2024届数学九年级上期末复习检测试题

这是一份2024届数学九年级上期末复习检测试题，共21页。试卷主要包含了下列事件是必然事件的是，下列事件中，必然事件是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在中，，过重心作、的垂线，垂足分别为、，则四边形的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
2．方程 x2＝4的解是（ ）
A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝－2C．x1＝2，x2＝－2D．x1＝4，x2＝－4
3．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则csB的值为（ ）
A．B．C．D．3
4．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，弦AC，BD交于点P．若∠A＝∠C＝40°，则∠BPC的度数为（ ）
A．100°B．80°
C．50°D．40°
5．用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（ ）
A．种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B．种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”
C．种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”
D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
6．下列事件是必然事件的是（ ）
A．半径为2的圆的周长是2B．三角形的外角和等于360°
C．男生的身高一定比女生高D．同旁内角互补
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)经过点M(﹣1，2)和点N(1，﹣2)，则下列说法错误的是( )
A．a+c＝0
B．无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2
C．当函数在x＜时，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜m＜n＜0时，m+n＜
8．对于二次函数的图象，下列结论错误的是( )
A．顶点为原点B．开口向上C．除顶点外图象都在轴上方D．当时，有最大值
9．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50°，则∠ADC为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
10．下列事件中，必然事件是（ ）
A．打开电视，正在播放宜春二套B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨D．地球绕着太阳转
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．将抛物线向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是______．
12．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影部分＝m，则S1+S2＝_____．
13．某数学兴趣小组利用太阳光测量一棵树的高度（如图），在同一时刻，测得树的影长为6米，小明的影长为1米，已知小明的身高为1.5米，则树高为_________米．
14．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点为该二次函数在第一象限内的一点，连接，交于点，则的最大值为__________.
15．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是弧AB的中点，若扇形的半径为，则图中阴影部分的面积等于_____．
16．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是__________．
17．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.
18．小亮在上午8时，9时30分，10时，12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”
大意如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距里，树高丈尺，人站在离树里的处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地尺，问山AB的高约为多少丈？(丈尺，结果精确到个位)
20．（6分）解方程:
（1）用公式法解方程：3x2﹣x﹣4=1
（2）用配方法解方程：x2﹣4x﹣5＝1．
21．（6分）如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于A点，点C是⊙O上的一点，且PC=PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=45°，AB=4，求PC的长．
22．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值；
(3)若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CD边向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的？
24．（8分）已知：在中，．
(1)求作：的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则 ．
25．（10分）⊙O直径AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E且交AM于点D，交BN于点C，设AD＝x，BC＝y．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）x，y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的两个根，求x，y的值；
（3）在（2）的条件下，求△COD的面积．
26．（10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=.解这个直角三角形.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】连接AG并延长交BC于点F，根据G为重心可知，AG=2FG，CF=BF，再证明△ADG∽△GEF，得出，设矩形CDGE中，DG=a，EG=b，用含a,b的式子将AC，BC的长表示出来，再列式化简即可求出结果．
【详解】解：连接AG并延长交BC于点F，根据G为重心可知，AG=2FG，CF=BF，
易得四边形GDCE为矩形，
∴DG∥BC，DG=CD=EG=CE，∠CDG=∠CEG=90°，
∴∠AGD=∠AFC，∠ADG=∠GEF=90°，
∴△ADG∽△GEF，
∴．
设矩形CDGE中，DG=a，EG=b，
∴AC=AD+CD=2EG+EG=3b，
BC=2CF=2(CE+EF)=2(DG+)=3a，
∴．
故选：C．
本题主要考查重心的概念及相似的判定与性质以及矩形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的突破口，掌握基本概念和性质是解题的关键．
2、C
【解析】两边开方得到x=±1．
【详解】解：∵x1=4，
∴x=±1，
∴x1=1，x1=-1．
故选：C．
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax1+c=0（a≠0）的方程可变形为，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．
3、A
【分析】直接利用锐角三角函数关系的答案．
【详解】如图所示：
∵AB＝3，BC＝1，
∴csB＝＝．
故选：A．
考核知识点:余弦.熟记余弦定义是关键.
4、B
【分析】根据同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，可知，结合题意求的度数，再根据三角形的一个外角等于其不相邻两个内角和解题即可.
【详解】
故选B
本题考查圆的综合，其中涉及圆周角定理、三角形外角性质，是常见考点，熟练掌握相关知识是解题关键.
5、D
【解析】A. 种植10棵幼树，结果可能是“有9棵幼树成活”，故不正确；
B. 种植100棵幼树，结果可能是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活” ，故不正确；
C. 种植10n棵幼树，可能有“9n棵幼树成活” ，故不正确；
D. 种植10n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9，故正确；
故选D.
