2022-2023学年上海实验学校高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年上海实验学校高二（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝ ．
2．（3分）已知某圆锥体的底面半径r＝2，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是
3．（3分）的展开式的常数项是 （用数字作答）．
4．（3分）甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为 ．
5．（3分）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种．
6．（3分）若（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯+a2021x2021（x∈R），则的值为 ．
7．（3分）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）．
8．（3分）已知圆周上等距离的排列着八个点A1，A2，…，A8，现从中任取三个不同的点作为一个三角形的三个顶点，则恰好能构成一个直角三角形的概率为 ．
9．（3分）已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率 ．
10．（3分）在各棱长都等于1的正四面体O﹣ABC中，若点P满足，则的最小值为 ．
二、选择题
11．（3分）已知平面α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若l∥m，则α⊥β；
③若α⊥β，则l∥m；
④若l⊥m，则α∥β．
其中正确命题有（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
12．（3分）从m个个体中抽取n个个体作为样本（m＞n），先确定抽样间隔，即抽样间距k为不大于的整数，从第一段1，2，…，k这k个号码中随机地抽取一个号码为i0的个体，则号码为i0，i0+k，…，i0+（n﹣1）k，的个体构成样本，所以每个个体入样的可能性（ ）
A．与i0有关B．与编号有关
C．不一定相等D．相等
13．（3分）7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（ ）
A．73B．37C．D．
14．（3分）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623﹣1662）是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为（ ）
A．218﹣53B．218﹣52C．217﹣53D．217﹣52
三、解答题
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形．且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）若PA＝AB＝2，求CN与平面PBD所成角的正弦值．
16．4个男同学，3个女同学站成一排．
（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？
（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？
17．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
18．已知集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪Am＝A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，Am}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1＝B1，A2＝B2，…，Am＝Bm时，{A1，A2，…，Am}与{B1，B2，…，Bm}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为fn（m）．例如：当n＝1，m＝2时，集合A＝{a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）＝3．
（1）求f2（2）；
（2）试用m、n表示fn（m）；
（3）设F（m）＝fn（1）+fn（2）+…+fn（m），规定fn（1）＝1，证明：当m≥2时，F（m）与m同为奇数或者同为偶数．
四、附加题
19．把1，2，…，10按任意次序排成一个圆圈．
（1）证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不小于18；
（2）证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不大于15．
20．（1）设n为正奇数，a1，a2，…，an是1，2，…，n的任意一个排列，证明：（a1﹣1）（a2﹣2）…（an﹣n）必为偶数．
（2）证明：的小数点后一位数字是9．
2022-2023学年上海实验学校高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝ 4 ．
【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a＝16，由此求得a的值．
【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，
∴（•a•a•sin60°）•a＝16，∴a＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．
2．（3分）已知某圆锥体的底面半径r＝2，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是 16π
【分析】计算圆锥的底面积和侧面积，即可求出表面积．
【解答】解：圆锥的底面积为S底＝π×22＝4π，
圆锥侧面展开图的弧长为2π×2＝4π，
所以圆锥侧面展开图的扇形半径为6；
所以圆锥的侧面积为S侧•4π•6＝12π，
所以圆锥的表面积为S＝S底+S侧＝4π+12π＝16π．
故答案为：16π．
【点评】本题考查了圆锥的表面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
3．（3分）的展开式的常数项是 ﹣20 （用数字作答）．
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：（x﹣x﹣1）6展开式中的通项公式为Tr+1，
令6﹣2r＝0，解得r＝3，
故的展开式的常数项是．
故答案为：﹣20．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
4．（3分）甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为 ．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．
甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．
假设甲、乙两人射击互不影响，
则P，
解得p．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（3分）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 126 种．
【分析】利用“隔板法”求解即可．
【解答】解：利用“隔板法”，10个相同小球中间共有9个空隙，从中任意选择5个放上“隔板”，
即可把10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，
所以不同的放法有126种．
故答案为：126．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了“隔板法”的应用，属于基础题．
6．（3分）若（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯+a2021x2021（x∈R），则的值为 ﹣1 ．
【分析】分别令x＝0，x＝1，可得要求式子的值．
【解答】解：∵（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯+a2021x2021（x∈R），
∴令x＝0，可得a0＝1，
再令x，则10，故 1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和属于中档题．
7．（3分）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 1260 种不同的方法（用数字作答）．
【分析】先在9个位置中选4个位置排白球，有C94种排法，再从剩余的5个位置中选2个位置排红球，有C52种排法，剩余的三个位置排黄球有C33种排法，由乘法原理可得答案．
【解答】解：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题．
先在9个位置中选4个位置排白球，有C94种排法，再从剩余的5个位置中选2个位置排红球，有C52种排法，
剩余的三个位置排黄球有C33种排法，
所以共有C94•C52•C33＝1260．
答案：1260．
【点评】本题考查排列组合的基本知识．分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，在高中数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简，达到求解的目的．
8．（3分）已知圆周上等距离的排列着八个点A1，A2，…，A8，现从中任取三个不同的点作为一个三角形的三个顶点，则恰好能构成一个直角三角形的概率为 ．
【分析】基本事件总数n56，作直角三角形可分为2个步骤：第1步作斜边，因为8个等分点构成4条直径，所以有4种不同的作法，第2步选直角顶点，共有6种不同的方法．根据分步计数原理，可作4×6＝24个直角三角形，由此能求出恰好能构成一个直角三角形的概率．
【解答】解：圆周上等距离的排列着八个点A1，A2，…，A8，现从中任取三个不同的点作为一个三角形的三个顶点，
基本事件总数n56，
作直角三角形可分为2个步骤：
第1步作斜边，因为8个等分点构成4条直径，所以有4种不同的作法，
第2步选直角顶点，共有6种不同的方法．如下图：
根据分步计数原理，可作4×6＝24个直角三角形．
∴从中任取三个不同的点作为一个三角形的三个顶点，则恰好能构成一个直角三角形的概率为：
P．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
9．（3分）已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率 ．
【分析】设事件A表示“三人中至少有两人解答正确”，事件B表示“甲解答不正确”，求出P（A）和P（AB），利用条件概率能求出在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率．
【解答】解：设事件A表示“三人中至少有两人解答正确”，
事件B表示“甲解答不正确”，
则P（A），
P（AB），
∴在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率为：
P（B|A）．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（3分）在各棱长都等于1的正四面体O﹣ABC中，若点P满足，则的最小值为 ．
【分析】根据题中的向量等式及x+y+z＝1，证出，从而可得点P是平面ABC内的一点．再由正四面体O﹣ABC是各棱长都等于1，得到的最小值等于正四面体在△ABC上的高，从而可得的最小值．
【解答】解：根据题意，可得
∵点P满足，
∴，
可得，
∴点P是平面ABC内的一点．
又∵正四面体O﹣ABC是各棱长都等于1，
∴当点P与O在ABC上的射影重合时，等于正四面体的高，
此时且达到最小值．
故答案为：
【点评】本题给出正四面体内的点P满足的向量等式，求的最小值．着重考查了空间向量的线性运算、正四面体的性质等知识，属于中档题．
二、选择题
11．（3分）已知平面α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若l∥m，则α⊥β；
③若α⊥β，则l∥m；
④若l⊥m，则α∥β．
其中正确命题有（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【分析】由面面平行的性质和线面垂直的性质，可判断①；由线面垂直和面面垂直的性质，可判断②；由面面垂直和线面垂直的性质，结合线线的位置关系，可判断③；由线面垂直的性质和面面的位置关系，可判断④．
【解答】解：对于①，若α∥β，又l⊥α，可得l⊥β，又m⊂β，则l⊥m，故①正确；
对于②，若l∥m，又l⊥α，可得m⊥α，又m⊂β，则α⊥β，故②正确；
对于③，若α⊥β，由l⊥α，可得l∥m，或l，m异面，l，m相交，故③错误；
对于④，若l⊥m，又l⊥α，m⊂β，
可得α∥β，或α、β相交，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查线线、线面和面面的位置关系，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
12．（3分）从m个个体中抽取n个个体作为样本（m＞n），先确定抽样间隔，即抽样间距k为不大于的整数，从第一段1，2，…，k这k个号码中随机地抽取一个号码为i0的个体，则号码为i0，i0+k，…，i0+（n﹣1）k，的个体构成样本，所以每个个体入样的可能性（ ）
A．与i0有关B．与编号有关
C．不一定相等D．相等
【分析】结合系统抽样求解即可．
【解答】解：由题意可得，这类抽样为系统抽样，
又系统抽样与简单随机抽样一样，都是等概率抽样，它是客观的，公平的，
故选：D．
【点评】本题考查了系统抽样，属基础题．
13．（3分）7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（ ）
