苏科版数学七年级上册同步专题热点难点练习 专题6.4 平面图形的认识（一）（章节复习+考点讲练）学生版+教师版

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2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题6.4 平面图形的认识（一）（章节复习+考点讲练）知识点01：直线、射线、线段直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间线段最短．知识要点：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：.知识要点：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.（4）线段的延长线：如下图，图①称为延长线段AB，或称为反向延长线段BA；图②称为延长线段BA，或称为反向延长线段AB. 图中延长的部分叫做原线段的延长线.知识点02：角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：知识要点：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.知识要点：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.4.角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2.类似地，还有角的三等分线等.5．余角、补角、对顶角 （1）余角、补角：若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.知识要点：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．（2）对顶角：对顶角相等．知识点03：平行与垂直1. 同一平面内的两条直线的位置关系:平行与相交. 平行用符号“∥”表示.知识要点：只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.2.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②垂线段最短．（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【典例精讲】（2020秋•江阴市校级月考）如图所示，图中共有 　2　条直线，　13　条射线，　6　条线段．【思路点拨】根据直线，射线、线段的定义，利用表示方法表示出来即可．【规范解答】解：图中共有2条直线，即直线AB、BC；13条射线，即射线AC、CA、BC、CB、DC、AB、DB，还有6条不可以表示的；6条线段，即线段AB、AD、BD、AC、DC、BC．故答案为：2，13，6．【考点评析】本题考查了直线、线段、射线的定义，能正确表示射线，直线、线段是解此题的关键．【变式训练1-1】（2022秋•海门市期末）往返A，B两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（　　）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【变式训练1-2】（2019秋•崇川区校级月考）观察图形，下列说法正确的个数是（　　）（1）直线BA和直线AB是同一条直线（2）射线AC和射线AD是同一条射线（3）AB+BD＞AD（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练1-3】（2021秋•东台市期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）＝1，d2（点C，线段AB）＝8．（1）若点D表示的数为﹣7，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　；（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）＝3，则m的值为 　；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）＝12，则n的值为 　 ．（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．【典例精讲】（2022秋•如皋市校级期末）如图，C，D为线段AB上两点，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝　4　cm．【思路点拨】根据D为线段AC的中点，可得AC＝2AD＝3cm，再根据线段的和差即可求解．【规范解答】解：∵D为线段AC的中点，∴AC＝2AD＝3cm，∵AB＝7cm，∴CB＝AB﹣AC＝7﹣3＝4（cm），故答案为：4．【考点评析】本题主要考查了有关中点的计算，熟练掌握把一条线段分成相等的两段的点，叫做这条线段的中点是解题的关键．【变式训练2-1】（2022秋•泸县校级期末）下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且只有一条直线；④若线段AM等于线段BM，则点M是线段AB的中点，其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练2-2】（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（　　）A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区【变式训练2-3】（2022秋•句容市校级期末）如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝3cm．（1）求AC的长度．（2）若点E是线段AC的中点，求ED的长度．【典例精讲】（2022秋•如皋市校级期末）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在AC的延长线上，且CD＝AB．（1）请用圆规在图中确定D点的位置；（2）比较线段的大小：AC　＝　BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；（3）若AB：BC＝2：5，AC＝14，求AD的长．【思路点拨】（1）以点C为圆心，AB长为半径画弧交AC的延长线于点D，即为所求；（2）由线段AB＝CD得出AB+BC＝CD+BC，即可得出结论；（3）由已知求出AB＝4，得出CD＝4，即可得出AD的长．【规范解答】解：（1）如图所示，以点C为圆心，AB长为半径画弧交AC的延长线于点D，即为所求，（2）∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD；故答案为＝；（3）∵AB：BC＝2：5，AC＝14，∴，∴CD＝4，∴AD＝AC+CD＝18，故答案为：18．【考点评析】本题考查线段长短的计算及作一条线段等于已知线段，对线段长进行大小比较以及对线段长度求值，结合图形求解是解题关键．【变式训练3-1】（2022秋•姑苏区校级期末）如图，已知B、C在线段AD上．（1）图中共有 　 　条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC　 　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若AC＝18，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．【变式训练3-2】（2019秋•宿城区校级期末）如图，已知点A、B、C、D、E在同一直线上，且AC＝BD，E是线段BC的中点．（1）点E是线段AD的中点吗？说明理由；（2）当AD＝10，AB＝3时，求线段BE的长度．【变式训练3-3】（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．（2）在（1）中，如果AC＝acm，BC＝bcm，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律．（3）对于（1）题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC＝6cm，BC＝4cm，点C在直线AB上，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．【典例精讲】（2022秋•赣榆区校级月考）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】根据角的表示方法和图形进行判断即可．【规范解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；故选：C．【考点评析】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．【变式训练4-1】（2020秋•高淳区校级期末）在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA、OB可组成的角的个数是（　　）A．595 B．406 C．35 D．666【变式训练4-2】（2019秋•沭阳县期末）如图，∠AOB的度数是　 　°．【变式训练4-3】已知如图，∠AOB是锐角，以O为端点向∠AOB内部作一条射线，则图中有多少个角？若作二条、三条射线有多少个角？n条时有多少个角？画一画，你发现什么规律？【典例精讲】（2021秋•徐州期末）上午10：00，钟面上时针与分针所成角的度数是（　　）A．30° B．45° C．60° D．75°【思路点拨】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．【规范解答】解：由题意得：2×30°＝60°，∴上午10：00，钟面上时针与分针所成角的度数是：60°，故选：C．【考点评析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．【变式训练5-1】（2022秋•泗阳县校级期末）9点30分时，钟表上时针与分针所组成的角为 　 　度．【变式训练5-2】（2020秋•崇川区校级月考）时钟表面3点25分时，时针与分针所成夹角（小于平角）的度数是 　．