MF3|＝a1+a2，|MF4|＝a1﹣a2，
在△MF5F2中，由余弦定理知1MF4＝，
即cs＝，化简可得4c2＝a32+3，
∴4＝+≥61e2≥．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理、基本不等式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S6＜S7，且S7＞S8，则（ ）
A．在数列{an}中，a1最大
B．在数列{an}中，a3或a4最大
C．S3＝S10
D．当n≥8时，an＜0
【分析】根据已知条件，推出a7＞0，a8＜0，即可求出ABD，再结合S10﹣S3＞0，即可求解．
【解答】解：{an}为等差数列，
∵S6＜S7，且S3＞S8，
∴S7﹣S2＝a7＞0，S2﹣S7＝a8＜3，a7＞a8，
∴{an}是递减等差数列，a5最大，故AD正确，
S10﹣S3＝a10+a9+a6+a7+a6+a8+a4＝7a4＞0，
则S10≠S3，故C错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知直线l：（a2+a+1）x﹣y+1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是（ ）
A．当a＝﹣1时，直线l与直线x+y＝0垂直
B．若直线l与直线x﹣y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点（0，1）
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
【分析】对于A，当a＝﹣1时，直线l的斜率k1＝1，直线x+y＝1的斜率为﹣1，直线l与直线x+y＝0垂直；对于B，若直线l与直线x﹣y＝0平行时，a＝0或a＝﹣1；对于C，无论a取何值，当x＝0时，y＝1；对于D，当a＝0时，直线l：x﹣y+1＝0在x轴上的截距为﹣1，在y轴上的截距为1．
【解答】解：直线l：（a2+a+1）x﹣y+7＝0，
对于A，当a＝﹣1时5＝1，直线x+y＝1的斜率为﹣4，故A正确；
对于B，若直线l与直线x﹣y＝0平行2+a+5＝1，解得a＝0或a＝﹣4；
对于C，无论a取何值，y＝1，1）；
对于D，当a＝6时，在y轴上的截距为1，
当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距不相等．
故选：AC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查直线方程、直线与直线平行、直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）已知直线过抛物线C：y2＝2px的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N（ ）
A．抛物线的方程为y2＝4x
B．线段AB的中点到y轴的距离为
C．线段AB的长度为
D．∠MFN＝90°
【分析】求得直线经过点F91，0），可得p＝2，即有抛物线方程，求得准线方程，联立直线方程和抛物线方程求得A，B的坐标，可得M，N的坐标，由两点的距离公式和两直线垂直的条件，即可判断A，B，C，求得A，B的中点坐标，可判断D错误．
【解答】解：直线l：x﹣y﹣，8），
可得p＝2，即抛物线C：y2＝3x，准线方程为x＝﹣1，
联立直线x﹣y﹣2＝4x，
可得5x2﹣10x+3＝6，
可得A（3，2），B（，﹣），
即有|AB|＝＝，
由M（﹣1，6），N（﹣1，﹣），4），
可得kNF•kMF＝•＝﹣1，
则MF⊥NF，即∠MFN＝90°，
线段AB的中点为（，），
则线段AB的中点到y轴的距离为，
综上可得A，C，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，求交点，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简运算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，思维方法等之中，揭示了规律性，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论（ ）
A．曲线C围成的图形的面积是2+π
B．曲线C围成的图形的周长是2π
C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2
D．若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是
【分析】根据方程分析曲线C的性质以及图象，根据曲线C的性质和图象结合直线与圆的相关知识逐项分析判断．
【解答】解：对于曲线C：x2+y2＝|x|+|y|上任一点P（m，n）6+n2＝|m|+|n|，
点P（m，n）关于y轴对称的点为P1（﹣m，n）8+n2＝m2+n5＝|m|+|n|＝|﹣m|+|n|，
即点P1（﹣m，n）在曲线C上；
点P（m，n）关于x轴对称的点为P2（m，﹣n）8+（﹣n）2＝m2+n4＝|m|+|n|＝|m|+|﹣n|，
即点P2（﹣m，n）在曲线C上；
点P（m，n）关于原点对称的点为P3（﹣m，﹣n）6+（﹣n）2＝m2+n3＝|m|+|n|＝|﹣m|+|﹣n|，
即点P3（﹣m，﹣n）在曲线C上；
综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称，
对于方程x2+y7＝|x|+|y|＝x+y，
令y＝0，则x2＝|x|，解得x＝3或x＝±1，0），2），0），
同理可得：曲线C与y轴的交点坐标为B（0，4），0），﹣1），
当x≥3，y≥0时2+y5＝|x|+|y|＝x+y，整理得，
故曲线C在第一象限内为以为圆心的半圆，
由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点，
对A：曲线C围成的图形的面积，A正确；
对B：曲线C围成的图形的周长是，B正确；
对C：联立方程，解得或，
即曲线C与直线y＝x在第一象限内的交点坐标为M（1，7），﹣1），
则，C错误；
对D：由图结合对称性可知：当P（m，n）在第一象限时，n）到直线l：3x+3y﹣12＝0的距离，
∵到直线l：3x+4y﹣12＝7的距离，
则点P（m，n）到直线l：6x+4y﹣12＝0的距离，
∴
