2022-2023学年辽宁省鞍山市铁东区五校鞍山一中、大连二十四中等高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年辽宁省鞍山市铁东区五校鞍山一中、大连二十四中等高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线2x+y+1＝0和直线x+2y+1＝0的位置关系是（ ）
A．平行B．相交但不垂直
C．垂直D．重合
2．（5分）若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于110°，则直线l与平面α的所成的角等于（ ）
A．20°B．70°C．110°D．以上均错
3．（5分）在平面内，已知定点A及定直线l，记动点P到l的距离为d，则“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）的展开式中x3的系数为（ ）
A．﹣512B．﹣172C．﹣160D．192
5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与平面ACC1A1所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6．（5分）用1，2，3，⋯，9这九个数字组成的无重复数字的四位奇数中，各位数字之和为偶数的共有（ ）
A．120个B．600个C．720个D．840个
7．（5分）已知椭圆C：1（0＜b＜3）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则△F1PF2的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点（x，y）与点（a，b）之间的距离的几何问题．已知点M（x1，y1）在直线l1：y＝x+2，点N（x2，y2）在直线l2：y＝x上，且MN⊥l1，结合上述观点，的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知双曲线x2，则不因θ的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标B．渐近线方程
C．焦距D．离心率
（多选）10．（5分）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）11．（5分）已知点A（a，0），点B（3，2），点P在抛物线y2＝4x上，则（ ）
A．当a＝1时，|PA|最小值为1
B．当a＝1时，|PA|+|PB|的最小值为4
C．当a＝3时，|PA|的最小值为3
D．当a＝3时，|PA|﹣|PB|的最大值为2
（多选）12．（5分）过直线kx+y+4＝0（k＞0）上一点M作圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线．切点分别为A，B，若四边形MACB周长的最小值是6，则（ ）
A．k＝2
B．∠AMB的最大度数为60°
C．直线AB必过点
D．|AB|的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）平面内，一条直线至多与双曲线有 个交点．
14．（5分）在四面体ABCD中，E是棱CD的中点，且，则x+y+z的值为 ．
15．（5分）某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车．每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有 种．
16．（5分）底面为矩形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，点E在棱AB上且满足分别为棱BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一点，若直线PB1⊥与平面EFG垂直，则点A到平面PBB1的距离的大小是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在二项式展开式中，前三项的二项式系数之和为79．
（1）求n的值；
（2）若展开式中的常数项为，求实数a的值．
18．①经过点C（﹣3，2）；②与x轴相切，半径为2；③被直线y＝2平分．从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：已知圆M经过点A（1，2），点B（﹣1，4），_____．
（1）求圆M的方程；
（2）若经过点P（﹣3，6）的直线l与圆M相切，求直线l的方程．
注：如果选多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中PO是圆锥的高，PO＝4，底面是扇形AOB，满足OA＝2，∠AOB＝90°，点C为弧AB的中点．
（1）求证：平面PAB⊥平面POC；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
20．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝2CD＝4，E为BC的中点．平面ABCD外点P满足：PA＝2，PB＝2，且PE⊥BD．