【变式训练5-3】（2017秋•兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．（1）时针每分钟转动的角度为　 　°，分针每分钟转动的角度为　 　°；（2）8点整，钟面角∠AOB＝　 　°，钟面角与此相等的整点还有：　 　点；（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．【典例精讲】（2021秋•启东市校级月考）如图，OA表示北偏东20°方向的一条射线，OB表示南偏西50°方向的一条射线，则∠AOB的度数是（　　）A．100° B．120° C．140° D．150°【思路点拨】根据方向角的定义可直接确定∠AOB的度数．【规范解答】解：因为OA表示北偏东20°方向的一条射线，OB表示南偏西50°方向的一条射线，所以∠AOB＝20°+90°+（90°﹣50°）＝150°．故选：D．【考点评析】本题考查了方向角及其计算．掌握方向角的概念是解题的关键．【变式训练6-1】（2023•南开区校级开学）如图，A、O、B在同一条直线上，如果OA的方向是北偏西37°47′，那么OB的方向是　 ．【变式训练6-2】（2013秋•海安县校级期末）小明从A处向北偏东72°38′方向走10m到达B处，小亮也从A处出发向南偏西15°38′方向走15m到达C处，则∠BAC的度数为　 　度．【变式训练6-3】（2014秋•靖江市校级月考）如图，货轮D在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60°的方向上．同时，在货轮D的北偏西30°、西北方向上又发现了客轮B和海岛C．（1）仿照表示灯塔方位的方法，在图中画出表示客轮B和海岛C方向的射线；（2）在（1）的条件下填空：∠BOC＝ 　，∠BOA＝　 　；和∠AOF互余的角为　 　．【典例精讲】（2022秋•宜兴市月考）下列说法中：其中正确的有（　　）①1°＝60′；②若2AC＝BC，则A是线段BC的中点；③两点之间所有连线中，直线最短；④两点确定一条直线．A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④【思路点拨】①根据度分秒的换算进行判定即可得出答案；②根据题意画出图形，如图进行判定即可得出答案；③根据线段的性质进行判定即可得出答案；④根据直线的性质进行判定即可得出答案．【规范解答】解：①因为1°＝60′，所以①说法正确，故①选项符合题意；②如图，因为2AC＝BC，A不是线段BC的中点，所以②说法不正确，故②选项不符合题意；③因为两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，所以③说法不正确，故③选项不符合题意；④因为直线公理：经过两点有且只有一条直线．所以④说法正确，故④选项符合题意．所以说法正确的有①④，故选：D．【考点评析】本题考查了度分秒的换算，两点间的距离，直线的性质，线段的性质，掌握两点间的距离，直线的性质，线段的性质进行判定是关键．【变式训练7-1】（2022秋•兴化市期末）54°36′＝　 　度．【变式训练7-2】（2017秋•崇川区校级期末）计算：15°37′+42°51′＝　 　．【变式训练7-3】（2019秋•港闸区校级月考）（1）；；（3）42°15'26''×4﹣21°36'20''÷5+3.295°．【典例精讲】（2021秋•大丰区期末）射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（　　）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠BOC＝∠AOB C．∠AOB＝2∠AOC D．∠BOC＝∠AOB【思路点拨】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．可知B不一定正确．【规范解答】解：A、射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝∠BOC，则OC是∠AOB的平分线，故选项A不符合题意；B、射线OC在∠AOB的内部，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，则不能判断OC是∠AOB的平分线，故选项B符合题意；C、射线OC在∠AOB的内部，∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线，故选项C不符合题意；D、射线OC在∠AOB的内部，∠BOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线，故选项D不符合题意；故选：B．【考点评析】此题主要考查了从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．【变式训练8-1】（2022秋•启东市校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（　　）A．∠AOD B．∠AOC C．∠EOF D．∠DOF【变式训练8-2】（2021秋•溧阳市期末）OC、OD是∠AOB内部任意两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠MON＝m°，∠COD＝n°，则∠AOB＝　 　°（用含m、n的代数式表示）．【变式训练8-3】（2022秋•徐州期末）如图①，点O在直线AB上，∠BOC＝50°．将直角三角尺（斜边为DE）的直角顶点放在点O处，一条直角边OE放在射线OB上．已知∠DEO＝30°，将该三角尺绕点O按逆时针方向旋转180°，在旋转过程中，解决下列问题．（1）如图②，若射线OE平分∠BOC，则∠COD与∠DOA的数量关系为 　 　；（2）如图③，当斜边DE与射线OA相交时，∠COE与∠AOD的差是否保持不变？请说明理由．【典例精讲】（2021秋•兴化市校级月考）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE的度数为（　　）A．360°﹣4α B．180°﹣4α C．α D．270°﹣3α【思路点拨】设∠DOE＝x，则∠BOD＝4x、∠BOE＝3x，根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可．【规范解答】解：设∠DOE＝x，则∠BOD＝4x，∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD，∴∠BOE＝3x，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣4x．∵OC平分∠AOD，∴∠COD＝∠AOD＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x．∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°﹣2x+x＝90°﹣x，由题意有90°﹣x＝α，解得x＝90°﹣α，则∠BOE＝270°﹣3α，故选：D．【考点评析】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键．【变式训练9-1】（2020秋•姜堰区期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（　　）A．40° B．45° C．50° D．55°【变式训练9-2】（2021秋•相城区校级月考）在同一平面内，∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为　 ．【变式训练9-3】（2022秋•南通期末）定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若∠QPN+∠MPN＝180°，则称射线PQ为∠MPN关于边PN的补线．（1）下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 　 　；（填序号）（2）如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，则OC是∠AOD关于边OD的补线吗？为什么？（3）已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB＝α，试用含α的式子表示∠AOP（直接写出结果）．【典例精讲】（2022秋•玄武区校级期末）已知一个角的补角比这个角的余角3倍大10°，则这个角的度数是　50　度．【思路点拨】相加等于90°的两角称作互为余角，也作两角互余．和是180°的两角互为补角，本题实际说明了一个相等关系，因而可以转化为方程来解决．【规范解答】解：设这个角是x°，则余角是（90﹣x）度，补角是（180﹣x）度，根据题意得：180﹣x＝3（90﹣x）+10解得x＝50．故填50．【考点评析】题目反映了相等关系问题，就可以利用方程来解决．【变式训练10-1】（2022秋•亭湖区期末）若∠AOC与∠BOD互余，且∠AOC＝48°，则∠BOD的度数为（　　）A．132° B．42° C．48° D．138°【变式训练10-2】（2021秋•启东市期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（　　）A．30° B．60° C．120° D．150°【变式训练10-3】．（2022秋•锡山区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，将一个直角三角尺的直角顶点放置在点O处，且ON平分∠BOD．（1）若∠AOC＝64°，求∠MOB的度数；（2）试说明OM平分∠AOD．【典例精讲】（2022秋•泗洪县期末）如图所示，从A地到B地有多条道路可⾛，⼈们往往会选择⾛中间的直路，这是因为（　　）A．两点之间线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．其他的路⾏不通【思路点拨】由题意从A地到B地有多条道路，肯定要尽量选择两地之间最短的路程，就用到两点间线段最短的数学知识．【规范解答】解：从A到B有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他曲折的路，这是因为两点之间线段最短．故选：A．【考点评析】本题考查了线段的性质，解题的关键是熟练掌握线段的性质：两点之间线段最短．