人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和一课一练

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和一课一练，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设f(n)＝2＋23＋25＋27＋…＋22n＋7(n∈N＋)，则f(n)等于( )
A．eq \f(2,3)(4n－1) B．eq \f(2,3)(4n＋1－1)
C．eq \f(2,3)(4n＋3－1) D．eq \f(2,3)(4n＋4－1)
2．在等比数列{an}中，a3＝eq \f(3,2)，其前三项的和S3＝eq \f(9,2)，则数列{an}的公比q＝( )
A．－eq \f(1,2)B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2)或1D．eq \f(1,2)或1
3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6秒钟B．7秒钟
C．8秒钟D．9秒钟
4．数列1，x，x2，…，xn－1，…的前n项和为( )
A．eq \f(1－xn,1－x)B．eq \f(1－xn－1,1－x)
C．eq \f(1－xn＋1,1－x)D．以上均不对
二、填空题
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
6．设等比数列{an}的公比q＝eq \f(1,2)，前n项和为Sn，则eq \f(S4,a4)＝________．
7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝p·3n－2，则p＝________．
三、解答题
8．记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn.
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求数列{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
[尖子生题库]
10．(1)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________．
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( )
A．3∶4B．2∶3
C．1∶2D．1∶3
课时作业(九) 等比数列的前n项和
1．解析：易知1，3，5，7，…是首项为1，公差为2的等差数列，
设该数列为{am}，则am＝2m－1，设an＝2n＋7，
令2m－1＝2n＋7，∴m＝n＋4，
∴f(n)是以2为首项，22＝4为公比的等比数列的前n＋4项的和，
∴f(n)＝eq \f(2（1－4n＋4）,1－4)＝eq \f(2,3)(4n＋4－1).
答案：D
2．解析：由题意，可得a1q2＝eq \f(3,2)，a1＋a1q＋a1q2＝eq \f(9,2)，两式相除，得eq \f(1＋q＋q2,q2)＝3，解得q＝－eq \f(1,2)或1.
答案：C
3．解析：根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，
设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，
则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，
∴eq \f(1－2n,1－2)≥200，
∴2n≥201，结合n∈N＋，解得n≥8，
即至少需8秒细菌将病毒全部杀死．
答案：C
4．解析：利用分类讨论的思想，对x＝0，x＝1，x≠1且x≠0进行分析．
当x＝0时，数列为1，0，0，…，0，…，前n项和为Sn＝1；
当x＝1时，数列为1，1，…，1，1，…，前n项和为Sn＝n；
当x≠1且x≠0时，数列为等比数列，且首项a1＝1，公比q＝x，所以前n项和Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(1×（1－xn）,1－x)＝eq \f(1－xn,1－x).
答案：D
5．解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴eq \f(2（1－2n）,1－2)＝126，∴n＝6.
答案：6
6．解析：∵S4＝eq \f(a1（1－q4）,1－q)，a4＝a1q3，
∴eq \f(S4,a4)＝eq \f(1－q4,q3（1－q）)＝15.
答案：15
7．解析：依题意q≠1，所以等比数列{an}的前n项和为
Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝－eq \f(a1,1－q)·qn＋eq \f(a1,1－q)，
所以p＋(－2)＝0，解得p＝2.
答案：2
8．解析：(1)设{an}的公比为q.
由题设可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1（1＋q）＝2，,a1（1＋q＋q2）＝－6.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,q＝－2.))
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝eq \f(－2×[1－（－2）n],1－（－2）)＝－eq \f(2,3)＋(－1)n·eq \f(2n＋1,3).
9．解析：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－eq \f(1,2).
(2)由已知可得a1－a1(－eq \f(1,2))2＝3，
故a1＝4.
从而Sn＝eq \f(4[1－（－\f(1,2)）n],1－（－\f(1,2)）)＝eq \f(8,3)[1－(－eq \f(1,2))n].
10．解析：(1)方法一 设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋).
由已知a1＝1，q≠1，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1－q2n,1－q2)＝85， ①，,\f(q（1－q2n）,1－q2)＝170. ②))
由②÷①，得q＝2，
∴eq \f(1－4n,1－4)＝85，4n＝256，∴n＝4.
故公比为2，项数为8.
方法二 ∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，
∴q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(170,85)＝2.
又Sn＝85＋170＝255，由Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)，得eq \f(1－2n,1－2)＝255，
∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.
(2)在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq \f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
答案：(1)2 8 (2)A