2022-2023学年辽宁省营口市高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年辽宁省营口市高二（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知抛物线x2＝4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为（ ）
A．B．1C．2D．4
2．（5分）正常情况下，某厂生产的零件尺寸X服从正态分布N（2，σ2）（单位：m），P（X＜1.9）＝0.1，则P（X＜2.1）＝（ ）
A．0.1B．0.4C．0.5D．0.9
3．（5分）过点（2，3）且与椭圆5x2+9y2＝45有相同焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，则m＝（ ）
A．1B．2C．3D．﹣1
6．（5分）空间中平面α、平面β、平面γ两两垂直，点P到三个平面的距离分别为d1、d2、d3，若6d1＝3d2＝2d3，则点P的轨迹是（ ）
A．一条射线B．一条直线C．三条直线D．四条直线
7．（5分）有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（ ）种
A．120B．180C．405D．781
8．（5分）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．现有方程表示的圆锥曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．5
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r越大，两个变量之间的线性相关性越强
B．相关系数r与回归系数同号
C．当P（B）＞0时，P（A|B）＝P（A）是A与B独立的充要条件
D．正态曲线越“胖”，方差越小
（多选）10．（5分）某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是（ ）
A．高二六班一定参加的选法有种
B．高一年级恰有2个班级的选法有种
C．高一年级最多有2个班级的选法为种
D．高一年级最多有2个班级的选法为种
（多选）11．（5分）若抛物线C：y2＝4x，且A、B两点在抛物线上，F为焦点，下列结论正确的是（ ）
A．若A、B、F共线，则△ABO面积的最小值为2
B．若OA⊥OB，则AB恒过M（2，0）
C．经过点N（1，3）且与抛物线有一个公共点的直线共有两条
D．若|AB|＝10，则A、B两点到准线的距离之和大于等于10
（多选）12．（5分）如图所示，三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC两两垂直，AP＝AB＝AC＝1，点M、N、E满足，，，λ、μ∈（0，1），则下列结论正确的是（ ）
A．当AE取得最小值时，
B．AE与平面ABC所成角为α，当时，
C．记二面角E﹣PA﹣B为β，二面角E﹣PA﹣C为γ，当时，csγ＝2csβ
D．当BE⊥CE时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）掷一枚质地均匀的骰子，若将掷出的点数记为得分，则得分的均值为 ．
14．（5分）为了迎接节日，商场将相同样式的红、黄、蓝三种颜色的彩灯各3盏，串成一排悬挂，共有 种不同的悬挂方式．（用数字作答）
15．（5分）由曲线x2+y2＝2|x|+2|y|围成的图形的面积为 ．
16．（5分）已知双曲线C：，点，F1、F2分别为双曲线的左右焦点，线段EF1交双曲线左支于点P，点F2关于EF1的对称点为Q，则△PQE的周长为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知等腰三角形ABC，底边上两顶点坐标为B（1，4），C（3，8），顶点A在直线上x+y﹣6＝0，
（1）求BC边垂直平分线的方程；
（2）求点A的坐标．
18．（12分）某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间的是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到2×2列联表如下表所示：
已知所调查的100人中，A款手机的购买者比B款手机的购买者少20人．
（1）将上面的2×2列联表补充完整；
（2）是否有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关，请说明理由；
（3）用样本估计总体，从所有购买两款手机的人中，选出4人作为幸运顾客，求4人中购买A款手机的人数不超过1人的概率．
附：
参考公式：，n＝a+b+c+d．
19．（12分）在下面两个条件中任选一个，补充在问题中，并对其求解．
条件1：展开式第二项与第六项的二项式系数相等；
条件2：所有项的系数和为4096．