【变式训练11-1】（（2020秋•崇川区校级月考）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：两条直线相交，最多有一个交点，三条直线相交，最多有三个交点，四条直线相交，最多有6个交点，像这样，10条直线相交，最多交点的个数是（　　）A．40个 B．45个 C．50个 D．55个【变式训练11-2】（2021秋•滨湖区期末）在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是　 　．【变式训练11-3】（2019秋•临江市期末）试用几何语言描述下图： ．【典例精讲】（2022秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90°，图中与∠BOC互补的角有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据互为余角的定义以及对顶角的定义可得∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，再根据互为补角的定义以及等量代换可得答案．【规范解答】解：∵∠AOE＝∠COF＝90°，即∠AOC+∠COE＝∠COE+∠EOF＝90°，∴∠AOC＝∠EOF，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，∵∠BOC+∠AOC＝180°，即∠BOC与∠AOC互为补角，∴∠BOC互补的角有：∠AOC，∠BOD，∠EOF共3个，故选：C．【考点评析】本题考查互为余角、互为补角、对顶角，掌握互为余角、互为补角以及对顶角的定义是正确解答的前提．【变式训练12-1】（2017秋•丰县校级月考）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）A． B． C． D．【变式训练12-2】（2022秋•射阳县校级期末）已知如图，直线AB、CD相交于点O，OE为射线，若∠AOE+∠DOE＝110°，则∠AOC＝　 　°．【变式训练12-3】（2021秋•高邮市期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．【典例精讲】（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　）A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【思路点拨】根据生活经验结合数学原理解答即可．【规范解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【考点评析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握数学和生活密不可分的关系是解答本题的关键．【变式训练13-1】（2018秋•泰兴市期末）在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段PC的长，理由是　 ．【变式训练13-2】（2021秋•泰兴市期末）如图，用三张卡片拼成如图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为C1、C2．（1）请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是 　 　．（填写正确选项的字母）A．两点之间线段最短B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂线段最短D．两点确定一条直线（2）分别计算C1、C2（用含m、n的代数式表示）；（3）比较与的大小，并说明理由．【变式训练13-3】（2022秋•姑苏区校级期末）如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是　 ．（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是　 　．【典例精讲】（2019秋•邗江区校级期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA＝4cm，PB＝5cm，则点P到直线l的距离是（　　）A．4cm B．小于4cm C．不大于4cm D．5cm【思路点拨】根据垂线段最短，即可求解．【规范解答】解：根据垂线段最短，则点P到直线l的距离应该小于PA、PB中最小的，故选：C．【考点评析】本题考查的是点到直线的距离的内容，要理解基本定义，明确垂线段最短．【变式训练14-1】（2022秋•玄武区校级期末）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C，D．则点A到直线BC的距离是线段 的长．【变式训练14-2】（2021秋•金坛区月考）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，则点A到直线l1的距离是　 　．【变式训练14-3】（2018秋•盐都区期末）如图，A、B、C是平面内三点．（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP+PQ的最小值为　 　，依据是　 ．2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题6.4 平面图形的认识（一）（章节复习+考点讲练）知识点01：直线、射线、线段直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间线段最短．知识要点：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：.知识要点：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.（4）线段的延长线：如下图，图①称为延长线段AB，或称为反向延长线段BA；图②称为延长线段BA，或称为反向延长线段AB. 图中延长的部分叫做原线段的延长线.知识点02：角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：知识要点：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.知识要点：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.4.角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2.类似地，还有角的三等分线等.5．余角、补角、对顶角 （1）余角、补角：若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.知识要点：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．（2）对顶角：对顶角相等．知识点03：平行与垂直1. 同一平面内的两条直线的位置关系:平行与相交. 平行用符号“∥”表示.知识要点：只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.2.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②垂线段最短．（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【典例精讲】（2020秋•江阴市校级月考）如图所示，图中共有 　2　条直线，　13　条射线，　6　条线段．【思路点拨】根据直线，射线、线段的定义，利用表示方法表示出来即可．【规范解答】解：图中共有2条直线，即直线AB、BC；13条射线，即射线AC、CA、BC、CB、DC、AB、DB，还有6条不可以表示的；6条线段，即线段AB、AD、BD、AC、DC、BC．故答案为：2，13，6．【考点评析】本题考查了直线、线段、射线的定义，能正确表示射线，直线、线段是解此题的关键．【变式训练1-1】（2022秋•海门市期末）往返A，B两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（　　）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【思路点拨】根据线段的定义以及线段条数的计算方法进行解答即可．【规范解答】解：由题意可知，不同的票价有1+2+3＝6（种），故选：C．【考点评析】本题考查直线、射线、线段，理解线段的定义，掌握线段条数的计算方法是正确解答的前提．【变式训练1-2】（2019秋•崇川区校级月考）观察图形，下列说法正确的个数是（　　）（1）直线BA和直线AB是同一条直线（2）射线AC和射线AD是同一条射线（3）AB+BD＞AD（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】结合图形，区别各概念之间的联系．【规范解答】解：（1）直线BA和直线AB是同一条直线，直线没有端点，此说法正确；（2）射线AC和射线AD是同一条射线，都是以A为端点，同一方向的射线，正确；（3）AB+BD＞AD，三角形两边之和大于第三边，所以此说法正确；（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点，错误，可能有1个交点的情况．所以共有3个正确．故选：C．【考点评析】在图形中，找出正确的说法，一定要注意对几何问题各种情况的讨论．【变式训练1-3】（2021秋•东台市期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）＝1，d2（点C，线段AB）＝8．（1）若点D表示的数为﹣7，则d1（点D，线段AB）＝　2　，d2（点D，线段AB）＝　9　；（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）＝3，则m的值为 　﹣8或5　；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）＝12，则n的值为 　﹣10或7　．（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．