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苏科版数学七年级上册同步专题热点难点练习 专题6.5 平面图形的认识（一）（章节复习+能力强化卷）学生版+教师版
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2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题6.5 平面图形的认识（一）（章节复习+能力强化卷）知识点01：直线、射线、线段直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质: ． (2)线段的性质: ．知识要点：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出 ,再 .（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是 ；一种是 .（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：.知识要点：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.（4）线段的延长线：如下图，图①称为延长线段AB，或称为反向延长线段BA；图②称为延长线段BA，或称为反向延长线段AB. 叫做原线段的延长线.知识点02：角1．角的概念及其表示（1）角的定义： 叫做角，这个点叫做角的顶点， 是角的边；此外，角也可以看作 .(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用 表示，二是 的一个大写英文字母表示，三是用 表示.例如下图：知识要点：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.知识要点：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.4.角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2.类似地，还有角的三等分线等.5．余角、补角、对顶角 （1）余角、补角：若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.知识要点：①余角(或补角)是两个角的关系，是 出现的，单独一个角不能称其为 ②一个角的余角(或补角)可以 ，但是它们的 是相同的.③只考虑 ，与 无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．（2）对顶角： ．知识点03：平行与垂直1. 同一平面内的两条直线的位置关系:平行与相交. 平行用符号“∥”表示.知识要点： 叫做相交直线，这个公共点叫做交点.2.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线 ，其中一条直线叫做 ，它们的交点叫 ．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内， 与已知直线垂直．② ．（3）点到直线的距离： ，叫做点到直线的距离．一、选择题（每题2分，共20分）1．（本题2分）（2023春·江苏南通·七年级统考期中）如图，直线相交于点平分．若，则的度数为( ) A． B． C． D．2．（本题2分）（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（本题2分）（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；③若，，点F是线段上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小值为14，其中说法正确的个数有（ ）；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（本题2分）（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）如果两个角的两边分别垂直，而其中一个角的比另一个角少，那么这两个角的度数是（ ）A．和 B．、或、 C．都是 D．、或、5．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，将两个三角尺的直角与顶点O重合在一起，若，OE为的平分线，则的度数为（ ）A．36 B．45 C．60 D．726．（本题2分）（2022秋·七年级单元测试）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的是（ ）①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．A．① B．② C．①②④ D．①②③④7．（本题2分）（2022秋·七年级单元测试）图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（ ）A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，58．（本题2分）（2020秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )A． B． C． D．9．（本题2分）（2021秋·江苏·七年级专题练习）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示∶两条直线相交，三条直线相交，四条直线相交，最多有一个交点，最多有三个交点；最多有6个交点，像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )A．40个 B．45个 C．50个 D．55个10．（本题2分）（2021秋·江苏无锡·七年级校考期中）如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关；④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处．A．①③ B．③④ C．②③ D．②二、填空题（每题2分，共20分）11．（本题2分）（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，直线、相交于点，，．则的度数为 ． 12．（本题2分）（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ．13．（本题2分）（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）一副三角板如图摆放，若，则 °．14．（本题2分）（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，已知线段，点O是线段中点，若点C在线段上，，点P是线段的中点，则线段的长为 ．15．（本题2分）（2023春·江苏扬州·七年级期中）如图，已知，在内部且，下列说法：①如果，则图中有两对互余的角；②如果作平分，则；③如果作平分，在内部，且，则平分；④如果在外部分别作的余角，则；其中正确的有 ．16．（本题2分）（2022秋·江苏南通·七年级校联考期末）如图，，点C是线段延长线上一点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则 ．17．