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苏科版数学七年级上册同步专题热点难点练习 专题4.3 一元一次方程（章节复习+考点讲练）学生版+教师版
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2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题4.3 一元一次方程（章节复习+考点讲练）知识点01：一元一次方程的概念1．方程： 叫做方程．2．一元一次方程：只含有 （元），未知数的次数都是 ，这样的方程叫做一元一次方程．知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个 未知数的次数为 ；②未知数所在的式子是 ，即分母中不含未知数．3．方程的解： 叫做这个方程的解．4．解方程： 叫做解方程．知识点02：等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1： ，结果仍相等． 等式的性质2： ，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数 保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的 (2)去括号：依据 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边， 移到方程另一边． (4)合并：逆用 ，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 (a≠0)的形式． (5)系数化为1： 得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若 相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝ ×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量× 3.利润问题：商品利润＝商品售价－ 4.工程问题：工作量＝工作效率× ，各部分劳动量之和＝ 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金× × 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 【典例精讲】（2021秋•崇川区校级月考）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为 x＝﹣1 ．【思路点拨】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．【规范解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，故原方程为﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【考点评析】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．【变式训练1-1】（2013秋•南长区期末）已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（ ）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【变式训练1-2】（2021秋•灌云县校级月考）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，则a的值是（ ）A．2 B．3 C．7 D．8【变式训练1-3】（2021秋•崇川区校级月考）方程2x+▲＝3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x＝2，那么▲处的常数是 ．【变式训练1-4】（2022秋•鼓楼区月考）（1）数a，b在数轴上对应的A，B两点之间距离|AB|＝|a﹣b|．（2）数轴上表示1和﹣3两点之间的距离是 ；数轴上表示x和﹣2两点之间的距离是 ．（3）根据图象比较大小：|3+a| |﹣3﹣b|（填“＜”、“＝”、“＞”）．若点 A、B、C在数轴上分别表示数﹣1、4、c，且点C到点A、B的距离之和是7，则c＝ （5）关于x的方程|x﹣m|+|x﹣n|＝k（m＞n，k＞0），借助数轴探究方程的解的情况，直接写出结论．【典例精讲】（2022秋•宿迁期中）下列说法：①若a为有理数，且a≠0，则a＜a2；②若＝a，则a＝1；③若a3+b3＝0，则a，b互为相反数；④若|a|＝﹣a，则a＜0．其中正确说法是 ③ （填序号）．【思路点拨】根据有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值解决此题．【规范解答】解：①根据有理数的乘方，当a＝，则，此时，即a＞a2，故①不正确．②根据等式的性质，若＝a，则a＝±1，故②不正确．③根据有理数的乘方以及相反数的定义，由a3+b3＝0，得a3＝﹣b3，推断出a3＝（﹣b）3，则a＝﹣b，即a，b互为相反数，故③正确．④根据绝对值的定义，由|a|＝﹣a≥0，得a≤0，故④不正确．综上：正确的有③．故答案为：③．【考点评析】本题主要考查有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值，熟练掌握有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值是解决本题的关键．【变式训练2-1】（2022秋•宿城区期中）已知等式a＝b，则下列等式中不一定成立的是（ ）A．a+1＝b+1 B．2a﹣2b＝0 C． D．ac＝bc【变式训练2-2】（2022秋•苏州期中）如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（ ）■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■【变式训练2-3】（2021秋•泰州期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在下表中：【解决问题】（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．【及时迁移】借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球和纸杯的个数一样多吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．方案：将天平左边放置 ，天平右边放置 ，使得天平平衡．理由：【典例精讲】（2022秋•亭湖区期末）若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ 0 ．【思路点拨】依据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，列出关于a的不等式与方程求解即可．【规范解答】解：（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，∴2﹣a≠0且|a﹣1|＝1，解得：a＝0．故答案为：0．【考点评析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，依据一元一次方程的定义列出关于a的不等式组是解题的关键．【变式训练3-1】（2022秋•滨海县月考）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）A．x﹣y＝6 B．x2+x﹣3＝0 C．4x＝24 D．【变式训练3-2】（2019秋•东台市期中）若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝2【变式训练3-3】（2015秋•扬州校级月考）已知：（a+2b）y2﹣＝3是关于y的一元一次方程．（1）求a、b的值；（2）若x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，求|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|的值．【变式训练3-4】（2017秋•广陵区校级月考）已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．【典例精讲】（2022秋•海门市期末）若关于x的方程5x﹣1＝2x+a的解与方程4x+3＝7的解互为相反数，则a＝ ﹣4 ．【思路点拨】求出第二个方程的解的相反数，代入第一个方程计算即可求出a的值．【规范解答】解：方程4x+3＝7，移项合并得：4x＝4，解得：x＝1，把x＝﹣1代入5x﹣1＝2x+a得：﹣6＝﹣2+a，解得：a＝﹣4，故答案为：﹣4【考点评析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【变式训练4-1】（2022秋•如皋市校级期末）已知关于x的方程3x﹣5＝x+a的解是x＝2，则a的值等于（ ）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【变式训练4-2】（2021秋•宜兴市校级月考）方程5y﹣7＝2y﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y＝﹣1．这个常数应是（ ）A．10 B．4 C．﹣4 D．﹣10【变式训练4-3】（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．（1）求m、n的值；（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过 3或5 秒，P、Q两点相距3个单位．【变式训练4-4】（2022秋•鼓楼区校级期末）我们规定，关于x的一元一次方程mx＝n（m≠0）的解为x＝m+n，则称该方程为和解方程，例如2x＝﹣4的解为x＝﹣2＝﹣4+2，则方程为和解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ．①；②；③5x＝﹣2．（2）若关于x的一元一次方程3x＝2a﹣10是和解方程，则a＝ ．（3）关于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程，则代数式a（a2b+1）+b（1﹣a3）的值为 ．（4）关于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程且它的解为x＝a，求代数式2ab（a+b）的值．【典例精讲】．（2022秋•滨海县月考）对于任意有理数a，b，我们规定：a⊗b＝a2﹣2b，例如：3⊗4＝32﹣2×4＝9﹣8＝1．若2⊗x＝3+x，则x的值为 ．【思路点拨】先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可．【规范解答】解：∵2⊗x＝3+x，∴22﹣2x＝3+x，∴4﹣2x＝3+x，∴﹣2x﹣x＝3﹣4，∴﹣3x＝﹣1，解得x＝．故答案为：．【考点评析】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能根据题意列出关于x的一元一次方程是解题的关键．【变式训练5-1】（2022秋•海门市期末）解方程时，去分母正确的是（ ）A．2x+1﹣（10x+1）＝1 B．4x+1﹣10x+1＝6 C．4x+2﹣10x﹣1＝6 D．2（2x+1）﹣（10x+1）＝1【变式训练5-2】（2017秋•秦淮区期末）下列方程变形中，正确的是（ ）A．由3x＝﹣4，系数化为1得x＝ B．由5＝2﹣x，移项得x＝5﹣2 C．由 ，去分母得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝1 D．由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括号得3x+4x﹣2＝5【变式训练5-3】（2022秋•鼓楼区校级期末）整式ax﹣b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程﹣ax+b＝3的解是 ．【变式训练5-4】（2020秋•惠山区期中）解方程：（1）3x+7＝32﹣2x； （2）．【变式训练5-5】（2022秋•丹徒区期末）解方程：（1）3（2x﹣1）+1＝4（x+2）； （2）．【典例精讲】（2022秋•海陵区校级月考）已知关于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一个解，那么xa＝ 1 ．【思路点拨】根据题意计算出a，x的值，再计算xa的值．【规范解答】解：∵关于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一个解，∴a﹣2＝0，a＝2，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴（﹣1）2＝1，故答案为：1．【考点评析】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的定义，解一元一次方程．【变式训练6-1】（2022秋•张家港市期中）已知c为实数，讨论方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c解的情况．【变式训练6-2】（2022秋•鼓楼区校级月考）【我阅读】解方程：|x+5|＝2．解：当x+5≥0时，原方程可化为：x+5＝2，解得x＝﹣3；当x+5＜0时，原方程可化为：x+5＝﹣2，解得x＝﹣7．所以原方程的解是x＝﹣3或x＝﹣7．【我会解】解方程：|3x﹣2|﹣5＝0．【变式训练6-3】（2022秋•高新区校级月考）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b＝0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0＝100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y0＝1时，x0+y0＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是 ．（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，请求出a的值．【典例精讲】（2022秋•海陵区校级期末）如果方程的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，则代数式a﹣的值为 ﹣ ．【思路点拨】先解关于x的方程得出x＝10，将其代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，继而代入计算可得．【规范解答】解：解方程得x＝10，将x＝10代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，解得：a＝﹣4，则原式＝﹣，故答案为：﹣．【考点评析】本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念和解一元一次方程的能力．【变式训练7-1】（2022秋•惠山区校级期末）关于x的方程kx＝2x+6与2x﹣1＝5的解相同，则k的值为（ ）A．4 B．3 C．5 D．6【变式训练7-2】（2022秋•姑苏区校级期末）若关于x的方程＝5与kx﹣1＝15的解相同，则k的值为（ ）A．8 B．6 C．﹣2 D．2【变式训练7-3】（2017秋•崇川区校级月考）如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是 ．【变式训练7-4】．（2021秋•广陵区校级期末）已知方程6x﹣9＝10x﹣5与方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同；（1）求这个相同的解；（2）求a的值．【变式训练7-5】（2022秋•滨海县月考）已知关于的方程2﹣＝+3﹣x与方程4﹣＝3k﹣的解相同，求k的值．【典例精讲】（2022秋•如皋市校级期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）A． B． C． D．【思路点拨】根据题意设乙出发x日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式．【规范解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为：+＝1．故选：D．【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程所占比是解题关键．【变式训练8-1】（2022秋•滨海县月考）有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50m2墙面未来得及粉刷，同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的40m2墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面．设每名二级技工一天粉刷墙面xm2，则列方程为（ ）A． B． C． D．【变式训练8-2】（2021秋•如东县期中）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托为5尺，那么索和竿各为几尺？设竿为x尺，可列方程为 ．