（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段PB上存在点M，使得二面角M﹣DE﹣A的余弦值为，求三棱锥M﹣BDE的体积．
21．已知A（﹣1，0），点B（1，0）在椭圆上，F（0，1）是椭圆的一个焦点．经过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，l与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q．
（1）当|CD|时，求直线l的方程；
（2）当点P异于点A，B点，求．
22．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的右焦点为F（，0），渐近线与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）交于点．
（1）求C1，C2的方程；
（2）设A是C1与C2在第一象限的公共点，作直线l与C1的两支分别交于点M，N，使得AM⊥AN．
（i）求证：直线MN过定点；
（ii）过A作AD⊥MN于D．是否存在定点P，使得|DP|为定值？如果有，请求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．
2022-2023学年辽宁省鞍山市铁东区五校鞍山一中、大连二十四中等高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在㙁小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）直线2x+y+1＝0和直线x+2y+1＝0的位置关系是（ ）
A．平行B．相交但不垂直
C．垂直D．重合
【解答】解：方程2x+y+1＝0可化为y＝﹣2x﹣1，因此该直线的斜率k1＝﹣2．
方程x+2y+1＝0可化为，因此该直线的斜率，
因为k1≠k2，k1•k2＝1≠﹣1，所以这两条直线相交但不垂直．
故选：B．
2．（5分）若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于110°，则直线l与平面α的所成的角等于（ ）
A．20°B．70°C．110°D．以上均错
【解答】解：因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于110°，
所以直线l与平面α的所成的角为110°﹣90°＝20°．
故选：A．
3．（5分）在平面内，已知定点A及定直线l，记动点P到l的距离为d，则“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”⇒“|PA|＝d”，
反之不成立，直线经过定点A，轨迹不是抛物线．
因此“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的必要不充分条件．
故选：C．
4．（5分）的展开式中x3的系数为（ ）
A．﹣512B．﹣172C．﹣160D．192
【解答】解：因为，
因为（x﹣2）6的展开式的通项，
所以（x﹣2）6的展开式中含x3的项为，其系数为﹣160，
所以的展开式中含x3的项为，其系数为﹣12，
所以的展开式中x3的系数为﹣172．
故选：B．
5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与平面ACC1A1所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1D1∩A1C1＝O，连接AO，如图，
则有B1O⊥A1C1，而AA1⊥平面A1B1C1D1，B1O⊂平面A1B1C1D1，即有B1O⊥AA1，
又AA1∩A1C1＝A1，AA1，A1C1⊂平面ACC1A1，因此B1O⊥平面ACC1A1，
则∠B1AO是直线AB1与平面ACC1A1所成的角，
在Rt△AB1O中，∠AOB1＝90°，，则有∠B1AO＝30°，
所以直线AB1与平面ACC1A1所成的角为30°．
故选：A．
6．（5分）用1，2，3，⋯，9这九个数字组成的无重复数字的四位奇数中，各位数字之和为偶数的共有（ ）
A．120个B．600个C．720个D．840个
【解答】解：根据题意，若想组成四位奇数且各位数字之和为偶数，分以下两种情况：
（1）四位数均为奇数：包含种；
（2）四位数中两位奇数两位偶数：包含种．
综上所述一共包含120+720＝840个．
故选：D．
7．（5分）已知椭圆C：1（0＜b＜3）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则△F1PF2的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：不妨设椭圆的长半轴为a，
易知a＝3
不妨设F1关于∠F1PF2平分线的对称点为Q，
由椭圆对称性及角平分线性质可知P，F2，Q三点共线且|PQ|＝|PF1|，
因为∠F1PF2＝60°，
所以△PQF1是正三角形，
不妨设|PF1|＝|QF1|＝|PQ|＝m，
易知|PF1|+|PF2|＝2a＝6，|QF1|+|QF2|＝6，
又|PQ|＝|PF2|+|QF2|，
所以|PQ|＝12﹣|PF1|﹣|QF1|＝12﹣2m，
所以m＝4，
即|PF1|＝4，|PF2|＝2，
则2．
故选：C．
