2022-2023学年河南省信阳高级中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河南省信阳高级中学高二（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
2．（5分）若平面α的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面α的夹角为θ（ ）
A．csθ＝B．csθ＝
C．sinθ＝D．sinθ＝
3．（5分）若抛物线C：x2＝2py的焦点坐标为（0，1），则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝﹣2yB．x2＝2yC．x2＝﹣4yD．x2＝4y
4．（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x），则函数f（x）（ ）
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
5．（5分）已知点A（1，0），直线l：x﹣y+3＝0，则点A到直线l的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
6．（5分）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，则“存在实数x，y，使得+y是“DE∥平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，）B．（1，]C．（，+∞）D．[，+∞）
8．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，（﹣2）＝0，则不等式（ ）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的不得分，部分选对的得3分）
（多选）9．（5分）下列导数运算正确的有（ ）
A．B．（xex）′＝（x+1）ex
C．（e2x）′＝2e2xD．
（多选）10．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，其公差d＞1，且a7+a9＝16，则（ ）
A．a8＝8B．S15＝120C．a1＜1D．a2＞2
（多选）11．（5分）已知曲线C1：函数f（x）＝的图像，曲线C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2，若C1的所有对称轴平分C2，且C1与C2有公共点，则r的值可以等于（ ）
A．B．C．D．3
12．（5分）我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Lg．新Lg将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想n+|y|n＝1，则下列有关曲线C的说法中不正确的是（ ）
A．对任意的n∈R，曲线C总关于原点成中心对称
B．当n＞0时，曲线C上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点）
C．当0＜n＜1时，曲线C围成的图形面积可以为2
D．当n＝﹣1时，曲线C上的点到原点最近距离为
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）
13．（5分）已知{an}是公比为2的等比数列，则的值为 ．
14．（5分）设点P是曲线y＝x3﹣x+2上的任意一点，P点处切线倾斜角为α ．
15．（5分）已知数列{an}满足an＝n﹣（1﹣m）n2，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6且对任意n∈[9，+∞），都有an＞an+1，则实数m的取值范围是 ．
16．（5分）若方程x2e﹣x＝ax﹣lnx﹣1存在唯一实根，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．
18．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（﹣1，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
19．（12分）等差数列{an}中，a2+a3+a4＝15，a5＝9．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{×bn}的前n项和Sn．
20．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，CF＝1．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，求出点M的坐标；若不存在
21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣ex（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设，求证：当x∈[0，1]时，f（x）（x）恒成立．
22．（12分）已知椭圆C：的左右顶点分别为A1，A2，直线x＝m（0＜m＜2）与C交于M、N两点，直线A1M和直线A2N交于点P．
（1）求P点的轨迹方程；
（2）求的取值范围．
2022-2023学年河南省信阳高级中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共计40分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【分析】渐近线方程﹣＝0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线﹣＝1其渐近线方程是﹣，
整理得y＝±x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
