甘肃省天水市麦积区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份甘肃省天水市麦积区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题4分，共40分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm、4cmB．2cm、4cm、6cm、8cm
C．5cm、30cm、10cm、15cmD．5cm、20cm、10cm、15cm
3．甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（ ）
A．1∶200B．1∶20000C．20000∶1D．1∶40000
4．若，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
5．在六张卡片上分别写有5，，3.1415，π，，0.1010010001…六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（ ）
（第6题图）
A．2B．3C．4D．5
7．如图，在中，，于点D，下列结论中错误的是（ ）
（第7题图）
A．B．
C．D．
8．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有121个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
9．如图，在中，，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若，则EF的长为（ ）
（第9题图）
A．10B．8C．6D．4
10．如图，已知面积为1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，则第2022个三角形的面积是（ ）
（第10题图）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．二次根式中字母x的取值范围是______．
12．若，则______．
13．______．
14．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得米，米，则旗杆CD的高度是______米．
15．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为______．
16．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则______．
17．如图，已知中，斜边BC上的高，，则______．
（第17题图）
18．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为______
（第18题图）
三、解答题．
19．（本题6分）计算：
（1）；（2）．
20．（本题8分）解方程
（1）；（2）．
21．（本题10分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围：
（2）若方程的两个根为α，β，且，求k的值．
22．（本题10分）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．
（1）求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；
（2）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）．
23．（本题10分）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A、B、C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，请用列表或画树状图的方法，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
24．如图，（本题10分）点F是四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E．，，，．
（1）求证：；
（2）若，，试判断四边形ABCD的形状并说明理由．
25．（本题12分）如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若．
（1）求证：；
（2）求BG的长．
26．（本题12分）（1）问题发现
如图1，是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，若，则AB，CE，BD，DC之间的数量关系是______．
（2）拓展探究
如图2，是等腰三角形，，，点D，E分别在边BC，AC上．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
图1 图2 图3
（3）解决问题（可直接利用2的结论）
如图3，在中，，cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速运动，同时点M从点B出发，以cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM，在PM右侧作，该角的另一边交射线CA于点G，连接PG．设运动时间为t（s），当为等腰三角形时，求t的值．
九年级数学参考答案
1－5：BCBCB 6-10: DDBAD
11． 12．2023 13．1 14．18
15． 16. -1 17. 10 18.
19．(1) (2)
20．(1)，
(2)，
21.（1）解：，
∵有两个不相等的实数，
∴，
解得：；
（2）∵方程的两个根为，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）．
即：．
22.（1）解：如图，作交于，作交于，
，
，海里，
在中，，海里，
海里；
灯塔到轮船航线的距离为海里；
（2），，、都是正北方向，四边形是矩形，
海里，，在中，，海里，
海里，
在中，，是等腰直角三角形，
海里，
海里，港口与灯塔的距离为海里．
23.（1）解：画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴乙选中球拍C的概率；
（2）解：公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴甲先发球的概率，乙先发球的概率，
∴这个约定公平．
(1)根据两边对应成比例且夹角相等易证。
（2）由（1）知,AE:CD=1:2,可求CD,则CD=AB,CD平行于AB,故是平行四边形。
25四边形是正方形，， ，，
，，，
，，又，
，，
，，
，
，．
26.解：（1）问题发现
AB，CE，BD，DC之间的数量关系是：，
（2）拓展探究
（1）中的结论成立，
∵AB＝AC，∠B＝α，∴∠B＝∠C＝α，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣α，∵∠ADE＝α，
∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣α，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴；
（3）解决问题
由（2）可知∴△PBM∽△MCG，∴，
由题意可知AP＝t，BM＝t，即BP＝4﹣t，
如图1，过点A作AH⊥BC于H，∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，
∴AH＝2cm，BH＝＝＝2cm，
∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BC＝2BH＝4cm，
∴MC＝（4t）cm，∴，即CG＝3t，
①当G点在线段AC上时，若△APG为等腰三角形时，则AP＝AG，如图2，
此时AG＝AC﹣CG＝4﹣3t，
∴4﹣3t＝t，
解得：t＝1，
②当G点在CA延长线上时，若△APG为等腰三角形时，如图3，
此时∠PAG＝180°﹣120°＝60°，则△APG为等边三角形，AP＝AG，
此时AG＝CG﹣AC＝3t﹣4，
∴3t﹣4＝t，
解得：t＝2，
∴当△APG为等腰三角形时，t的值为1或2．