【思路点拨】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；（2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧．【规范解答】解：（1）∵点D表示的数为﹣7，∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣5﹣（﹣7）＝2，d2（点D，线段AB）＝DB＝2﹣（﹣7）＝9，故答案为：2，9．（2）①当点M在点A的左侧：有AM＝3，∴m＝﹣8；当点M在点B的右侧：有BM＝3，∴m＝5，∴m的值为﹣8或5．②当点N在点A的左侧：有BN＝12，∴n＝﹣10；当点N在点B的右侧：有AN＝12，∴n＝7，∴n的值为﹣10或7．（3）分三种情况：当点E在点A的左侧，d2（点F，线段AB）＝BF＝2﹣（x+2）＝﹣x，d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣5﹣x，∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，∴﹣x＝3（﹣5﹣x），∴x＝﹣7.5，当点E在线段AB上时，d1（点E，线段AB）＝0，不合题意舍去，当点E在点B的右侧，d2（点F，线段AB）＝AF＝x+2﹣（﹣5）＝x+7，d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣2，∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，∴x+7＝3（x﹣2），∴x＝6.5，综上所述：x的值为：﹣7.5或6.5．【考点评析】本题考查了数轴上点的距离相关问题，理解题目已知给出的定义是解题的关键．【典例精讲】（2022秋•如皋市校级期末）如图，C，D为线段AB上两点，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝　4　cm．【思路点拨】根据D为线段AC的中点，可得AC＝2AD＝3cm，再根据线段的和差即可求解．【规范解答】解：∵D为线段AC的中点，∴AC＝2AD＝3cm，∵AB＝7cm，∴CB＝AB﹣AC＝7﹣3＝4（cm），故答案为：4．【考点评析】本题主要考查了有关中点的计算，熟练掌握把一条线段分成相等的两段的点，叫做这条线段的中点是解题的关键．【变式训练2-1】（2022秋•泸县校级期末）下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且只有一条直线；④若线段AM等于线段BM，则点M是线段AB的中点，其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据直线的性质，两点之间的距离，线段的性质逐一判断即可．【规范解答】解：①经过一点有无数条直线，说法正确；②两点之间线段最短，说法正确；③经过两点，有且只有一条直线，说法正确；④若线段AM等于线段BM，则当A、B、M三点共线时，点M是线段AB的中点，原说法错误；∴说法正确的一共有3个，故选：C．【考点评析】本题主要考查了直线的性质，两点之间，线段最短，两点确定一条直线，线段中点的定义等等，熟知相关知识是解题的关键．【变式训练2-2】（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（　　）A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区【思路点拨】根据题意分别计算停靠点分别在B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．【规范解答】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5a+20×（200+a）+6（2a+200）＝37a+5200（m），因为当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30a+20×200+6（a+200）＝36a+5200（m），当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30（a+200）+5×200+6a＝36a+7000（m），当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×（2a+200）+5（a+200）+20a＝85a+7000（m），因为36a+5200＜37a+5200＜36a+7000＜85a+7000，所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．故选：B．【考点评析】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．【变式训练2-3】（2022秋•句容市校级期末）如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝3cm．（1）求AC的长度．（2）若点E是线段AC的中点，求ED的长度．【思路点拨】（1）先根据点D是线段BC的中点，如果CD＝3cm，求出BC的长，再根据BC＝3AB求出AB的长，由AC＝AB+BC即可得出结论；（2）先根据线段的中点可得EC的长，再根据线段的差可得结论．【规范解答】解：（1）因为点D为线段BC的中点，CD＝3cm，所以BC＝2CD＝6cm，因为BC＝3AB＝6cm，所以AB＝2cm，所以AC＝AB+BC＝8cm，即AC的长度为8cm．（2）因为E是AC中点，所以EC＝AC＝4cm，所以ED＝EC﹣DC＝4﹣3＝1cm 即ED的长度是1cm．【考点评析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．【典例精讲】（2022秋•如皋市校级期末）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在AC的延长线上，且CD＝AB．（1）请用圆规在图中确定D点的位置；（2）比较线段的大小：AC　＝　BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；（3）若AB：BC＝2：5，AC＝14，求AD的长．【思路点拨】（1）以点C为圆心，AB长为半径画弧交AC的延长线于点D，即为所求；（2）由线段AB＝CD得出AB+BC＝CD+BC，即可得出结论；（3）由已知求出AB＝4，得出CD＝4，即可得出AD的长．【规范解答】解：（1）如图所示，以点C为圆心，AB长为半径画弧交AC的延长线于点D，即为所求，（2）∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD；故答案为＝；（3）∵AB：BC＝2：5，AC＝14，∴，∴CD＝4，∴AD＝AC+CD＝18，故答案为：18．【考点评析】本题考查线段长短的计算及作一条线段等于已知线段，对线段长进行大小比较以及对线段长度求值，结合图形求解是解题关键．【变式训练3-1】（2022秋•姑苏区校级期末）如图，已知B、C在线段AD上．（1）图中共有 　6　条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC　＝　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若AC＝18，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．【思路点拨】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD．（2）①依据AB＝CD，即可得到AB+BC＝CD+BC，进而得出AC＝BD；②依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度．【规范解答】解：（1）∵B、C在线段AD上，∴图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条．故答案为：6；（2）①若AB＝CD，则AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．故答案为：＝；②∵AC＝18，BC＝12，∴AB＝CD＝AC﹣BC＝18﹣12＝6，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴，∴，∴MN＝BM+CN+BC＝6+12＝18．【考点评析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．【变式训练3-2】（2019秋•宿城区校级期末）如图，已知点A、B、C、D、E在同一直线上，且AC＝BD，E是线段BC的中点．（1）点E是线段AD的中点吗？说明理由；（2）当AD＝10，AB＝3时，求线段BE的长度．【思路点拨】（1）点E是线段AD的中点．由于AC＝BD可以得到AB＝CD，又E是线段BC的中点，利用中点的性质即可证明结论；（2）由于AD＝10，AB＝3，由此求出BC，然后利用中点的性质即可求出BE的长度．【规范解答】解：（1）点E是线段AD的中点．（1分）∵AC＝BD，∴AB+BC＝BC+CD，∴AB＝CD．（3分）∵E是线段BC的中点，∴BE＝EC，∴AB+BE＝CD+EC，即AE＝ED，∴点E是线段AD的中点．（5分）（2）∵AD＝10，AB＝3，∴BC＝AD﹣2AB＝10﹣2×3＝4，∴BE＝BC＝×4＝2．即线段BE的长度为2．（8分）．【考点评析】此题主要考查了线段的长度的比较，其中利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．【变式训练3-3】（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．（2）在（1）中，如果AC＝acm，BC＝bcm，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律．（3）对于（1）题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC＝6cm，BC＝4cm，点C在直线AB上，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．