苏科版数学七年级上册同步专题热点难点练习 专题2.3 有理数的运算（专项拔高卷）学生版+解析版

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2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题2.3 有理数的运算（专项拔高卷）考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.50姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•丹阳市校级期末）用简便方法计算：的结果为（　　）A．3.36 B．4.26 C．5.16 D．5.062．（2分）（2023春•仪征市期中）代数式55+55+55+55+55化简的结果是（　　）A．52 B．55 C．56 D．5+553．（2分）（2022秋•江都区期中）如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则输出的结果y是（　　）A．25 B．30 C．45 D．404．（2分）（2022秋•梁溪区期中）按如图的程序计算，若输出的结果是﹣3，则输入的符合要求的x有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个5．（2分）（2022秋•钟楼区校级月考）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，……已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2023，则a的值是（　　）A．45 B．46 C．52 D．536．（2分）（2021秋•海门市校级月考）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　）甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16丁：（﹣3）2÷×3＝9÷1＝9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（2分）（2022秋•虎丘区校级月考）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（　　）A．A1 B．B1 C．A2 D．B38．（2分）（2022秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26，则：若n＝49，则第2022次“F运算”的结果是（　　）A．31 B．49 C．62 D．989．（2分）（2021秋•句容市月考）“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（　　）A．1 B． C． D．210．（2分）（2020秋•梁溪区校级期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则若n＝898，则第898次“F运算”的结果是（　　）A．488 B．1 C．4 D．8二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2018秋•常州期中）定义一种新的运算“*”，并且规定：a*b＝a2﹣2b．则（﹣3）*（﹣1）＝　 　．12．（2分）（2022秋•江阴市校级月考）如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣1，则最后输出的结果是　 　．13．（2分）（2022•亭湖区校级三模）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减31元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐总费用最低可为 　 　元．14．（2分）（2016秋•丹徒区校级月考）有一种“二十四点“的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．将下面的四张扑克牌凑成24，结果是　 　＝24．（注：Q表示12，K表示13．）15．（2分）（2022秋•溧阳市期中）计算1+2﹣3﹣4+5+6﹣……+2021+2022﹣2023﹣2024值为 　 　．16．（2分）（2016秋•崇川区期末）一列数：1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…，其中某三个相邻数的和是﹣1701，则这三个数中最大的数是　 　．17．（2分）（2022秋•海州区期中）如图，是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣，则最后输出的结果是 　 　．18．（2分）（2022秋•锡山区校级期中）阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝　 　．19．（2分）（2021•宿迁模拟）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝　 　．20．（2分）（2022秋•江阴市期中）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3“分裂”后，其中有一个奇数是2023，则m的值是 　 　．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（12分）（2022秋•启东市校级月考）计算：（1）﹣20﹣（﹣18）+（+5）+（﹣9）； （2）﹣5；； （4）÷（﹣16）；； （6）（﹣199）×5（请用简便方法计算）．22．（6分）（2023•滨湖区一模）发现：五个连续的偶数中，存在前三个偶数的平方和等于后两个偶数的平方和．验证：（1）（﹣4）2+（﹣2）2+02＝22+（ 　 　）2；（2）若还存在五个连续的偶数，前三个偶数的平方和可以等于后两个偶数的平方和，设中间的偶数为n，求n；延伸：（3）是否在三个连续的奇数中，有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方，请说明理由．23．（6分）（2023•姑苏区校级模拟）第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME—14的举办年份．