2022-2023学年上海中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年上海中学高二（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）小陈掷两次骰子出现6的概率为 ．
2．（3分）从{1，2，3，4，5}中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是6的倍数的概率为 ．
3．（3分）若等比数列的前n项和Sn＝4n﹣1+a，则a＝ ．
4．（3分）若数列{an}满足an+1，若a1，则a2023＝ ．
5．（3分）为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：kg）
56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83
据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为 kg．
6．（3分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 ．
7．（3分）已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为 万元．
8．（3分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为 ．
9．（3分）S1＝1+2+⋯+n，S2＝12+22+⋯+n2，S3＝13+23+⋯+n3，使S1，S2，S3成等差数列的自然数n的所有可能的值为 ．
10．（3分）已知（n∈N*），则数列{an}前2m项之和为 ．
11．（3分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1（an）2+m（n∈N*），若对任意的正整数n均有an＜4，则实数m的最大值是 ．
12．（3分）设数列{an}满足a1，an+1＝an，记Tn＝（1﹣a1）（1﹣a2）⋯（1﹣an），则使得Tn＜0成立的最小正整数n是 ．
二、选择题（每题4分）
13．（4分）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样法；②用系统抽样法
B．①用分层抽样法；②用简单随机抽样法
C．①用系统抽样法；②用分层抽样法
D．①用分层抽样法；②用系统抽样法
14．（4分）已知数据x1，x2，⋯，xn（n≥3，n∈N*）是上海普通职工n个人的年收入，这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数增加，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数增加，中位数可能不变，方差可能不变
D．年收入平均数增加，中位数可能变大，方差不变
15．（4分）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）
A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列
16．（4分）已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1，，n∈N*，则下列选项错误的是（ ）
A．B．a50b50＜112
C．a50+b50D．|a50﹣b50|≤15
三、解答题
17．（6分）某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶，每罐茶叶的标准质量是125g，为了解该批茶叶的质量情况，从中随机抽取20罐，称得各罐质量（单位：g）如下：
124.9、124.7、126.2、124.9、124.2、124.9、123.7、121.4、126.4、127.7、121.9、124.4、125.2、123.7、122.7、124.2、126.2、125.2、122.2、125.4；
求：20罐茶叶的平均质量x和标准差s．（精确到0.01）
18．（6分）俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率．
19．（10分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝10．
（1）若S20＝590，求{an}的公差；
（2）若a1∈Z，且S7是数列{Sn}中最大的项，求a1所有可能的值．
20．（12分）已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x2﹣dx﹣3＜0的解集为（﹣1，3）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}前n项和Sn．
21．（14分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an，
（1）写出数列{an}的前四项；
（2）判断数列{（an）2}的单调性；
（3）求证：2n+1＜（an+1）2．
2022-2023学年上海中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分）
1．（3分）小陈掷两次骰子出现6的概率为 ．
【分析】根据古典概型求解即可．
【解答】解：第一次不出现6的概率为，第二次不出现6的概率也为，
则掷两次骰子都不出现6的概率为，
故掷两次骰子出现6的概率为1，
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型，属于基础题．
2．（3分）从{1，2，3，4，5}中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是6的倍数的概率为 ．
【分析】根据古典概型定义可解．
【解答】解：从{1，2，3，4，5}中随机取两个元素，则有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，4），（4，5），（5，5），共15种取法，
则两个元素的积不是6的倍数有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，4），（2，5），（3，3），（3，5），（4，4），（4，5），（5，5），共13种，
则这两个元素的积不是6的倍数的概率为
【点评】本题考查古典概型概率计算，属于基础题．
3．（3分）若等比数列的前n项和Sn＝4n﹣1+a，则a＝ ．