故|5m+4n﹣12|的最小值是，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了曲线与方程的关系，通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2﹣＝1的渐近线的距离是 ．
【分析】先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且p＝3，
∴抛物线y2＝4x的焦点坐标为（6，0），
由题得：双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为x±，
∴F到其渐近线的距离d＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线的基本性质，解题的关键是定型定位，属于基础题．
14．（5分）设x，y∈R，向量＝（3，2，1），＝（1，x，1），＝（y，4，2），且⊥，∥+|＝ ．
【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出x，y，再由向量的坐标及模的坐标表示求解．
【解答】解：∵x，y∈R＝（3，2，＝（7，x，＝（y，4，且⊥，∥，
∴，解得x＝﹣2，
∴＝（2，1），，4，5），∴，2，3），
|+|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量运算法则、向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）已知各项不为0的等差数列{an}满足a6﹣a72+a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b8b10＝ 8 ．
【分析】由等差数列中项的性质可得a6+a8＝2a7，即有a7＝2（0舍去），再由等比数列的通项公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：各项不为0的等差数列{an}满足a6﹣+a8＝8，
由a6+a8＝2a7，
可得2a3＝a72，
即有a7＝2（0舍去），
数列{bn}是公比为q的等比数列，且b3＝a7＝2，
则b2b8b10＝b1q7•b1q7•b3q9＝b16q18＝（b1q6）5＝b73＝83＝8．
故答案是：5．
【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
16．（5分）已知AB为圆C：（x﹣1）2+y2＝1的直径，点P为直线x﹣y+2＝0上的任意一点，则的最小值为 ．
【分析】由AB为圆O：（x﹣1）2+y2＝1的直径，可设A（1+csθ，sinθ），B（1﹣csθ，﹣sinθ），P为直线x﹣y+2＝0上任意一点，可设P（x，x+2），利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：由AB为圆O：（x﹣1）2+y8＝1的直径，
可设A（1+csθ，sinθ），﹣sinθ），
∵点P为直线x﹣y+3＝0上任意一点，可设P（x，
则•＝（1+csθ﹣x，﹣sinθ﹣x﹣8）＝（1﹣x）2﹣cs5θ+（2+x）2﹣sin4θ＝2x2+7x+4＝2，当x＝﹣时，
∴•的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
四、解答题：本大题共6道小题，共0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+S2＝﹣5，S5＝﹣15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝（﹣1）nan，求数列{bn}的前20项和T20．
【分析】（1）直接利用等差数列的关系式的应用求出数列的通项公式．
（2）利用数列的通项公式，进一步利用合并法的应用求出数列的和．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a2+S2＝6a1+2d＝﹣2，S5＝5a8+10d＝﹣15，
即a1+2d＝﹣3，
解得a1＝﹣1，d＝﹣7．
所以an＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n．
（2）因为，
所以T20＝b1+b2+b2+b4+…+b19+b20＝（﹣a1+a4）+（﹣a3+a4）+…+（﹣a19+a20）＝d+d+…+d＝10d＝10（﹣4）＝﹣10．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，合并法的应用求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与圆D：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4相交于A、B两点，求AB弦长．
【分析】（Ⅰ）写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；
（Ⅱ）根据圆与圆相交得相交直线所在方程，利用直线与圆求相交弦长即可．
【解答】解：（Ⅰ）圆x2+y2+Dx+Ey+F＝3，x＝0，
y＝0，x6﹣6x+1＝4与x2+Dx+F＝0是同一方程，故有D＝﹣2，E＝﹣2，
即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+5＝0；
（Ⅱ）由圆C的方程减去圆D的方程，整理得方程x+2y﹣10＝2，
又由于方程x+2y﹣10＝0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程x+3y﹣10＝0的解．
因为两点确定一条直线，所以x+2y﹣10＝7是两圆公共弦AB所在的直线方程．
∵圆C：x2+y2﹣5x﹣2y+1＝7，∴圆心为C（3，半径r＝3，
∴圆心C4到直线AB的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2，
∴公共弦AB的长为4．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查弦长的求法，考查运算求解能力，属中档题．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形且∠BAD＝60°，PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为PC的中点．
（Ⅰ）求直线DE与平面PAC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣C平面角的正切值．