【思路点拨】（1）（2）在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，最好准确画出几何图形，再根据题意进行计算；（3）会出现两种情况：①点C在线段AB上；②点C在AB的延长线上．不要漏解．【规范解答】解：（1）∵AC＝6cm，BC＝4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，∴MN＝（AC+CB）＝×10＝5cm；（2）MN＝，直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；（3）如图，有变化，会出现两种情况：①当点C在线段AB上时，MN＝（AC+BC）＝5cm；②当点C在AB的延长线上时，MN＝（AC﹣BC）＝1cm．【考点评析】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．【典例精讲】（2022秋•赣榆区校级月考）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】根据角的表示方法和图形进行判断即可．【规范解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；故选：C．【考点评析】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．【变式训练4-1】（2020秋•高淳区校级期末）在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA、OB可组成的角的个数是（　　）A．595 B．406 C．35 D．666【思路点拨】根据角的定义以及角的个数与角内部射线的条数之间的关系进行计算即可．【规范解答】解：将∠AOB分成10等份，在∠AOB内部有9条射线；将∠AOB分成12等份，在∠AOB内部有11条射线；将∠AOB分成15等份，在∠AOB内部有14条射线；而将∠AOB分成10等份与12等份，共重合1条射线，将∠AOB分成10等份与15等份，共重合4条射线，将∠AOB分成12等份与15等份，共重合2条射线，所以三种方法分∠AOB，在∠AOB内部一共有9+11+14﹣1﹣4﹣2＝27条射线，因此一共构成角的个数为28+27+26+…+3+2+1＝406，故选：B．【考点评析】本题考查角的概念，理解角的定义，掌握角的个数与角内部射线的条数之间的关系是正确解答的前提．【变式训练4-2】（2019秋•沭阳县期末）如图，∠AOB的度数是　60　°．【思路点拨】依据角的和差关系，即可得到∠AOB的度数．【规范解答】解：由题可得，∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60．【考点评析】本题主要考查了角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．【变式训练4-3】已知如图，∠AOB是锐角，以O为端点向∠AOB内部作一条射线，则图中有多少个角？若作二条、三条射线有多少个角？n条时有多少个角？画一画，你发现什么规律？【思路点拨】在各图中作出一条、两条、三条射线，求出有多少个角，根据角的数量总结出规律即可求出n条时有多少角．【规范解答】解：图（1）中有3个角；图（2）中有6个角；图（3）中有10个角；即∠AOB内部有一条射线时，有1+2个角；∠AOB内部有二条射线时，有1+2+3个角；∠AOB内部有三条射线时，有1+2+3+4个角；∠AOB内部有n条射线时，有1+2+3+4+…+（n+1）个角；【考点评析】此题考查了角的概念及角的数量统计，根据具体数值得出角的数量变化和射线条数的关系是解题的关键．【典例精讲】（2021秋•徐州期末）上午10：00，钟面上时针与分针所成角的度数是（　　）A．30° B．45° C．60° D．75°【思路点拨】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．【规范解答】解：由题意得：2×30°＝60°，∴上午10：00，钟面上时针与分针所成角的度数是：60°，故选：C．【考点评析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．【变式训练5-1】（2022秋•泗阳县校级期末）9点30分时，钟表上时针与分针所组成的角为 　105　度．【思路点拨】根据钟面角的特征进行计算即可．【规范解答】解：如图，由钟面角的定义可知，∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝360°×＝30°，∠BOE＝30°×＝15°，∴∠AOB＝30°×3+15°＝105°，故答案为：105．【考点评析】本题考查钟面角，理解钟面上每相邻两个数字之间所对应的圆心角为30°是解决问题的前提．【变式训练5-2】（2020秋•崇川区校级月考）时钟表面3点25分时，时针与分针所成夹角（小于平角）的度数是　47.5°　．【思路点拨】根据3点25分时针在3和4的之间，分针指向5，每相邻两个时间点的夹角是30度，进而可以得出答案．【规范解答】解：3点25分时针在3和4的之间，分针指向5，30°×2﹣30°×＝60°﹣12.5°＝47.5°，故答案为：47.5°．【考点评析】本题主要考查钟面角的大小，熟知钟面上每相邻两个时间的夹角是30度是解题的关键．【变式训练5-3】（2017秋•兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．（1）时针每分钟转动的角度为　0.5　°，分针每分钟转动的角度为　6　°；（2）8点整，钟面角∠AOB＝　120　°，钟面角与此相等的整点还有：　4　点；（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．【思路点拨】（1）根据时针旋转一周12小时，可得时针旋转的速度，根据分针旋转一周60分钟，可得分针旋转的速度；（2）根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案；（3）根据时针旋转的角度减去分针旋转的角度，可得答案．【规范解答】解：（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°；故答案为：0.5，6；（2）0.5×60×4＝120°，4点时0.5×60×4＝120°，故答案为：120，4；（3）如图，∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°．【考点评析】本题考查了钟面角，利用时针时针旋转的角度减去分针旋转的角度是解题关键．【典例精讲】（2021秋•启东市校级月考）如图，OA表示北偏东20°方向的一条射线，OB表示南偏西50°方向的一条射线，则∠AOB的度数是（　　）A．100° B．120° C．140° D．150°【思路点拨】根据方向角的定义可直接确定∠AOB的度数．【规范解答】解：因为OA表示北偏东20°方向的一条射线，OB表示南偏西50°方向的一条射线，所以∠AOB＝20°+90°+（90°﹣50°）＝150°．故选：D．【考点评析】本题考查了方向角及其计算．掌握方向角的概念是解题的关键．【变式训练6-1】（2023•南开区校级开学）如图，A、O、B在同一条直线上，如果OA的方向是北偏西37°47′，那么OB的方向是　南偏东37°47′　．【思路点拨】利用对顶角相等，得到∠AOC＝∠BOD，根据方向角的定义即可求解．【规范解答】解：如图，∵∠AOC和∠BOD是对顶角，∴∠AOC＝∠BOD＝37°47′，故答案为：南偏东37°47′．【考点评析】本题考查了方向角的定义，利用对顶角相等是关键．【变式训练6-2】（2013秋•海安县校级期末）小明从A处向北偏东72°38′方向走10m到达B处，小亮也从A处出发向南偏西15°38′方向走15m到达C处，则∠BAC的度数为　123　度．【思路点拨】将A处作为原点，依据方位角的概念画出图形解答．【规范解答】解：从图中我们会发现∠BAC＝90°+90°﹣72°38′+15°38′＝123°．【考点评析】解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是解题的关键．【变式训练6-3】（2014秋•靖江市校级月考）如图，货轮D在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60°的方向上．同时，在货轮D的北偏西30°、西北方向上又发现了客轮B和海岛C．（1）仿照表示灯塔方位的方法，在图中画出表示客轮B和海岛C方向的射线；（2）在（1）的条件下填空：∠BOC＝　15°　，∠BOA＝　150°　；和∠AOF互余的角为　∠AOE　．【思路点拨】（1）由所给的方向角画图即可，（2）根据方向角及余角定义求解即可．【规范解答】解：（1）如图，（2）∠BOC＝45°﹣30°＝15°，∠BOA＝30°+90°+30°＝150°；∠AOF互余的角为∠AOE，故答案为：15°，150°，∠AOE，∠BOH．【考点评析】本题主要考查了方向角，解题的关键是熟记以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．【典例精讲】（2022秋•宜兴市月考）下列说法中：其中正确的有（　　）①1°＝60′；②若2AC＝BC，则A是线段BC的中点；③两点之间所有连线中，直线最短；④两点确定一条直线．A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④【思路点拨】①根据度分秒的换算进行判定即可得出答案；②根据题意画出图形，如图进行判定即可得出答案；③根据线段的性质进行判定即可得出答案；④根据直线的性质进行判定即可得出答案．【规范解答】解：①因为1°＝60′，所以①说法正确，故①选项符合题意；②如图，因为2AC＝BC，A不是线段BC的中点，所以②说法不正确，故②选项不符合题意；③因为两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，所以③说法不正确，故③选项不符合题意；④因为直线公理：经过两点有且只有一条直线．所以④说法正确，故④选项符合题意．所以说法正确的有①④，故选：D．【考点评析】本题考查了度分秒的换算，两点间的距离，直线的性质，线段的性质，掌握两点间的距离，直线的性质，线段的性质进行判定是关键．【变式训练7-1】（2022秋•兴化市期末）54°36′＝　54.6　度．【思路点拨】根据小单位化大单位除以进率，可得答案．