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为 ．18．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，于点O，为内的一条射线，点D在的延长线上，平分，在图中的所有角中，当与互补的角有且只有两个时，则的度数为 ．19．（本题2分）（2023秋·江苏泰州·七年级统考期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．20．（本题2分）（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ．三、解答题（共60分）21．（本题6分）（2023春·江苏南京·七年级统考期中）请结合题意，在横线上填上合适的推理依据．如图，，，求证：． 证明：∵(已知)∴(垂直的定义)∵(已知)∴____________(____________________)∴______(____________________)又∵(已知)∴(____________________)∴(____________________)∴(两直线平行，同位角相等)∴．22．（本题6分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，直线相交于点O，，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．23．（本题8分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点C，D的速度分别是，．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长24．（本题8分）（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在中，，，垂足为，平分． (1)已知，，求的度数；(2)已知，求证：．25．（本题8分）（2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）【阅读材料】：如图1，将线段放在直线上，然后将线段绕点O按如下方式旋转：第1步，从（在上）开始先顺时针旋转锐角至；第2步，从开始继续同向旋转至；第3步，从开始继续旋转至，…．当转到位置时弹回，逆时针向位置旋转；当转到位置时再弹回，继续向位置旋转，…如此反复． 例如：当时， 的位置如图2所示，其中第4步旋转到后弹回，即．【解决问题】：(1)当时，的位置如图3所示．① ， ；②求出的度数．(2)当时, 且，则的值为 ；(3)若在整个旋转过程中， 是第一次经过弹回后而得到的位置，则的范围是 ；（请用“＞”，“＜”，“≥”，“≤”进行表示）26．（本题8分）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为（的值在0到之间，单位：秒）．(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当首次达到时，求的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线垂直射线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．27．（本题8分）（2023春·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考期中）一副三角板（中，，，中，，，）按如图①方式放置，如图②将绕点A按逆时针方向，以每秒5°的速度旋转，设旋转的时间为秒．(1)图①中，______°；(2)在绕点A旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值；(3)在绕点A旋转的过程中，探究与之间的数量关系．28．（本题8分）（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．(1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，，则；(2)【性质应用】如图3，和的平分线交于点E，则与、之间存在何种数量关系．请说明理由；(3)【拓展提高】如图4，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，直接写出的度数（用含的式子表示）﹒ 2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题6.5 平面图形的认识（一）（章节复习+能力强化卷）知识点01：直线、射线、线段直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间线段最短．知识要点：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：.知识要点：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.（4）线段的延长线：如下图，图①称为延长线段AB，或称为反向延长线段BA；图②称为延长线段BA，或称为反向延长线段AB. 图中延长的部分叫做原线段的延长线.知识点02：角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：知识要点：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.知识要点：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.4.角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2.类似地，还有角的三等分线等.5．余角、补角、对顶角 （1）余角、补角：若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.知识要点：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．（2）对顶角：对顶角相等．知识点03：平行与垂直1. 同一平面内的两条直线的位置关系:平行与相交. 平行用符号“∥”表示.知识要点：只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.2.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②垂线段最短．（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．一、选择题（每题2分，共20分）1．（本题2分）（2023春·江苏南通·七年级统考期中）如图，直线相交于点平分．若，则的度数为( ) A． B． C． D．【答案】C【分析】由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由平角定义即可求出的度数．【详解】解：平分，，，，，故选：C．【点睛】本题考查垂线，角平分线定义，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键．2．（本题2分）（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据同角的余角相等，得到，根据平角的定义，得到，，进而得到，即可得出结果．