问题：在（x+3）n的展开式中，_____．
（1）求n的值及二项式系数最大的项；
（2）若（x+3）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，求a0．
20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1，AB＝BC，∠BAC＝30°，A1在平面ABC上的射影为B，二面角A1﹣AC﹣B的大小为45°，
（1）求AA1与BC所成角的余弦值；
（2）在棱AA1上是否存在一点E，使得二面角E﹣BC﹣B1为90°，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
21．（12分）某一部件由4个电子元件按如图方式连接而成，4个元件同时正常工作时，该部件正常工作，若有元件损坏则部件不能正常工作，每个元件损坏的概率为p（0＜p＜1），且各个元件能否正常工作相互独立．
（1）当p时，求该部件正常工作的概率；
（2）使用该部件之前需要对其进行检测，有以下2种检测方案：
方案甲：将每个元件拆下来，逐个检测其是否损坏，即需要检测4次；
方案乙：先将该部件进行一次检测，如果正常工作则检测停止，若该部件不能正常工作则需逐个检测每个元件；
进行一次检测需要花费a元．
①求方案乙的平均检测费用；
②若选方案乙检测更划算，求p的取值范围．
22．（12分）已知椭圆C：，短轴长为4，离心率为，直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△OAB面积的取值范围；
（3）若圆O以椭圆C的长轴为直径，直线l与圆O交于C、D两点，若动点M（5，m）满足OM⊥CD，试判断直线MC与圆O的位置关系，并说明理由．
2022-2023学年辽宁省营口市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知抛物线x2＝4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为（ ）
A．B．1C．2D．4
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出yM+1＝3，求得yM，可得点M到x轴的距离．
【解答】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝﹣1，
根据抛物线定义，
∴yM+1＝3，
解得yM＝2，
∴点M到x轴的距离为2，
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题．
2．（5分）正常情况下，某厂生产的零件尺寸X服从正态分布N（2，σ2）（单位：m），P（X＜1.9）＝0.1，则P（X＜2.1）＝（ ）
A．0.1B．0.4C．0.5D．0.9
【分析】根据正态分布概率的对称性求解．
【解答】解：因为P（X＜1.9）＝P（X＞2.1）＝0.1，
所以P（1.9＜X＜2.1）＝1﹣0.1﹣0.1＝0.8，
所以P（X＜2.1）＝P（1.9＜X＜2.1）+P（X＜1.9）＝0.9．
故选：D．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
3．（5分）过点（2，3）且与椭圆5x2+9y2＝45有相同焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为（±2，0），根据焦点坐标及点（2，3）可求双曲线的方程．
【解答】解：∵椭圆的标准方程为，
∴，可得焦点坐标为（±2，0），
设双曲线的方程为，
根据题意可得，解得a2＝1，b2＝3，
故双曲线的标准方程为．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想．属基础题．
4．（5分）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先得出目标被击中的概率，再得出甲击中目标的概率，即可得出答案．
【解答】解：由题意得目标被击中的概率为：，
甲击中目标的概率为：，
则在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为：．
故选：C．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
5．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，则m＝（ ）
A．1B．2C．3D．﹣1
【分析】利用基底{}表示出结论中的三个向量，再代入中即可．
【解答】解：因为，，，
故2（）＝2，即m＝2．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量运算法则和空间向量基本定理，属于基础题．
6．（5分）空间中平面α、平面β、平面γ两两垂直，点P到三个平面的距离分别为d1、d2、d3，若6d1＝3d2＝2d3，则点P的轨迹是（ ）