（1）八进制数3747换算成十进制数是 　 　；（2）小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．24．（6分）（2022秋•兴化市校级期末）探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+5）※（+2）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+8；（﹣3）※（+4）＝﹣7：（+5）※（﹣6）＝﹣11；0※（+8）＝8；0※（﹣8）＝8；（﹣6）※0＝6；（+6）※0＝6．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）观察以上式子，类比计算：①※＝　 　，※（+1）＝　 　；（2）计算：（﹣2）※[0※（﹣1）]；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）25．（8分）（2022秋•盐都区月考）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题．（1）猜想并写出：＝　 　；（2）类比裂项的方法，计算：；（3）探究并计算：+．26．（8分）（2022秋•崇川区月考）[概念学习]现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．[初步探究]（1）直接写出计算结果：3②＝　 　，（﹣）③＝　 　；（2）下列关于除方说法中，错误的有 　 　；（在横线上填写序号即可）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数D．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）归纳：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为：aⓝ＝　 　；（4）比较：（﹣2）⑧　 　（﹣4）⑥；（填“＞”“＜”或“＝”）（5）计算：﹣1①+14②÷（﹣）④×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（﹣）④．27．（6分）（2023春•江阴市期中）在有理数范围内定义一种新运算，规定F（x，y）＝ax2﹣xy（a为常数），若F（1，2）＝﹣1．（1）求F（1，﹣1）；（2）设M＝F（m，n）+2，N＝F（n，﹣m）﹣2n2，试比较M，N的大小；（3）无论m取何值，F（m+n，m﹣n）＝m+t+1都成立，求此时t的值．28．（8分）（2021秋•高港区期中）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③＝　 　，（﹣）⑤＝　 　；（2）关于除方，下列说法错误的是　 　A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；C.3④＝4③D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝　 　；5⑥＝　 　；（﹣）⑩＝　 　．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于　 　；（3）算一算：24÷23+（﹣8）×2③．2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题2.3 有理数的运算（专项拔高卷）考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.50一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•丹阳市校级期末）用简便方法计算：的结果为（　　）A．3.36 B．4.26 C．5.16 D．5.06解：＝×（6.16）2﹣×16×（1.04）2＝×（6.16）2﹣×42×（1.04）2＝×（6.16）2﹣×（4.16）2＝×[（6.16）2﹣（4.16）2]＝×[（6.16+4.16）×（6.16﹣4.16）]＝×（10.32×2）＝×20.64＝5.16．故选：C．2．（2分）（2023春•仪征市期中）代数式55+55+55+55+55化简的结果是（　　）A．52 B．55 C．56 D．5+55解：原式＝55×5＝56．故选：C．3．（2分）（2022秋•江都区期中）如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则输出的结果y是（　　）A．25 B．30 C．45 D．40解：（﹣）×（﹣4）﹣（﹣1）＝2+1＝3＜10，再次输入运算：3×（﹣4）﹣（﹣1）＝﹣12+1＝﹣11＜10，再次输入运算：（﹣11）×（﹣4）﹣（﹣1）＝44+1＝45＞10，∴输出的结果y45，故选：C．4．（2分）（2022秋•梁溪区期中）按如图的程序计算，若输出的结果是﹣3，则输入的符合要求的x有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个解：如果输入的数经过一次运算就能输出结果，则2x+（﹣9）＝﹣3，解得x＝3，如果输入的数经过两次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是3，于是2x+（﹣9）＝3，解得x＝6，如果输入的数经过三次运算才能输出结果，则第2次计算后的结果是6，第1次计算后的结果是，……综上所述，x的值有无数个．故选：D．5．（2分）（2022秋•钟楼区校级月考）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，……已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2023，则a的值是（　　）A．45 B．46 C．52 D．53解：∵23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，53＝21+23+25+27+29，…，∴a3分裂后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数，∵45×（45﹣1）+1＝1981，46×（46﹣1）+1＝2071，∴奇数2023是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，∴a＝45，故选：A．