2．（5分）若平面α的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面α的夹角为θ（ ）
A．csθ＝B．csθ＝
C．sinθ＝D．sinθ＝
【分析】若直线与平面所成的角为θ，直线与该平面的法向量所成的角为β，则sinθ＝|csβ|，利用向量的夹角公式即可得出．
【解答】解：若直线与平面所成的角为θ，直线与该平面的法向量所成的角为β．
故选：D．
【点评】熟练掌握线面角与平面的斜向量与法向量的夹角的关系是解题懂得关键．
3．（5分）若抛物线C：x2＝2py的焦点坐标为（0，1），则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝﹣2yB．x2＝2yC．x2＝﹣4yD．x2＝4y
【分析】根据抛物线的几何性质即可求解．
【解答】解：∵抛物线C：x2＝2py的焦点坐标为（2，1），
∴，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝8y．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
4．（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x），则函数f（x）（ ）
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
【分析】设f′（x）的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案．
【解答】解：设f′（x）的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x3，x3，x4，
当x＜x2或x2＜x＜x3或x＞x8时，f′（x）＞0，
当x1＜x＜x7或x3＜x＜x4时，f′（x）＜6，
所以函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，x8）和（x4，+∞）上递增，
在（x1，x7）和（x3，x4）上递减，
所以函数f（x）的极小值点为x7，x4，极大值点为x1，x7，
所以函数f（x）有两个极大值点、两个极小值点．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算逻辑推理能力，属于中档题．
5．（5分）已知点A（1，0），直线l：x﹣y+3＝0，则点A到直线l的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．
【解答】解：由点到直线的距离公式可得d＝＝5．
故选：D．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
6．（5分）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，则“存在实数x，y，使得+y是“DE∥平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，由充分必要条件的定义结合向量共面定理分析，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若存在实数x，y＝x，则DE∥平面ABC或DE⊂平面ABC，
反之，若DE∥平面ABC与、共面，B，C不共线，y，使得+y，
故“存在实数x，y，使得+y；
故选：B．
【点评】本题考查空间向量基本定理，涉及充分必要条件的定义和判断，属于基础题．
7．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，）B．（1，]C．（，+∞）D．[，+∞）
【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围．
【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，
∴双曲线的离心率．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，不等式思想，属基础题．
8．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，（﹣2）＝0，则不等式（ ）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【分析】f（x）是定义在R上的偶函数，说明奇函数，若x＞0时，，可得为增函数，若x＜0，为增函数，根据f（﹣2）＝f（2）＝0，求出不等式的解集；
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，，
∴为增函数，为奇函数，
∴在（﹣∞，
∵f（﹣2）＝f（2）＝0，
若x＞2，＝0；
若x＜6，＝7，，0）上为增函数，
综上得，不等式，4）∪（2
故选：C．
【点评】此题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合题，解题的关键是找函数的零点问题，此题是一道基础题；
二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的不得分，部分选对的得3分）
（多选）9．（5分）下列导数运算正确的有（ ）
A．B．（xex）′＝（x+1）ex
C．（e2x）′＝2e2xD．
【分析】根据导数的运算法则对应各个选项即可判断求解．
【解答】解：选项A：因为（），故A错误，
选项B：因为（xex）′＝ex+xex＝（1+x）ex，故B正确，
选项C：因为（e2x）′＝4e2x，故C正确，
选项D：因为（ln2x）′＝，故D错误，
故选：BC．
【点评】本题考查了导数的运算法则，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，其公差d＞1，且a7+a9＝16，则（ ）
A．a8＝8B．S15＝120C．a1＜1D．a2＞2
