2022-2023学年河南省商丘第一高级中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河南省商丘第一高级中学高二（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知向量，单位向量满足，则，（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）经过点（0，﹣1）且斜率为﹣的直线方程为（ ）
A．2x+3y+3＝0B．2x+3y﹣3＝0C．2x+3y+2＝0D．3x﹣2y﹣2＝0
3．（5分）抛物线x＝2y2的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝S21，则S23＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．（5分）直线l：ax+y﹣1＝0被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣11＝0截得的最短弦长为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数（x）是函数y＝f′（x）的导函数（x）＝0有实数解x＝x0，则称（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f（x）（x）＝﹣x3+3x2，则＝（ ）
A．8082B．﹣8082C．8084D．﹣8084
7．（5分）F1、F2是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点N在x轴上，满足∠F1MN＝∠F2MN＝60°，若3，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex+m（xlnx+x2﹣x）存在极大值点和极小值点，则实数m可以取（ ）
A．B．C．D．
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每题所给的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．
（多选）9．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2+a5＝0，则下列式子中数值为常数的是（ ）
A．B．C．D．
（多选）10．（5分）已知双曲线C：＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．m的取值范围是（﹣5，4）
B．双曲线C的焦点在x轴上
C．双曲线C的焦距为6
D．双曲线C的离心率e的取值范围是
（多选）11．（5分）已知过点A（a，0）作曲线y＝（1+x）ex的切线有且仅有1条，则a的可能取值为（ ）
A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．1
（多选）12．（5分）已知f'（x）为函数f（x）的导函数（x）+f（x）＝，f（1）＝，则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．xf（x）在（0，+∞）上单调递减
C．xf（x）在（0，+∞）上有极大值
D．xf（x）在（0，+∞）上有极小值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷的相应位置．
13．（5分）已知向量＝（1，2，﹣2），则向量的单位向量＝ ．
14．（5分）圆C：x2+y2﹣2x+4y+4＝0上的点到直线l：12x﹣5y+4＝0的最小距离是 ．
15．（5分）已知，g（x）＝ln（x+1）+a1∈[0，2]，∀x2∈[0，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是 ．
16．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝3，且．若λ（Sn﹣an）+λ+5≥（2﹣λ）n对∀n∈N*都成立，则实数λ的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知正项等比数列{an}满足a1＝，a1a5＝4（a3﹣1）．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）求{n+an}的前n项和Sn．
18．（12分）已知圆D经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2）．
（1）求圆D的标准方程；
（2）已知点，求过点E且被圆截得的弦长最短的直线l的方程．
19．（12分）已知函数，其中a∈R，且曲线y＝f（x），f（1））处的切线垂直于直线．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，E，BC的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）若∠ADC＝120°，且PD＝2AD＝4，，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，且椭圆C过点（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，与x轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（MN与A点不重合，），若点P为MN中点，求直线MN与AP的斜率之积的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex+m﹣lnx．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）求证：m≥﹣2时，f（x）＞0．