【变式训练8-3】（2022秋•江宁区月考）新年将至，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“中国结”．如果每人做8个，那么比计划多了3个；如果每人做5个，那么比计划少27个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？她俩经过独立思考后，分别列出了如下尚不完整的方程：乐乐的方法：8x□ ＝5x□ ；丽丽的方法：；（1）在乐乐、丽丽所列的方程中，“□”中是运算符号，“”中是数字，试分别指出未知数x，y表示的意义：未知数x表示 ，未知数y表示 ；（2）分别用这两种方法，将原题中的问题解答完成．【变式训练8-4】（2018秋•亭湖区校级期末）生态公园计划在园内的坡地上种植一片有A、B两种树的混合林，需要购买这两种树苗共100棵．假设这批树苗种植后成活95棵，种植A、B两种树苗的相关信息如下表：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗 棵，根据题意可列方程为 ，解得x＝ ．（2）求种植这片混合林的总费用需多少元？【变式训练8-5】（2021秋•姜堰区校级月考）为打造绿色生态环境，一段长为2400米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时80天．已知甲队每天整治32米，乙队每天整治24米．（1）根据题意，小李、小张分别列出如下的一元一次方程（尚不完整）：小李：32x+24（ ）＝2400；小张：＝80；请分别指出上述方程中的意义，并补全方程：小李：x表示 ；小张：x表示 ．求甲、乙两队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程） 【典例精讲】（2021秋•如皋市校级月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行八十步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走80步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 200 步才能追到速度慢的人．【思路点拨】设速度快的人追上速度慢的人所用时间为t，根据速度慢的人和速度快的人所用时间相等列方程，求出时间，进而求出速度快的人所走的路程即可．【规范解答】解：设速度快的人追到速度慢的人所用时间为t，根据题意列方程得：100t＝60t+80，解得t＝2，2×100＝200（步），∴速度快的人要走200步才能追到速度慢的人，故答案为：200．【考点评析】本题主要考查一元一次方程的知识，根据等量关系列出方程并正确求解是解题的关键．【变式训练9-1】（2019秋•镇江期末）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠；小敏在该超市两次购物分别付了90元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）元A．288 B．296 C．312 D．320【变式训练9-2】（2022秋•邗江区期末）某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为（ ）A．230元 B．250元 C．260元 D．300元【变式训练9-3】（2020秋•盐城期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有 升酒．【变式训练9-4】（2021秋•射阳县校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为 【变式训练9-5】（2022秋•滨海县月考）我区某中学举办一年一届的科技文化艺术节活动，需搭建一个舞台，请来两名工人．已知甲单独完成需4小时，乙单独完成需6小时．现由乙提前做1小时，剩下的工作由甲、乙两人合做，问再合做几小时可以完成这项工作？【变式训练9-6】（2022秋•邳州市期末）如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是﹣2，4．请回答以下问题：（1）﹣2的绝对值是 ，A与B之间距离为 ；（2）若数轴上有点C，使得BC的距离为3个单位长度，则点C表示的数是 ；（3）若点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度向右做匀速运动，点Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，P，Q同时运动，设运动的时间为t秒：①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？【变式训练9-7】（2019秋•赣榆区期末）某校七年级科技兴趣小组计划制作一批飞机模型，如果每人做6个，那么比计划多做了10个，如果每人做5个，那么比计划少做了14个．该兴趣小组共有多少人？计划做多少个飞机模型？ 2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题4.3 一元一次方程（章节复习+考点讲练）知识点01：一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．知识点02：等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 【典例精讲】（2021秋•崇川区校级月考）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为 x＝﹣1 ．【思路点拨】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．【规范解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，故原方程为﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【考点评析】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．【变式训练1-1】（2013秋•南长区期末）已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（ ）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【思路点拨】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．【规范解答】解：把x＝2代入方程得：6+a＝0，解得：a＝﹣6．故选：A．【考点评析】本题主要考查了方程解的定义，已知x＝2是方程的解实际就是得到了一个关于a的方程．【变式训练1-2】（2021秋•灌云县校级月考）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，则a的值是（ ）A．2 B．3 C．7 D．8【思路点拨】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，把方程的解代入方程，可得答案．【规范解答】解：把x＝5 代入方程ax﹣8＝20+a，得：5a﹣8＝20+a，解得：a＝7，故选：C．【考点评析】本题考查了方程的解，把方程的解代入方程，得关于a的一元一次方程，解一元一次方程，得答案．【变式训练1-3】（2021秋•崇川区校级月考）方程2x+▲＝3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x＝2，那么▲处的常数是 2 ．【思路点拨】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字．【规范解答】解：把x＝2代入方程，得4+▲＝6，解得▲＝2．故答案为：2．【考点评析】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．【变式训练1-4】（2022秋•鼓楼区月考）（1）数a，b在数轴上对应的A，B两点之间距离|AB|＝|a﹣b|．（2）数轴上表示1和﹣3两点之间的距离是 4 ；数轴上表示x和﹣2两点之间的距离是 |x+2| ．（3）根据图象比较大小：|3+a| ＜ |﹣3﹣b|（填“＜”、“＝”、“＞”）．（4）若点 A、B、C在数轴上分别表示数﹣1、4、c，且点C到点A、B的距离之和是7，则c＝ ﹣2或5 ．（5）关于x的方程|x﹣m|+|x﹣n|＝k（m＞n，k＞0），借助数轴探究方程的解的情况，直接写出结论．【思路点拨】（2）根据题中的两点间的距离公式求解；（3）根据图形中的位置判断；（4）根据题意列方程求解；（5）分类讨论，解方程．【规范解答】解：（2）|﹣3﹣1|＝4，|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，故答案为：4，|x+2|；（3）∵|3+a|＝|﹣3﹣a|，由图可得：|3+a|＜|﹣3﹣b|，故答案为：＜；（4）由题意得：|c+1|+|c﹣4|＝7，解得：c＝﹣2或c＝5，故答案为：﹣2或5；（5）当x＜n时，m﹣x+n﹣x＝k，解得x＝，当n≤x≤m时，x﹣n+m﹣x＝k，若m﹣n＝k，有无数个解，当m﹣n≠k时，无解，当x＞m时，x﹣m+x﹣n＝k，解得：x＝．【考点评析】本题考查了方程的解和数轴，数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．【典例精讲】（2022秋•宿迁期中）下列说法：①若a为有理数，且a≠0，则a＜a2；②若＝a，则a＝1；③若a3+b3＝0，则a，b互为相反数；④若|a|＝﹣a，则a＜0．其中正确说法是 ③ （填序号）．【思路点拨】根据有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值解决此题．【规范解答】解：①根据有理数的乘方，当a＝，则，此时，即a＞a2，故①不正确．②根据等式的性质，若＝a，则a＝±1，故②不正确．③根据有理数的乘方以及相反数的定义，由a3+b3＝0，得a3＝﹣b3，推断出a3＝（﹣b）3，则a＝﹣b，即a，b互为相反数，故③正确．④根据绝对值的定义，由|a|＝﹣a≥0，得a≤0，故④不正确．综上：正确的有③．故答案为：③．【考点评析】本题主要考查有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值，熟练掌握有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值是解决本题的关键．【变式训练2-1】（2022秋•宿城区期中）已知等式a＝b，则下列等式中不一定成立的是（ ）A．a+1＝b+1 B．2a﹣2b＝0 C． D．ac＝bc【思路点拨】根据等式的性质，等式的两边都加或都减同一个整式，结果不变，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．【规范解答】解；A、两边都加1，故A正确，不符合题意；B、两边都乘以2，故B正确，不符合题意；C、当c＝0时，无意义故C错误，符合题意；D、两边都乘以c时，故D正确，不符合题意；故选：C．【考点评析】本题考查了等式的性质，注意等式的两边都除以同一个不为零的数，结果不变．【变式训练2-2】（2022秋•苏州期中）如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（ ）A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■【思路点拨】根据等式的性质得出，●，■，▲三个图形之间的关系即可．【规范解答】解：由题意知，在第二个天平两边都加入一个■，对比第一个天平即可得出●＝■■，把第二个天平中的●换成■■，则▲＝■■■，∴●▲＝■■■■■，故选：D．【考点评析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．【变式训练2-3】（2021秋•泰州期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在下表中：【解决问题】（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．【及时迁移】借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球和纸杯的个数一样多吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．方案：将天平左边放置 10个乒乓球 ，天平右边放置 10个一次性纸杯和1个10克的砝码 ，使得天平平衡．理由：【思路点拨】解决问题：（1）用乒乓球的总质量加上砝码的总质量可得答案；（2）根据题意列出方程，求解可得答案；及时迁移：根据乒乓球、纸杯、砝码的质量设计即可，只是平衡即可．【规范解答】解：（1）根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：6x+10；记录二中的一次性纸杯的总质量为：4x﹣10，故答案为：6x+10；4x﹣10，（2）由题意得：6x+10＝14（4x﹣10），解得：x＝3，∴4x﹣10＝2答：一个乒乓球的质量为3克，一个一次性纸杯的质量为2克．及时迁移：将天平左边放置10个乒乓球，天平右边放置10个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡．故答案为：10个乒乓球，10个一次性纸杯和1个10克的砝码，理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可．【考点评析】此题考查的是等式的性质、列代数式，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解决此题的关键．【典例精讲】（2022秋•亭湖区期末）若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ 0 ．【思路点拨】依据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，列出关于a的不等式与方程求解即可．【规范解答】解：（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，∴2﹣a≠0且|a﹣1|＝1，解得：a＝0．故答案为：0．【考点评析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，依据一元一次方程的定义列出关于a的不等式组是解题的关键．【变式训练3-1】（2022秋•滨海县月考）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）A．x﹣y＝6 B．x2+x﹣3＝0 C．4x＝24 D．【思路点拨】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．【规范解答】解：A．x﹣y＝6中有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．x2+x﹣3＝0，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．4x＝24，是一元一次方程，故本选项符合题意；D．﹣1＝24，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：C．【考点评析】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．【变式训练3-2】（2019秋•东台市期中）若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝2【思路点拨】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．【规范解答】解：由一元一次方程的特点得m﹣2＝1，即m＝3，则这个方程是3x＝0，解得：x＝0．故选：A．【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．【变式训练3-3】（2015秋•扬州校级月考）已知：（a+2b）y2﹣＝3是关于y的一元一次方程．（1）求a、b的值；（2）若x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，求|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|的值．【思路点拨】（1）先根据一元一次方程的定义列出关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；（2）把x＝a代入方程求出m的值，再代入代数式求解即可．【规范解答】解：（1）∵（a+2b）y2﹣＝3是关于y的一元一次方程，∴，解得；（2）∵a＝4，x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，∴1﹣+3＝4﹣，解得m＝﹣，∴|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|＝|4+2﹣2|﹣|﹣2+|＝．【考点评析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．【变式训练3-4】（2017秋•广陵区校级月考）已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．【思路点拨】（1）根据一元一次方程的定义求解即可；（2）根据代数式求值，可得答案．【规范解答】解：（1）由题意，得|m+4|＝1且m+3≠0，解得m＝﹣5．