人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理精练

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理精练，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列命题中正确的个数是 ( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．
②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
④若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0B．1
C．2D．3
2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )
A．aB．b
C．cD．无法确定
3．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于( )
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
4．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P，A，B，C四点共面的是( )
A．＝
B．＝
C．＝－
D．以上皆错
二、填空题
5．下列命题是真命题的是________(填序号)．
①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；
②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量；
③若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
④若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．
6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
7．如图，点M为OA的中点，{}为空间的一个基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________．
三、解答题
8．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一个基底．
9.
如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4).
[尖子生题库]
10．如图所示，已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．
课时作业(二) 空间向量基本定理
1．解析：①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a，b，c共面．
答案：B
2．解析：∵a＝p＋q，∴a与p，q共面，
∵b＝p－q，∴b与p，q共面，
∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，
∴c与p，q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.
答案：C
3．解析：＝＝)－
＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
答案：B
4．解析：方法一：
∵＝，
∴3＝，
∴＝()＋()，
∴＝，
∴＝－，∴P，A，B，C四点共面．
方法二：＝x＋y＋z，
P、A、B、C共面⇔x＋y＋z＝1.
答案：B
5．解析：①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量的方向相同或相反，因此与是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则的方向不确定，不能判断与是否为共线向量；③为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.
答案：①④
6．解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
于是有解得.
答案：1 －1
7．解析：＝＝，所以有序实数组(x，y，z)＝(，0，－1)．
答案：(，0，－1)
8．解析：假设共面，
由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x＋y成立，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
所以e1，e2，e3不共面，
所以此方程组无解．
即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立，
所以不共面．
故{}能作为空间的一个基底．
9．解析：连接AC，AD′，AC′(图略)．
(1)＝)
＝)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝)
＝＋2)
＝a＋b＋c.
(3)＝)
＝[()＋()]
＝＋2＋2)
＝a＋b＋c.
(4)＝
＝)
＝
＝
＝a＋b＋c.
10．解析：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c三个向量两两夹角均为60°，
∴a·b＝b·c＝a·c＝.
∵·＝)·()
＝(a＋b)·(c－b)
＝a·c－a·b＋b·c－b2)
＝－1)＝－.
∴cs〈〉＝＝＝－.
所以，异面直线SM与BN所成角的余弦值为.