8．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点（x，y）与点（a，b）之间的距离的几何问题．已知点M（x1，y1）在直线l1：y＝x+2，点N（x2，y2）在直线l2：y＝x上，且MN⊥l1，结合上述观点，的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
【解答】解：由已知表示点M（x1，y1）到点A（0，4）的距离，
表示点N（x2，y2）到点B（5，0）的距离，
∴，
过点A作AC⊥l1，垂足为C，
∵直线l1的方程为x﹣y+2＝0，A（0，4），
∴，
又直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝x平行，MN⊥l1，
∴，
∴MN∥AC，|MN|＝|AC|，
∴四边形AMNC为平行四边形，得|AM|＝|CN|，
∴，
又|CN|+|NB|≥|CB|，
当且仅当C，N，B三点共线时等号成立，
∴当点N为线段CB与直线l2的交点时，取最小值，最小值为|CB|，
∵过点A（0，4）与直线l1垂直的直线的方程为y＝﹣x+4，
联立，可得，
∴点C的坐标为（1，3），得，
∴的最小值为5．
故选：D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知双曲线x2，则不因θ的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标B．渐近线方程
C．焦距D．离心率
【解答】解：整理双曲线方程可得，
所以a＝|sinθ|，，，
所以顶点坐标为（﹣|sinθ|，0）或（|sinθ|，0），A错误；
渐近线方程为，B正确；
该双曲线焦距为：4|sinθ|，C错误；
离心率为：，D正确；
不因θ改变而变化的是离心率与渐近线方程．
故选：BD．
（多选）10．（5分）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，组合数的性质，，故C正确；
对于D，由二项式定理知，2n，故D错误．
故选：BC．
（多选）11．（5分）已知点A（a，0），点B（3，2），点P在抛物线y2＝4x上，则（ ）
A．当a＝1时，|PA|最小值为1
B．当a＝1时，|PA|+|PB|的最小值为4
C．当a＝3时，|PA|的最小值为3
D．当a＝3时，|PA|﹣|PB|的最大值为2
【解答】解：当a＝1时，作抛物线y2＝4x的准线l：x＝﹣1，过P作PC⊥l，过B作BD⊥l，如下图所示：
可得A（1，0）恰为抛物线的焦点，由抛物线定义可得PA＝PC＝xP+1≥1，
则PA+PB＝PC+PB≥BD＝4，故A、B正确；
当a＝3时，连接AB，如下图所示：
设，则，当x＝1时，PA取得最小值为，故C错误；
则，当P在线段AB的延长线上时，等号成立，故D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）过直线kx+y+4＝0（k＞0）上一点M作圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线．切点分别为A，B，若四边形MACB周长的最小值是6，则（ ）
A．k＝2
B．∠AMB的最大度数为60°
C．直线AB必过点
D．|AB|的最小值为
【解答】解：∵方程x2+y2﹣2y＝0可化为x2+（y﹣1）2＝1，
∴圆x2+y2﹣2y＝0的圆心为C（0，1），半径r＝1，
∴|CA|＝|CB|＝1，
∵MA，MB为圆x2+y2﹣2y＝0的切线，切点分别为A，B，
∴MA⊥CA，MB⊥CB，
∴|MA|＝|MB|，，
如图四边形MACB的周长，
∵四边形MACB周长的最小值是6，
∴|MC|的最小值为，
∴点C到直线kx+y+4＝0（k＞0）的距离为，
∴，
∴k＝2，A正确；
∠AMB＝2∠AMC，，
∴，
∴当|MC|取最小值时，cs∠AMB取最小值为，
即，
又余弦函数y＝csx在（0，π）上单调递减，
∴（∠AMB）max＜60°，B错误；
∵MA⊥CA，MB⊥CB，
∴点M，A，C，B四点共圆，且线段MC为该圆的直径，
设M（a，﹣2a﹣4），
过点M，A，C，B的圆的方程为，
化简可得x2﹣ax+y2+（2a+3）y﹣2a﹣4＝0，
∵圆x2+y2﹣2y＝0与圆x2﹣ax+y2+（2a+3）y﹣2a﹣4＝0相交，
将圆x2+y2﹣2y＝0与圆x2﹣ax+y2+（2a+3）y﹣2a﹣4＝0方程相减可得ax﹣（2a+5）y+2a+4＝0，
化简可得a（x﹣2y+2）﹣5y+4＝0，
故直线AB的方程为a（x﹣2y+2）﹣5y+4＝0，
又由，可得，
∴直线AB必过点，C正确；
∵△AMC的面积，
∴，
∴当|MC|取最小值时，|AB|取最小值为，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）平面内，一条直线至多与双曲线有 2 个交点．
【解答】解：当直线斜率存在时，可设直线方程为y＝kx+n，将其代入双曲线方程，
则，整理可得（b2﹣a2k2）x2﹣2a2knx﹣a2n2﹣a2b2＝0，
显然当b2﹣a2m2≠0，且Δ＝（2a2kn）2+4（b2﹣a2k2）（a2n2+a2b2）＞0时，该方程有两个不相等的实根，
则此时直线与双曲线有两个交点．
当直线斜率不存在时，可设直线方程为x＝m，将其代入双曲线方程，
则，整理可得a2y2＝b2（m2﹣a2），显然当m2﹣a2＞0时，方程有两个不相等的实根，
则此时直线与双曲线有两个交点；