A．一条射线B．一条直线C．三条直线D．四条直线
【分析】根据长方体的体对角线性质建立一个以3a、2a、a分别为长方体的长宽高，平面ABCD，平面ABB1A1，平面ADD1A1分别为平面α、平面β、平面γ，此时有四条体对角线满足要求．
【解答】解：以3a、2a、a分别为长方体的长宽高，如图：
，
则若平面ABCD，平面ABB1A1，平面ADD1A1分别为平面α、平面β、平面γ，
根据长方体的体对角线性质可得，只有在长方体体对角线上的点满足6d1＝3d2＝2d3，
则点P的轨迹是四条直线．
故选：D．
【点评】本题主要考查轨迹方程，空间中平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．
7．（5分）有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（ ）种
A．120B．180C．405D．781
【分析】先选一名学生分配到A地，剩下的4名学生在其他三个地区任选一个，由乘法原理可得．
【解答】解：由题意，先选一名学生分配到A地，剩下的4名学生在其他三个地区任选一个，方法数为5×34＝405．
故选：C．
【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
8．（5分）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．现有方程表示的圆锥曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．5
【分析】将原等式变为，结合几何意义求解．
【解答】解：∵方程，
可化为，
即，
其表示动点（x，y）到定点的距离与到定直线3x﹣4y＝0的距离之比等于5，
∴该圆锥曲线的离心率为5，
故选：D．
【点评】本题考查圆锥曲线的第二定义，化归转化思想，属基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r越大，两个变量之间的线性相关性越强
B．相关系数r与回归系数同号
C．当P（B）＞0时，P（A|B）＝P（A）是A与B独立的充要条件
D．正态曲线越“胖”，方差越小
【分析】A选项，结合相关系数的意义作出判断，A错误；B选项，分r为正和r为负两种情况进行说明；C选项，从条件概率公式和独立事件的定义进行分析即可；D选项，从正态曲线的性质得到方差越大．
【解答】解：相关系数r∈[﹣1，1]，相关系数|r|越大，两个变量之间的线性相关性越强，A错误；
相关系数r为正时，则两个变量为正相关，故回归系数为正，相关系数r为负时，则两个变量为负相关，故回归系数为负，
故相关系数r与回归系数同号，B正确；
当P（B）＞0时，P（A|B）＝P（A），因为，所以，
即P（AB）＝P（A）P（B），故A与B独立，
若A与B独立，则P（AB）＝P（A）P（B），
因为P（B）＞0，所以，
所以当P（B）＞0时，P（A|B）＝P（A）是A与B独立的充要条件，C正确；
正态曲线越“胖”，说明随机变量的取值越分散，故方差越大，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，涉及相关系数，条件概率与独立事件，正态分布曲线的特点，属于中档题．
（多选）10．（5分）某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是（ ）
A．高二六班一定参加的选法有种
B．高一年级恰有2个班级的选法有种
C．高一年级最多有2个班级的选法为种
D．高一年级最多有2个班级的选法为种
【分析】对于AB根据组合知识即可验证，对于CD先用组合知识求出从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，再根据分类加法原则得出从两个年级中选出五个班级参加活动的方法，两者相等，再得出高一年级最多有2个班级的选法即可验证．
【解答】解：对于A：高二六班一定参加的选法有种，故A错误；
对于B：高一年级恰有2个班级的选法有种，故B正确；
对于C与D：从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，
其中若高一年级0个，高二年级5个，有种，
其中若高一年级1个，高二年级4个，有种，
其中若高一年级2个，高二年级3个，有种，
其中若高一年级3个，高二年级2个，有种，
其中若高一年级4个，高二年级1个，有种，
其中若高一年级5个，高二年级0个，有种，
则，
则，
而高一年级最多有2个班级的选法为种，故C与 D都正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查组合数公式的应用，是基础题．
（多选）11．（5分）若抛物线C：y2＝4x，且A、B两点在抛物线上，F为焦点，下列结论正确的是（ ）
A．若A、B、F共线，则△ABO面积的最小值为2