6、B
【分析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件），可判断出正确答案．
【详解】解：A、半径为2的圆的周长是4，不是必然事件；
B、三角形的外角和等于360°，是必然事件；
C、男生的身高一定比女生高，不是必然事件；
D、同旁内角互补，不是必然事件；
故选B.
本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7、C
【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．
【详解】解：∵函数经过点M(﹣1，2)和点N(1，﹣2)，
∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝﹣2，
∴a+c＝0，b＝﹣2，
∴A正确；
∵c＝﹣a，b＝﹣2，
∴y＝ax2﹣2x﹣a，
∴△＝4+4a2＞0，
∴无论a为何值，函数图象与x轴必有两个交点，
∵x1+x2＝，x1x2＝﹣1，
∴|x1﹣x2|＝2＞2，
∴B正确；
二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴x＝﹣＝，
当a＞0时，不能判定x＜时，y随x的增大而减小；
∴C错误；
∵﹣1＜m＜n＜0，a＞0，
∴m+n＜0，＞0，
∴m+n＜；
∴D正确，
故选：C．
本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8、D
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】根据二次函数的性质，可得：
二次函数顶点坐标为（0，0），开口向上，故除顶点外图象都在x轴上方，
故A、B、C正确；当x=0时，y有最小值为0，故D错误.
故选：D.
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标，开口方向，最值与系数之间的关系是解题的关键.
9、A
【解析】试题分析：先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，再利用互余计算出∠B=40°，然后根据圆周角定理求解．
解：连结BC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠B=90°﹣50°=40°，
∴∠ADC=∠B=40°．
故选A．
考点：圆周角定理．
10、D
【解析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．
【详解】解：、打开电视，正在播放宜春二套，是随机事件，故错误；
、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故错误；
、明天会下雨是随机事件，故错误；
、地球绕着太阳转是必然事件，故正确；
故选：．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、y=5（x+2）2
【分析】根据二次函数平移的性质求解即可.
【详解】抛物线的平移问题, 实质上是顶点的平移,原抛物线 y=顶点坐标为(O, O), 向左平移2个单位, 顶点坐标为(-2, 0), 根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式为y=5（x+2）2，
故答案为y=5（x+2）2.
本题主要考查二次函数平移的性质，有口诀“左加右减，上加下减”，注意灵活运用.
12、8﹣2m
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，根据S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，可求S1+S2的值．
【详解】解：如图，
∵A、B两点在双曲线y＝上，
∴S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，
∴S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，
∴S1+S2＝8﹣2m
故答案为:8﹣2m．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
13、1
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，对应比值相等进而得出答案．
【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例．设树的高度为，
则，解得：．
故答案为：1．
此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握其性质定义．
14、
【分析】由抛物线的解析式易求出点A、B、C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，则△PQK∽△ABK，可得，而AB易求，这样将求的最大值转化为求PQ的最大值，可设点P的横坐标为m，注意到P、Q的纵坐标相等，则可用含m的代数式表示出点Q的横坐标，于是PQ可用含m的代数式表示，然后利用二次函数的性质即可求解.
【详解】解：对二次函数，
令x=0，则y=3，令y=0，则，
解得：，
∴C(0，3)，A(－1，0)，B(4，0)，
设直线BC的解析式为：，
把B、C两点代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：，
过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，如图，
则△PQK∽△ABK，
∴，
设P（m，），
∵P、Q的纵坐标相等，
∴当时，，
解得：，
∴，
又∵AB=5，
∴.
∴当m=2时，的最大值为.
故答案为：.
本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质等知识，难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是利用相似三角形的判定和性质将所求的最大值转化为求PQ的最大值、熟练掌握二次函数的性质.
15、π﹣1
【分析】根据扇形的面积公式求出面积，再过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，然后证明△CMG与△CNH全等，从而得到中间空白区域的面积等于以1为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积．
【详解】两扇形的面积和为：，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，如图，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
在△CMG与△CNH中，，
∴△CMG≌△CNH(ASA)，
∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，
∴空白区域的面积为：，
∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和﹣1个空白区域面积的和．
故答案为：π﹣1．
本题主要考查了扇形的面积求法，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，得出四边形EMCN的面积是解决问题的关键．
16、
【分析】先根据坡比求出AB的长度，再利用勾股定理即可求出BC的长度．
【详解】


故答案为：．
本题主要考查坡比及勾股定理，掌握坡比的定义及勾股定理是解题的关键．
17、
【解析】根据弧长公式可得：=，
故答案为.