（2）当m＝﹣5时，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）＝2×（﹣15+2）﹣3（﹣20﹣1）＝﹣26+63＝37．【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．【典例精讲】（2022秋•海门市期末）若关于x的方程5x﹣1＝2x+a的解与方程4x+3＝7的解互为相反数，则a＝ ﹣4 ．【思路点拨】求出第二个方程的解的相反数，代入第一个方程计算即可求出a的值．【规范解答】解：方程4x+3＝7，移项合并得：4x＝4，解得：x＝1，把x＝﹣1代入5x﹣1＝2x+a得：﹣6＝﹣2+a，解得：a＝﹣4，故答案为：﹣4【考点评析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【变式训练4-1】（2022秋•如皋市校级期末）已知关于x的方程3x﹣5＝x+a的解是x＝2，则a的值等于（ ）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【思路点拨】将x＝2代入3x﹣5＝x+a，再解出a即可．【规范解答】解：将x＝2代入3x﹣5＝x+a，得：3×2﹣5＝2+a，解得：a＝﹣1．故选：B．【考点评析】本题考查方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．【变式训练4-2】（2021秋•宜兴市校级月考）方程5y﹣7＝2y﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y＝﹣1．这个常数应是（ ）A．10 B．4 C．﹣4 D．﹣10【思路点拨】将y＝﹣1代入方程计算可求解这个常数．【规范解答】解：将y＝﹣1代入方程5y﹣7＝2y﹣中，5×（﹣1）﹣7＝2×（﹣1）﹣，解得＝10，故选：A．【考点评析】本题主要考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的概念是解题的关键．【变式训练4-3】（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．（1）求m、n的值；（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过 3或5 秒，P、Q两点相距3个单位．【思路点拨】（1）解方程求出m＝10的值，再把x＝10代入方程即可得出n的值；（2）①根据线段中点的定义求出OP和OQ的长度即可得出答案；②设运动时间为x秒，列方程解答即可．【规范解答】解：（1）解方程得，m＝10，∵方程2（x﹣8）﹣n＝6的解为x＝10，∴4﹣n＝6，解得n＝﹣2，∴m、n的值分别为10，﹣2；（2）①∵点M对应的数为10，点N对应的数为﹣2，点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，∴OP＝ON＝1，OQ＝OM＝5，∴PQ＝OP+OQ＝1+5＝6；②设经过x秒P、Q两点相距3个单位，根据题意得：﹣2+x﹣（10﹣2x）＝3或（10﹣2x）﹣（﹣2+x）＝3，解得x＝5或x＝3，故经过3秒或5秒，A、B两点相距3个单位．故答案为：3或5．【考点评析】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，解题的关键是到达题意，用含字母的式子表示P，Q所表示的数．【变式训练4-4】（2022秋•鼓楼区校级期末）我们规定，关于x的一元一次方程mx＝n（m≠0）的解为x＝m+n，则称该方程为和解方程，例如2x＝﹣4的解为x＝﹣2＝﹣4+2，则方程为和解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ② ．①；②；③5x＝﹣2．（2）若关于x的一元一次方程3x＝2a﹣10是和解方程，则a＝ ．（3）关于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程，则代数式a（a2b+1）+b（1﹣a3）的值为 ﹣ ．（4）关于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程且它的解为x＝a，求代数式2ab（a+b）的值．【思路点拨】（1）根据“和解方程”的定义进行判断即可；（2）根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解之即可；（3）根据“和解方程”的定义得到，将所求式子化简后整体代入即可；（4）根据已知条件得到，可求出a，b值，代入计算即可．【规范解答】解：（1）①的解是，故不是“和解方程”；②的解是，故是“和解方程”；③5x＝﹣2的解是，故不是“和解方程”；故答案为：②；（2）∵3x＝2a﹣10是和解方程，∴，解得：，故答案为：；（3）∵3x＝a+b是和解方程，∴，化简得：，∴a（a2b+1）+b（1﹣a3）＝a3b+a+b﹣a3b＝a+b＝，故答案为：﹣；（4）∵3x＝a+b是和解方程且它的解为x＝a，∴，∴解得：，b＝﹣3，∴．【考点评析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．【典例精讲】．（2022秋•滨海县月考）对于任意有理数a，b，我们规定：a⊗b＝a2﹣2b，例如：3⊗4＝32﹣2×4＝9﹣8＝1．若2⊗x＝3+x，则x的值为 ．【思路点拨】先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可．【规范解答】解：∵2⊗x＝3+x，∴22﹣2x＝3+x，∴4﹣2x＝3+x，∴﹣2x﹣x＝3﹣4，∴﹣3x＝﹣1，解得x＝．故答案为：．【考点评析】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能根据题意列出关于x的一元一次方程是解题的关键．【变式训练5-1】（2022秋•海门市期末）解方程时，去分母正确的是（ ）A．2x+1﹣（10x+1）＝1 B．4x+1﹣10x+1＝6 C．4x+2﹣10x﹣1＝6 D．2（2x+1）﹣（10x+1）＝1【思路点拨】去分母的方法是方程两边同时乘以各分母的最小公倍数6，在去分母的过程中注意分数线右括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项．【规范解答】解：方程两边同时乘以6得：4x+2﹣（10x+1）＝6，去括号得：4x+2﹣10x﹣1＝6．故选：C．【考点评析】在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项．【变式训练5-2】（2017秋•秦淮区期末）下列方程变形中，正确的是（ ）A．由3x＝﹣4，系数化为1得x＝ B．由5＝2﹣x，移项得x＝5﹣2 C．由 ，去分母得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝1 D．由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括号得3x+4x﹣2＝5【思路点拨】根据解方程的方法和等式的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【规范解答】解：3x＝﹣4，系数化为1，得x＝﹣，故选项A错误，5＝2﹣x，移项，得x＝2﹣5，故选项B错误，由，去分母，得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝24，故选项C错误，由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括号得，3x﹣2+4x＝5，故选项D正确，故选：D．【考点评析】本题考查解一元一次方程、等式的性质，解答本题的关键是明确解方程的方法．【变式训练5-3】（2022秋•鼓楼区校级期末）整式ax﹣b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程﹣ax+b＝3的解是 x＝0 ．【思路点拨】把x与ax﹣b的值的方程组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出方程的解．【规范解答】解：根据表格得：，把②代入①得：﹣2a+3＝﹣6，解得：a＝，∴方程为﹣x+3＝3，解得：x＝0．故答案为：x＝0．【考点评析】此题考查了解一元一次方程，二元一次方程组，以及代数式求值，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．【变式训练5-4】（2020秋•惠山区期中）解方程：（1）3x+7＝32﹣2x；（2）．【思路点拨】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．【规范解答】解：（1）移项，可得：3x+2x＝32﹣7，合并同类项，可得：5x＝25，系数化为1，可得：x＝5．（2）去分母，可得：3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7），去括号，可得：9x﹣3﹣12＝10x﹣14，移项，合并同类项，可得：x＝﹣1．【考点评析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【变式训练5-5】（2022秋•丹徒区期末）解方程：（1）3（2x﹣1）+1＝4（x+2）；（2）．【思路点拨】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【规范解答】解：（1）去括号得：6x﹣3+1＝4x+8，移项得：6x﹣4x＝8+3﹣1，合并同类项得：2x＝10，解得：x＝5；（2）去分母得：2（2x﹣1）＝2x+1﹣6，去括号得：4x﹣2＝2x+1﹣6，移项得：4x﹣2x＝1﹣6+2，合并同类项得：2x＝﹣3，解得：x＝﹣1.5．【考点评析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．【典例精讲】（2022秋•海陵区校级月考）已知关于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一个解，那么xa＝ 1 ．【思路点拨】根据题意计算出a，x的值，再计算xa的值．【规范解答】解：∵关于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一个解，∴a﹣2＝0，a＝2，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴（﹣1）2＝1，故答案为：1．【考点评析】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的定义，解一元一次方程．【变式训练6-1】（2022秋•张家港市期中）已知c为实数，讨论方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c解的情况．【思路点拨】分类讨论：x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3，x≥3，根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．【规范解答】解：当x＜1时，原方程等价于1﹣x﹣（2﹣x）+2（3﹣x）＝c，X＝，，否则无解．当1≤x＜2时，原方程等价于x﹣1﹣（2﹣x）+2（3﹣x）＝cC＝3时，解为：1≤X＜2．否则无解．当2≤x＜3时，原方程等价于x﹣1﹣（x﹣2）+2（3﹣x）＝c，X＝，2时有解，此时：1＜C≤3有解：X＝，否则无解，当x≥3时，原方程等价于x﹣1﹣（x﹣2）+2（x﹣3）＝c，X＝，时有解，此时：c≥1，有解：X＝，否则无解，综上所述：c≥1方程有解，c＜1方程无解．【考点评析】本题目考查绝对值方程，需要讨论，把绝对值方程转化为一般的一元一次方程求解，体现了转换的数学思想．【变式训练6-2】（2022秋•鼓楼区校级月考）【我阅读】解方程：|x+5|＝2．解：当x+5≥0时，原方程可化为：x+5＝2，解得x＝﹣3；当x+5＜0时，原方程可化为：x+5＝﹣2，解得x＝﹣7．所以原方程的解是x＝﹣3或x＝﹣7．【我会解】解方程：|3x﹣2|﹣5＝0．【思路点拨】类比题干的解题过程，先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，再解一元一次方程即可．【规范解答】解：当3x﹣2≥0时，原方程可化为：3x﹣2﹣5＝0，解得x＝；当3x﹣2＜0时，原方程可化为：﹣3x+2﹣5＝0，解得x＝﹣1．所以原方程的解是x＝或x＝﹣1．【考点评析】本题考查绝对值的定义以及解一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的定义将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．【变式训练6-3】（2022秋•高新区校级月考）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b＝0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0＝100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y0＝1时，x0+y0＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是 ② ．（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，请求出a的值．【思路点拨】（1）根据友好方程定义判断．（2）根据友好方程的条件列出关于a的方程．【规范解答】解：（1）方程①的解为：y＝3，方程②的解为：y＝±2，方程3x﹣2x﹣102＝0的解为：x＝102．∵3+102≠100，﹣2+102＝100．∴方程①不是方程3x﹣2x﹣102＝0的友好方程，方程②是方程3x﹣2x﹣102＝0的友好方程．故答案为：②．（2）∵|2y﹣2|+3＝5．|2y﹣2|＝2，∴2y﹣2＝2或2y﹣2＝﹣2．∴y＝2或y＝0．∵方程x﹣＝a+1，∴3x﹣2x+2a＝3a+3．∴x＝a+3．∵两个方程是友好方程，∴2+a+3＝100或0+a+3＝100．∴a＝95或a＝97．【考点评析】本题考查新定义解决数学问题，理解新定义是求解本题的关键．【典例精讲】（2022秋•海陵区校级期末）如果方程的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，则代数式a﹣的值为 ﹣ ．【思路点拨】先解关于x的方程得出x＝10，将其代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，继而代入计算可得．【规范解答】解：解方程得x＝10，将x＝10代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，解得：a＝﹣4，则原式＝﹣，故答案为：﹣．【考点评析】本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念和解一元一次方程的能力．【变式训练7-1】（2022秋•惠山区校级期末）关于x的方程kx＝2x+6与2x﹣1＝5的解相同，则k的值为（ ）A．4 B．3 C．5 D．6【思路点拨】先解2x﹣1＝5得出x＝3，代入kx＝2x+6即可求解．【规范解答】解：2x﹣1＝5，解得：x＝3，代入kx＝2x+6，即3k＝6+6，解得：k＝4．故选：A．【考点评析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．【变式训练7-2】（2022秋•姑苏区校级期末）若关于x的方程＝5与kx﹣1＝15的解相同，则k的值为（ ）A．8 B．6 C．﹣2 D．2【思路点拨】先解出第一个方程的解，代入到第二个方程中，求出k的值．【规范解答】解：＝5，∴2x﹣1＝15，∴x＝8；把x＝8代入第二个方程得：8k﹣1＝15，解得：k＝2．故选：D．【考点评析】本题考查了同解方程，一元一次方程的解法，考核学生的计算能力，将第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键．【变式训练7-3】（2017秋•崇川区校级月考）如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是 ±2 ．【思路点拨】本题中有两个方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．【规范解答】解：解方程＝整理得：15x﹣3＝42，解得：x＝3，把x＝3代入＝x+4+2|m|得＝3++2|m|解得：|m|＝2，则m＝±2．故答案为±2．【考点评析】本题考查了同解方程，使方程左右两边相等的未知数的值是该方程的解，因此检验一个数是否为相应的方程的解，就是把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等．【变式训练7-4】．（2021秋•广陵区校级期末）已知方程6x﹣9＝10x﹣5与方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同；（1）求这个相同的解；（2）求a的值．【思路点拨】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案；（2）根据同解方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【规范解答】解：（1）6x﹣9＝10x﹣5移项，得：6x﹣10x＝﹣5+9，合并同类项，得：﹣4x＝4，系数化为1，得：x＝﹣1．