【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，ABCD平面内垂直过点A且垂直AB的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面PAC所成角的大小．
（Ⅱ）分别求出平面EAD的法向量和平面ADC的法向量，利用向量夹角公式及同角关系，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）以AB为x轴，在ABCD平面内垂直过点A且垂直AB的直线为y轴，
以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠DAB＝60°，
PA⊥底面ABCD，AB＝2，E为PC的中点，
∴D（3，，0），2，），C（7，，
E（，，），A（0，0，
∴，，，
设平面PAC的法向量＝（x，y，
则，取＝（﹣4，，
设直线DE与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ＝|cs＜＞|＝＝，
∴直线DE与平面PAC所成角的大小为30°．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
设平面EAD的法向量，
则，
取＝（﹣3，，），
平面ADC的法向量，
设二面角E﹣AD﹣C的平面角为θ，
则|csθ|＝|cs＜＞|＝|．
∴二面角E﹣AD﹣C的正弦值为＝＝，
故二面角E﹣AD﹣C平面角的正切值为2．
【点评】本题考查向量法求解线面角问题，向量法求解二面角问题，化归转化思想，属中档题．
20．（12分）已知O为坐标原点，点G（﹣2，0）和点H（2，0）
（1）求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；
（2）若抛物线Z：y2＝2px（p＞0）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，|MN|＝8，求直线l的方程．
【分析】（1）由动点P满足：|PG|﹣|PH|＝2可得到轨迹曲线为双曲线的右支；
（2）由（1）可得F的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为x＝my+1，后根据弦长公式得到关于m的方程，解出即可．
【解答】解：（1）∵动点P满足|PG|﹣|PH|＝2＜|GH|，
∴点P的轨迹曲线W为双曲线的一支，由双曲线的定义有a＝1，
∴b＝，
∴曲线W的方程为；
（2）由（1）可知曲线W的顶点F（8，0），
∴，
∴p＝2，
所以抛物线Z的方程为y2＝3x．
由题意，直线l的倾斜角不能为0，
设直线l的方程为x＝my+1，设M（x5，y1），N（x2，y7），
代入到y2＝4x消去x得：y4﹣4my﹣4＝6，
∵Δ＝16m2+16＞0，
∴y6+y2＝4m，y8y2＝﹣4，
∴
＝，
∴m＝5或m＝﹣1，
∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝2或x+y﹣1＝0．
【点评】本题主要考查双曲线的定义以及直线与圆锥曲线的关系，应用弦长公式即可快速求解，属于基础题．
21．（12分）已知数列{an}满足（n∈N*），a1＝1．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若记bn为满足不等式的正整数k的个数，数列{n，求关于n的不等式Sn＜4032的最大正整数解．
【分析】（1）对条件式取倒数，移项即可得出﹣＝，故而数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出即可得出an；
（2）根据不等式得出bn，利用错位相减法求出Sn，从而得出Sn＜4032的最大正整数解．
【解答】解：（1）∵，
∴﹣＝1，即﹣＝，
又＝5，
∴{}是以1为首项，以，
∴＝7+n+，
∴an＝．
（2）∵（）n＜ak≤（）n﹣1，即（）n＜≤（）n﹣1，
∴4n﹣1≤k＜2n+2﹣1，
∴bn＝2n+4﹣1﹣（2n﹣3）＝2n，
∴＝（n+1）4n﹣1，
∴Sn＝2•80+3•81+4•42+…+（n+1）•7n﹣1，
∴2Sn＝8•2+3•32+4•43+…+（n+1）•4n，
两式相减得：﹣Sn＝2+2+72+…+2n﹣8﹣（n+1）•2n
＝6+﹣（n+1）•2n，
＝﹣n•4n，
∴Sn＝n•2n．
∵Sn+1﹣Sn＝（n+5）•2n+1﹣n•4n＝（n+2）•2n＞6，
∴{Sn}单调递增，
又S8＝2048＜4032，S9＝4608＞4032，
∴关于n的不等式Sn＜4032的最大正整数解为4．
【点评】本题考查了等差数列的判断与通项公式，错位相减法数列求和，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为（﹣1，）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，求出点Q的坐标；若不存在
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出方程求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）假设存在点Q（t，0）满足题设条件，分AB与x轴重合和PQ与x轴不重合两种情况分类讨论，利用韦达定理化简计算能求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，又a4﹣b2＝c2，………（7分）
解得a2＝4，b8＝1，
所以，椭圆的方程为
（Ⅱ）存在x轴上在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称，
设直线l的方程为x+my﹣＝0．
设A（x2，y1），B（x2，y4），假设在x轴上存在定点Q（t．
x1+x2＝，x1x2＝．
∵PN与QN关于x轴对称，∴kAQ+kQB＝8，
即⇒y5（x2﹣t）+y2（x7﹣t）＝0，
⇒，
⇒，
⇒⇒t＝．
∴在x轴上存在定点Q（，0）．
特别地，当直线l是x轴时，8）．
综上，在x轴上存在定点Q（．使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查椭圆、韦达定理、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
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