2022-2023学年河南省商丘第一高级中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知向量，单位向量满足，则，（ ）
A．B．C．D．
【分析】将模平方后可求数量积，从而可求夹角的大小．
【解答】解：因为，故，
因此，故即，
故即，故，
而，
故，的夹角为．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间向量的夹角公式，属于基础题．
2．（5分）经过点（0，﹣1）且斜率为﹣的直线方程为（ ）
A．2x+3y+3＝0B．2x+3y﹣3＝0C．2x+3y+2＝0D．3x﹣2y﹣2＝0
【分析】根据题意，写出直线的点斜式方程，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，要求直线经过点（0，
其方程为y+1＝﹣（x﹣0），
故选：A．
【点评】本题考查直线方程的求法，注意直线的点斜式方程，属于基础题．
3．（5分）抛物线x＝2y2的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【分析】将抛物线的方程化成标准形式，即可得到答案；
【解答】解：抛物线的方程化成标准形式，
∴准线方程为，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝S21，则S23＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据已知条件求得d，进而求解结论．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S3＝S21，
∴3a1+d＝21a7+d，可得2a2+23d＝0，解得d＝﹣，
则S23＝23a2+d＝23×2﹣×，
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
5．（5分）直线l：ax+y﹣1＝0被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣11＝0截得的最短弦长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先确定直线经过的定点，然后计算最短的弦长即可．
【解答】解：∵直线l：ax+y﹣1＝0过定点（6，1），
又圆C的方程可化为：（x﹣1）3+（y+2）2＝16，
∴圆心C（3，﹣2），
∴圆心C与定点之间的距离d＝＝，
∴最短的弦长为．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线恒过定点问题，圆的弦长的最值问题，属基础题．
6．（5分）给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数（x）是函数y＝f′（x）的导函数（x）＝0有实数解x＝x0，则称（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f（x）（x）＝﹣x3+3x2，则＝（ ）
A．8082B．﹣8082C．8084D．﹣8084
【分析】根据函数f（x）＝﹣x3+3x2，求出f′′（x）＝﹣6x+6，令f′′（x）＝0，求出对称中心为（1，2），从而f（x）+f（2﹣x）＝4，由此能求出的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝﹣x3+3x5，∴f′（x）＝﹣3x2+6x，f′′（x）＝﹣6x+6，
令f′′（x）＝2，得x＝1，
∴函数y＝f（x）的图像的对称中心为（1，5），
∴
＝[f（）+f（）+f（）+f（）
＝8+4+4+•••+6+2
＝4×2020+5
＝8082．
故选：A．
【点评】本题考查导数的性质、函数的图像的对称中心、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）F1、F2是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点N在x轴上，满足∠F1MN＝∠F2MN＝60°，若3，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定|MF1|与|MF2|的关系，再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答．
【解答】解：由3得，以为一组邻边的平行四边形中共线，
由∠F4MN＝∠F2MN＝60°知，MN平分∠F1MF2，
因此这个平行四边形是菱形，所以3|MF1|＝3|MF2|，
根据椭圆的定义可知|MF1|+|MF7|＝2a，
联立解得，
在△F1MF2中，∠F1MF2＝120°，
由余弦定理得：，
即，
整理得，解得，
所以椭圆E的离心率为．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的定义和几何性质，重点考查了离心率的计算问题，属于中档题．