（2）由方程6x﹣9＝10x﹣5与方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同，得3a﹣1＝3（﹣1+a）﹣2a，解得a＝﹣1．【考点评析】本题考查了同解方程，利用同解方程的出关于a的方程是解题关键．【变式训练7-5】（2022秋•滨海县月考）已知关于的方程2﹣＝+3﹣x与方程4﹣＝3k﹣的解相同，求k的值．【思路点拨】先解方程2﹣＝+3﹣x，可得x＝1，然后再把x＝1代入方程4﹣＝3k﹣中得：4﹣＝3k﹣，最后进行计算即可解答．【规范解答】解：2﹣＝+3﹣x，12﹣2（x﹣1）＝3（1﹣x）+18﹣6x，12﹣2x+2＝3﹣3x+18﹣6x，﹣2x+3x+6x＝3+18﹣12﹣2，7x＝7，x＝1，由题意得：把x＝1代入方程4﹣＝3k﹣中得：4﹣＝3k﹣，4﹣＝3k，12﹣（k+2）＝9k，12﹣k﹣2＝9k，﹣k﹣9k＝2﹣12，﹣10k＝﹣10，k＝1，∴k的值为1．【考点评析】本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程的意义是解题的关键．【典例精讲】（2022秋•如皋市校级期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）A． B． C． D．【思路点拨】根据题意设乙出发x日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式．【规范解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为：+＝1．故选：D．【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程所占比是解题关键．【变式训练8-1】（2022秋•滨海县月考）有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50m2墙面未来得及粉刷，同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的40m2墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面．设每名二级技工一天粉刷墙面xm2，则列方程为（ ）A． B． C． D．【思路点拨】设每名二级技工一天粉刷墙面xm2，则每名一级技工一天粉刷（x+10）m2墙面，即可得出关于x的一元一次方程．【规范解答】解：设每名二级技工一天粉刷墙面xm2，则每名一级技工一天粉刷（x+10）m2墙面，依题意，得：＝．故选：A．【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式训练8-2】（2021秋•如东县期中）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托为5尺，那么索和竿各为几尺？设竿为x尺，可列方程为 （x+5）＝x﹣5 ．【思路点拨】设竿为x尺，则索为（x+5）尺，根据“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x一元一次方程．【规范解答】解：设竿为x尺，则索为（x+5）尺，根据题意得：（x+5）＝x﹣5，故答案为：（x+5）＝x﹣5．【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．【变式训练8-3】（2022秋•江宁区月考）新年将至，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“中国结”．如果每人做8个，那么比计划多了3个；如果每人做5个，那么比计划少27个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？她俩经过独立思考后，分别列出了如下尚不完整的方程：乐乐的方法：8x□ ﹣3 ＝5x□ +27 ；丽丽的方法：；（1）在乐乐、丽丽所列的方程中，“□”中是运算符号，“”中是数字，试分别指出未知数x，y表示的意义：未知数x表示 该小组人数 ，未知数y表示 计划做“中国结”的个数 ；（2）分别用这两种方法，将原题中的问题解答完成．【思路点拨】（1）乐乐的方法是根据做“中国结”的个数不变列的方程，丽丽的方法是根据该小组的人数不变列的方程；（2）可设该小组有x人，根据做“中国结”的个数不变先列出方程，再求解作答．【规范解答】解：（1）﹣3；+27；未知数x表示的是该小组人数；未知数y表示的是计划做“中国结”的个数；故答案为：﹣3；+27；该小组人数；计划做“中国结”的个数；（2）设该小组有x人，由题意得8x﹣3＝5x+27，解这个方程，得x＝10，计划做“中国结”的个数：8×10﹣3＝77（个）．答：该小组共有10人，计划做“中国结”77个．【考点评析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，掌握解一元一次方程应用题的一般步骤是关键．【变式训练8-4】（2018秋•亭湖区校级期末）生态公园计划在园内的坡地上种植一片有A、B两种树的混合林，需要购买这两种树苗共100棵．假设这批树苗种植后成活95棵，种植A、B两种树苗的相关信息如下表：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗 （100﹣x） 棵，根据题意可列方程为 96%x+92%（100﹣x）＝95 ，解得x＝ 75 ．（2）求种植这片混合林的总费用需多少元？【思路点拨】（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（100﹣x）棵，根据成活棵数＝种植A种树苗的棵数×成活率+种植B种树苗的棵数×成活率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据总费用＝（A种树苗的单价+种植A种树苗的栽树劳务费）×种植A种树苗的棵数+（B种树苗的单价+种植B种树苗的栽树劳务费）×种植B种树苗的棵数，即可求出种植这片混合林的总费用．【规范解答】解：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（100﹣x）棵，依题意，得：96%x+92%（100﹣x）＝95，解得：x＝75．故答案为：（100﹣x）；96%x+92%（100﹣x）＝95；75．（2）（15+3）×75+（20+4）×（100﹣75）＝1950（元）．答：种植这片混合林的总费用需1950元．【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据数量关系，列式计算．【变式训练8-5】（2021秋•姜堰区校级月考）为打造绿色生态环境，一段长为2400米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时80天．已知甲队每天整治32米，乙队每天整治24米．（1）根据题意，小李、小张分别列出如下的一元一次方程（尚不完整）：小李：32x+24（ 80﹣x ）＝2400；小张：＝80；请分别指出上述方程中的意义，并补全方程：小李：x表示 甲队工作的时间 ；小张：x表示 甲队整治河道的长度 ．（2）求甲、乙两队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）【思路点拨】（1）根据所列方程可得第一个方程为32x+24（80﹣x）＝2400，x表示的是甲队工作的时间，第二个方程为+＝80，x表示的是甲队整治河道的长度；（2）求解第二个方程即可．【规范解答】解：（1）由题意得，第一个方程为32x+24（80﹣x）＝2400，x表示的是甲队工作的时间，第二个方程为+＝80，x表示的是甲队整治河道的长度，故答案为：80﹣x，甲队工作的时间，甲队整治河道的长度；（2）设甲队整治河道的长度为x米，列方程得：+＝80，解得：x＝1920，则2400﹣x＝480．答：甲、乙两队分别整治河道1920米，480米．【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．【典例精讲】（2021秋•如皋市校级月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行八十步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走80步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 200 步才能追到速度慢的人．【思路点拨】设速度快的人追上速度慢的人所用时间为t，根据速度慢的人和速度快的人所用时间相等列方程，求出时间，进而求出速度快的人所走的路程即可．【规范解答】解：设速度快的人追到速度慢的人所用时间为t，根据题意列方程得：100t＝60t+80，解得t＝2，2×100＝200（步），∴速度快的人要走200步才能追到速度慢的人，故答案为：200．【考点评析】本题主要考查一元一次方程的知识，根据等量关系列出方程并正确求解是解题的关键．【变式训练9-1】（2019秋•镇江期末）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠；小敏在该超市两次购物分别付了90元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）元A．288 B．296 C．312 D．320【思路点拨】设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，分0＜x＜100及100≤x＜350两种情况可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，由第二次购物付款金额＝0.9×第二次购物购买商品的价格可得出关于y的一元一次方程，解之可求出y值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额＝0.8×两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论．【规范解答】解：设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，当0＜x＜100时，x＝90；当100≤x＜350时，0.9x＝90，解得：x＝100；∵0.9y＝270，∴y＝300．∴0.8（x+y）＝312或320．所以至少需要付312元．故选：C．【考点评析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的90元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．【变式训练9-2】（2022秋•邗江区期末）某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为（ ）A．230元 B．250元 C．260元 D．300元【思路点拨】设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解，然后再由打折即可得到结果．【规范解答】解：设该商品的原售价为x元，根据题意得：80%x+20＝90%x﹣10，解得：x＝300，则该商品的原售价为300元．该商品的成本为：300×80%+20＝260，故选：C．【考点评析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．【变式训练9-3】（2020秋•盐城期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有 升酒．【思路点拨】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【规范解答】解：设壶中原有x升酒，根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]＝5，解得：x＝．答：壶中原有升酒．故答案为：．【考点评析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意的能力，遇店加一倍，遇到朋友喝一斗，先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友．也就是，经过酒店三次，碰到朋友三次酒正好没了壶中酒，可列方程求解．【变式训练9-4】（2021秋•射阳县校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为 或6 ．【思路点拨】分下列三种情况讨论，如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在AD上，即3＜t≤7时，由S△PCE＝S四边形AECD﹣S△PCD﹣S△PAE建立方程求出其解即可；如图3，当点P在AE上，即7＜t≤9时，由S△PCE＝PE•BC＝18建立方程求出其解即可．【规范解答】解：如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，∵四边形ABCD是长方形，∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm．∵CP＝2t（cm），∴S△PCE＝×2t×8＝18，∴t＝；如图2，当点P在AD上，即3＜t≤7时，∵AE＝2BE，∴AE＝AB＝4．∵DP＝2t﹣6，AP＝8﹣（2t﹣6）＝14﹣2t．∴S△PCE＝×（4+6）×8﹣（2t﹣6）×6﹣（14﹣2t）×4＝18，解得：t＝6；当点P在AE上，即7＜t≤9时，PE＝18﹣2t．∴S△CPE＝（18﹣2t）×8＝18，解得：t＝＜7（舍去）．综上所述，当t＝或6时△APE的面积会等于18．故答案为：或6．【考点评析】本题考查了一元一次方程的运用，三角形面积公式的运用，梯形面积公式的运用，动点问题，分类讨论等；解答时要运用分类讨论思想求解，避免漏解．【变式训练9-5】（2022秋•滨海县月考）我区某中学举办一年一届的科技文化艺术节活动，需搭建一个舞台，请来两名工人．已知甲单独完成需4小时，乙单独完成需6小时．现由乙提前做1小时，剩下的工作由甲、乙两人合做，问再合做几小时可以完成这项工作？【思路点拨】设再合做x小时可以完成这项工作，根据“甲工作x小时的工作量+乙工作（x+1）小时的工作量＝总工作量”列方程求解．【规范解答】解：设再合做x小时可以完成这项工作，根据题意，得：，解得：x＝2，答：还需2小时可以完成这项工作．【考点评析】本题考查一元一次方程的应用（工程问题），理解“工作总量等于工作效率乘以工作时间”的运用，根据条件建立方程是关键．【变式训练9-6】（2022秋•邳州市期末）如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是﹣2，4．请回答以下问题：（1）﹣2的绝对值是 2 ，A与B之间距离为 6 ；（2）若数轴上有点C，使得BC的距离为3个单位长度，则点C表示的数是 7或1 ；（3）若点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度向右做匀速运动，点Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，P，Q同时运动，设运动的时间为t秒：①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？【思路点拨】（1）由绝对值概念和两点的距离公式可得答案；（2）分C在B的左边和右边两种情况；（3）①由P，Q表示的数相同列方程即可；②由P，Q之间的距离为3个单位长度列方程可解得答案．【规范解答】解：（1））﹣2的绝对值是2，A与B之间距离为4﹣（﹣2）＝6，故答案为：2，6；（2）点C表示的数是4+3＝7或4﹣3＝1，故答案为：7或1；（3）P表示的数为﹣2+5t，Q表示的数为4+3t，①根据题意得﹣2+5t＝4+3t，解得t＝3，∴当点P运动3秒时，点P和点Q重合；②根据题意得|﹣2+5t﹣（4+3t）|＝3，解得t＝1.5或t＝4.5，∴当点P运动1.5秒或4.5秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度．【考点评析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t的代数式表示点运动后所表示的数．【变式训练9-7】（2019秋•赣榆区期末）某校七年级科技兴趣小组计划制作一批飞机模型，如果每人做6个，那么比计划多做了10个，如果每人做5个，那么比计划少做了14个．该兴趣小组共有多少人？计划做多少个飞机模型？【思路点拨】设该兴趣小组共有x人，由题意表示出计划做的个数为（6x﹣10）或（5x+14），由此联立方程求得人数，进一步求得计划做的个数即可．【规范解答】解：设该兴趣小组共有x人，由题意得6x﹣10＝5x+14，解得：x＝24，则6x﹣10＝144﹣10＝134．答：该兴趣小组共有24人，计划做134个飞机模型．【考点评析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系：设出人数，表示出做的总个数，利用总个数相等联立方程解决问题 记录天平左边天平右边天平状态乒乓球总质量一次性纸杯的总质量记录一6个乒乓球，1个10克的砝码14个一次性纸杯平衡6x 6x+10 记录二4个乒乓球1个一次性纸杯1个10克的砝码平衡4x 4x﹣10 x﹣202ax﹣b﹣6﹣30品名单价（元/棵）栽树劳务费（元/棵）成活率A15396%B20492%记录天平左边天平右边天平状态乒乓球总质量一次性纸杯的总质量记录一6个乒乓球，1个10克的砝码14个一次性纸杯平衡6x 6x+10 记录二4个乒乓球1个一次性纸杯1个10克的砝码平衡4x 4x﹣10 x﹣202ax﹣b﹣6﹣30品名单价（元/棵）栽树劳务费（元/棵）成活率A15396%B20492%