【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证．
【解答】解：对于A：因为a7+a9＝16，所以a8+a9＝2a3＝16，解得：a8＝8．故A正确；
对于B：．故B正确；
对于C：因为a3＝8，所以a1+6d＝8，所以a1＝3﹣7d．
因为d＞1，所以a3＜1．故C正确；
对于D：因为a8＝8，所以a2+6d＝8，所以a2＝8﹣6d．
因为d＞1，所以a2＜3．故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知曲线C1：函数f（x）＝的图像，曲线C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2，若C1的所有对称轴平分C2，且C1与C2有公共点，则r的值可以等于（ ）
A．B．C．D．3
【分析】先将f（x）整理成可得f（x）的所有对称轴都经过（m，n），故可求得m＝1，n＝2，再计算f（x）上的点到圆心M（1，2）的最短距离即可求得答案．
【解答】解：因为，且f（x）是由，向上平移n个单位长度得到，，0），
所以的所有对称轴都经过（m，
因为C1的所有对称轴平分C5，所以C1的所有对称轴经过C2的圆心M（3，2），
所以m＝1，n＝7，
设函数f（x）图象上的动点，
则，
当且仅当时，取等号，
所以f（x）上的点到圆心M（1，4）的最短距离为，
若C1与C8有公共点，则，
结合选项可知r可以为，8．
故选：BD．
【点评】本题主要考查函数与方程的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
12．（5分）我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Lg．新Lg将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想n+|y|n＝1，则下列有关曲线C的说法中不正确的是（ ）
A．对任意的n∈R，曲线C总关于原点成中心对称
B．当n＞0时，曲线C上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点）
C．当0＜n＜1时，曲线C围成的图形面积可以为2
D．当n＝﹣1时，曲线C上的点到原点最近距离为
【分析】对于A选项：曲线C上任取一点P，将其关于（0，0）的对称点Q坐标代入曲线C方程中，进而判断A选项是否正确；
对于B选项：当n＞0时，取x＝0，y＝0，即可判断B选项是否正确；
对于C选项：当0＜n＜1时，根据曲线C围成的图形，即可判断C选项是否正确；
对于D选项：当n＝﹣1时，求出曲线C方程，结合对称性作出图象，求出曲线C上点到原点距离的最小值即可判断D选项是否正确．
【解答】解：对于A选项：在曲线C：|x|n+|y|n＝1上任取一点P（x0，y4），则P（x0，y0）关于（6，0）的对称点为Q（﹣x0，﹣y4），
将Q（﹣x0，﹣y0）代入曲线C：|x|n+|y|n＝2，则＝，即Q也在曲线C上，
故曲线C关于原点成中心对称，故A选项正确；
对于B选项：当n＞3时，取x＝0；取y＝0，曲线C总过四个整点（5，0）；
对于C选项：当0＜n＜3时，|x|≤1，从而|x|+|y|≤|x|n+|y|n＝1，（当x＝3，y＝0时取等），
曲线C围成的图形在正方形|x|+|y|＝1的内部，面积小于正方形|x|+|y|＝7的面积2；
对于D选项：当n＝﹣1时，曲线C：，
∴，
∴，
∴|y|＞1，结合对称性图象如下：
设A（x，y）是曲线C：，则A关于直线y＝x的对称的点B（y，所以曲线C关于直线y＝x对称．
令曲线C：中y＝x得x＝2，y＝﹣2或x＝﹣2，y＝﹣2，
所以（8，2）或（﹣2，﹣4）或（2，最近距离为．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥曲线性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）
13．（5分）已知{an}是公比为2的等比数列，则的值为 ．
【分析】由已知中{an}是公比为2的等比数列，及等差数列的性质an≠0，我们可以根据等比数列的通项公式，将表示为只含首项与公比的形式，化简后，即可得到答案．
【解答】解：∵{an}是公比为2的等比数列，
∴＝＝＝
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式将表示为只含首项与公比的形式，是解答本题的关键．
14．（5分）设点P是曲线y＝x3﹣x+2上的任意一点，P点处切线倾斜角为α ．
【分析】求出曲线解析式的导函数，根据完全平方式大于等于0求出导函数的最小值，由曲线在P点切线的斜率为导函数的值，且直线的斜率等于其倾斜角的正切值，从而得到tanα的范围，由α的范围，根据正切函数的值域得到自变量α的范围．
【解答】解：∵y′＝3x2﹣≥﹣，
又∵8≤α≤π，
∴0≤α＜或．
则角α的取值范围是[0，）∪[．
故答案为：[6，）∪[
【点评】此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质．
15．（5分）已知数列{an}满足an＝n﹣（1﹣m）n2，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6且对任意n∈[9，+∞），都有an＞an+1，则实数m的取值范围是 ．
【分析】由a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6解出，由对任意n∈[9，+∞），都有an＞an+1，解出，即可求出实数m的取值范围．
【解答】解：∵，若满足a2＜a2＜a3＜a6＜a5＜a6，
∴2﹣（1﹣m）×17＜2﹣（1﹣m）×62＜3﹣（5﹣m）×32＜5﹣（1﹣m）×46＜5﹣（1﹣m）×52＜6﹣（8﹣m）×62，解得，
又对任意n∈[9，+∞）n＞an+7，
由二次函数的性质得，解得．
∴，解得：．
