18两角和与差的正弦、余弦、正切公式专项训练（附答案）——2024届艺术班高考数学一轮复习

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A．eq \f(1,5) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(13,18)D．eq \f(13,22)
答案：B
2．(2023·大连适应性测试)设a＝eq \f(1,\r(2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 56°－cs 56°))，b＝cs 40°cs 128°＋cs 40°cs 38°，c＝2cs240°－1，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
解析：选B 因为a＝eq \f(1,\r(2))(sin 56°－cs 56°)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(56°－45°))＝sin 11°，
b＝cs 50°cs 128°＋cs 40°cs 38°＝－sin 40°sin 38°＋cs 40°cs 38°＝cs(40°＋38°)＝cs 78°＝sin 12°，
c＝2cs240°－1＝cs 80°＝sin 10°，
又因为sin 12°>sin 11°>sin 10°，
所以b>a>c．故选：B．
3．(2022·内蒙古赤峰月考)－sin 133°cs 197°－cs 47°cs 73°＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
解析：选A －sin 133°cs 197°－cs 47°cs 73°＝－sin 47°(－cs 17°)－cs 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)．
4．(2023·江苏联考)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且3cs 2α－8sin α＝5，则cs α的值为( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(\r(2),3)D．eq \f(2\r(2),3)
解析：选D 由题意可知，3cs 2α－8sin α＝5，可化为3(1－2sin2α)－8sin α＝5，即3sin2α＋4sin α＋1＝0，解得sin α＝－eq \f(1,3)或sin α＝－1，因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以sin α＝－eq \f(1,3)，则cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(2\r(2),3)，故选D．
5．(2023·南宁模拟)已知θ为钝角，cs 2θ－sin 2θ＝cs2θ，则tan 2θ的值为( )
A．－eq \f(4,3) B．eq \f(4,3)
C．－eq \f(8,3) D．－eq \f(2,11)
解析：选B 由cs 2θ－sin 2θ＝cs2θ，
得cs2θ－sin2θ－2sin θcs θ＝cs2θ，
即sin2θ＋2sin θcs θ＝0，
所以eq \f(sin2 θ＋2sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝0，
得eq \f(tan2 θ＋2tan θ,tan2θ＋1)＝0，解得tan θ＝－2或tan θ＝0，
又因为θ为钝角，所以tan θ0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－asin x的最大值为eq \r(3)，则a＝__________．
解析：a>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－asin x＝(eq \f(1,2)－a)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x，
由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))最大值为eq \r(3)，故
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－a))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＝3，
解得a＝2，或a＝－1(负值舍去)．
答案：2
11．(2023·广东六校联考)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))，x∈R．
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))的值；
(2)若cs θ ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ －\f(π,3)))的值．
解：(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋\f(π,12)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)．
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ －\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ －\f(π,3)＋\f(π,12)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ －\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2θ－cs 2θ)．
因为cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以sin θ＝eq \f(3,5)，所以sin 2θ＝2sin θ cs θ
＝eq \f(24,25)，cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝eq \f(7,25)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ －\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2θ－cs 2θ)
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,25)－\f(7,25)))＝eq \f(17\r(2),50)．
12．已知函数f(x)＝eq \r(3)sin xcs x－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋eq \f(1,2)，x∈R．
(1)若α、β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,12)))＝eq \f(\r(5),5)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(β,2)－\f(π,6)))＝－eq \f(3\r(10),10)，求sin(α＋β)的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝eq \r(3)，f(C)＝1，求a＋b的取值范围．
解：(1)f(x)＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1－cs（2x＋π）,2)＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))．
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,12)))＝eq \f(\r(5),5)，∴sin α＝eq \f(\r(5),5)．
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs α＝eq \f(2\r(5),5)．
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(β,2)－\f(π,6)))＝－eq \f(3\r(10),10)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,2)))＝－eq \f(3\r(10),10)．∴cs β＝eq \f(3\r(10),10)．
∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin β＝eq \f(\r(10),10)．
∴sin(α＋β)＝sin α cs β＋cs αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)．
(2)∵f(C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C－\f(π,6)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C－\f(π,6)))＝1．
∵C∈(0，π)，∴2C－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11π,6)))，
∴2C－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即C＝eq \f(π,3)．
∵c2＝a2＋b2－2ab cs C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
∴3＝(a＋b)2＝3ab
∵ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)．当且仅当a＝b时取“＝”．
∴3＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－eq \f(3,4)(a＋b)2＝eq \f(1,4)(a＋b)2
∴12≥(a＋b)2．即a＋b≤2eq \r(3)，当且仅当a＝b时取“＝”．
又∵a＋b>c＝eq \r(3)，
∴a＋b的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)，2\r(3)))．