【分析】由已知结合等比数列的求和公式的特点即可直接求解a．
【解答】解：等比数列的前n项和Sn＝4n﹣1+aa，
因为Sn，
所以a．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
4．（3分）若数列{an}满足an+1，若a1，则a2023＝ ．
【分析】由数列{an}满足an+1，a1，经过计算a2，a3，a4，即可得出数列的周期性，即可得出结论．
【解答】解：∵数列{an}满足an+1，a1，
∴a2＝2a1﹣1＝21，a3＝2a2﹣1，a4＝2a3，
……，
∴an+3＝an，
则a2023＝a3×674+1＝a1，
故答案为：．
【点评】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（3分）为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：kg）
56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83
据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为 69 kg．
【分析】根据百分位数的求法求得正确答案．
【解答】解：17×0.75＝12.75，
数据从小到大第13个数是69，
所以第75百分位数为69．
故答案为：69．
【点评】本题考查百分位数的计算，是基础题．
6．（3分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 20 ．
【分析】利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式，联立求得a1和d，进而求得a20＞0，a21＜0，判断数列的前20项为正，故可知数列的前20项的和最大．
【解答】解：设等差数列公差为d，则有解得a1＝39，d＝﹣2
∴a20＝39﹣2×19＝1＞0，a21＝39﹣2×20＝﹣1＜0
∴数列的前20项为正，
∴使得Sn达到最大值的是20
故答案为20
【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是判断从数列的哪一项开始为负．
7．（3分）已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为 6.51 万元．
【分析】由题中给出的数据，利用平均数的计算公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，估计该社区内家庭的平均年收入为：
0.2×4.5+0.2×5.5+0.2×6.5+0.26×7.5+0.07×8.5+0.07×9.5＝6.51（万元）．
故答案为：6.51．
【点评】本题考查了平均数的求解，解题的关键是确定区间中点以及对应的频率，考查了化简运算能力，属于基础题．
8．（3分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为 ．
【分析】设7天的编号依次为1，2，3，4，5，6，7，则连续的三天分别为：123，234，345，456，567，共5种情况，分别求出两人总的选择的个数以及所求事件的个数，然后根据古典概型的概率计算公式即可求解．
【解答】解：设7天的编号依次为1，2，3，4，5，6，7，
则连续的三天分别为：123，234，345，456，567，共5种情况，
所以张老师与李老师随机选择的总数为25种情况，
两人选择的日期恰好都不相同的分别为（123，456），（123，567），（234，567），（456，123），（567，123），（567，234）共6种情况，
所以所求事件的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的理解运算能力，属于基础题．
9．（3分）S1＝1+2+⋯+n，S2＝12+22+⋯+n2，S3＝13+23+⋯+n3，使S1，S2，S3成等差数列的自然数n的所有可能的值为 1 ．
【分析】由连续自然数的前n项的和、平方的和与立方的和的公式，结合等差数列的中项性质，解方程可得所求值．
【解答】解：因为S1＝1+2+⋯+nn（n+1），
S2＝12+22+⋯+n2n（n+1）（2n+1），
S3＝13+23+⋯+n3＝（1+2+3+...+n）2n2（n+1）2，
若S1，S2，S3成等差数列，可得2S2＝S1+S3，
即为n（n+1）（2n+1）n（n+1）n2（n+1）2，
化为3n2﹣5n+2＝0，即（3n﹣2）（n﹣1）＝0，
解得n＝1（舍去），
故答案为：1．
【点评】本题考查连续自然数的前n项的和、平方的和与立方的和，以及等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
10．（3分）已知（n∈N*），则数列{an}前2m项之和为 2m2+3m（16m﹣1） ．
【分析】由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：由（n∈N*），
可得数列{an}前2m项之和S2m＝[5+9+...+2（2m﹣1）+3]+（42+44+...+42m）
m（5+4m+1）
＝2m2+3m（16m﹣1）．
故答案为：2m2+3m（16m﹣1）．
【点评】本题考查数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．
11．（3分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1（an）2+m（n∈N*），若对任意的正整数n均有an＜4，则实数m的最大值是 2 ．
【分析】根据递推公式可考虑分析an+1﹣an，再累加求出关于an关于参数m，n的关系，根据表达式的取值分析出m≤2，再用数学归纳法证明m＝2满足条件即可．
【解答】解：因为，
累加可得，
若m＞2，注意到当n→+∞时，（m﹣2）（n﹣1）→+∞，不满足对任意的正整数n均有an＜4，
所以m≤2；
当m＝2时，证明对任意的正整数n都有0＜an＜4，
当n＝1时，a1＝1＜4成立，
假设当n＝k，（k≥1）时结论成立，即0＜ak＜4，
则，即结论对n＝k+1也成立，
由数学归纳法可知，对任意的正整数n都有0＜an＜4，
综上可知，所求实数m的最大值是2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考査了根据数列的递推公式求解参数最值的问题，需要根据递推公式累加求解，同时注意结合参数的范围问题进行分析，属于难题．