综上，直线与双曲线有两个交点．
故答案为：2．
14．（5分）在四面体ABCD中，E是棱CD的中点，且，则x+y+z的值为 0 ．
【解答】解：如图所示：
如图所示，因为点E是棱CD的中点，
所以，
则，
所以x+y+z＝0．
故答案为：0．
15．（5分）某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车．每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有 24 种．
【解答】解：由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的年级，从三个年级中选两个为3，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为
，故有3×4＝12种．
第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的3个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为，这时共有＝3×4＝12种
根据分类计数原理得，共有12+12＝24种不同的乘车方式，
故答案为24．
16．（5分）底面为矩形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，点E在棱AB上且满足分别为棱BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一点，若直线PB1⊥与平面EFG垂直，则点A到平面PBB1的距离的大小是 ．
【解答】解：建系如图，设P（x，y，0），则根据题意可得：
，
∴，
∵直线PB1⊥与平面EFG垂直，
∴，
∴，即P（0，0，0），
设点A到平面PBB1的距离为d，
则，
解得d．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在二项式展开式中，前三项的二项式系数之和为79．
（1）求n的值；
（2）若展开式中的常数项为，求实数a的值．
【解答】解：（1）二项式的展开式的前三项的二项式系数依次为，
因为展开式中的前三项的二项式系数之和等于79，
所以有，
即n2+n﹣156＝0，解得n＝12或n＝﹣13．因为n＞0，所以n＝12．
（2）因为展开式的通项为，r＝0，1，⋯，12
令，得r＝9，所以常数项为，
由已知，整理得，
所以a＝2．
18．①经过点C（﹣3，2）；②与x轴相切，半径为2；③被直线y＝2平分．从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：已知圆M经过点A（1，2），点B（﹣1，4），_____．
（1）求圆M的方程；
（2）若经过点P（﹣3，6）的直线l与圆M相切，求直线l的方程．
注：如果选多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（1）选①．设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
因为圆M经过三点A（1，2），B（﹣1，4），C（﹣3，2），
所以，解得D＝2，E＝﹣4，F＝1．
所以圆M的方程为x2+y2+2x﹣4y+1＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝4．
选②．由点A（1，2），B（﹣1，4），得线段AB的中垂线方程为y＝x+3．
则圆心M在直线y＝x+3上，
设圆M的圆心坐标为（a，a+3），
又由圆M与x轴相切，可知圆心M在x轴上方
由半径为2，得a+3＝2，所以a＝﹣1．
所以圆M的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4．
选③．由点A（1，2），B（﹣1，4），得线段AB的中垂线方程为y＝x+3．
则圆心M在直线y＝x+3上，
因为圆M被直线y＝2平分，则圆心M在直线y＝2上．
由解得所以圆心M坐标为（﹣1，2），
所以半径r＝2，
所以圆M的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣6＝k（x+3），
即kx﹣y+3k+6＝0．
因为直线l与圆M相切，所以，解得，
所以直线l的方程为3x+4y﹣15＝0．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣3，符合题意；
综上，直线l的方程为x＝﹣3或3x+4y﹣15＝0．
19．如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中PO是圆锥的高，PO＝4，底面是扇形AOB，满足OA＝2，∠AOB＝90°，点C为弧AB的中点．
（1）求证：平面PAB⊥平面POC；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
【解答】（1）证明：PO⊥平面AOB，AB⊂平面AOB，有PO⊥AB，又点C为弧AB的中点，即有OC⊥AB，
且PO∩OC＝O，PO，OC⊂平面POC，则AB⊥平面POC，又AB⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面POC．