6．（2分）（2021秋•海门市校级月考）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　）甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16丁：（﹣3）2÷×3＝9÷1＝9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解：甲：9﹣32÷8＝9﹣9÷8＝7，原来没有做对；乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×9＝﹣12，原来没有做对；丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16，做对了；丁：（﹣3）2÷×3＝9÷×3＝81，原来没有做对．故选：C．7．（2分）（2022秋•虎丘区校级月考）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（　　）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3解：A1＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6＝732，整理可得：2n＝248，n不为整数；A2＝2n﹣8+2n﹣10+2n﹣12＝732，整理可得：2n＝254，n不为整数；B1＝2n﹣2+2n﹣8+2n﹣14＝732，整理可得：2n＝252，n不为整数；B3＝2n﹣6+2n﹣12+2n﹣18＝732，整理可得：2n＝256，n＝8；故选：D．8．（2分）（2022秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26，则：若n＝49，则第2022次“F运算”的结果是（　　）A．31 B．49 C．62 D．98解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算，即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，即152÷23＝19（奇数），再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），再进行F②运算，即98÷21＝49，再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，2022÷6＝337，则第2022次“F运算”的结果是49．故选：B．9．（2分）（2021秋•句容市月考）“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（　　）A．1 B． C． D．2∵x△（1△3）＝2，x△（1×2﹣3）＝2，x△（﹣1）＝2，2x﹣（﹣1）＝2，2x+1＝2，∴x＝．故选：B．10．（2分）（2020秋•梁溪区校级期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则若n＝898，则第898次“F运算”的结果是（　　）A．488 B．1 C．4 D．8解：由题意可知，当n＝898时，历次运算的结果是：＝449，3×449+5＝1352，＝169，3×169+5＝512，＝1，1×3+5＝8，＝1，…故512→1→8→1→8→…，即从第五次开始1和8出现循环，奇数次为1，偶数次为8，故当n＝898时，第898次“F运算”的结果是8．故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2018秋•常州期中）定义一种新的运算“*”，并且规定：a*b＝a2﹣2b．则（﹣3）*（﹣1）＝　11　．解：（﹣3）*（﹣1）＝（﹣3）2﹣2×（﹣1）＝9+2＝11，故答案为：11．12．（2分）（2022秋•江阴市校级月考）如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣1，则最后输出的结果是　﹣22　．解：把x＝﹣1代入计算程序中得：（﹣1）×6﹣（﹣2）＝﹣6+2＝﹣4＞﹣5，把x＝﹣4代入计算程序中得：（﹣4）×6﹣（﹣2）＝﹣24+2＝﹣22＜﹣5，则最后输出的结果是﹣22，故答案为：﹣2213．（2分）（2022•亭湖区校级三模）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减31元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐总费用最低可为 　53　元．解：小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，所以点餐总费用最低可为：（30×2﹣31）+（12×2+3×2﹣12）+3×2＝（60﹣31）+（24+6﹣12）+6＝29+18+6＝53（元）．所以他点餐总费用最低可为53元．故答案为：53．14．（2分）（2016秋•丹徒区校级月考）有一种“二十四点“的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．将下面的四张扑克牌凑成24，结果是　12×[3﹣（13÷13）]（答案不唯一）　＝24．（注：Q表示12，K表示13．）解：如：12×[3﹣（13÷13）]＝24（答案不唯一）．故答案为：12×[3﹣（13÷13）]（答案不唯一）．15．（2分）（2022秋•溧阳市期中）计算1+2﹣3﹣4+5+6﹣……+2021+2022﹣2023﹣2024值为 　﹣2024　．解：1+2﹣3﹣4+5+6﹣……+2021+2022﹣2023﹣2024＝﹣4﹣4﹣...﹣4（共计个﹣4）＝506×（﹣4）＝﹣2024．故答案为：﹣2024．16．（2分）（2016秋•崇川区期末）一列数：1，﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…，其中某三个相邻数的和是﹣1701，则这三个数中最大的数是　729　．解：设最小的数为（﹣3）n，则（﹣3）n+（﹣3）n+1+（﹣3）n+2＝﹣1701，解得（﹣3）n＝﹣243＝（﹣3）5，所以这三个数分别是（﹣3）5，（﹣3）6，（﹣3）7．则这三个数中最大的数是（﹣3）6＝729．