18、上午8时
【解析】解：根据地理知识，北半球不同时刻太阳高度角不同影长也不同，规律是由长变短，再变长．故答案为上午8时．
点睛：根据北半球不同时刻物体在太阳光下的影长是由长变短，再变长来解答此题．
三、解答题(共66分)
19、由的高约为丈.
【分析】由题意得里，尺，尺，里，过点作于点，交于点，得 尺，里，里，根据相似三角形的性质即可求出.
【详解】解：由题意得里，尺，尺，里.
如图，过点作于点，交于点.
则尺，里，里，
，
∴ △ ECH∽ △ EAG，
，
丈，丈.
答：由的高约为丈.
此题主要考查了相似三角形在实际生活中的应用，能够将实际问题转化成相似三角形是解题的关键.
20、（1）x1=，x2=-1；（2）x1＝5，x2＝-1.
【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式得出a、b、c的值，利用公式法x=即可得答案；
（2）先把常数项移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得完全平方式，直接开平方即可得答案.
【详解】（1）3x2﹣x﹣4=1
∵a=3，b=－1，c=－4，
∴
∴x1=，x1=－1.
(2)x2﹣4x﹣5＝1
x2﹣4x+4＝5+4
（x﹣2）2＝9
∴x－2＝3或x－2＝－3
∴x1＝5，x2＝－1.
本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.
21、（1）见解析；（2）2
【分析】（1）根据切线的性质得到∠PAB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA，求得PC⊥CO，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，先根据△ACB是等腰直角三角形，得到AC和，从而推出△PAC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到PC的值．
【详解】（1）连接CO，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵PC=PA，
∴∠PAC=∠PCA，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠PAC+∠OAC=∠PAB=90°，
∴PC⊥CO，
∵OC是半径
∴PC是⊙O的切线；
（2）连接BC，
为⊙O直径，
，
，
，
，
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
22、（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定定理，就可以证明题目结论；
（2）根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质定理，解答即可；
（3）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式求出AM的值，结合，即可求解．
【详解】（1）∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
∵DE=DE，
∴△BDE≌△EDC（SAS），
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）∵AD=AC，AM⊥DC，
∴DM=DC，
∵BD=DC，
∴，
∵DE⊥BC，AM⊥BC，
∴DE∥AM，
∴．
（3）过点A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴，
∵S△FCD=5，
∴S△ABC=20，
又∵BC=10，
∴AM=1．
∵DE∥AM，
∴
∴，
∴DE=．
本题主要考查相似三角形的判定与性质定理，等腰三角形的性质定理，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23、2秒
【分析】用时间t分别表示PC、CQ，求出△PCQ的面积，再由△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的得到△PCQ的面积是矩形的即可解题
【详解】设时间为t秒，则PC=8-2t,AC=t
∴
∵△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的
∴
∴
解得t=2
本题考查一元二次方程的应用，本题的关键是把三角形与五边形的面积转换成与矩形的面积。
24、 (1)见解析；(2)
【分析】(1)作线段的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．
(2)在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：(1)如图即为所求．

(2)设线段的垂直平分线交于点．
由题意，
在中，，
∴．
故答案为．
本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25、（1）y＝；（2）或；（3）1．
【分析】（1）如图，作DF⊥BN交BC于F，根据切线长定理得，则DC＝DE+CE＝x+y，在中根据勾股定理，就可以求出y与x之间的关系式．
（2）由（1）求得，由根与系数的关系求得的值，通过解一元二次方程即可求得x，y的值．
（3）如图，连接OD，OE，OC，由AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E，得到，，，推出S△AOD＝S△ODE，S△OBC＝S△COE，即可得出答案．
【详解】（1）如图，作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+122，
整理为：y＝，
∴y与x的函数关系式是y＝．
（2）由（1）知xy＝36，
x，y是方程2x2﹣30x+a＝0的两个根，
∴根据韦达定理知，xy＝，即a＝72；
∴原方程为x2﹣15x+36＝0，
解得或．
（3）如图，连接OD，OE，OC，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，
∴S△AOD＝S△ODE，
S△OBC＝S△COE，
∴S△COD＝××（3+12）×12＝1．
本题考查了圆切线的综合问题，掌握切线长定理、勾股定理、一元二次方程的解法是解题的关键．
26、，，.
【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以求得AB的长，根据锐角三角函数可以求得∠A的度数，进而求得∠B的度数，本题得以解决．
【详解】∵，，，
∴，.
∴，.
∴.
答：，，.
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和数形结合的思想解答．