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴图中与互补的角有，共3个；故选C．【点睛】本题考查补角的判断．正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握同角的余角相等，互补的两角之和为，是解题的关键．3．（本题2分）（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；③若，，点F是线段上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小值为14，其中说法正确的个数有（ ）；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】按照两个端点确定一条线段即可判断①；根据角的和差计算机可判断②；分两种情况讨论：当点F在线段上时点F到点B、C、D、E的距离之和最小，当点F和E重合时，点F到点B、C、D、E的距离之和最大计算即可判断③．【详解】解：①以B、C、D、E为端点的线段、、、、、共6条，故此说法正确； ②由，，根据图形可以求出，故此说法正确；③如图1，当F不在上时，，如图2当F在上时，，如图3当F与E重合时，，同理当F与B重合时，，∵，，∴当F在的线段上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为，故此说法正确． 故选：D．【点睛】本题主要考查了线段的数量问题，角的和差，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4．（本题2分）（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）如果两个角的两边分别垂直，而其中一个角的比另一个角少，那么这两个角的度数是（ ）A．和 B．、或、 C．都是 D．、或、【答案】B【分析】首先由两个角的两边分别垂直，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角的比另一个角少20°得另一个角为，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．【详解】解：设其中一角为x°，∵其中一个角的比另一个角少20°∴另一个角为（x+20）°，∵两个角的两边分别垂直，∴这两个角相等或互补．①若这两个角相等，如下图，则x=x+20，解得：x=30，∴这两个角的度数是30°和30°；②若这两个角互补， 如下图，则180-x=x+20，解得：x=120，∴这两个角的度数是60°和120°．∴这两个角的度数是30°和30°或60°和120°．故选：B．【点睛】此题考查了角度计算与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．5．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，将两个三角尺的直角与顶点O重合在一起，若，OE为的平分线，则的度数为（ ）A．36 B．45 C．60 D．72【答案】D【分析】根据∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD＝4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE的度数，利用∠DOE＝∠COD﹣∠COE即可解答．【详解】解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∴∠AOB+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠AOD＝4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝36°，∵OE为∠BOC的平分线，∴∠COE∠BOC＝18°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣18°＝72°，故选：D．【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是明确∠AOD+∠BOC＝180°．6．（本题2分）（2022秋·七年级单元测试）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的是（ ）①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．A．① B．② C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．【详解】解：如图1，当时如图2，当时因此，的角度不恒为，则①错误如图1，当时由角平分线的定义得如图2，当时由角平分线的定义得因此，的角度恒为定值，则②正确边与三角板的三边所在直线夹角不可能成如图1，当时，设DE与AB的交点为F，即DE只与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次；DB只与三角板的BC边所在直线夹角成，次数为1次如图2，当时，延长DE交AB于点F，即只有DB与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次，则③错误如图3，作，即平分如图4，作显然不平分，则④错误综上，正确的个数只有②这1个故选：B．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，依据正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论一种情况．7．（本题2分）（2022秋·七年级单元测试）图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（ ）A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，5【答案】B【分析】根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．【详解】，，，，，，，，，，则图中互余的角的对数为4对；，，点C是直线AB上一点，，，，又，，，，则图中互补的角的对数为7对，故选：B．【点睛】本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键．8．（本题2分）（2020秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.【详解】解：∵，分别为的中点，∴，∵分别为的中点，∴，根据规律得到，∴，故选A.【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.9．（本题2分）（2021秋·江苏·七年级专题练习）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示∶两条直线相交，三条直线相交，四条直线相交，最多有一个交点，最多有三个交点；最多有6个交点，像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )A．40个 B．45个 C．50个 D．55个【答案】B【详解】解∶第四条直线最多和前三条直线都相交而增加3个交点，第五条直线最多和前四条直线都相交而增加4个交点……第十条直线最多和前9条直线都相交而增加9个交点，所以10条直线相交、最多交点的个数为∶1+2+3+……+9=45．