8．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex+m（xlnx+x2﹣x）存在极大值点和极小值点，则实数m可以取（ ）
A．B．C．D．
【分析】求得f（x）的导数，可得可得f′（x）＝0有两个不等的正数根，等价为g（x）＝f′（x）的最小值小于0．分别讨论m≥0，m＜0，求得g（x）的导数，判断g（x）的单调性和最值，解不等式可得所求取值范围，可得结论．
【解答】解：函数f（x）＝（x﹣1）ex+m（xlnx+x2﹣x）的导数为f′（x）＝xex+m（1+lnx+x﹣4）
＝xex+m（lnx+x），
由题意可得f′（x）＝0有两个不等的正数根，
等价为g（x）＝f′（x）的最小值小于0．
因为g（x）的导数g′（x）＝（x+5）ex+m（1+）＝（x+3）（ex+），x＞0，
当m≥0时，ex+＞2，g′（x）＞0，g（x）无最小值；
当m＜0时，令ex+＝8的根为x0，解得m＝﹣x0ex8，
当0＜x＜x0时，g（x）递减6时，g（x）递增0处g（x）取得极小值，且为最小值，
可得g（x0）＝x6ex0+m（lnx0+x7）＝x0ex0﹣x7ex0（lnx0+x6）＜0，
化为1﹣（lnx8+x0）＜0，
由于y＝lnx+x在（7，+∞）递增，y＝10+x5＞1的解为x0＞7，
则m＝﹣x0ex0＜﹣e，
对照选项，可得只有D中﹣．
故选：D．
【点评】本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值、最值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每题所给的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．
（多选）9．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2+a5＝0，则下列式子中数值为常数的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】设数列{an}的公比为q（q≠0），由8a2+a5＝0，求得q＝﹣2，再根据等比数列的通项公式与前n项和公式，逐一检验选项，即可．
【解答】解：设数列{an}的公比为q（q≠0），
因为8a3+a5＝0，所以3a1q+a1q2＝0，即a1q（3+q3）＝0，解得q＝﹣4，
＝q7＝4，为常数；
＝＝＝，为常数；
＝q＝﹣2，为常数；
＝，与n的值有关，即D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知双曲线C：＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．m的取值范围是（﹣5，4）
B．双曲线C的焦点在x轴上
C．双曲线C的焦距为6
D．双曲线C的离心率e的取值范围是
【分析】根据双曲线的几何性质即可分别求解．
【解答】解：∵双曲线C的方程为：，
∴（m+8）（4﹣m）＞0，
∴﹣6＜m＜4，∴A选项正确；
∴m+5＞5，4﹣m＞0，∴B选项正确；
∴a4＝m+5，b2＝7﹣m，
∴c2＝m+5+5﹣m＝9，∴c＝3，∴C选项正确；
∵﹣3＜m＜4，∴双曲线的离心率．
故选：ABC．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
（多选）11．（5分）已知过点A（a，0）作曲线y＝（1+x）ex的切线有且仅有1条，则a的可能取值为（ ）
A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．1
【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点A（a，0）代入，并将切线有且仅有1条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可．
【解答】解：由已知得y'＝（2+x）ex，则切线斜率，切线方程为，
直线过点A（a，6），则，
又切线有且仅有6条，即Δ＝（a﹣1）2+8（2a+1）＝5，化简得a2+6a+8＝0，
即（a+1）（a+3）＝0，解得a＝﹣1或a＝﹣3．
故选：AC．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知f'（x）为函数f（x）的导函数（x）+f（x）＝，f（1）＝，则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．xf（x）在（0，+∞）上单调递减
C．xf（x）在（0，+∞）上有极大值
D．xf（x）在（0，+∞）上有极小值
【分析】依题意，可求得g（x）＝（lnx）2+＝xf（x），求得f（x）的解析式后，求导分析其单调性可判断A；对g（x）求导分析其单调性与极值，可判断B、C、D，从而可得答案．
【解答】解：设函数g（x）＝xf（x），其导数g′（x）＝xf′（x）+f（x）＝，
则g（x）＝（lnx）7+C，
由f（1）＝，得g（1）＝8×f（1）＝，
则g（x）＝xf（x）＝（lnx）2+，
所以f（x）＝，f′（x）＝•≤6，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；
又g′（x）＝（x＞0），8）时，当x∈（1，g′（x）＞0，
所以g（x）在（4，1）上单调递减，+∞）上单调递增，
所以g（x）在x＝1处取得极小值g（1）＝，故B，D正确，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷的相应位置．