B．若OA⊥OB，则AB恒过M（2，0）
C．经过点N（1，3）且与抛物线有一个公共点的直线共有两条
D．若|AB|＝10，则A、B两点到准线的距离之和大于等于10
【分析】对A，设直线AB的方程为x﹣1＝my，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线与抛物线方程联立，得到韦达定理式，代入S△ABD|y1﹣y2|，求出其最小值即可；对B，设直线OA的方程为y＝kx，分别求出A，B坐标，求出并化简直线AB方程，即可得到定点坐标；对C，首先讨论直线斜率为0的情况，然后再设直线方程为x﹣1＝t（y﹣3），联立抛物线方程，利用Δ＝0即可；对D，分直线AB过焦点和不过焦点两种情况讨论即可．
【解答】解：对A，由题得F（1，0），设直线AB的方程为x﹣1＝my，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立抛物线方程得y2﹣4my﹣4＝0，Δ＝16m2+16＞0，
y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
S△ABD1×|y1﹣y2||y1﹣y2|2，
当且仅当m＝0时，等号成立，此时直线AB的方程为x＝1，
故△ABO面积的最小值为2，故A正确；
对B，设直线OA的方程为y＝kx，显然k≠0，联立抛物线方程得k2x2﹣4x＝0，
解得x或k＝0（舍），此时y，∴A（，），
∵OA⊥OB，则用 代换k可得B（4k2，﹣4k），
当kAB存在时，kAB，k≠±1，
则直线AB的方程为y+4k（x﹣4k2），
即y（x﹣4），此时经过定点M（4，0），
当kAB不存在时，此时4k2，解得k＝±1，此时xA＝xB＝4，
综上AB恒过定点M（4，0），故B错误；
对C，当直线方程为y＝3时，得9＝4x，x，此时直线与抛物线只有一个公共点，
设过点N的直线方程为x﹣1＝t（y﹣3），联立抛物线方程得
y2﹣4ty+12t﹣4＝0，因为直线与抛物线有一个公共点，
故Δ＝16t2﹣4（12t﹣4）＝0，解得t，此时直线方程为x﹣1（y﹣3），
综上，经过点N（1，3）且与抛物线有一个公共点的直线共有三条，故C错误；
对D，当直线AB经过F（1，0），在A选项基础上得x1+x2＝my1+1+my2+1＝m（y1+y2）＝2＝4m2+2，
抛物线y2＝4x的准线方程为y＝﹣1，
根据抛物线定义得|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1，
故|AB|＝|BF|+|AF|＝x1+x2+2＝4m2+4≥4，
当且仅当m＝0时等号成立，故此时|AB|min＝4，
若|AB|＝10，则A，B两点到准线的距离之和为x1+x2+2＝|BF|+|AF|＝|AB|＝10，
当直线AB不经过F（1，0），分别过点A和点B作准线的垂线段，垂足分别为点C，D，
分别连接AF，BF，
根据抛物线定义得|AF|＝|AC|，|BF|+|BD|，
在△ABF中，|AF|+|BF|＞|AB|，即|AC|+|BD|＞10，
故此时A，B两点到准线的距离之和大于10，
综上所述，若|AB|＝10，则A，B两点到准线的距离之和大于等于10，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属中档题．
（多选）12．（5分）如图所示，三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC两两垂直，AP＝AB＝AC＝1，点M、N、E满足，，，λ、μ∈（0，1），则下列结论正确的是（ ）
A．当AE取得最小值时，
B．AE与平面ABC所成角为α，当时，
C．记二面角E﹣PA﹣B为β，二面角E﹣PA﹣C为γ，当时，csγ＝2csβ
D．当BE⊥CE时，
【分析】对于A：当AE取得最小值时，AE⊥平面PBC，根据已知可得三棱锥A﹣PBC是正三棱锥，则点E为正三角形PBC的中心，即可根据相似与正三角形的中点性质得出答案；
对于B：设△PBC的中点为O，则AO⊥平面PBC，利用等体积法求出，根据已知结合几何知识得出，即可得出，即可得出；
对于C：过M作MH∥AB，与PA交于H，连接HN，HE，即可得出∠EHM＝β，∠EHN＝γ，且△HMN∽△ABC，则△ABC为等腰直角三角形，且HM＝HN，设HM＝HN＝a，根据已知得出，即可得出，，即可得出答案；
对于D：当BE⊥CE时，点E在以BC为直径的圆上，即E为MN与该圆的交点，即可得出PM2≤PM＜PM1，根据几何知识计算即可得出答案．
【解答】解：对于A：当AE取得最小值时，AE⊥平面PBC，
∵AP、AB，AC两两垂直，AP＝AB＝AC＝1，
∴，则三棱锥A﹣PBC是正三棱锥，
则点E为正三角形PBC的中心，则，故A错误；
对于B：设△PBC的中心为O，则AO⊥平面PBC，
由等体积法可得：，解得，当λ时，
易知点O到直线MN的距离为，点O到点M与点N的距离相等，都为，即，
则，则，故B错误；