2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题4.3 一元一次方程（章节复习+考点讲练）知识点01：一元一次方程的概念1．方程： 叫做方程．2．一元一次方程：只含有 （元），未知数的次数都是 ，这样的方程叫做一元一次方程．知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个 未知数的次数为 ；②未知数所在的式子是 ，即分母中不含未知数．3．方程的解： 叫做这个方程的解．4．解方程： 叫做解方程．知识点02：等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1： ，结果仍相等． 等式的性质2： ，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数 保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的 (2)去括号：依据 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边， 移到方程另一边． (4)合并：逆用 ，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 (a≠0)的形式． (5)系数化为1： 得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若 相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝ ×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量× 3.利润问题：商品利润＝商品售价－ 4.工程问题：工作量＝工作效率× ，各部分劳动量之和＝ 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金× × 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 【典例精讲】（2021秋•崇川区校级月考）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为 x＝﹣1 ．【思路点拨】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．【规范解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，故原方程为﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【考点评析】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．【变式训练1-1】（2013秋•南长区期末）已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（ ）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【变式训练1-2】（2021秋•灌云县校级月考）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，则a的值是（ ）A．2 B．3 C．7 D．8【变式训练1-3】（2021秋•崇川区校级月考）方程2x+▲＝3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x＝2，那么▲处的常数是 ．【变式训练1-4】（2022秋•鼓楼区月考）（1）数a，b在数轴上对应的A，B两点之间距离|AB|＝|a﹣b|．（2）数轴上表示1和﹣3两点之间的距离是 ；数轴上表示x和﹣2两点之间的距离是 ．（3）根据图象比较大小：|3+a| |﹣3﹣b|（填“＜”、“＝”、“＞”）．若点 A、B、C在数轴上分别表示数﹣1、4、c，且点C到点A、B的距离之和是7，则c＝ （5）关于x的方程|x﹣m|+|x﹣n|＝k（m＞n，k＞0），借助数轴探究方程的解的情况，直接写出结论．【典例精讲】（2022秋•宿迁期中）下列说法：①若a为有理数，且a≠0，则a＜a2；②若＝a，则a＝1；③若a3+b3＝0，则a，b互为相反数；④若|a|＝﹣a，则a＜0．其中正确说法是 ③ （填序号）．【思路点拨】根据有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值解决此题．【规范解答】解：①根据有理数的乘方，当a＝，则，此时，即a＞a2，故①不正确．②根据等式的性质，若＝a，则a＝±1，故②不正确．③根据有理数的乘方以及相反数的定义，由a3+b3＝0，得a3＝﹣b3，推断出a3＝（﹣b）3，则a＝﹣b，即a，b互为相反数，故③正确．④根据绝对值的定义，由|a|＝﹣a≥0，得a≤0，故④不正确．综上：正确的有③．故答案为：③．【考点评析】本题主要考查有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值，熟练掌握有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值是解决本题的关键．【变式训练2-1】（2022秋•宿城区期中）已知等式a＝b，则下列等式中不一定成立的是（ ）A．a+1＝b+1 B．2a﹣2b＝0 C． D．ac＝bc【变式训练2-2】（2022秋•苏州期中）如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（ ）■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■【变式训练2-3】（2021秋•泰州期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在下表中：【解决问题】（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．【及时迁移】借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球和纸杯的个数一样多吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．方案：将天平左边放置 ，天平右边放置 ，使得天平平衡．理由：【典例精讲】（2022秋•亭湖区期末）若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ 0 ．【思路点拨】依据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，列出关于a的不等式与方程求解即可．【规范解答】解：（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，∴2﹣a≠0且|a﹣1|＝1，解得：a＝0．故答案为：0．【考点评析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，依据一元一次方程的定义列出关于a的不等式组是解题的关键．【变式训练3-1】（2022秋•滨海县月考）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）A．x﹣y＝6 B．x2+x﹣3＝0 C．4x＝24 D．【变式训练3-2】（2019秋•东台市期中）若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝2【变式训练3-3】（2015秋•扬州校级月考）已知：（a+2b）y2﹣＝3是关于y的一元一次方程．（1）求a、b的值；（2）若x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，求|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|的值．【变式训练3-4】（2017秋•广陵区校级月考）已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．【典例精讲】（2022秋•海门市期末）若关于x的方程5x﹣1＝2x+a的解与方程4x+3＝7的解互为相反数，则a＝ ﹣4 ．【思路点拨】求出第二个方程的解的相反数，代入第一个方程计算即可求出a的值．【规范解答】解：方程4x+3＝7，移项合并得：4x＝4，解得：x＝1，把x＝﹣1代入5x﹣1＝2x+a得：﹣6＝﹣2+a，解得：a＝﹣4，故答案为：﹣4【考点评析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【变式训练4-1】（2022秋•如皋市校级期末）已知关于x的方程3x﹣5＝x+a的解是x＝2，则a的值等于（ ）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【变式训练4-2】（2021秋•宜兴市校级月考）方程5y﹣7＝2y﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y＝﹣1．这个常数应是（ ）A．10 B．4 C．﹣4 D．﹣10【变式训练4-3】（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．（1）求m、n的值；（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过 3或5 秒，P、Q两点相距3个单位．【变式训练4-4】（2022秋•鼓楼区校级期末）我们规定，关于x的一元一次方程mx＝n（m≠0）的解为x＝m+n，则称该方程为和解方程，例如2x＝﹣4的解为x＝﹣2＝﹣4+2，则方程为和解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ．①；②；③5x＝﹣2．（2）若关于x的一元一次方程3x＝2a﹣10是和解方程，则a＝ ．（3）关于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程，则代数式a（a2b+1）+b（1﹣a3）的值为 ．（4）关于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程且它的解为x＝a，求代数式2ab（a+b）的值．【典例精讲】．（2022秋•滨海县月考）对于任意有理数a，b，我们规定：a⊗b＝a2﹣2b，例如：3⊗4＝32﹣2×4＝9﹣8＝1．若2⊗x＝3+x，则x的值为 ．【思路点拨】先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可．【规范解答】解：∵2⊗x＝3+x，∴22﹣2x＝3+x，∴4﹣2x＝3+x，∴﹣2x﹣x＝3﹣4，∴﹣3x＝﹣1，解得x＝．故答案为：．【考点评析】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能根据题意列出关于x的一元一次方程是解题的关键．【变式训练5-1】（2022秋•海门市期末）解方程时，去分母正确的是（ ）A．2x+1﹣（10x+1）＝1 B．4x+1﹣10x+1＝6 C．4x+2﹣10x﹣1＝6 D．2（2x+1）﹣（10x+1）＝1【变式训练5-2】（2017秋•秦淮区期末）下列方程变形中，正确的是（ ）A．由3x＝﹣4，系数化为1得x＝ B．由5＝2﹣x，移项得x＝5﹣2 C．由 ，去分母得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝1 D．由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括号得3x+4x﹣2＝5【变式训练5-3】（2022秋•鼓楼区校级期末）整式ax﹣b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程﹣ax+b＝3的解是 ．【变式训练5-4】（2020秋•惠山区期中）解方程：（1）3x+7＝32﹣2x； （2）．【变式训练5-5】（2022秋•丹徒区期末）解方程：（1）3（2x﹣1）+1＝4（x+2）； （2）．【典例精讲】（2022秋•海陵区校级月考）已知关于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一个解，那么xa＝ 1 ．【思路点拨】根据题意计算出a，x的值，再计算xa的值．【规范解答】解：∵关于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一个解，∴a﹣2＝0，a＝2，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴（﹣1）2＝1，故答案为：1．【考点评析】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的定义，解一元一次方程．【变式训练6-1】（2022秋•张家港市期中）已知c为实数，讨论方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c解的情况．【变式训练6-2】（2022秋•鼓楼区校级月考）【我阅读】解方程：|x+5|＝2．解：当x+5≥0时，原方程可化为：x+5＝2，解得x＝﹣3；当x+5＜0时，原方程可化为：x+5＝﹣2，解得x＝﹣7．所以原方程的解是x＝﹣3或x＝﹣7．【我会解】解方程：|3x﹣2|﹣5＝0．【变式训练6-3】（2022秋•高新区校级月考）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b＝0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0＝100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y0＝1时，x0+y0＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是 ．（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，请求出a的值．【典例精讲】（2022秋•海陵区校级期末）如果方程的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，则代数式a﹣的值为 ﹣ ．【思路点拨】先解关于x的方程得出x＝10，将其代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，继而代入计算可得．【规范解答】解：解方程得x＝10，将x＝10代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，解得：a＝﹣4，则原式＝﹣，故答案为：﹣．【考点评析】本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念和解一元一次方程的能力．【变式训练7-1】（2022秋•惠山区校级期末）关于x的方程kx＝2x+6与2x﹣1＝5的解相同，则k的值为（ ）A．4 B．3 C．5 D．6【变式训练7-2】（2022秋•姑苏区校级期末）若关于x的方程＝5与kx﹣1＝15的解相同，则k的值为（ ）A．8 B．6 C．﹣2 D．2【变式训练7-3】（2017秋•崇川区校级月考）如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是 ．【变式训练7-4】．（2021秋•广陵区校级期末）已知方程6x﹣9＝10x﹣5与方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同；（1）求这个相同的解；（2）求a的值．【变式训练7-5】（2022秋•滨海县月考）已知关于的方程2﹣＝+3﹣x与方程4﹣＝3k﹣的解相同，求k的值．【典例精讲】（2022秋•如皋市校级期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）A． B． C． D．【思路点拨】根据题意设乙出发x日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式．【规范解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为：+＝1．故选：D．【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程所占比是解题关键．【变式训练8-1】（2022秋•滨海县月考）有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50m2墙面未来得及粉刷，同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的40m2墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面．设每名二级技工一天粉刷墙面xm2，则列方程为（ ）A． B． C． D．【变式训练8-2】（2021秋•如东县期中）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托为5尺，那么索和竿各为几尺？设竿为x尺，可列方程为 ．【变式训练8-3】（2022秋•江宁区月考）新年将至，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“中国结”．