高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角测试题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，二面角α­l­β等于120°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于( )
A．2B．
C．4D．5
2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A­BC­D的大小为( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
3.
如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )
A．B．
C．D．
4．已知二面角α­l­β中，平面α的一个法向量为n1＝(，－，－)，平面β的一个法向量为n2＝(0，)，则二面角α­l­β的大小为( )
A．120°B．150°
C．30°或150°D．60°或120°
二、填空题
5.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A­BD­C的正弦值为________．
6.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点，则异面直线A1E、CF所成角的大小为________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________．
7．如图，在Rt△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点，且AB＝4，BC＝2.现将△ABC沿DE折起，使得A到达A1的位置，且二面角A1­DE­B为60°，则A1C＝________．
三、解答题
8.
如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小．
9.如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，点E是C1D1的中点．
(1)求证：DE⊥平面BCE；
(2)求二面角A­EB­C的大小．
[尖子生题库]
10.
如图所示，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M­AB­D的余弦值．
课时作业(七) 二面角
1．解析：过点D作OD∥l，OA∥BD，OD＝O，
因为AC⊥l，BD⊥l，OD＝AB＝1，OA＝BD＝2，OC＝
＝
＝，
CD＝＝＝.
答案：B
2．解析：
如图取BC的中点为E，连接AE，DE，
由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝a，又AD＝a，
∴∠AED＝60°，即二面角A­BC­D的大小为60°.
答案：C
3．解析：设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，∴＝，∴sinθ＝，即θ＝.
答案：D
4．解析：设所求二面角的大小为θ，则|csθ|＝＝，所以θ＝30°或150°.
答案：C
5．解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝1，则A，
B，D，
所以＝＝，＝.由于＝为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则
所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，
所以cs〈n，〉＝，所以sin〈n，〉＝.
答案：
6．解析：以D为原点建立如图所示空间直角坐标系：
则A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，
所以＝(－1，2，－1)，＝(0，－1，1)，
设异面直线A1E，CF所成角的大小为θ，所以csθ＝＝＝，
因为θ∈，所以θ＝.又A1F＝(－2，1，0)，设平面A1EF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则，即，令x＝1，则m＝(1，2，3)，
平面A1B1C1D1一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角为α，
所以csα＝＝＝.
答案：
7．解析：∵D，E分别为AB，AC中点，∴DE∥BC，∴DE⊥BD，DE⊥A1D，
又BD，A1D⊂平面A1BD，BD＝D，∴DE⊥平面A1BD，
∵二面角A1­DE­B的平面角为∠A1DB，∴∠A1DB＝60°，
∵A1D＝BD＝2，∴A1B＝2，∵BC∥DE，∴BC⊥平面A1BD，又A1B⊂平面A1BD，
∴BC⊥A1B，∴A1C＝＝＝2.
答案：2
8．解析：
如图建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．
故平面PAB的法向量＝(0，1，0)，＝(1，0，0)，
＝(0，1，－1)．
设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，所以n＝(0，1，1)，所以cs〈n，〉＝＝，
所以〈n，〉＝45°.
即平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
9．解析：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，E(0，1，1)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，
＝(0，1，1)，＝(－1，－1，1)，＝(－1，0，0)．
因为·＝0，·＝0，
所以⊥⊥.
则DE⊥BE，DE⊥BC.
因为BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，
BE＝B，
所以DE⊥平面BCE.
(2)＝(0，2，0)，设平面AEB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
含x＝1，所以平面AEB的法向量为n＝(1，0，1)．
因为DE⊥平面BCE，
所以＝(0，1，1)就是平面BCE的一个法向量．
因为cs〈n，〉＝＝，
由图形可知二面角A­EB­C为钝角，所以二面角A­EB­C的大小为120°.
10．解析：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，
所以EF∥AD，EF＝AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD.
又BC＝AD，所以EF綊BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE∥BF.
又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB.
(2)由已知，得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，＝(1，0，－)，＝(1，0，0)．
设M(x，y，z)(0＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，
而n＝(0，0，1)是底面ABCD的法向量，
所以|cs〈，n〉|＝sin45°，
即＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0. ①
又M在棱PC上，设＝λ，则
x＝λ，y＝1，z＝λ. ②
由①②解得(舍去)，或
所以M(1－，1，)，从而＝(1－，1，)．
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则
即
所以可取m＝(0，－，2)．
于是cs〈m，n〉＝＝.
因此二面角M­AB­D的余弦值为.