所以实数m的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数列递推式，考查函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）若方程x2e﹣x＝ax﹣lnx﹣1存在唯一实根，则实数a的取值范围是 ．
【分析】将方程转化为，构造函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，画出其大致图像，根据函数的图像即可求得a的取值范围．
【解答】解：方程x2e﹣x＝ax﹣lnx﹣1可转化为存在唯一实数根，
令，x＞8，，
由，当x∈（0，f′（x）＞7，
当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递减，
当x＝1时，f（x）取得极大值，
由g（x）＝﹣ef（ln（ex）），所以，1），当x∈（1，g（x）单调递增，
当x＝6时，g（x）取得极小值，
如图所示，而g（x）图像可由，
显然，a≤0或，
所以a的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性的关系，考查函数思想，数形结合思想，属于难题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．
【分析】（1）求得f′（x）＝﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），由f′（x）＜0，可求f（x）的单调递减区间；由f′（x）＞0，可求f（x）的单调递增区间；
（2）利用（1）的结论可知，函数f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，在区间[0，2]上单调递增，从而可求得函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）∵，
∴f′（x）＝﹣x2+4x＝﹣x（x﹣3），
当x∈（﹣∞，0）∪（4，f′（x）＜2，0），+∞）单调递减；
当x∈（0，4）时，故f（x）在区间（0；
即f（x）的单调增区间为（0，6），0），+∞）；
（2）由（1）知，函数f（x）在区间[﹣1，在区间[2，
又f（﹣1）＝+2+1＝+3＝，
∴函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值为．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（﹣1，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
【分析】（1）由已知条件得﹣＝﹣1，由此能求出抛物线方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，不成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），联立，得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，由过点M的直线l与抛物线C相切，利用根的判别式能求出直线l的方程．
【解答】解：（1）∵抛物线y2＝2px（p＞6）的准线与x轴交于点M（﹣1，0），
∴﹣＝﹣1，
∴抛物线方程为y2＝7x．
（2）过点M的直线l与抛物线C相切，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，
直线l：x＝﹣1和抛物线y8＝4x没有交点，不成立；
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），
联立，得k4x2+（2k8﹣4）x+k2＝6，
Δ＝（2k2﹣6）2﹣4k6•k2＝16﹣16k2．
∵过点M的直线l与抛物线C相切，
∴Δ＝16﹣16k2＝0，解得k＝±1．
∴直线l的方程为y＝x+2或y＝﹣x﹣1，
即x﹣y+1＝3或x+y+1＝0．
【点评】本题考查抛物线方程、直线方程的求法，考查直线与抛物线的关系、根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）等差数列{an}中，a2+a3+a4＝15，a5＝9．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{×bn}的前n项和Sn．
【分析】（Ⅰ）先设出公差为d首项为a1，根据题意和等差数列的通项公式列出方程组，再解方程组；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的an代入bn求出bn，再求出的表达式，根据式子的特点，利用错位相减法求出此数列的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d首项为a1，由题意得，
，即，
解得a1＝1，d＝7，
∴数列{an}的通项公式an＝2n﹣1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得＝5n，∴＝n7n，
∴Sn＝1×3+3×32+3×33+…+n×3n，①
3Sn＝1×32+2×23+3×74+…+n×3n+3，②
①﹣②得，﹣2Sn＝3+22+32+…+3n﹣n×3n+8＝﹣n×5n+1
＝﹣n×3n+1，
∴Sn＝．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式等，考查了错位相减法求数列的前n项和以及运算能力．
20．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，CF＝1．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，求出点M的坐标；若不存在