【规范解答】解：54°36′＝54°+36÷60＝54.6°，故答案为：54.6．【考点评析】本题考查了度分秒的换算，利用小单位化大单位除以进率是解题关键．【变式训练7-2】（2017秋•崇川区校级期末）计算：15°37′+42°51′＝　58°28′　．【思路点拨】把分相加，超过60的部分进为1度即可得解．【规范解答】解：∵37+51＝88，∴15°37′+42°51′＝58°28′．故答案为：58°28′．【考点评析】本题考查了度分秒的换算，比较简单，要注意度分秒是60进制．【变式训练7-3】（2019秋•港闸区校级月考）（1）；（2）；（3）42°15'26''×4﹣21°36'20''÷5+3.295°．【思路点拨】（1）先计算小括号里面的加法，再写成省略括号的形式，计算加减即可；（2）先利用乘方的意义、绝对值的性质、乘法分配律进行计算，再算加减即可；（3）首先计算乘除，再算加减即可．【规范解答】解：（1）原式＝﹣3+1+2＝﹣2+2＝0；（2）原式＝﹣1﹣8﹣8+33﹣32＝﹣16；（3）原式＝169°1′44″﹣4°19′16″+3°17′42″＝168°10″．【考点评析】此题主要考查了度分秒的换算，以及有理数的混合运算，关键是掌握计算顺序，掌握度、分、秒之间的换算关系．【典例精讲】（2021秋•大丰区期末）射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（　　）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠BOC＝∠AOB C．∠AOB＝2∠AOC D．∠BOC＝∠AOB【思路点拨】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．可知B不一定正确．【规范解答】解：A、射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝∠BOC，则OC是∠AOB的平分线，故选项A不符合题意；B、射线OC在∠AOB的内部，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，则不能判断OC是∠AOB的平分线，故选项B符合题意；C、射线OC在∠AOB的内部，∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线，故选项C不符合题意；D、射线OC在∠AOB的内部，∠BOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线，故选项D不符合题意；故选：B．【考点评析】此题主要考查了从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．【变式训练8-1】（2022秋•启东市校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（　　）A．∠AOD B．∠AOC C．∠EOF D．∠DOF【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，结合平角的定义可求解∠EOF＝90°，由∠EOF的度数为定值可判定求解．【规范解答】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠EOD+∠DOF＝90°，即∠EOF＝90°，∴直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，∠EOF的度数与∠BOD度数变化无关．故选：C．【考点评析】本题主要考查角平分线的定义，求解∠EOF的度数是解题的关键．【变式训练8-2】（2021秋•溧阳市期末）OC、OD是∠AOB内部任意两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠MON＝m°，∠COD＝n°，则∠AOB＝　（2m﹣n）　°（用含m、n的代数式表示）．【思路点拨】设∠AOM＝α，∠BON＝β，根据角平分线的定义可得∠MOC＝∠AOM＝α，∠DON＝∠BON＝β，即可得出∠AOC＝2∠AOM＝2α，∠DOB＝2∠DON＝2β，由∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝m°，等量代换得α+n°+β＝m°，即可得出α+β＝m°﹣n°，由∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠DOB＝2α+n°+2β＝2（α+β）+n°，计算即可得出答案．【规范解答】解：设∠AOM＝α，∠BON＝β，∵OM平分∠AOC，ON平∠BOD，∴∠MOC＝∠AOM＝α，∠DON＝∠BON＝β，∠AOC＝2∠AOM＝2α，∠DOB＝2∠DON＝2β，∵∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝m°，∴α+n°+β＝m°，∴α+β＝m°﹣n°，∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠DOB＝2α+n°+2β＝2（α+β）+n°＝2m°﹣n°．故答案为：（2m﹣n）．【考点评析】本题主要考查了角平分线的定义及角的计算，熟练角平分线的定义及角的计算列出代数式进行计算是解决本题的关键．【变式训练8-3】（2022秋•徐州期末）如图①，点O在直线AB上，∠BOC＝50°．将直角三角尺（斜边为DE）的直角顶点放在点O处，一条直角边OE放在射线OB上．已知∠DEO＝30°，将该三角尺绕点O按逆时针方向旋转180°，在旋转过程中，解决下列问题．（1）如图②，若射线OE平分∠BOC，则∠COD与∠DOA的数量关系为 　相等　；（2）如图③，当斜边DE与射线OA相交时，∠COE与∠AOD的差是否保持不变？请说明理由．【思路点拨】（1）由OE平分∠BOC，得到∠BOE＝∠COE，由∠COE+∠COD＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，即可证明∠COD＝∠DOA；（2）由条件得到∠COE＝130°﹣∠AOE，∠AOD＝90°﹣∠AOE，即可解决问题．【规范解答】解：（1）∵射线OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE，∵∠COE+∠COD＝90°，∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣90°＝90°，∴∠COD＝∠DOA，故答案为：相等；（2）∠COE与∠AOD的差保持不变，理由如下：∵∠BOC＝50°，∴∠AOC＝∠COE+∠AOE＝180°﹣50°＝130°，∴∠COE＝130°﹣∠AOE，∵∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣∠AOE，∴∠COE﹣∠AOD＝130°﹣∠AOE﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，∴∠COE与∠AOD的差保持不变．【考点评析】本题考查角平分线，余角的性质，关键是由角平分线的定义，余角的性质，表示出有关的角．【典例精讲】（2021秋•兴化市校级月考）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE的度数为（　　）A．360°﹣4α B．180°﹣4α C．α D．270°﹣3α【思路点拨】设∠DOE＝x，则∠BOD＝4x、∠BOE＝3x，根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可．【规范解答】解：设∠DOE＝x，则∠BOD＝4x，∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD，∴∠BOE＝3x，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣4x．∵OC平分∠AOD，∴∠COD＝∠AOD＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x．∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°﹣2x+x＝90°﹣x，由题意有90°﹣x＝α，解得x＝90°﹣α，则∠BOE＝270°﹣3α，故选：D．【考点评析】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键．【变式训练9-1】（2020秋•姜堰区期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（　　）A．40° B．45° C．50° D．55°【思路点拨】可以设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，进而可求解．【规范解答】解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠性质可知：∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，∵∠B′AD′＝10°，∴∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，∵四边形ABCD是长方形，∴∠DAB＝90°，∴10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，∴α+β＝30°，∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′＝10°+α+β＝10°+30°＝40°．则∠EAF的度数为40°．故选：A．【考点评析】本题考查了角的计算，解决本题的关键是熟练运用折叠的性质．【变式训练9-2】（2021秋•相城区校级月考）在同一平面内，∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为　30°或110°　．【思路点拨】分OC在∠AOB内和OC在∠AOB外两种情况考虑，依此画出图形，根据角与角之间结合∠AOB、∠BOC的度数，即可求出∠AOC的度数．【规范解答】解：当OC在∠AOB内时，如图1所示．∵∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°；当OC在∠AOB外时，如图2所示．