A．73B．37C．D．
【分析】共7名旅客，每人从3个风景点中选择一处游览，每人都有3种选择，根据乘法原理，即可得到结论
【解答】解：∵共7名旅客，每人从3个风景点中选择一处游览，
∴每人都有3种选择，
∴不同的选法共有37．
故选：B．
【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
14．（3分）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623﹣1662）是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为（ ）
A．218﹣53B．218﹣52C．217﹣53D．217﹣52
【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．
【解答】解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，
例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，
第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则Tn，
可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，
由于最右侧为2，3，4，5，……，为个首项是2公差为1的等差数列，
则第16行的第16项为17，
则杨辉三角形的前18项的和为S18＝218﹣1，
则此数列前135项的和为S18﹣35﹣17＝218﹣53，
故选：A．
【点评】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
三、解答题
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形．且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）若PA＝AB＝2，求CN与平面PBD所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）取PC中点Q，连结QM，QN，则QM∥BC，QN∥CD，从而平面ABCD∥平面QMN，由此能证明MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CN与平面PBD所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为PB，PD的中点．
取PC中点Q，连结QM，QN，则QM∥BC，QN∥CD，
∵QM∩QN＝Q，BC∩CD＝C，
∴平面ABCD∥平面QMN，
∵MN⊂平面PMN，∴MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形．PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（2，2，0），N（0，1，1），P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），
（﹣2，﹣1，1），（2，0，﹣2），（0，2，﹣2），
设平面PBD的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，1），
设CN与平面PBD所成角为θ，
则CN与平面PBD所成角的正弦值为：
sinθ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
16．4个男同学，3个女同学站成一排．
（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？
（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？
【分析】（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排；
（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排序；
（3）先把4个男生排列，然后把3个女生向5个空档插空；
（4）先把甲乙排好顺序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序．
【解答】（本题满分15分）
解：（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排：；…（3分）
（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有种，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排列有，共有（7分）
（3）先把4个男生排好有种排法，然后把3个女生向5个空档插空，有1440…（11分）
（4）先把甲乙排好顺序有种排序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，有种，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序，有，共有．…（15分）
【点评】本题主要考查了排练中常见方法：特殊元素优先安排法，不相邻元素插空法，相邻元素捆绑法的应用．
17．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18），P（X≤19）．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．
（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．
法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n＝19时，费用的期望和当n＝20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
P（X＝16）＝（）2，
P（X＝17），
P（X＝18）＝（）2+2（）2，
P（X＝19），
P（X＝20），
P（X＝21），
P（X＝22），
∴X的分布列为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
P（X≤18）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）
．
P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）
．
∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）＝P（X＝16）+P（X＝17）+P（X＝18）+P（X＝19）
．
买19个所需费用期望：
EX1＝200（200×19+500）（200×19+500×2）（200×19+500×3）4040，
买20个所需费用期望：
EX2（200×20+500）（200×20+2×500）4080，