如果每人做8个，那么比计划多了3个；如果每人做5个，那么比计划少27个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？她俩经过独立思考后，分别列出了如下尚不完整的方程：乐乐的方法：8x□ ＝5x□ ；丽丽的方法：；（1）在乐乐、丽丽所列的方程中，“□”中是运算符号，“”中是数字，试分别指出未知数x，y表示的意义：未知数x表示 ，未知数y表示 ；（2）分别用这两种方法，将原题中的问题解答完成．【变式训练8-4】（2018秋•亭湖区校级期末）生态公园计划在园内的坡地上种植一片有A、B两种树的混合林，需要购买这两种树苗共100棵．假设这批树苗种植后成活95棵，种植A、B两种树苗的相关信息如下表：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗 棵，根据题意可列方程为 ，解得x＝ ．（2）求种植这片混合林的总费用需多少元？【变式训练8-5】（2021秋•姜堰区校级月考）为打造绿色生态环境，一段长为2400米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时80天．已知甲队每天整治32米，乙队每天整治24米．（1）根据题意，小李、小张分别列出如下的一元一次方程（尚不完整）：小李：32x+24（ ）＝2400；小张：＝80；请分别指出上述方程中的意义，并补全方程：小李：x表示 ；小张：x表示 ．求甲、乙两队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程） 【典例精讲】（2021秋•如皋市校级月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行八十步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走80步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 200 步才能追到速度慢的人．【思路点拨】设速度快的人追上速度慢的人所用时间为t，根据速度慢的人和速度快的人所用时间相等列方程，求出时间，进而求出速度快的人所走的路程即可．【规范解答】解：设速度快的人追到速度慢的人所用时间为t，根据题意列方程得：100t＝60t+80，解得t＝2，2×100＝200（步），∴速度快的人要走200步才能追到速度慢的人，故答案为：200．【考点评析】本题主要考查一元一次方程的知识，根据等量关系列出方程并正确求解是解题的关键．【变式训练9-1】（2019秋•镇江期末）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠；小敏在该超市两次购物分别付了90元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）元A．288 B．296 C．312 D．320【变式训练9-2】（2022秋•邗江区期末）某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为（ ）A．230元 B．250元 C．260元 D．300元【变式训练9-3】（2020秋•盐城期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有 升酒．【变式训练9-4】（2021秋•射阳县校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为 【变式训练9-5】（2022秋•滨海县月考）我区某中学举办一年一届的科技文化艺术节活动，需搭建一个舞台，请来两名工人．已知甲单独完成需4小时，乙单独完成需6小时．现由乙提前做1小时，剩下的工作由甲、乙两人合做，问再合做几小时可以完成这项工作？【变式训练9-6】（2022秋•邳州市期末）如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是﹣2，4．请回答以下问题：（1）﹣2的绝对值是 ，A与B之间距离为 ；（2）若数轴上有点C，使得BC的距离为3个单位长度，则点C表示的数是 ；（3）若点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度向右做匀速运动，点Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，P，Q同时运动，设运动的时间为t秒：①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？【变式训练9-7】（2019秋•赣榆区期末）某校七年级科技兴趣小组计划制作一批飞机模型，如果每人做6个，那么比计划多做了10个，如果每人做5个，那么比计划少做了14个．该兴趣小组共有多少人？计划做多少个飞机模型？ 2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题4.3 一元一次方程（章节复习+考点讲练）知识点01：一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．知识点02：等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 【典例精讲】（2021秋•崇川区校级月考）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为 x＝﹣1 ．【思路点拨】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．【规范解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，故原方程为﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【考点评析】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．【变式训练1-1】（2013秋•南长区期末）已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（ ）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【思路点拨】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．【规范解答】解：把x＝2代入方程得：6+a＝0，解得：a＝﹣6．故选：A．【考点评析】本题主要考查了方程解的定义，已知x＝2是方程的解实际就是得到了一个关于a的方程．【变式训练1-2】（2021秋•灌云县校级月考）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，则a的值是（ ）A．2 B．3 C．7 D．8【思路点拨】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，把方程的解代入方程，可得答案．【规范解答】解：把x＝5 代入方程ax﹣8＝20+a，得：5a﹣8＝20+a，解得：a＝7，故选：C．【考点评析】本题考查了方程的解，把方程的解代入方程，得关于a的一元一次方程，解一元一次方程，得答案．【变式训练1-3】（2021秋•崇川区校级月考）方程2x+▲＝3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x＝2，那么▲处的常数是 2 ．【思路点拨】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字．【规范解答】解：把x＝2代入方程，得4+▲＝6，解得▲＝2．故答案为：2．【考点评析】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．【变式训练1-4】（2022秋•鼓楼区月考）（1）数a，b在数轴上对应的A，B两点之间距离|AB|＝|a﹣b|．（2）数轴上表示1和﹣3两点之间的距离是 4 ；数轴上表示x和﹣2两点之间的距离是 |x+2| ．（3）根据图象比较大小：|3+a| ＜ |﹣3﹣b|（填“＜”、“＝”、“＞”）．（4）若点 A、B、C在数轴上分别表示数﹣1、4、c，且点C到点A、B的距离之和是7，则c＝ ﹣2或5 ．（5）关于x的方程|x﹣m|+|x﹣n|＝k（m＞n，k＞0），借助数轴探究方程的解的情况，直接写出结论．【思路点拨】（2）根据题中的两点间的距离公式求解；（3）根据图形中的位置判断；（4）根据题意列方程求解；（5）分类讨论，解方程．【规范解答】解：（2）|﹣3﹣1|＝4，|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，故答案为：4，|x+2|；（3）∵|3+a|＝|﹣3﹣a|，由图可得：|3+a|＜|﹣3﹣b|，故答案为：＜；（4）由题意得：|c+1|+|c﹣4|＝7，解得：c＝﹣2或c＝5，故答案为：﹣2或5；（5）当x＜n时，m﹣x+n﹣x＝k，解得x＝，当n≤x≤m时，x﹣n+m﹣x＝k，若m﹣n＝k，有无数个解，当m﹣n≠k时，无解，当x＞m时，x﹣m+x﹣n＝k，解得：x＝．【考点评析】本题考查了方程的解和数轴，数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．【典例精讲】（2022秋•宿迁期中）下列说法：①若a为有理数，且a≠0，则a＜a2；②若＝a，则a＝1；③若a3+b3＝0，则a，b互为相反数；④若|a|＝﹣a，则a＜0．其中正确说法是 ③ （填序号）．【思路点拨】根据有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值解决此题．【规范解答】解：①根据有理数的乘方，当a＝，则，此时，即a＞a2，故①不正确．②根据等式的性质，若＝a，则a＝±1，故②不正确．③根据有理数的乘方以及相反数的定义，由a3+b3＝0，得a3＝﹣b3，推断出a3＝（﹣b）3，则a＝﹣b，即a，b互为相反数，故③正确．④根据绝对值的定义，由|a|＝﹣a≥0，得a≤0，故④不正确．综上：正确的有③．故答案为：③．【考点评析】本题主要考查有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值，熟练掌握有理数的乘方、等式的性质、相反数、绝对值是解决本题的关键．【变式训练2-1】（2022秋•宿城区期中）已知等式a＝b，则下列等式中不一定成立的是（ ）A．a+1＝b+1 B．2a﹣2b＝0 C． D．ac＝bc【思路点拨】根据等式的性质，等式的两边都加或都减同一个整式，结果不变，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．【规范解答】解；A、两边都加1，故A正确，不符合题意；B、两边都乘以2，故B正确，不符合题意；C、当c＝0时，无意义故C错误，符合题意；D、两边都乘以c时，故D正确，不符合题意；故选：C．【考点评析】本题考查了等式的性质，注意等式的两边都除以同一个不为零的数，结果不变．【变式训练2-2】（2022秋•苏州期中）如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（ ）A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■【思路点拨】根据等式的性质得出，●，■，▲三个图形之间的关系即可．【规范解答】解：由题意知，在第二个天平两边都加入一个■，对比第一个天平即可得出●＝■■，把第二个天平中的●换成■■，则▲＝■■■，∴●▲＝■■■■■，故选：D．【考点评析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．【变式训练2-3】（2021秋•泰州期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在下表中：【解决问题】（1）将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．【及时迁移】借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球和纸杯的个数一样多吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．方案：将天平左边放置 10个乒乓球 ，天平右边放置 10个一次性纸杯和1个10克的砝码 ，使得天平平衡．理由：【思路点拨】解决问题：（1）用乒乓球的总质量加上砝码的总质量可得答案；（2）根据题意列出方程，求解可得答案；及时迁移：根据乒乓球、纸杯、砝码的质量设计即可，只是平衡即可．【规范解答】解：（1）根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：6x+10；记录二中的一次性纸杯的总质量为：4x﹣10，故答案为：6x+10；4x﹣10，（2）由题意得：6x+10＝14（4x﹣10），解得：x＝3，∴4x﹣10＝2答：一个乒乓球的质量为3克，一个一次性纸杯的质量为2克．及时迁移：将天平左边放置10个乒乓球，天平右边放置10个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡．故答案为：10个乒乓球，10个一次性纸杯和1个10克的砝码，理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可．【考点评析】此题考查的是等式的性质、列代数式，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解决此题的关键．【典例精讲】（2022秋•亭湖区期末）若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ 0 ．【思路点拨】依据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，列出关于a的不等式与方程求解即可．【规范解答】解：（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，∴2﹣a≠0且|a﹣1|＝1，解得：a＝0．故答案为：0．【考点评析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，依据一元一次方程的定义列出关于a的不等式组是解题的关键．【变式训练3-1】（2022秋•滨海县月考）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）A．x﹣y＝6 B．x2+x﹣3＝0 C．4x＝24 D．【思路点拨】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．【规范解答】解：A．x﹣y＝6中有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．x2+x﹣3＝0，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．4x＝24，是一元一次方程，故本选项符合题意；D．﹣1＝24，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：C．【考点评析】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．【变式训练3-2】（2019秋•东台市期中）若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝2【思路点拨】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．【规范解答】解：由一元一次方程的特点得m﹣2＝1，即m＝3，则这个方程是3x＝0，解得：x＝0．故选：A．【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．【变式训练3-3】（2015秋•扬州校级月考）已知：（a+2b）y2﹣＝3是关于y的一元一次方程．（1）求a、b的值；（2）若x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，求|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|的值．【思路点拨】（1）先根据一元一次方程的定义列出关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；（2）把x＝a代入方程求出m的值，再代入代数式求解即可．【规范解答】解：（1）∵（a+2b）y2﹣＝3是关于y的一元一次方程，∴，解得；（2）∵a＝4，x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，∴1﹣+3＝4﹣，解得m＝﹣，∴|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|＝|4+2﹣2|﹣|﹣2+|＝．【考点评析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．【变式训练3-4】（2017秋•广陵区校级月考）已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．【思路点拨】（1）根据一元一次方程的定义求解即可；（2）根据代数式求值，可得答案．【规范解答】解：（1）由题意，得|m+4|＝1且m+3≠0，解得m＝﹣5．（2）当m＝﹣5时，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）＝2×（﹣15+2）﹣3（﹣20﹣1）＝﹣26+63＝37．