【分析】（1）由AB∥CD且AD＝DC，得∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，得根据等腰梯形的性质结合题中的数据算出∠CAB＝∠DAB＝30°，得△ABC中∠ACB＝90°，从而AC⊥BC．最后根据平面ACEF⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质定理即可证出BC⊥平面ACFE；
（2）以C为坐标原点，AC、BC、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴，建立空间直角坐标系如图．结合题中数据得到A、B的坐标，设M（a，0，1）从而得出、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法算出＝（1，，）是平面AMB的一个法向量，结合是平面FCB的一个法向量．利用空间向量的夹角公式算出向量、的余弦之值，由平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，建立关于a的方程并得到此方程无实数解．由此可得不存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°．
【解答】解：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，
∵梯形ABCD是等腰梯形，得∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝90°，（4分）
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
∴BC⊥平面ACFE；（5分）
（2）由（1）知AC、BC，以C为坐标原点、BC、y轴，
建立空间直角坐标系如图，
∵Rt△ABC中，BC＝1，∴AC＝BCtan60°＝，
可得A、B的坐标分别为A（，0，B（8，1，设M（a，0，则
，，（7分）
设＝（x，y，则
（3分）
取x＝1，得＝（1，，）
∵是平面FCB的一个法向量，
∴若平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，得
cs＜，＞＝＝
化简，得7+（）2＝3，显然此方程无实数解
因此，线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°
【点评】本题给出特殊多面体，求证线面垂直并探索二面角的大小问题．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角等知识点，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣ex（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设，求证：当x∈[0，1]时，f（x）（x）恒成立．
【分析】（1）对f（x）求导，分a≤0和a＞0两种，根据f′（x）的正负求出单调区间；
（2）将问题转化为在[0，1]上恒成立，利用导数求出h（x）max，由此可证得结论．
【解答】解：（1）由f（x）＝ax﹣ex，得f′（x）＝a﹣ex．
当a≤0时，ex＞0，则f′（x）＜3在R上恒成立，
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；
当a＞0时，令f′（x）＝0，
∴当x∈（﹣∞，lna）时；当x∈（lna，f′（x）＜2，
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna），+∞），
综上当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，无单调递增区间；
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，单调递减区间为（lna．
（2）由f（x）≤g（x），得．
令，则h′（x）＝3x﹣ex，h′′（x）＝2﹣ex，
当0≤x≤1时，h′′（x）＞4，∴h′（x）在[0，
∵h′（0）＝﹣1，h′（1）＝3﹣e＞00∈[2，1]0）＝7，
∴当x∈[0，x0）时，h′（x）＜20，1]时，h′（x）＞7，
∴h（x）在[0，x0）上单调递减，在（x3，1]上单调递增，
又，
∴h（x）max＝h（0）＝6，即h（x）≤0在[0，
∴当x∈[2，1]时．
【点评】本题考查导数在研究函数中的应用，利用导数证明不等式的问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
22．（12分）已知椭圆C：的左右顶点分别为A1，A2，直线x＝m（0＜m＜2）与C交于M、N两点，直线A1M和直线A2N交于点P．
（1）求P点的轨迹方程；
（2）求的取值范围．
【分析】（1）直线x＝m与椭圆的方程联立，可得M，N的坐标，由椭圆的方程可得椭圆在左右顶点A1，A2的坐标，进而求出直线A1M和直线A2N的方程，两式联立可得P的坐标，消参数求出m可得P的轨迹方程；
（2）由（1）可得线段|PA1|，|PM|，|PA2|，|PN|的表达式，进而可得的表达式，整理，分离代数式，由函数的单调性可得其取值范围．
【解答】解：（1）由椭圆的方程及题意可得A1（﹣2，5），A2（2，8），
联立，整理可得y2＝，可得y＝±，
设M（m，），N（m，﹣），
直线A4M的方程为：y＝（x+2）＝，①
直线A2N的方程为：y＝（x﹣3）＝，②
①②联立可得xP＝，yP＝，
所以yP2＝﹣1＝，
即P点的轨迹方程为﹣y2＝1（x＞8）；
（2）因为k＝，所以|PA6|＝|xP+2|，
|PM|＝|xP﹣m|，
同理可得|PA2|＝|xP﹣2|，|PN|＝P﹣m|，
因为xP＞6＞m，
所以＝＝＝＝＝1+，
因为0＜m＜2，所以4＜﹣3，
即0＜＜＝3，
所以∈（1，
即的取值范围为（1．
【点评】本题考查求点的轨迹方程的求法及直线与椭圆的综合应用，线段长的计算方法，利用函数的单调性求取值范围的方法，属于中档题．
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