12．（3分）设数列{an}满足a1，an+1＝an，记Tn＝（1﹣a1）（1﹣a2）⋯（1﹣an），则使得Tn＜0成立的最小正整数n是 2025 ．
【分析】由数列的递推式推得，由数列的裂项相消求和可得...，利用数列{an}为递增数列，可得a2024＜1，a2025＞1，即可得到所求值．
【解答】解：因为an+1＝an，所以an+1，
所以，即，
所以...，
又an+1＝an，所以数列{an}为递增数列，
所以1，所以21，所以a2024＜1，
所以21，
所以a2025＞1，
当1≤n≤2024时，1﹣an＞0，
当n≥2025时，1﹣an＜0，
故使Tn＜0成立的最小正整数n是2025，
故答案为：2025．
【点评】本题考查数列的递推式，以及数列的裂项求和、放缩法，考查运算能力和推理能力，属于难题．
二、选择题（每题4分）
13．（4分）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样法；②用系统抽样法
B．①用分层抽样法；②用简单随机抽样法
C．①用系统抽样法；②用分层抽样法
D．①用分层抽样法；②用系统抽样法
【分析】调查社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以分层抽样最佳；由于②样本容量不大，且抽取的人数较少，故可用随机抽样法．
【解答】解：对于①，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，
所以要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；
对于②，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故可采用简单随机抽样法抽取样本．
故选：B．
【点评】本题考查收集数据的方法，当总体中的个体较少时，一般用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般用分层抽样，属于基础题．
14．（4分）已知数据x1，x2，⋯，xn（n≥3，n∈N*）是上海普通职工n个人的年收入，这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数增加，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数增加，中位数可能不变，方差可能不变
D．年收入平均数增加，中位数可能变大，方差不变
【分析】根据题意，结合平均数，中位数，方差的定义，即可判断出结果．
【解答】解：因为数据x1，x2，⋯，xn（n≥3，n∈N*）是上海普通职工n个人的年收入，
而xn+1是世界首富的年收入，则xn+1会远大于x1，x2，⋯，xn，
故这n+1个数据的平均值增加，但中位数可能不变，有可能稍微变大．
但由于数据的集中程度也受到xn+1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．
故选：B．
【点评】本题主要考査平均数、中位数、以及方差，熟记概念及其意义即可，属于常考题型．
15．（4分）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）
A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列
【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．
【解答】解：A项中a3＝a1•q2，a1•a9•q8，（a3）2≠a1•a9，故A项说法错误，
B项中（a3）2＝（a1•q2）2≠a2•a6•q6，故B项说法错误，
C项中（a4）2＝（a1•q3）2≠a2•a8•q8，故C项说法错误，
D项中（a6）2＝（a1•q5）2＝a3•a9•q10，故D项说法正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．
16．（4分）已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1，，n∈N*，则下列选项错误的是（ ）
A．B．a50b50＜112
C．a50+b50D．|a50﹣b50|≤15
【分析】A．由，n∈N*，相除可得，进而得出，即可判断出正误；
B．由题意可得an+1bn+1＝（bn）（an）＝2+anbn4，anbn，利用递推关系可得a50b50＝2+a49b492×2+a48b482×49+a1b1，即可判断出正误；
C．an+1+bn+1＝bnan（bn+an）（1），可得•，即可得出，即可判断出正误；
D．an+1﹣bn+1＝bnan（bn﹣an）（1），平方可得，由B可得a50b50＞2+2×49＝100，即可判断出正误．
【解答】解：A．∵，n∈N*，∴，∴，故A正确；
B．由题意可得an+1bn+1＝（bn）（an）＝2+anbn4，当且仅当anbn取等号，∵anbn≥4，∴，∴a50b50＝2+a49b492×2+a48b482×49+a1b1，又a1＝2，b1，∴a50b50＜2×49+1+148＝112，因此B正确；
C．an+1+bn+1＝bnan（bn+an）（1），∴•，∴，∴a50+b50，因此C正确；
D．an+1﹣bn+1＝bnan（bn﹣an）（1），∴•，∴，
而a50b50＝2+a49b492×2+a48b482×49+a1b12+2×49＝100，∴|a50﹣b50|15，因此D不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了数列的递推关系、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题
17．（6分）某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶，每罐茶叶的标准质量是125g，为了解该批茶叶的质量情况，从中随机抽取20罐，称得各罐质量（单位：g）如下：
124.9、124.7、126.2、124.9、124.2、124.9、123.7、121.4、126.4、127.7、121.9、124.4、125.2、123.7、122.7、124.2、126.2、125.2、122.2、125.4；
求：20罐茶叶的平均质量x和标准差s．（精确到0.01）
【分析】根据平均数与标准差的概念，计算即可得解．