对于C：过M作MH∥AB，与PA交于H，连接HN，HE，
∵，
∴MN∥BC，MN⊄面ABC，BC⊂面ABC，故MN∥面ABC，
∵MH∥AB，MH⊄面ABC，AB⊂面ABC，故MH∥面ABC，
且MH，MN都包含于平面HMN，MH∩MN＝M，
∴平面HMN∥平面ABC，
∵AP、AB、AC两两垂直，且AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，
∴AP⊥平面ABC，则AP⊥平面HMN，
∴MH，MN，NH都垂直于AP，则∠EHM＝β，∠EHN＝γ，且△HMN∽△ABC，
则△ABC为等腰直角三角形，且HM＝HN，
设HM＝HN＝a，则当时，，
在△HME中，，
在△HEN中，，
则csγ＝2csβ，故C正确；
对于D：当BE⊥CE时，点E在以BC为直径的圆上，即E为MN与该圆的交点，
设圆心为O，连接PO与M2N2交于点E2，连接M1O，如图，
则PM2≤PM＜PM1，则，即，
∴，
∵AP、AB、AC两两垂直，AP＝AB＝AC＝1，
∴，
∴∠PBC＝60°，由，则，此时，
∵，
∴MN∥BC，即M2N2∥BC，故△PM2E2∽△PBO，
∵，则，
则，故D正确；
故选：CD．
【点评】本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）掷一枚质地均匀的骰子，若将掷出的点数记为得分，则得分的均值为 ．
【分析】根据离散形随机变量的均值直接求出．
【解答】解：设得分为X，则X可能的取值为1，2，3，4，5，6，
且，其中i＝1，2，3，4，5，6，
则得分的均值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望，属于基础题．
14．（5分）为了迎接节日，商场将相同样式的红、黄、蓝三种颜色的彩灯各3盏，串成一排悬挂，共有 1680 种不同的悬挂方式．（用数字作答）
【分析】根据分步乘法计数原理，先从9个位置中选3个，挂红色彩灯，再从剩下的6个位置中选3个，挂黄色彩灯，最后从剩下的3个位置中选3个，挂蓝色彩灯，利用组合数得出各值，再相乘即可得出答案．
【解答】解：商场将相同样式的红、黄、蓝三种颜色的彩灯各3盏，串成一排悬挂，
先从9个位置中选3个，挂红色彩灯，有种，
再从剩下的6个位置中选3个，挂黄色彩灯，有种，
最后从剩下的3个位置中选3个，挂蓝色彩灯，有种，
根据分步乘法计数原理，共有84×20×1＝1680种．
故答案为：1680．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
15．（5分）由曲线x2+y2＝2|x|+2|y|围成的图形的面积为 8+4π ．
【分析】根据题意，作出如图的图象．由图象知，此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，由此其面积易求．
【解答】解：由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，
当x≥0，y≥0时，解析式为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，
故可得此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，
所围成的面积是224π×（）2＝8+4π
故答案为：8+4π．
【点评】本题考查圆方程的综合应用，解题的关键是根据所给的方程，结合圆的方程的几何意义，得出方程对应的曲线形状，由图形得出解决问题的方法，本题是一个以形助数的典型题，易因为对曲线所对应的图形开关理解不准确而导致错误，或者无法下手．
16．（5分）已知双曲线C：，点，F1、F2分别为双曲线的左右焦点，线段EF1交双曲线左支于点P，点F2关于EF1的对称点为Q，则△PQE的周长为 ．
【分析】结合图形，可得C△PQE＝|PQ|+|PE|+|QE|＝|PF2|+|EF1|﹣|PF1|+|EF2|，由双曲线的定义及两点间距离公式，即可得出答案．
【解答】解：作出图形，如图所示：
由题意得F1（﹣3，0），F2（3，0），
∵，
∴EF2⊥F1F2，，
又点F2关于EF1的对称点为Q，
则|EQ|＝|EF2|，|QP|＝|F2P|，
故C△PQE＝|PQ|+|PE|+|QE|＝|PF2|+|EF1|﹣|PF1|+|EF2|，
由双曲线的定义得，
∴．则．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知等腰三角形ABC，底边上两顶点坐标为B（1，4），C（3，8），顶点A在直线上x+y﹣6＝0，
（1）求BC边垂直平分线的方程；
（2）求点A的坐标．
【分析】（1）根据中垂线过线段的中点且与线段垂直求解；
（2）联立点A所在的两条直线方程可求解．
【解答】解：（1），且BC的中点M（2，6），
所以BC边的垂直平分线的斜率为，
且经过点M（2，6），所求方程为，整理得x+2y﹣14＝0．