17．（2分）（2022秋•海州区期中）如图，是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣，则最后输出的结果是 　﹣7　．解：当输入x＝﹣时，﹣×3﹣（﹣2）＝﹣5+2＝﹣3＞﹣5，所以再次输入x＝﹣3，﹣3×3﹣（﹣2）＝﹣9+2＝﹣7＜﹣5，∴输出﹣7，故答案为：﹣7．18．（2分）（2022秋•锡山区校级期中）阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝　﹣2017　．解：由（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c可得出，（a+c）⊕b＝a⊕b+c＝n+c，a⊕（b+c）＝a⊕b﹣2c＝n﹣2c，因为1⊕1＝2，所以（1+2019）⊕1＝1⊕1+2019＝2+2019＝2021，即2020⊕1＝2021．又因为2020⊕（1+2019）＝2020⊕1﹣2×2019＝2021﹣2×2019＝2021﹣4038＝﹣2017，所以2020⊕2020＝﹣2017．故答案为：﹣2017．19．（2分）（2021•宿迁模拟）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝　1.1　．解：根据题意可得原式＝（3.9﹣3）+[（﹣1.8）﹣（﹣2）]﹣（1﹣1）＝0.9+0.2＝1.1；故答案为：1.120．（2分）（2022秋•江阴市期中）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3“分裂”后，其中有一个奇数是2023，则m的值是 　45　．解：∵23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，∴m3可以分解为m个连续奇数的和，且第一个奇数为2[2（2+3+…+m﹣1）﹣1]+1＝m2﹣m+1，∵m3“分裂”后，其中有一个奇数是2023，当m＝45时，m2﹣m+1＝1981，当m＝46时，m2﹣m+1＝2071，∴m＝45，故答案为：45．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（12分）（2022秋•启东市校级月考）计算：（1）﹣20﹣（﹣18）+（+5）+（﹣9）；（2）﹣5；（3）；（4）÷（﹣16）；（5）；（6）（﹣199）×5（请用简便方法计算）．解：（1）﹣20﹣（﹣18）+（+5）+（﹣9）＝﹣20+18+5+（﹣9）＝﹣6；（2）﹣5＝﹣5+2+（﹣1）+＝[﹣5+（﹣1）]+（2+）＝﹣7+3＝﹣4；（3）＝×（﹣60）﹣×（﹣60）﹣×（﹣60）＝﹣40+55+56＝71；（4）÷（﹣16）＝﹣81×（﹣）××（﹣）＝﹣1；（5）＝（﹣3）×[﹣5+（1﹣）×（﹣）]＝（﹣3）×[﹣5+（﹣）×（﹣）]＝（﹣3）×（﹣5+）＝3×5﹣3×＝15﹣＝；（6）（﹣199）×5＝（﹣200+）×5＝﹣200×5+×5＝﹣1000+＝﹣999．22．（6分）（2023•滨湖区一模）发现：五个连续的偶数中，存在前三个偶数的平方和等于后两个偶数的平方和．验证：（1）（﹣4）2+（﹣2）2+02＝22+（ 　4　）2；（2）若还存在五个连续的偶数，前三个偶数的平方和可以等于后两个偶数的平方和，设中间的偶数为n，求n；延伸：（3）是否在三个连续的奇数中，有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方，请说明理由．解：（1）根据题意得：（﹣4）2+（﹣2）2+02＝22+42；故答案为：4；（2）设中间的偶数为n，其余为n﹣4，n﹣2，n+2，n+4，根据题意得：（n﹣4）2+（n﹣2）2+n2＝（n+2）2+（n+4）2，整理得：n2﹣8n+16+n2﹣4n+4+n2＝n2+4n+4+n2+8n+16，即n2﹣24n＝0，解得：n＝0（舍去）或n＝24，则n＝24；（3）不存在三个连续的奇数中，有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方，理由为：设三个奇数中中间的一个为2m﹣1，其余为2m﹣3，2m+1，m为整数，根据题意得：（2m﹣3）2+（2m﹣1）2＝（2m+1）2，整理得：4m2﹣12m+9+4m2﹣4m+1＝4m2+4m+1，即4m2﹣20m+9＝0，解得：m＝4.5或m＝0.5，与m为整数矛盾，故三个连续的奇数中，不存在有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方．23．（6分）（2023•姑苏区校级模拟）第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME—14的举办年份．（1）八进制数3747换算成十进制数是 　2023　；（2）小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．解：（1）3747＝3×83+7×82+4×81+7×80＝1536+448+32+7＝2023．故答案为：2023；（2）依题意有：2n2+3n+4＝193，解得n1＝9，（负值舍去）．故n的值是9．24．（6分）（2022秋•兴化市校级期末）探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+5）※（+2）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+8；（﹣3）※（+4）＝﹣7：（+5）※（﹣6）＝﹣11；0※（+8）＝8；0※（﹣8）＝8；（﹣6）※0＝6；（+6）※0＝6．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）观察以上式子，类比计算：①※＝　　，※（+1）＝　1　；（2）计算：（﹣2）※[0※（﹣1）]；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）解：（1）①（﹣）※（﹣）＝，（﹣）※（+1）＝﹣1，故答案为：，﹣1；（2）（﹣2）※[0※（﹣1）]＝（﹣2）※（+1）＝﹣3；（3）交换律成立，例如：0※（﹣8）＝8；（﹣8）※0＝8，∴0※（﹣8）＝（﹣8）※0；结合律不成立，例如：（﹣2）※（0※1）＝（﹣2）※（+1）＝﹣3；[（﹣2）※0]※（+1）＝（+2）※（+1）＝3；∴（﹣2）※[0※（+1）]≠﹣[（﹣2）※0]※（+1）；25．