∵EX1＜EX2，
∴买19个更合适．
解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n＝19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04＝4040，
当n＝20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04＝4080，
∴买19个更合适．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
18．已知集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪Am＝A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，Am}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1＝B1，A2＝B2，…，Am＝Bm时，{A1，A2，…，Am}与{B1，B2，…，Bm}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为fn（m）．例如：当n＝1，m＝2时，集合A＝{a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）＝3．
（1）求f2（2）；
（2）试用m、n表示fn（m）；
（3）设F（m）＝fn（1）+fn（2）+…+fn（m），规定fn（1）＝1，证明：当m≥2时，F（m）与m同为奇数或者同为偶数．
【分析】（1）集合A1∪A2＝A，对于每一个Aj（j＝1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）＝9．
（2）an有2m﹣1种进入A1，A2，…，Am的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，…，an进入A1，A2，…，Am共有（2m﹣1）n种不同方法，从而求出．
（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开得（2i﹣1）n[（2i）n+（﹣1）（2i）n﹣1+（﹣1）2（﹣1）n]，由此能证明fn（i）与m同为奇数或者同为偶数．
【解答】解：（1）集合A1∪A2＝A，
对于每一个Aj（j＝1，2），a1都有进入或不进入两种可能，
而且a1至少进入其中一个Aj（j＝1，2），
所以a1有3种进入A1，A2的不同方法；
同理a2有3种进入A1，A2的不同方法；
根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有3×3＝9种不同方法，
即f2（2）＝9．
（2）∵集合A1∪A2∪…∪Am＝A（m≥2，m∈N*），
下面按ai（i＝1，2，…，n）是否进入Aj（j＝1，2，…，m）分为n步求解：
第一步：对于每一个Aj（j＝1，2，…，m），a1都有进入或不进入两种可能，
而且a至少进入其中一个Aj（j＝1，2，…，m），
所以a1有种进入A1，A2，…，Am的不同方法；
第二步：同理a2有2m﹣1种进入A1，A2，…，Am的不同方法；
…
第n步：同理an有2m﹣1种进入A1，A2，…，Am的不同方法．
根据分步计数原理，a1，a2，…，an进入A1，A2，…，Am共有（2m﹣1）n种不同方法，
即．
证明：（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开可得：
（2i﹣1）n（﹣1）n，其中i＝1，2，…，m，
∴[（2i）n+（﹣1）（2i）n﹣1+（﹣1）2（﹣1）n]
（﹣1）22S+（﹣1）nm，其中S∈N*，
所以当m为奇数时，2S+（﹣1）nm为奇数；
当m为偶数时，2S+（﹣1）nm也为偶数，
即fn（i）与m同为奇数或者同为偶数．
【点评】本题考查函数表达式的求法，考查fn（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
四、附加题
19．把1，2，…，10按任意次序排成一个圆圈．
（1）证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不小于18；
（2）证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不大于15．
【分析】（1）由2+3+•••+10＝54，结合反证法即可得证；
（2）由1+2+•••+9＝45，结合反证法即可得证．
【解答】证明：（1）设这10个数在圆上排列为1，a1，a2，•••，a9，
∵（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）＝2+3+•••+10＝54，
假设a1+a2+a3＜18，a4+a5+a6＜18，a7+a8+a9＜18都成立，
则（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）＜54，矛盾，假设不成立，
∴一定可以找到三个相邻的数，它们的和不小于18；
（2）设这10个数在圆周上排列为10，b1，b2，•••，b9，
∵（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+（b7+b8+b9）＝1+2+3+•••+9＝45，
假设b1+b2+b3＞15，b4+b5+b6＞15，b7+b8+b9＞15，
则（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+（b7+b8+b9）＞45，矛盾，假设不成立，
∴一定可以找到三个相邻的数，它们的和不大于15．
【点评】本题考查等差数列的性质、反证法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（1）设n为正奇数，a1，a2，…，an是1，2，…，n的任意一个排列，证明：（a1﹣1）（a2﹣2）…（an﹣n）必为偶数．
（2）证明：的小数点后一位数字是9．
【分析】（1）由题意可得（a1﹣1），（a2﹣2），…，（an﹣n）中必有一个为偶数，即可得结论；
（2）问题转化为证明1的小数点后一位数字是9，进一步证明即可．
【解答】证明：（1）由题意，a1+a2+…+an＝1+2+…+n，
∴（a1﹣1）+（a2﹣2）+…+（an﹣n）＝（a1+a2+…+an）﹣（1+2+…+n）＝0是偶数，
而n为奇数，则（a1﹣1），（a2﹣2），…，（an﹣n）中必有一个为偶数，
∴（a1﹣1）（a2﹣2）…（an﹣n）必为偶数；
（2）设a，
b，
两式作和，可得a+b为整数，记为Z，则a＝Z﹣b＝（Z﹣1）+（1﹣b），
∵，则b＜1，
∴a的小数点后一位数字也就是1﹣b的小数点后一位数字，
∵0.009，则1﹣b的小数点后一位数字为9．
【点评】本题考查推理与证明，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
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