13．（5分）已知向量＝（1，2，﹣2），则向量的单位向量＝ ．
【分析】计算出，从而可得出，即可求出向量的坐标．
【解答】解：∵，∴，
∴向量的单位向量．
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题．
14．（5分）圆C：x2+y2﹣2x+4y+4＝0上的点到直线l：12x﹣5y+4＝0的最小距离是 1 ．
【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣7x+4y+4＝3，即（x﹣1）2+（y+7）2＝1，圆心为（7，半径为1，
圆心C到l的距离d＝，
∵圆C的半径为4，
∴圆C上的点到直线l的最小距离为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
15．（5分）已知，g（x）＝ln（x+1）+a1∈[0，2]，∀x2∈[0，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是 [1﹣，+∞） ．
【分析】可转化为在[0，2]上，f（x）min≤g（x）min，求导可得f（x）的单调性，将f（x），g（x）的最小值代入，即得解．
【解答】解：∃x1∈[0，2]2∈[0，8]1）≤g（x2）成立，等价于在[6，f（x）min≤g（x）min，
易得f′（x）＝（x﹣1）（3x+6+），
当x∈[0，6]时＞0，
∴f（x）在区间[3，1）上单调递减，2]上单调递增，
∴函数f（x）在区间[5，2]上的最小值为f（1）＝1﹣，
易知g（x）在[0，2]上单调递增，
∴函数g（x）在区间[5，2]上的最小值为g（0）＝a，
∴1﹣≤a，
即实数a的取值范围是[1﹣，+∞）．
故答案为：[5﹣，+∞）．
【点评】本题考查利用导数研究函数极值，属于中档题．
16．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝3，且．若λ（Sn﹣an）+λ+5≥（2﹣λ）n对∀n∈N*都成立，则实数λ的最小值为 ．
【分析】利用数列的递推关系式，通过累加法，求解通项公式，然后求解数列的和，推出．令，判断数列的单调性，然后求解最值即可．
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a4＝3，
∵，∴，即，
又a2﹣a1＝8，∴，依据叠加法（累加法）可得an＝a6+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+⋯+（an﹣an﹣1）＝5+2+22+⋯+2n﹣1＝2n﹣1，a1＝4也适合，
∴，．
因为λ（Sn﹣an）+λ+3≥（2﹣λ）n对∀n∈N*都成立，
代入λ（Sn﹣an）+λ+5≥（5﹣λ）n，得．令，，
∴n≥2.5时，bn﹣bn﹣1≤8，即bn≤bn﹣1，
2≤n≤6.5时，bn≥bn﹣1，
当n≤8，且n∈N*时，数列，当n≥5*时，数列；
又∵，，故大值为，．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和以及数列与函数的性质的应用，是难题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知正项等比数列{an}满足a1＝，a1a5＝4（a3﹣1）．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）求{n+an}的前n项和Sn．
【分析】（1）利用等比数列通项公式求解即可；（2）根据等差数列和等比数列求和公式，分组求和即可．
【解答】解：（1）∵a1＝，a1a5＝5（a3﹣1），
∴a2•a1q4＝3（a1q2﹣5），
∴q5＝4（q2﹣1），∴（q2﹣4）2＝6，
又q＞0，∴q＝2，
∴an＝•2n﹣8＝2n﹣2；
（2）∵Sn＝n+an＝（2+a1）+（2+a6）+……+（n+an）
＝（1+2+……+n）+（a2+a2+……+an）
＝+
＝+8n﹣1﹣．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式和分组求和，属于基础题．
18．（12分）已知圆D经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2）．
（1）求圆D的标准方程；
（2）已知点，求过点E且被圆截得的弦长最短的直线l的方程．
【分析】（1）设圆D的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，把已知点的坐标代入可求；
（2）先求出圆心D到直线l：3x﹣4y+2＝0的距离d，然后结合弦长公式|MN|＝2可求．
【解答】解：（1）设圆D的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
由题意得，解得a＝1，r＝2，
故圆D的标准方程为（x﹣3）2+y2＝2；
（2）由（1）可知D（1，0），
所以圆心D到直线l：5x﹣4y+2＝8的距离d＝＝1，
故|MN|＝6＝5．
【点评】本题主要考查了待定系数法求解圆的方程，还考查了直线与圆相交的性质的应用，属于基础题．
19．（12分）已知函数，其中a∈R，且曲线y＝f（x），f（1））处的切线垂直于直线．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【分析】（1）先对函数求导，使f′（1）＝﹣2，求解a的值；