（8分）（2022秋•盐都区月考）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题．（1）猜想并写出：＝　　；（2）类比裂项的方法，计算：；（3）探究并计算：+．解：（1）＝，故答案为：；（2）＝1﹣++…+＝1﹣＝；（3）+＝﹣×（++++…+）＝﹣×（1﹣++…+）＝﹣×（1﹣）＝﹣×＝﹣．26．（8分）（2022秋•崇川区月考）[概念学习]现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．[初步探究]（1）直接写出计算结果：3②＝　1　，（﹣）③＝　﹣3　；（2）下列关于除方说法中，错误的有 　D　；（在横线上填写序号即可）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数D．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）归纳：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为：aⓝ＝　（）n﹣2　；（4）比较：（﹣2）⑧　＞　（﹣4）⑥；（填“＞”“＜”或“＝”）（5）计算：﹣1①+14②÷（﹣）④×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（﹣）④．解：（1）3②＝3÷3＝1；（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣3；故答案为：1；﹣3；（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故A不符合题意；B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故B不符合题意；C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故C不符合题意；D．圈n次方等于它本身的数是1，﹣1的圈偶数次方等于1，﹣1的圈奇数次等于﹣1，故D符合题意；故选：D；（3）aⓝ＝a÷a÷a÷...÷a＝a•••...•＝（）n﹣2，故答案为：（）n﹣2；（4）∵（﹣2）⑧＝（﹣）6＝＝，（﹣4）⑥＝（﹣）4＝＝，∴（﹣2）⑧＞（﹣4）⑥，故答案为：＞；（5）﹣1①+14②÷（﹣）④×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（﹣）④＝﹣1+1÷（﹣2）2×（﹣）4﹣（﹣48）÷（﹣7）2＝﹣1+1÷4×﹣（﹣48）÷49＝﹣1+1××+＝﹣1++＝﹣．27．（6分）（2023春•江阴市期中）在有理数范围内定义一种新运算，规定F（x，y）＝ax2﹣xy（a为常数），若F（1，2）＝﹣1．（1）求F（1，﹣1）；（2）设M＝F（m，n）+2，N＝F（n，﹣m）﹣2n2，试比较M，N的大小；（3）无论m取何值，F（m+n，m﹣n）＝m+t+1都成立，求此时t的值．解：（1）根据题意可知：∵F（1，2）＝﹣1，∴a﹣2＝﹣1，解得：a＝1，∴F（x，y）＝x2﹣xy，∴F（1，﹣1）＝12﹣1×（﹣1）＝2；（2）M＝m2﹣mn+2，N＝n2+mn﹣2n2＝﹣n2+mn，∴M﹣N＝m2﹣mn+2﹣（n2+mn﹣2n2＝﹣n2+mn）＝（m﹣n）2+2，∵（m﹣n）2+2＞0，∴M＞N；（3）根据题意知：F（m+n，m﹣n）＝（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n）＝m2+2mn+n2﹣m2﹣n2＝2n2+2mn，∴2n2+2mn＝m+t+1，∴2n2+（2n﹣1）m﹣t﹣1＝0，∵当2n﹣1＝0时，无论m取何值，2n2+（2n﹣1）m﹣t﹣1＝0都成立，解得：n＝，∴，解得：t＝．28．（8分）（2021秋•高港区期中）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③＝　　，（﹣）⑤＝　﹣8　；（2）关于除方，下列说法错误的是　C　A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；C.3④＝4③D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝　　；5⑥＝　　；（﹣）⑩＝　28　．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于　　；（3）算一算：24÷23+（﹣8）×2③．解：初步探究（1）2③＝2÷2÷2＝，（﹣）⑤＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣2）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣8故答案为：，﹣8；（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1； 所以选项B正确；C、3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，则 3④≠4③； 所以选项C错误；D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；本题选择说法错误的，故选C；深入思考（1）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（）2＝；5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝1×（）4＝；（﹣）⑩＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×2×2×2×2×2×2×2×2＝28；故答案为：，，28．（2）aⓝ＝a÷a÷a…÷a＝1÷an﹣2＝．（3）：24÷23+（﹣8）×2③＝24÷8+（﹣8）×＝3﹣4＝﹣1题号一二三总分得分 评卷人  得 分    评卷人  得 分   菜品单价（含包装费）数量水煮牛肉（小）30元1醋溜土豆丝（小）12元1豉汁排骨（小）30元1手撕包菜（小）12元1米饭3元2 评卷人  得 分   菜品单价（含包装费）数量水煮牛肉（小）30元1醋溜土豆丝（小）12元1豉汁排骨（小）30元1手撕包菜（小）12元1米饭3元2