（2）由题可得，等腰三角形ABC的顶点在BC边的垂直平分线x+2y﹣14＝0上，
且在直线x+y﹣6＝0上，联立得x＝﹣2，y＝8，即A（﹣2，8）．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
18．（12分）某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间的是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到2×2列联表如下表所示：
已知所调查的100人中，A款手机的购买者比B款手机的购买者少20人．
（1）将上面的2×2列联表补充完整；
（2）是否有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关，请说明理由；
（3）用样本估计总体，从所有购买两款手机的人中，选出4人作为幸运顾客，求4人中购买A款手机的人数不超过1人的概率．
附：
参考公式：，n＝a+b+c+d．
【分析】（1）由题目条件可将列联表补充完整；
（2）利用公式算得χ2，后比较其与6.635大小可得结果；
（3）由题目条件可得每次选出购买A款手机的人的概率均为，设X为4人中选出购买A款手机的人数，则，得P（X≤1）＝P（X＝0）+P（X＝1）．
【解答】解：（1）由题可得列联表如下：
（2）由题有：，
因为8.249＞6.635，所以有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关；
（3）从所有购买两款手机的人中，选出4人可以看成做了4次独立重复试验，每次选出购买A款手机的人的概率均为，
设X为4人中选出购买A款手机的人数，，
所以，，
所以，
即不超过1人的概率．
【点评】本题主要考查了独立性检验的的应用，考查了二项分布的概率公式，属于中档题．
19．（12分）在下面两个条件中任选一个，补充在问题中，并对其求解．
条件1：展开式第二项与第六项的二项式系数相等；
条件2：所有项的系数和为4096．
问题：在（x+3）n的展开式中，_____．
（1）求n的值及二项式系数最大的项；
（2）若（x+3）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，求a0．
【分析】若选条件1，有；若选条件2，有4n＝4096⇒n＝6．
（1）因展开式一共有7项，则二项式系数最大的项为第4项；
（2）令x＝﹣1可得答案．
【解答】解：（1）设（x+3）n展开式的通项为：．
若选条件1，有；
若选条件2，令x＝1，有．
因展开式一共有7项，则二项式系数最大项为第4项，则．
（2）令x＝﹣1，得．
【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1，AB＝BC，∠BAC＝30°，A1在平面ABC上的射影为B，二面角A1﹣AC﹣B的大小为45°，
（1）求AA1与BC所成角的余弦值；
（2）在棱AA1上是否存在一点E，使得二面角E﹣BC﹣B1为90°，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）连接A1B，取AC的中点F，连接A1F，根据题意可得A1B⊥面ABC，由三垂线定理可得A1F⊥AC，则∠A1FB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，∠A1FB＝45°，A1B＝BF，计算A1B，以，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，计算cs，，即可得出答案．
（2）设t，所以t，解得E（（1﹣t），t﹣1，t），（（1﹣t），t﹣1，t），设平面EBC的法向量为（x1，y1，z1），则，解得，同理可得平面EBC的法向量，若二面角E﹣BC﹣B1为90°，则•0，解得t，即可得出答案．
【解答】解：（1）连接A1B，取AC的中点F，连接A1F
因为A1在平面ABC的射影为B，
所以A1B⊥面ABC，
因为AB＝BC，
所以BF⊥AC，
由三垂线定理可得A1F⊥AC，
所以∠A1FB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，∠A1FB＝45°，A1B＝BF，
令A1B＝a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，∠BAC＝30°，
所以AB＝2，
在Rt△A1BA中，A1B＝a，AB＝2a，AA1，∠A1BA＝90°，
所以a2+（2a）2＝1，解得a＝1，
过点B作BM⊥BC，又因为A1B⊥面ABC，
所以BM，BC，A1B两两垂直，
以，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
可得B（0，0，0），C（0，2，0），A（，﹣1，0），A1（0，0，1），
（，1，1），（0，2，0），
所以cs，，