【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．【典例精讲】（2022秋•海门市期末）若关于x的方程5x﹣1＝2x+a的解与方程4x+3＝7的解互为相反数，则a＝ ﹣4 ．【思路点拨】求出第二个方程的解的相反数，代入第一个方程计算即可求出a的值．【规范解答】解：方程4x+3＝7，移项合并得：4x＝4，解得：x＝1，把x＝﹣1代入5x﹣1＝2x+a得：﹣6＝﹣2+a，解得：a＝﹣4，故答案为：﹣4【考点评析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【变式训练4-1】（2022秋•如皋市校级期末）已知关于x的方程3x﹣5＝x+a的解是x＝2，则a的值等于（ ）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【思路点拨】将x＝2代入3x﹣5＝x+a，再解出a即可．【规范解答】解：将x＝2代入3x﹣5＝x+a，得：3×2﹣5＝2+a，解得：a＝﹣1．故选：B．【考点评析】本题考查方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．【变式训练4-2】（2021秋•宜兴市校级月考）方程5y﹣7＝2y﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y＝﹣1．这个常数应是（ ）A．10 B．4 C．﹣4 D．﹣10【思路点拨】将y＝﹣1代入方程计算可求解这个常数．【规范解答】解：将y＝﹣1代入方程5y﹣7＝2y﹣中，5×（﹣1）﹣7＝2×（﹣1）﹣，解得＝10，故选：A．【考点评析】本题主要考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的概念是解题的关键．【变式训练4-3】（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．（1）求m、n的值；（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过 3或5 秒，P、Q两点相距3个单位．【思路点拨】（1）解方程求出m＝10的值，再把x＝10代入方程即可得出n的值；（2）①根据线段中点的定义求出OP和OQ的长度即可得出答案；②设运动时间为x秒，列方程解答即可．【规范解答】解：（1）解方程得，m＝10，∵方程2（x﹣8）﹣n＝6的解为x＝10，∴4﹣n＝6，解得n＝﹣2，∴m、n的值分别为10，﹣2；（2）①∵点M对应的数为10，点N对应的数为﹣2，点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，∴OP＝ON＝1，OQ＝OM＝5，∴PQ＝OP+OQ＝1+5＝6；②设经过x秒P、Q两点相距3个单位，根据题意得：﹣2+x﹣（10﹣2x）＝3或（10﹣2x）﹣（﹣2+x）＝3，解得x＝5或x＝3，故经过3秒或5秒，A、B两点相距3个单位．故答案为：3或5．【考点评析】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，解题的关键是到达题意，用含字母的式子表示P，Q所表示的数．【变式训练4-4】（2022秋•鼓楼区校级期末）我们规定，关于x的一元一次方程mx＝n（m≠0）的解为x＝m+n，则称该方程为和解方程，例如2x＝﹣4的解为x＝﹣2＝﹣4+2，则方程为和解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ② ．①；②；③5x＝﹣2．（2）若关于x的一元一次方程3x＝2a﹣10是和解方程，则a＝ ．（3）关于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程，则代数式a（a2b+1）+b（1﹣a3）的值为 ﹣ ．（4）关于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程且它的解为x＝a，求代数式2ab（a+b）的值．【思路点拨】（1）根据“和解方程”的定义进行判断即可；（2）根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解之即可；（3）根据“和解方程”的定义得到，将所求式子化简后整体代入即可；（4）根据已知条件得到，可求出a，b值，代入计算即可．【规范解答】解：（1）①的解是，故不是“和解方程”；②的解是，故是“和解方程”；③5x＝﹣2的解是，故不是“和解方程”；故答案为：②；（2）∵3x＝2a﹣10是和解方程，∴，解得：，故答案为：；（3）∵3x＝a+b是和解方程，∴，化简得：，∴a（a2b+1）+b（1﹣a3）＝a3b+a+b﹣a3b＝a+b＝，故答案为：﹣；（4）∵3x＝a+b是和解方程且它的解为x＝a，∴，∴解得：，b＝﹣3，∴．【考点评析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．【典例精讲】．（2022秋•滨海县月考）对于任意有理数a，b，我们规定：a⊗b＝a2﹣2b，例如：3⊗4＝32﹣2×4＝9﹣8＝1．若2⊗x＝3+x，则x的值为 ．【思路点拨】先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可．【规范解答】解：∵2⊗x＝3+x，∴22﹣2x＝3+x，∴4﹣2x＝3+x，∴﹣2x﹣x＝3﹣4，∴﹣3x＝﹣1，解得x＝．故答案为：．【考点评析】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能根据题意列出关于x的一元一次方程是解题的关键．【变式训练5-1】（2022秋•海门市期末）解方程时，去分母正确的是（ ）A．2x+1﹣（10x+1）＝1 B．4x+1﹣10x+1＝6 C．4x+2﹣10x﹣1＝6 D．2（2x+1）﹣（10x+1）＝1【思路点拨】去分母的方法是方程两边同时乘以各分母的最小公倍数6，在去分母的过程中注意分数线右括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项．【规范解答】解：方程两边同时乘以6得：4x+2﹣（10x+1）＝6，去括号得：4x+2﹣10x﹣1＝6．故选：C．【考点评析】在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项．【变式训练5-2】（2017秋•秦淮区期末）下列方程变形中，正确的是（ ）A．由3x＝﹣4，系数化为1得x＝ B．由5＝2﹣x，移项得x＝5﹣2 C．由 ，去分母得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝1 D．由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括号得3x+4x﹣2＝5【思路点拨】根据解方程的方法和等式的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【规范解答】解：3x＝﹣4，系数化为1，得x＝﹣，故选项A错误，5＝2﹣x，移项，得x＝2﹣5，故选项B错误，由，去分母，得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝24，故选项C错误，由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括号得，3x﹣2+4x＝5，故选项D正确，故选：D．【考点评析】本题考查解一元一次方程、等式的性质，解答本题的关键是明确解方程的方法．【变式训练5-3】（2022秋•鼓楼区校级期末）整式ax﹣b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程﹣ax+b＝3的解是 x＝0 ．【思路点拨】把x与ax﹣b的值的方程组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出方程的解．【规范解答】解：根据表格得：，把②代入①得：﹣2a+3＝﹣6，解得：a＝，∴方程为﹣x+3＝3，解得：x＝0．故答案为：x＝0．【考点评析】此题考查了解一元一次方程，二元一次方程组，以及代数式求值，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．【变式训练5-4】（2020秋•惠山区期中）解方程：（1）3x+7＝32﹣2x；（2）．【思路点拨】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．【规范解答】解：（1）移项，可得：3x+2x＝32﹣7，合并同类项，可得：5x＝25，系数化为1，可得：x＝5．（2）去分母，可得：3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7），去括号，可得：9x﹣3﹣12＝10x﹣14，移项，合并同类项，可得：x＝﹣1．【考点评析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【变式训练5-5】（2022秋•丹徒区期末）解方程：（1）3（2x﹣1）+1＝4（x+2）；（2）．【思路点拨】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【规范解答】解：（1）去括号得：6x﹣3+1＝4x+8，移项得：6x﹣4x＝8+3﹣1，合并同类项得：2x＝10，解得：x＝5；（2）去分母得：2（2x﹣1）＝2x+1﹣6，去括号得：4x﹣2＝2x+1﹣6，移项得：4x﹣2x＝1﹣6+2，合并同类项得：2x＝﹣3，解得：x＝﹣1.5．【考点评析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．【典例精讲】（2022秋•海陵区校级月考）已知关于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一个解，那么xa＝ 1 ．【思路点拨】根据题意计算出a，x的值，再计算xa的值．【规范解答】解：∵关于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一个解，∴a﹣2＝0，a＝2，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴（﹣1）2＝1，故答案为：1．【考点评析】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的定义，解一元一次方程．【变式训练6-1】（2022秋•张家港市期中）已知c为实数，讨论方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c解的情况．【思路点拨】分类讨论：x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3，x≥3，根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．【规范解答】解：当x＜1时，原方程等价于1﹣x﹣（2﹣x）+2（3﹣x）＝c，X＝，，否则无解．当1≤x＜2时，原方程等价于x﹣1﹣（2﹣x）+2（3﹣x）＝cC＝3时，解为：1≤X＜2．否则无解．当2≤x＜3时，原方程等价于x﹣1﹣（x﹣2）+2（3﹣x）＝c，X＝，2时有解，此时：1＜C≤3有解：X＝，否则无解，当x≥3时，原方程等价于x﹣1﹣（x﹣2）+2（x﹣3）＝c，X＝，时有解，此时：c≥1，有解：X＝，否则无解，综上所述：c≥1方程有解，c＜1方程无解．【考点评析】本题目考查绝对值方程，需要讨论，把绝对值方程转化为一般的一元一次方程求解，体现了转换的数学思想．【变式训练6-2】（2022秋•鼓楼区校级月考）【我阅读】解方程：|x+5|＝2．解：当x+5≥0时，原方程可化为：x+5＝2，解得x＝﹣3；当x+5＜0时，原方程可化为：x+5＝﹣2，解得x＝﹣7．所以原方程的解是x＝﹣3或x＝﹣7．【我会解】解方程：|3x﹣2|﹣5＝0．【思路点拨】类比题干的解题过程，先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，再解一元一次方程即可．【规范解答】解：当3x﹣2≥0时，原方程可化为：3x﹣2﹣5＝0，解得x＝；当3x﹣2＜0时，原方程可化为：﹣3x+2﹣5＝0，解得x＝﹣1．所以原方程的解是x＝或x＝﹣1．【考点评析】本题考查绝对值的定义以及解一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的定义将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．【变式训练6-3】（2022秋•高新区校级月考）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b＝0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0＝100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y0＝1时，x0+y0＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是 ② ．（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，请求出a的值．【思路点拨】（1）根据友好方程定义判断．（2）根据友好方程的条件列出关于a的方程．【规范解答】解：（1）方程①的解为：y＝3，方程②的解为：y＝±2，方程3x﹣2x﹣102＝0的解为：x＝102．∵3+102≠100，﹣2+102＝100．∴方程①不是方程3x﹣2x﹣102＝0的友好方程，方程②是方程3x﹣2x﹣102＝0的友好方程．故答案为：②．（2）∵|2y﹣2|+3＝5．|2y﹣2|＝2，∴2y﹣2＝2或2y﹣2＝﹣2．∴y＝2或y＝0．∵方程x﹣＝a+1，∴3x﹣2x+2a＝3a+3．∴x＝a+3．∵两个方程是友好方程，∴2+a+3＝100或0+a+3＝100．∴a＝95或a＝97．【考点评析】本题考查新定义解决数学问题，理解新定义是求解本题的关键．【典例精讲】（2022秋•海陵区校级期末）如果方程的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，则代数式a﹣的值为 ﹣ ．【思路点拨】先解关于x的方程得出x＝10，将其代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，继而代入计算可得．【规范解答】解：解方程得x＝10，将x＝10代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，解得：a＝﹣4，则原式＝﹣，故答案为：﹣．【考点评析】本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念和解一元一次方程的能力．【变式训练7-1】（2022秋•惠山区校级期末）关于x的方程kx＝2x+6与2x﹣1＝5的解相同，则k的值为（ ）A．4 B．3 C．5 D．6【思路点拨】先解2x﹣1＝5得出x＝3，代入kx＝2x+6即可求解．【规范解答】解：2x﹣1＝5，解得：x＝3，代入kx＝2x+6，即3k＝6+6，解得：k＝4．故选：A．【考点评析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．【变式训练7-2】（2022秋•姑苏区校级期末）若关于x的方程＝5与kx﹣1＝15的解相同，则k的值为（ ）A．8 B．6 C．﹣2 D．2【思路点拨】先解出第一个方程的解，代入到第二个方程中，求出k的值．【规范解答】解：＝5，∴2x﹣1＝15，∴x＝8；把x＝8代入第二个方程得：8k﹣1＝15，解得：k＝2．故选：D．【考点评析】本题考查了同解方程，一元一次方程的解法，考核学生的计算能力，将第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键．【变式训练7-3】（2017秋•崇川区校级月考）如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是 ±2 ．【思路点拨】本题中有两个方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．【规范解答】解：解方程＝整理得：15x﹣3＝42，解得：x＝3，把x＝3代入＝x+4+2|m|得＝3++2|m|解得：|m|＝2，则m＝±2．故答案为±2．【考点评析】本题考查了同解方程，使方程左右两边相等的未知数的值是该方程的解，因此检验一个数是否为相应的方程的解，就是把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等．【变式训练7-4】．（2021秋•广陵区校级期末）已知方程6x﹣9＝10x﹣5与方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同；（1）求这个相同的解；（2）求a的值．【思路点拨】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案；（2）根据同解方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【规范解答】解：（1）6x﹣9＝10x﹣5移项，得：6x﹣10x＝﹣5+9，合并同类项，得：﹣4x＝4，系数化为1，得：x＝﹣1．（2）由方程6x﹣9＝10x﹣5与方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同，得3a﹣1＝3（﹣1+a）﹣2a，解得a＝﹣1．