故选∶B【点睛】本题考查了直线、射线、线段． 结合图形，找规律解答．10．（本题2分）（2021秋·江苏无锡·七年级校考期中）如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关；④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处．A．①③ B．③④ C．②③ D．②【答案】A【分析】可结合题意及图形，逐一对四个选项本身进行分析，确定对错即可．【详解】解：①车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，通过测量发现车站的位置设在C点好于B点，故原来的结论正确，符合题意；②车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果不一样，故原来的结论错误，不符合题意；③工厂到车站的距离是线段的长，指的是两点之间的距离，和各段的弯曲的小公路无关，故原来的结论正确，符合题意；④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B处，车站的位置设在BC段公路的最中间处不好于设在点C处，故原来的结论错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了两点之间线段最短的问题，解题关键是具有较强的理解能力及分析能力，实际这道题根本不需要计算．二、填空题（每题2分，共20分）11．（本题2分）（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，直线、相交于点，，．则的度数为 ． 【答案】度/【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．【详解】解：，，，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了对顶角，解题的关键是掌握对顶角相等．12．（本题2分）（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ．【答案】【分析】先分别求出、、的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案．【详解】解：因为线段，是的中点，所以；因为是的中点，所以；因为是的中点，所以；，所以，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．13．（本题2分）（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）一副三角板如图摆放，若，则 °．【答案】【分析】设，则，利用和，构造一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：设，则，∵，∴，∵，∴，∴，解得，∴故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握三角板的意义，构造一元一次方程是解题的关键．14．（本题2分）（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，已知线段，点O是线段中点，若点C在线段上，，点P是线段的中点，则线段的长为 ．【答案】5【分析】列出方程，求得，，根据中点的意义求得和的长，据此即可求解．【详解】解：∵，，∴，即，∴，，∵点O是线段中点，∴，∵点P是线段的中点，∴，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了线段中点的定义，解一元一次方程，熟悉线段的加减运算是解题的关键．15．（本题2分）（2023春·江苏扬州·七年级期中）如图，已知，在内部且，下列说法：①如果，则图中有两对互余的角；②如果作平分，则；③如果作平分，在内部，且，则平分；④如果在外部分别作的余角，则；其中正确的有 ．【答案】②④/④②【分析】先求出，再根据互余的角的定义即可判断①错误；设，根据角平分线定义以及角的和差定义求出，即可判断②正确；设，则，根据角平分线的定义得到．求得，得到不一定等于，故③错误；设，根据角的和差定义可得，，即可判断④正确．【详解】解：，，．①，，，，，，，，图中有4对互余的角，故①错误；②设，则，．平分，，，，故②正确；③设，则，平分，．，，不一定等于，即不是的平分线，故③错误；④设，则，，，，，，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线定义以及角的计算，设，用含的代数式表示相关角度是解题的关键．16．（本题2分）（2022秋·江苏南通·七年级校联考期末）如图，，点C是线段延长线上一点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则 ．【答案】【分析】根据题意设，则，由点M为线段的中点，表示出的长度，进而表示出的长度，然后代入求解即可．【详解】解：设，则，，∴，∵点M为线段的中点，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系．17．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为 ．【答案】4或16【分析】根据题意分两种情况画图解答即可．【详解】解：①如图，，，点是折线的“折中点”，点为线段的中点，；②如图，，，点是折线的“折中点”，点为线段的中点，．综上所述，的长为4或16．故答案为：4或16．【点睛】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是根据题意画出两个图形进行解答．18．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，于点O，为内的一条射线，点D在的延长线上，平分，在图中的所有角中，当与互补的角有且只有两个时，则的度数为 ．【答案】【分析】由图形可知，与互补，要求互补的角有且只有两个，是的补角，得到，进而得到，再利用平分，得到，求得，即可得到的度数．【详解】解：，，，与互补，与互补的角有且只有两个，是的补角，，，，平分，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查补角的定义，角平分线的定义，培养几何直观的能力，得出与互补是解题前提．19．（本题2分）（2023秋·江苏泰州·七年级统考期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．【答案】或【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒；∴运动的时间相同；设运动时间为秒，则：，∵，∴，当时：，∴，，∴，∴，∴，即：；当，在上方时：如图，，∴，，∴，∴，∴，即：；当，在下方时：如图2，，∴，，∴，∴，∴，即：；综上：与之间的数量关系为或；故答案为：或．【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键．20．（本题2分）（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ．【答案】或2或【分析】设三条线段的长分别是，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可．