∵∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°．故答案为：30°或110°．【考点评析】本题考查了角的计算，分OC在∠AOB内和OC在∠AOB外两种情况考虑是解题的关键．【变式训练9-3】（2022秋•南通期末）定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若∠QPN+∠MPN＝180°，则称射线PQ为∠MPN关于边PN的补线．（1）下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 　③　；（填序号）（2）如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，则OC是∠AOD关于边OD的补线吗？为什么？（3）已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB＝α，试用含α的式子表示∠AOP（直接写出结果）．【思路点拨】（1）根据新定义判断求解；（2）根据新定义证明；（3）根据新定义，分类讨论求解．【规范解答】解：（1）①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部．②当这个角是直角时，它的补线只有1条；③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条；故答案为：③；（2）OC是∠AOD关于边OD的补线；理由：∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠COD，∵∠BOD+∠AOD＝180°，∴∠COD+∠AOD＝180°，又∵OC不与OA重合，∴OC是∠AOD关于边OD的补线．（3）∠AOP＝α﹣90°或∠AOP＝α+90°或90°﹣α．理由：①如图，当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB内部时，∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，∴∠AOB+∠BOC＝180°，∵∠AOB＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OP是∠BOC的平分线．∴∠BOP＝∠BOC＝90°﹣α，∴∠AOP＝∠AOB﹣∠BOP＝α﹣（90°﹣α）＝α﹣90°．②如图，当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB外部时，∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，∴∠AOB+∠BOC＝180°，∵∠AOB＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OP是∠BOC的平分线．∴∠BOP＝∠BOC＝90°﹣α，∴∠AOP＝∠AOC﹣∠BOP＝180﹣（90°﹣α）＝α+90°．③如图，当∠AOB为锐角，且OC在∠AOB下方时，∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，∴∠AOB+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180﹣α，∵OP平分∠BOC，∴∠BOP＝∠BOC＝90°﹣α，∴∠AOP＝∠BOP﹣∠AOB＝90°﹣α﹣α＝90°﹣α．【考点评析】本题考查了角的计算，理解新定义是解题的关键．【典例精讲】（2022秋•玄武区校级期末）已知一个角的补角比这个角的余角3倍大10°，则这个角的度数是　50　度．【思路点拨】相加等于90°的两角称作互为余角，也作两角互余．和是180°的两角互为补角，本题实际说明了一个相等关系，因而可以转化为方程来解决．【规范解答】解：设这个角是x°，则余角是（90﹣x）度，补角是（180﹣x）度，根据题意得：180﹣x＝3（90﹣x）+10解得x＝50．故填50．【考点评析】题目反映了相等关系问题，就可以利用方程来解决．【变式训练10-1】（2022秋•亭湖区期末）若∠AOC与∠BOD互余，且∠AOC＝48°，则∠BOD的度数为（　　）A．132° B．42° C．48° D．138°【思路点拨】利用余角的定义进行求解即可．【规范解答】解：∵∠AOC与∠BOD互余，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝48°，∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝42°．故选：B．【考点评析】本题主要考查余角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°．【变式训练10-2】（2021秋•启东市期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（　　）A．30° B．60° C．120° D．150°【思路点拨】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α，根据题意列出关系式，求出α的值即可【规范解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），解得：α＝30°．故这个角的度数为30°．故选：A．【考点评析】本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是掌握互余和补角的定义．【变式训练10-3】．（2022秋•锡山区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，将一个直角三角尺的直角顶点放置在点O处，且ON平分∠BOD．（1）若∠AOC＝64°，求∠MOB的度数；（2）试说明OM平分∠AOD．【思路点拨】（1）由对顶角相等得∠BOD＝68°，再由角平分线的定义可得∠BON的度数，即可求出∠MOB的度数；（2）由（1）知∠BON＝∠DON，再由等角的余角相等可直接得到∠AOM＝∠DOM，由此可得证．【规范解答】（1）解：∵∠AOC＝64°，∴∠BOD＝64°，∵ON平分∠BOD，∴∠BON＝32°，∴∠MOB＝∠MON+∠BON＝90°+32°＝122°；（2）证明：∵∠MON＝90°，∴∠MOD+∠NOD＝∠AOM+∠BON＝90°，由（1）知∠BON＝∠DON，∴∠MOD＝∠AOM，即OM平分∠AOD．【考点评析】本题主要考查余角的定义，角平分线的性质与判定，关键是得出∠AOM＝∠DOM．【典例精讲】（2022秋•泗洪县期末）如图所示，从A地到B地有多条道路可⾛，⼈们往往会选择⾛中间的直路，这是因为（　　）A．两点之间线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．其他的路⾏不通【思路点拨】由题意从A地到B地有多条道路，肯定要尽量选择两地之间最短的路程，就用到两点间线段最短的数学知识．【规范解答】解：从A到B有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他曲折的路，这是因为两点之间线段最短．故选：A．【考点评析】本题考查了线段的性质，解题的关键是熟练掌握线段的性质：两点之间线段最短．【变式训练11-1】（（2020秋•崇川区校级月考）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：两条直线相交，最多有一个交点，三条直线相交，最多有三个交点，四条直线相交，最多有6个交点，像这样，10条直线相交，最多交点的个数是（　　）A．40个 B．45个 C．50个 D．55个【思路点拨】根据直线的条数与相交时交点最多时的个数之间的关系得出答案．【规范解答】解：2条直线相交，最多有1个交点，即0+1＝1（个），3条直线相交，最多有3个交点，即1+2＝3（个），4条直线相交，最多有6个交点，即1+2+3＝6（个），5条直线相交，最多有10个交点，即1+2+3+4＝10（个），…10条直线相交，最多有45个交点，即1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45（个），故选：B．【考点评析】本题考查相交线，理解平面内直线的条数与交点最多的个数的变化规律是解决问题的关键．【变式训练11-2】（2021秋•滨湖区期末）在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是　0个或1个或2个或3个　．【思路点拨】根据平行线的定义，相交线的定义，可得答案．【规范解答】解：当三条直线互相平行，交点是个0；当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；故答案为：0个或1个或2个或3个．【考点评析】本题考查了相交线和平行线，能够正确分类讨论是解题的关键．【变式训练11-3】（2019秋•临江市期末）试用几何语言描述下图：　直线AB与直线CD相交于点O　．【思路点拨】从两条直线的位置关系可知，两条直线相交，交点为O，故再根据直线的表示方法进行描述即可．【规范解答】解：从两条直线的位置关系可知，两条直线相交，交点为O，故用几何语言可描述为：直线AB与直线CD相交于点O．故答案为：直线AB与直线CD相交于点O．【考点评析】本题考查的是相交线，比较简单．【典例精讲】（2022秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90°，图中与∠BOC互补的角有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据互为余角的定义以及对顶角的定义可得∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，再根据互为补角的定义以及等量代换可得答案．【规范解答】解：∵∠AOE＝∠COF＝90°，即∠AOC+∠COE＝∠COE+∠EOF＝90°，∴∠AOC＝∠EOF，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，∵∠BOC+∠AOC＝180°，即∠BOC与∠AOC互为补角，∴∠BOC互补的角有：∠AOC，∠BOD，∠EOF共3个，故选：C．