【考点评析】本题考查了同解方程，利用同解方程的出关于a的方程是解题关键．【变式训练7-5】（2022秋•滨海县月考）已知关于的方程2﹣＝+3﹣x与方程4﹣＝3k﹣的解相同，求k的值．【思路点拨】先解方程2﹣＝+3﹣x，可得x＝1，然后再把x＝1代入方程4﹣＝3k﹣中得：4﹣＝3k﹣，最后进行计算即可解答．【规范解答】解：2﹣＝+3﹣x，12﹣2（x﹣1）＝3（1﹣x）+18﹣6x，12﹣2x+2＝3﹣3x+18﹣6x，﹣2x+3x+6x＝3+18﹣12﹣2，7x＝7，x＝1，由题意得：把x＝1代入方程4﹣＝3k﹣中得：4﹣＝3k﹣，4﹣＝3k，12﹣（k+2）＝9k，12﹣k﹣2＝9k，﹣k﹣9k＝2﹣12，﹣10k＝﹣10，k＝1，∴k的值为1．【考点评析】本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程的意义是解题的关键．【典例精讲】（2022秋•如皋市校级期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）A． B． C． D．【思路点拨】根据题意设乙出发x日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式．【规范解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为：+＝1．故选：D．【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程所占比是解题关键．【变式训练8-1】（2022秋•滨海县月考）有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50m2墙面未来得及粉刷，同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的40m2墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面．设每名二级技工一天粉刷墙面xm2，则列方程为（ ）A． B． C． D．【思路点拨】设每名二级技工一天粉刷墙面xm2，则每名一级技工一天粉刷（x+10）m2墙面，即可得出关于x的一元一次方程．【规范解答】解：设每名二级技工一天粉刷墙面xm2，则每名一级技工一天粉刷（x+10）m2墙面，依题意，得：＝．故选：A．【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式训练8-2】（2021秋•如东县期中）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托为5尺，那么索和竿各为几尺？设竿为x尺，可列方程为 （x+5）＝x﹣5 ．【思路点拨】设竿为x尺，则索为（x+5）尺，根据“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x一元一次方程．【规范解答】解：设竿为x尺，则索为（x+5）尺，根据题意得：（x+5）＝x﹣5，故答案为：（x+5）＝x﹣5．【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．【变式训练8-3】（2022秋•江宁区月考）新年将至，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“中国结”．如果每人做8个，那么比计划多了3个；如果每人做5个，那么比计划少27个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？她俩经过独立思考后，分别列出了如下尚不完整的方程：乐乐的方法：8x□ ﹣3 ＝5x□ +27 ；丽丽的方法：；（1）在乐乐、丽丽所列的方程中，“□”中是运算符号，“”中是数字，试分别指出未知数x，y表示的意义：未知数x表示 该小组人数 ，未知数y表示 计划做“中国结”的个数 ；（2）分别用这两种方法，将原题中的问题解答完成．【思路点拨】（1）乐乐的方法是根据做“中国结”的个数不变列的方程，丽丽的方法是根据该小组的人数不变列的方程；（2）可设该小组有x人，根据做“中国结”的个数不变先列出方程，再求解作答．【规范解答】解：（1）﹣3；+27；未知数x表示的是该小组人数；未知数y表示的是计划做“中国结”的个数；故答案为：﹣3；+27；该小组人数；计划做“中国结”的个数；（2）设该小组有x人，由题意得8x﹣3＝5x+27，解这个方程，得x＝10，计划做“中国结”的个数：8×10﹣3＝77（个）．答：该小组共有10人，计划做“中国结”77个．【考点评析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，掌握解一元一次方程应用题的一般步骤是关键．【变式训练8-4】（2018秋•亭湖区校级期末）生态公园计划在园内的坡地上种植一片有A、B两种树的混合林，需要购买这两种树苗共100棵．假设这批树苗种植后成活95棵，种植A、B两种树苗的相关信息如下表：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗 （100﹣x） 棵，根据题意可列方程为 96%x+92%（100﹣x）＝95 ，解得x＝ 75 ．（2）求种植这片混合林的总费用需多少元？【思路点拨】（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（100﹣x）棵，根据成活棵数＝种植A种树苗的棵数×成活率+种植B种树苗的棵数×成活率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据总费用＝（A种树苗的单价+种植A种树苗的栽树劳务费）×种植A种树苗的棵数+（B种树苗的单价+种植B种树苗的栽树劳务费）×种植B种树苗的棵数，即可求出种植这片混合林的总费用．【规范解答】解：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（100﹣x）棵，依题意，得：96%x+92%（100﹣x）＝95，解得：x＝75．故答案为：（100﹣x）；96%x+92%（100﹣x）＝95；75．（2）（15+3）×75+（20+4）×（100﹣75）＝1950（元）．答：种植这片混合林的总费用需1950元．【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据数量关系，列式计算．【变式训练8-5】（2021秋•姜堰区校级月考）为打造绿色生态环境，一段长为2400米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时80天．已知甲队每天整治32米，乙队每天整治24米．（1）根据题意，小李、小张分别列出如下的一元一次方程（尚不完整）：小李：32x+24（ 80﹣x ）＝2400；小张：＝80；请分别指出上述方程中的意义，并补全方程：小李：x表示 甲队工作的时间 ；小张：x表示 甲队整治河道的长度 ．（2）求甲、乙两队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）【思路点拨】（1）根据所列方程可得第一个方程为32x+24（80﹣x）＝2400，x表示的是甲队工作的时间，第二个方程为+＝80，x表示的是甲队整治河道的长度；（2）求解第二个方程即可．【规范解答】解：（1）由题意得，第一个方程为32x+24（80﹣x）＝2400，x表示的是甲队工作的时间，第二个方程为+＝80，x表示的是甲队整治河道的长度，故答案为：80﹣x，甲队工作的时间，甲队整治河道的长度；（2）设甲队整治河道的长度为x米，列方程得：+＝80，解得：x＝1920，则2400﹣x＝480．答：甲、乙两队分别整治河道1920米，480米．【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．【典例精讲】（2021秋•如皋市校级月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行八十步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走80步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 200 步才能追到速度慢的人．【思路点拨】设速度快的人追上速度慢的人所用时间为t，根据速度慢的人和速度快的人所用时间相等列方程，求出时间，进而求出速度快的人所走的路程即可．【规范解答】解：设速度快的人追到速度慢的人所用时间为t，根据题意列方程得：100t＝60t+80，解得t＝2，2×100＝200（步），∴速度快的人要走200步才能追到速度慢的人，故答案为：200．【考点评析】本题主要考查一元一次方程的知识，根据等量关系列出方程并正确求解是解题的关键．【变式训练9-1】（2019秋•镇江期末）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠；小敏在该超市两次购物分别付了90元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）元A．288 B．296 C．312 D．320【思路点拨】设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，分0＜x＜100及100≤x＜350两种情况可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，由第二次购物付款金额＝0.9×第二次购物购买商品的价格可得出关于y的一元一次方程，解之可求出y值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额＝0.8×两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论．【规范解答】解：设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，当0＜x＜100时，x＝90；当100≤x＜350时，0.9x＝90，解得：x＝100；∵0.9y＝270，∴y＝300．∴0.8（x+y）＝312或320．所以至少需要付312元．故选：C．【考点评析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的90元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．【变式训练9-2】（2022秋•邗江区期末）某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为（ ）A．230元 B．250元 C．260元 D．300元【思路点拨】设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解，然后再由打折即可得到结果．【规范解答】解：设该商品的原售价为x元，根据题意得：80%x+20＝90%x﹣10，解得：x＝300，则该商品的原售价为300元．该商品的成本为：300×80%+20＝260，故选：C．【考点评析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．【变式训练9-3】（2020秋•盐城期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有 升酒．【思路点拨】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【规范解答】解：设壶中原有x升酒，根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]＝5，解得：x＝．答：壶中原有升酒．故答案为：．【考点评析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意的能力，遇店加一倍，遇到朋友喝一斗，先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友．也就是，经过酒店三次，碰到朋友三次酒正好没了壶中酒，可列方程求解．【变式训练9-4】（2021秋•射阳县校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为 或6 ．【思路点拨】分下列三种情况讨论，如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在AD上，即3＜t≤7时，由S△PCE＝S四边形AECD﹣S△PCD﹣S△PAE建立方程求出其解即可；如图3，当点P在AE上，即7＜t≤9时，由S△PCE＝PE•BC＝18建立方程求出其解即可．【规范解答】解：如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，∵四边形ABCD是长方形，∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm．∵CP＝2t（cm），∴S△PCE＝×2t×8＝18，∴t＝；如图2，当点P在AD上，即3＜t≤7时，∵AE＝2BE，∴AE＝AB＝4．∵DP＝2t﹣6，AP＝8﹣（2t﹣6）＝14﹣2t．∴S△PCE＝×（4+6）×8﹣（2t﹣6）×6﹣（14﹣2t）×4＝18，解得：t＝6；当点P在AE上，即7＜t≤9时，PE＝18﹣2t．∴S△CPE＝（18﹣2t）×8＝18，解得：t＝＜7（舍去）．综上所述，当t＝或6时△APE的面积会等于18．故答案为：或6．【考点评析】本题考查了一元一次方程的运用，三角形面积公式的运用，梯形面积公式的运用，动点问题，分类讨论等；解答时要运用分类讨论思想求解，避免漏解．【变式训练9-5】（2022秋•滨海县月考）我区某中学举办一年一届的科技文化艺术节活动，需搭建一个舞台，请来两名工人．已知甲单独完成需4小时，乙单独完成需6小时．现由乙提前做1小时，剩下的工作由甲、乙两人合做，问再合做几小时可以完成这项工作？【思路点拨】设再合做x小时可以完成这项工作，根据“甲工作x小时的工作量+乙工作（x+1）小时的工作量＝总工作量”列方程求解．【规范解答】解：设再合做x小时可以完成这项工作，根据题意，得：，解得：x＝2，答：还需2小时可以完成这项工作．【考点评析】本题考查一元一次方程的应用（工程问题），理解“工作总量等于工作效率乘以工作时间”的运用，根据条件建立方程是关键．【变式训练9-6】（2022秋•邳州市期末）如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是﹣2，4．请回答以下问题：（1）﹣2的绝对值是 2 ，A与B之间距离为 6 ；（2）若数轴上有点C，使得BC的距离为3个单位长度，则点C表示的数是 7或1 ；（3）若点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度向右做匀速运动，点Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，P，Q同时运动，设运动的时间为t秒：①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？【思路点拨】（1）由绝对值概念和两点的距离公式可得答案；（2）分C在B的左边和右边两种情况；（3）①由P，Q表示的数相同列方程即可；②由P，Q之间的距离为3个单位长度列方程可解得答案．【规范解答】解：（1））﹣2的绝对值是2，A与B之间距离为4﹣（﹣2）＝6，故答案为：2，6；（2）点C表示的数是4+3＝7或4﹣3＝1，故答案为：7或1；（3）P表示的数为﹣2+5t，Q表示的数为4+3t，①根据题意得﹣2+5t＝4+3t，解得t＝3，∴当点P运动3秒时，点P和点Q重合；②根据题意得|﹣2+5t﹣（4+3t）|＝3，解得t＝1.5或t＝4.5，∴当点P运动1.5秒或4.5秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度．【考点评析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t的代数式表示点运动后所表示的数．【变式训练9-7】（2019秋•赣榆区期末）某校七年级科技兴趣小组计划制作一批飞机模型，如果每人做6个，那么比计划多做了10个，如果每人做5个，那么比计划少做了14个．该兴趣小组共有多少人？计划做多少个飞机模型？【思路点拨】设该兴趣小组共有x人，由题意表示出计划做的个数为（6x﹣10）或（5x+14），由此联立方程求得人数，进一步求得计划做的个数即可．【规范解答】解：设该兴趣小组共有x人，由题意得6x﹣10＝5x+14，解得：x＝24，则6x﹣10＝144﹣10＝134．答：该兴趣小组共有24人，计划做134个飞机模型．【考点评析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系：设出人数，表示出做的总个数，利用总个数相等联立方程解决问题 记录天平左边天平右边天平状态乒乓球总质量一次性纸杯的总质量记录一6个乒乓球，1个10克的砝码14个一次性纸杯平衡6x 6x+10 记录二4个乒乓球1个一次性纸杯1个10克的砝码平衡4x 4x﹣10 x﹣202ax﹣b﹣6﹣30品名单价（元/棵）栽树劳务费（元/棵）成活率A15396%B20492%记录天平左边天平右边天平状态乒乓球总质量一次性纸杯的总质量记录一6个乒乓球，1个10克的砝码14个一次性纸杯平衡6x 6x+10 记录二4个乒乓球1个一次性纸杯1个10克的砝码平衡4x 4x﹣10 x﹣202ax﹣b﹣6﹣30品名单价（元/棵）栽树劳务费（元/棵）成活率A15396%B20492%
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