（2）解：以O为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面PAB的法向量为，则，取z＝1，得，
设直线PC与平面PAB所成的角为θ，则，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为．
20．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝2CD＝4，E为BC的中点．平面ABCD外点P满足：PA＝2，PB＝2，且PE⊥BD．
（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段PB上存在点M，使得二面角M﹣DE﹣A的余弦值为，求三棱锥M﹣BDE的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接AE，AE与BD的交点记为点O，
∵AB＝BC，，∠ABE＝∠BCD＝90°，
所以，△ABE≅△BCD，所以∠BAE＝∠CBD，
因为∠ABD+∠CBD＝90°，所以∠ABD+∠BAE＝90°，所以∠AOB＝90°，即BD⊥AE，
又因为BD⊥PE，且PE⋂AE＝E，所以BD⊥平面PAE，
因为PA⊂平面PAE，所以BD⊥PA，
因为在△PAB中，PA2+AB2＝PB2，所以PA⊥AB，
又因为BD∩AB＝B，所以PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）存在，点M为靠近点B的三等分点，理由如下：
如图，以B为原点，BA、BC所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系，
则A（4，0，0）、B（0，0，0）、C（0，4，0）、P（4，0，2）、E（0，2，0）、D（2，4，0），
，设，即点M（4λ，0，2λ），
则，，
设平面DEM的法向量，由，
取x＝λ，则，
易知，平面ABCD的一个法向量为，
因为二面角M﹣DE﹣A的余弦值为，
即，
整理可得21λ2﹣4λ﹣1＝0，解得（舍）或．
故线段PB上存在一点M，使得二面角M﹣DE﹣A的余弦值为，此时点M为靠近点B的三等分点．
其底面积，由可得锥体的体积．
21．已知A（﹣1，0），点B（1，0）在椭圆上，F（0，1）是椭圆的一个焦点．经过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，l与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q．
（1）当|CD|时，求直线l的方程；
（2）当点P异于点A，B点，求．
【解答】解：（1）因为A（﹣1，0），点B（1，0）在椭圆上，F（0，1）是椭圆的一个焦点，
所以b＝1，c＝1，
此时a2＝b2+c2＝2，
则椭圆的方程为，
易知直线l与坐标轴不垂直且不经过A，B两点，
不妨设直线l的方程为y＝kx+1（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），
联立，消去y并整理得（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，
因为直线l过点F（0，1），
所以Δ＞0恒成立，
由韦达定理得，
此时，
解得，
所以l的方程为；
（2）易知，
所以直线AC的方程为，
而，
所以子线BD的方程为，
联立，
两式相除得，
即，
因为，
所以，
此时，
解得xQ＝﹣k，
又，
则．
22．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的右焦点为F（，0），渐近线与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）交于点．
（1）求C1，C2的方程；
（2）设A是C1与C2在第一象限的公共点，作直线l与C1的两支分别交于点M，N，使得AM⊥AN．
（i）求证：直线MN过定点；
（ii）过A作AD⊥MN于D．是否存在定点P，使得|DP|为定值？如果有，请求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．
【解答】解：（1）因为，双曲线C1的渐近线过，联立，解得，b＝1，
所以双曲线C1：；
因为抛物线C2过，所以，
所以抛物线C2：；
（2）（i）因为M，N在不同支，所以直线MN的斜率存在，设直线方程为y＝kx+m，
联立，消去y，整理得（1﹣2k2）x2﹣4kmx﹣2m2﹣2＝0，
所以，，
设M（x1，y1），N（x2，y2），联立C1，C2可得A（2，1），
因为，所以（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，
代入直线方程及韦达定理整理可得，12k2+8km+m2+2m﹣3＝0，
化简整理得（6k+m+3）（2k+m﹣1）＝0，
因为A（2，1）不在直线MN上，所以2k+m﹣1≠0，所以6k+m+3＝0，
所以直线MN的方程为y＝kx﹣6k﹣3＝k（x﹣6）﹣3，
所以直线MN恒过定点B（6，﹣3）；
（ii）因为A，B为定点，且∠ADB为直角，
所以D在以AB为直径的圆上，AB的中点P（4，﹣1）即为圆心，半径|DP|为定值，
故存在点P（4，﹣1），使得|DP|为定值．
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