【解答】解：∵20罐茶叶的平均质量x（124.9+124.7+126.2+124.9+124.2+124.9+123.7+121.4+126.4+127.7+121.9+124.4+125.2+123.7+122.7+124.2+126.2+125.2+122.2+125.4）≈124.51（g）；
∴20罐茶叶的方差s2[（124.9﹣124.51）2+（124.7﹣124.51）2+（126.2﹣124.51）2+（124.9﹣124.51）2+（124.2﹣124.51）2+（124.9﹣124.51）2+（123.7﹣124.51）2+（121.4﹣124.51）2+（126.4﹣124.51）2+（127.7﹣124.51）2+（121.9﹣124.51）2+（124.4﹣124.51）2+（125.2﹣124.51）2+（123.7﹣124.51）2+（122.7﹣124.51）2+（124.2﹣124.51）2+（126.2﹣124.51）2+（125.2﹣124.51）2+（122.2﹣124.51）2+（125.4﹣124.51）2]＝2.4155，
∴20罐茶叶的标准差s1.55．
【点评】本题考查平均数与标准差的概念，属基础题．
18．（6分）俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率．
【分析】由题知俞女士每次投篮互不影响，记俞女士每次投篮命中为事件Ai，则P（Ai），她至多四次投篮就能结束分投篮次数为2次，3次，4次，由此求出结果．
【解答】解：由题知俞女士每次投篮互不影响，俞女士每次投篮的命中率只有0.2，
记俞女士每次投篮命中为事件Ai，i＝1，2，3，4，则P（Ai），
∵只要连续两次命中就结束投篮练习，
∴投篮2次结束的概率为P＝P（A1A2），
投篮3次结束的概率为P＝P（），
投篮4次结束的概率为P＝P（）+P（），
∴她至多四次投篮就能结束的概率P．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（10分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝10．
（1）若S20＝590，求{an}的公差；
（2）若a1∈Z，且S7是数列{Sn}中最大的项，求a1所有可能的值．
【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得{an}的公差；
（2）根据数列{Sn}中的最大项列不等式，从而求得a1的所有可能取值．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则，解得d＝3．
（2）由（1）得a4＝a1+3d＝10，d，
由于S7是数列{Sn}中最大的项，d0，a1＞10，
所以，即，
即，
解得，由于a1是整数，所以a1的可能取值是18，19，20．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
20．（12分）已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x2﹣dx﹣3＜0的解集为（﹣1，3）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}前n项和Sn．
【分析】（1）由题意可得﹣1，3是方程a1x2﹣dx﹣3＝0的两根，运用韦达定理可得数列{an}的首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）求得bn，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．
【解答】解：（1）关于x的不等式a1x2﹣dx﹣3＜0的解集为（﹣1，3），
可得﹣1，3是方程a1x2﹣dx﹣3＝0的两根，
则﹣1+3，﹣1×3，
解得a1＝1，d＝2，
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）（2n﹣1）•2n，
数列{bn}前n项和Sn＝1•2+3•22+5•23+...+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，
2Sn＝1•22+3•23+5•24+...+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，
上面两式相减可得﹣Sn＝2+2（22+23+...+2n﹣1+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1
＝2+2•（2n﹣1）•2n+1，
化简可得Sn＝6+（2n﹣3）•2n+1．
【点评】本题等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21．（14分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an，
（1）写出数列{an}的前四项；
（2）判断数列{（an）2}的单调性；
（3）求证：2n+1＜（an+1）2．
【分析】（1）由数列的递推式直接写出前四项；
（2）将数列的递推式两边平方，移项判断，可得单调性；
（3）先证明不等式的左边，由an+12﹣an2＝22，累加可得证明；再运用数学归纳法证明不等式的右边．
【解答】解：（1）由a1＝1，an+1＝an，可得a2＝1+1＝2，a3＝2，a4；
（2）由a1＝1，an+1＝an，可得an＞0，
an+12＝（an）2＝an2+2，
即有an+12﹣an2＝20，
所以{（an）2}为递增数列；
（3）证明：因为an+12﹣an2＝22，
所以（a22﹣a12）+（a32﹣a22）+...+（an+12﹣an2）＞2n，
即为an+12﹣a12＞2n，所以an+12＞2n+1；
再运用数学归纳法证明：（an+1）2，等价为an+1＜1．
当n＝1时，a2＝2＜1；
假设n＝k时，ak+1＜1．
当n＝k+1时，只需证明，ak+2＜1，即证ak+11．
因为ak≥1，ak+1随着k的增大而增大，所以ak+11，
只需证明11，即为（1）2+1＜（1）（1），
即为2k+2+21•，
即（2k+1）•，
上式两边平方可得左边＝4k2+6k+1+2（2k+1），右边＝4k2+6k+2+2（2k+2），
显然右边大于左边，
则原命题成立，即2n+1＜（an+1）2．
【点评】本题考查数列的递推式，以及不等式的证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
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