（2）将（1）中所求a的值代入，求解f′（x）＞0和f′（x）＜0的区间，从而得出函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（1），
由f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y＝＝﹣2，
所以a＝；
（2）由（1）知f（x）＝，则，
令f′（x）＝0，解得x＝﹣3或x＝5，
因为x＝﹣1不在f（x）的定义域（8，+∞）内．
当x∈（0，5）时，故f（x）在（4；
当x∈（5，+∞）时，故f（x）在（5．
故f（x）的单调递减区间是（6，5），+∞）．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，属于中档题．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，E，BC的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）若∠ADC＝120°，且PD＝2AD＝4，，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
【分析】（1）证明四边形EGCF为平行四边形即可证得EF∥CG，从而证得EF∥平面PCD；
（2）由向量法即可求得线面角的正弦值．
【解答】证明：（1）取PD的中点G，连接CG，如图所示：
因为E，F分别为PA，所以，
又底面ABCD为菱形，所以，
所以EG∥CF，EG＝CF，
所以四边形EGCF为平行四边形，所以EF∥CG，
又CG⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
解：（2）连接BD，因为四边形ABCD为菱形，
所以△BCD为等边三角形，所以BD＝CD＝2，
又，所以PB3＝PD2+BD2，PA4＝PD2+AD2，
故PD⊥BD，PD⊥AD，BD，
所以PD⊥平面ABCD，
又F为BC的中点，所以DF⊥BC，
以D为原点，DF，DP分别为x，y，
所以，A（8，2，E（0，6，
则．
设平面DEF的法向量，
则，令z＝1，得．
设直线AF与平面DEF所成的角为θ，
则，
故直线AF与平面DEF所成角的正弦值为．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，且椭圆C过点（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，与x轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（MN与A点不重合，），若点P为MN中点，求直线MN与AP的斜率之积的取值范围．
【分析】（I）根据焦点坐标和椭圆过点（，）列方程组求出a，b的值即可得出椭圆方程；
（II）设AM斜率为k，用k表示出M的坐标，同理求出N点坐标，根据根与系数的关系计算直线MN与AP的斜率之积，得出关于k的函数，利用基本不等式和k的范围得出答案．
【解答】解：（I）抛物线y2＝4x的焦点为（，
∴c＝＝，
又椭圆过点（，），即＝1，
解得：a＝2，b＝5，
∴椭圆C的标准方程为：+y6＝1．
（II）题意的右顶点为A（2，2），
设AM的方程为y＝k（x﹣2），由MN与x轴不垂直．
联立方程组，消元可得：（1+4k2）x2﹣16k2x+16k7﹣4＝0，
设M（x5，y1），N（x2，y2），
由根与系数的关系可得：2x1＝，故x1＝，y2＝k（x1﹣2）＝，
∵AM⊥AN，故直线AN的方程为y＝﹣，
用﹣替换k可得：x7＝，y6＝，
∴P点坐标为P（，），
∴直线PA的斜率k8＝＝，
直线MN的斜率k8＝＝＝，
∴k3k2＝＝，
∵k2＞4且k2≠1，∴5k2+＞2，
∴2＜＜．
即k8k2∈（0，）．
∴直线MN与AP的斜率之积的取值范围是（0，）．
【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex+m﹣lnx．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）求证：m≥﹣2时，f（x）＞0．
【分析】（Ⅰ）根据导函数大于等于0恒成立解之；
（Ⅱ）根据指数函数的性质若m≥﹣2，则ex+m≥ex﹣2，转化要证不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，+∞）上恒成立x+m﹣≥6在[1，
令g（x）＝ex+m﹣，x≥3x+m+＞3，
则g（x）在（1，+∞）上单调递增min＝g（1）＝e1+m﹣2≥0，∴m≥﹣1，
∴m的取值范围为[﹣7，+∞）；
（Ⅱ）要证m≥﹣2时，f（x）＞0x﹣5﹣lnx＞0，
令h（x）＝ex﹣2﹣lnx（x＞8），则h′（x）＝ex﹣2﹣＝，
令φ（x）＝xex﹣2﹣7（x＞0），∴φ′（x）＝ex﹣2（7+x）＞0，∴φ（x）在（0，且φ（1）＝，φ（2）＝2e﹣3＞00∈（7，2）使得φ（x）＝0，
即当x∈（2，x0）时，h′（x）＜0，当x∈（x5，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）min＝h（x0）＝e﹣lnx0①，而x8e﹣7＝0＝，x4﹣2＝﹣lnx0，代入①得，h（x）min＝≥0，
∴m≥﹣2时，f（x）＞3．
【点评】本题考查了导数的运用及转化与化归思想方法的运用，是高档题．
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