所以AA1与BC所成角的余弦值为．
（2）设t，所以t，
所以E（（1﹣t），t﹣1，t），（（1﹣t），t﹣1，t），
设平面EBC的法向量为（x1，y1，z1），
所以，得，
解得（﹣t，0（1﹣t）），
（，1，1），
设平面EBC的法向量（x2，y2，z2），
所以，得，
解得（1，0，），
若二面角E﹣BC﹣B1为90°，则•0，即﹣t+0+3（1﹣t）＝0，
解得t，
所以的值为．
【点评】本题考查异面直线所成角，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题．
21．（12分）某一部件由4个电子元件按如图方式连接而成，4个元件同时正常工作时，该部件正常工作，若有元件损坏则部件不能正常工作，每个元件损坏的概率为p（0＜p＜1），且各个元件能否正常工作相互独立．
（1）当p时，求该部件正常工作的概率；
（2）使用该部件之前需要对其进行检测，有以下2种检测方案：
方案甲：将每个元件拆下来，逐个检测其是否损坏，即需要检测4次；
方案乙：先将该部件进行一次检测，如果正常工作则检测停止，若该部件不能正常工作则需逐个检测每个元件；
进行一次检测需要花费a元．
①求方案乙的平均检测费用；
②若选方案乙检测更划算，求p的取值范围．
【分析】（1）根据题意利用独立事件的概率乘法公式运算求解；
（2）①根据题意求方案乙的分布列和期望；②以期望的大小为依据，列式运算求解．
【解答】解：（1）各个元件能正常工作的概率均为，
且4个元件正常工作相互独立，4个元件同时正常工作的概率为，
即该部件正常工作的概率为；
（2）①设X为检测费用，则有：
当部件正常工作时，只需检测一次，则X＝a，P（X＝a）＝（1﹣p）4，
当部件正不能常工作时，需检测5次，则X＝5a，P（X＝5a）＝1﹣（1﹣p）4，
∴X的分布列为：
∴E（X）＝a（1﹣p）4+5a（1﹣（1﹣p）4）＝5a﹣4a（1﹣p）4，
故方案乙的平均检测费用为5a﹣4a（1﹣p）4；
②方案甲的平均检测费用为4a，若选方案乙检测更划算，则5a﹣4a（1﹣p）4＜4a，
因为a＞0，且0＜p＜1，解得，
故p的取值范围是．
【点评】本题考查独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
22．（12分）已知椭圆C：，短轴长为4，离心率为，直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△OAB面积的取值范围；
（3）若圆O以椭圆C的长轴为直径，直线l与圆O交于C、D两点，若动点M（5，m）满足OM⊥CD，试判断直线MC与圆O的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据椭圆a，b，c的关系求解；
（2）利用韦达定理求出S△OAB，再结合函数的单调性求面积的最值；
（3）利用向量的数量积的坐标表示OM⊥CD，再证明即可判断位置关系．
【解答】解：（1）由题可得2b＝4，，且a2＝b2+c2解得，c＝1，
椭圆C标准方程为．
（2）由题可知，直线l不能与x重合，F（1，0），设直线l的方程为x＝ty+1，
直线l与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由化简得（4t2+5）y2+8ty﹣16＝0，，y1y2＜0，
令，可得n≥1，，，
设n≥1时g（n）单调递增，所以当n＝1时 g（n）取得最小值为，所以，
当n＝1，即t＝0时面积取到最大值．
（3）MC与圆O相切，理由如下：
圆O方程为x2+y2＝5，设C（x0，y0），因为点C在椭圆上，
所以，，，，，
由OM⊥CD，得，
即，5（x0﹣1）+my0＝0，可得5x0+my0＝5，
，
所以，OC⊥MC，所以MC与圆O相切．
【点评】本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
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购买B款
总计
女
25
______
______
男
______
40
______
总计
______
______
100
P（χ2≥k）
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
购买A款
购买B款
总计
女
25
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______
40
______
总计
______
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P（χ2≥k）
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
购买A款
购买B款
总计
女
25
20
45
男
15
40
55
总计
40
60
100
X
a
5a
P
（1﹣p）4
1﹣（1﹣p）4