【考点评析】本题考查互为余角、互为补角、对顶角，掌握互为余角、互为补角以及对顶角的定义是正确解答的前提．【变式训练12-1】（2017秋•丰县校级月考）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】根据对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角进行分析即可．【规范解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角，故此选项错误；B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项错误；C、∠1与∠2是对顶角，故此选项正确；D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项错误；故选：C．【考点评析】此题主要考查了对顶角，关键是掌握对顶角定义．【变式训练12-2】（2022秋•射阳县校级期末）已知如图，直线AB、CD相交于点O，OE为射线，若∠AOE+∠DOE＝110°，则∠AOC＝　70　°．【思路点拨】根据邻补角的定义和对顶角相等可求得．【规范解答】解：∵∠AOE+∠DOE＝110°，∴∠DOB＝180°﹣（∠AOE+∠DOE）＝180°﹣110°＝70°，∠AOC＝∠DOB＝70°．故答案为：70．【考点评析】本题考查了对顶角和邻补角，掌握对顶角和邻补角定义是关键．【变式训练12-3】（2021秋•高邮市期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．【思路点拨】（1）根据互补线解答即可；（2）根据射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，得到∠BOC+∠BOE＝180°，再有等量代换得出∠AOC＝∠BOE，求出∠DOA的度数，再由∠DOE＝180°﹣∠COE求得即可；（3）根据角平分线的定义和补角的定义即可得到结论．【规范解答】解：（1）∵射线OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD，∵∠AOC+∠COD＝180°，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∴射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；（2）∵射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，∴∠BOC+∠BOE＝180°，又∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝∠BOE，∵∠AOC+∠DOA＝180°，且∠DOA＝136°，∴∠AOC＝180°﹣∠DOA＝180°﹣136°＝44°，∴∠BOC＝44°，∴∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝180°﹣44°﹣44°＝92°，∴∠DOE＝180°﹣∠COE，＝180°﹣92°，＝88°；（3）∠BOC+∠EOF的度数是为定值，等于90°∵射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，∴∠AOE＝∠EOC，∠BOF＝∠FOC，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOF+∠FOC+∠AOE+∠EOC＝180°，∵2∠BOF+2∠EOC＝180°，∴∠BOF+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠EOB+∠BOF+∠FOC，∴∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠FOC＝90°，∴2∠BOF+∠EOB+∠FOC＝90°，∴∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠BOF＝90°，∴2∠BOF＝∠BOC，∠EOB+∠BOF＝∠EOF，∴∠BOC+∠EOF＝90°，∴∠BOC+∠EOF的度数是为定值，等于90°．【考点评析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的计算，正确的找出个角之间的关系是解题的关键．【典例精讲】（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　）A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【思路点拨】根据生活经验结合数学原理解答即可．【规范解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【考点评析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握数学和生活密不可分的关系是解答本题的关键．【变式训练13-1】（2018秋•泰兴市期末）在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段PC的长，理由是　垂线段最短　．【思路点拨】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【规范解答】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【考点评析】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．【变式训练13-2】（2021秋•泰兴市期末）如图，用三张卡片拼成如图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为C1、C2．（1）请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是 　C　．（填写正确选项的字母）A．两点之间线段最短B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂线段最短D．两点确定一条直线（2）分别计算C1、C2（用含m、n的代数式表示）；（3）比较与的大小，并说明理由．【思路点拨】（1）依据垂线段的性质即可得出结论；（2）依据图形的边界，计算其周长即可；（3）利用作差法进行计算，即可得到与的大小关系．【规范解答】解：（1）在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是垂线段最短，故选：C；（2）如图所示，C1＝2m+4n；C2＝4m+2n；（3），∵n＜m，∴n﹣m＜0，∴，∴．【考点评析】本题主要考查了垂线段最短以及列代数式，垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．【变式训练13-3】（2022秋•姑苏区校级期末）如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是　垂线段最短　．（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是　两点之间线段最短　．【思路点拨】（1）过A作AC⊥MN，AC最短；（2）连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．【规范解答】解：（1）过A作AC⊥MN，根据：垂线段最短．（2）连接AB交MN于D，根据是：两点之间线段最短．【考点评析】此题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．【典例精讲】（2019秋•邗江区校级期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA＝4cm，PB＝5cm，则点P到直线l的距离是（　　）A．4cm B．小于4cm C．不大于4cm D．5cm【思路点拨】根据垂线段最短，即可求解．【规范解答】解：根据垂线段最短，则点P到直线l的距离应该小于PA、PB中最小的，故选：C．【考点评析】本题考查的是点到直线的距离的内容，要理解基本定义，明确垂线段最短．【变式训练14-1】（2022秋•玄武区校级期末）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C，D．则点A到直线BC的距离是线段 　AC　的长．【思路点拨】根据点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，可得答案．【规范解答】解：AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段AC的长度，故答案为：AC．【考点评析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度．【变式训练14-2】（2021秋•金坛区月考）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，则点A到直线l1的距离是　4　．【思路点拨】由AB⊥l1，即可得出答案．【规范解答】解：∵AB⊥l1，则点A到直线l1的距离是AB的长＝4；故答案为：4．【考点评析】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题关键．【变式训练14-3】（2018秋•盐都区期末）如图，A、B、C是平面内三点．（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP+PQ的最小值为　5　，依据是　垂线段最短　．【思路点拨】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据线段的性质即可得到结论．【规范解答】解：（1）①如图1所示，射线BC，直线l即为所求；②如图1所示，线段AP，PQ即为所求；（2）过A作AQ⊥BC交直线l于P，则此时，AP+PQ的值最小，∵点A到直线BC的距离为5，∴AP+PQ的最小值为5，依据是垂线段最短，故答案为：5，垂线段最短．【考点评析】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β＝90°90°