【详解】∵三条线段的长度之比为，∴设三条线段的长分别是，∵到5的距离是6，∴，解得，∴三条线段的长分别为，，3，如图所示：①当时，折痕点表示的数是；②当时，折痕点表示的数是；③当时，折痕点表示的数是；综上所述：折痕处对应的点表示的数可能是或2或．故答案为：或2或【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．三、解答题（共60分）21．（本题6分）（2023春·江苏南京·七年级统考期中）请结合题意，在横线上填上合适的推理依据．如图，，，求证：． 证明：∵(已知)∴(垂直的定义)∵(已知)∴____________(____________________)∴______(____________________)又∵(已知)∴(____________________)∴(____________________)∴(两直线平行，同位角相等)∴．【答案】 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 等量代换 同旁内角互补，两直线平行【分析】根据垂直的定义、平行线的判定与性质、等量代换等进行填空即可．【详解】∵(已知)∴(垂直的定义)∵(已知)∴ (同位角相等，两直线平行)∴(两直线平行，内错角相等)又∵(已知)∴(等量代换)∴(同旁内角互补，两直线平行)∴(两直线平行，同位角相等)∴．【点睛】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质、等量代换等知识点，解题的关键是熟知并能灵活运用这些知识点．22．（本题6分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，直线相交于点O，，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平分，可得，即可求解；（2）根据，可设，则，再由，可求出x的值，然后根据，即可求解．【详解】（1）解：∵平分，， ∴，∴．（2）解：∵，∴可设，则，∵，∴，∴．即，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，对顶角相等，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．23．（本题8分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点C，D的速度分别是，．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长【答案】(1)①12；②(2)【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得；②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得；（2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得．【详解】（1）解：①依题意得：，，点仍在线段上，∴，故答案为：；②设运动时间为，则，∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点，∴，∴，故答案为：．（2）解：设运动时间为，则，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键．24．（本题8分）（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在中，，，垂足为，平分． (1)已知，，求的度数；(2)已知，求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理，角平分线以及垂直的定义进行计算即可；（2）利用角平分线的定义，三角形内角和定理以及等量代换即可得出结论．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵平分．∴，又∵，∴，∵，∴，∴；（2）证明：由可得， ，，．【点睛】本题考查角平分线，三角形内角和定理，垂直的定义，掌握角平分线的定义，垂直的定义以及三角形内角和是是正确解答的前提．25．（本题8分）（2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）【阅读材料】：如图1，将线段放在直线上，然后将线段绕点O按如下方式旋转：第1步，从（在上）开始先顺时针旋转锐角至；第2步，从开始继续同向旋转至；第3步，从开始继续旋转至，…．当转到位置时弹回，逆时针向位置旋转；当转到位置时再弹回，继续向位置旋转，…如此反复． 例如：当时， 的位置如图2所示，其中第4步旋转到后弹回，即．【解决问题】：(1)当时，的位置如图3所示．① ， ；②求出的度数．(2)当时, 且，则的值为 ；(3)若在整个旋转过程中， 是第一次经过弹回后而得到的位置，则的范围是 ；（请用“＞”，“＜”，“≥”，“≤”进行表示）【答案】(1)①；；②(2)；；(3)【分析】（1）①当时，利用，即可得到答案，②先求出，即可得到，（2）分三种情况讨论即可得到答案；（3）根据在整个旋转过程中，是第一次经过弹回后而得到的位置，分情况讨论即可得到的范围．【详解】（1）解：①当时，，，故答案为：；；②∵，∴，故答案为：（2）①当都不从弹回时，则，∴， ②当在右边时，则，解得③当在左边时，则，解得综上可知，的值为或或，故答案为：；；（3）当在或的右边时，则，解得，当在与 之间时，则，解得，当在或者与之间时，则，解得，当在或或与之间时，则，解得，若在整个旋转过程中， 是第一次经过弹回后而得到的位置，则的范围是，故答案为：【点睛】此题考查了角度的计算，理解题意正确列式是解题的关键．26．（本题8分）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为（的值在0到之间，单位：秒）．(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当首次达到时，求的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线垂直射线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，的值为15秒或45秒．【分析】（1）利用旋转角等于速度乘以时间得出时间与角度关系，再进行共顶点角度计算即可；（2）用时间结合速度求出时间与角度的关系，再利用列方程求出的值；（3）根据时间范围，大致推算的可能位置情况，再进行计算和验证即可．【详解】（1）解：，，，；（2）解：首次到达故得，（秒）；（3）解：首次到达时，，（秒）；第二次到达时，如图：，（秒）；秒，故不再有其他垂直的情况，综上所述的值为15秒或45秒．【点睛】本题考查共顶点角度的计算，结合旋转速度，明确位置关系和用时间表示角度是解题的关键．27．（本题8分）（2023春·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考期中）一副三角板（中，，，中，，，）按如图①方式放置，如图②将绕点A按逆时针方向，以每秒5°的速度旋转，设旋转的时间为秒．(1)图①中，______°；(2)在绕点A旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值；(3)在绕点A旋转的过程中，探究与之间的数量关系．【答案】(1)15(2)当与的一边平行时，或15或27(3)【分析】（1）根据角的和差关系可进行求解；（2）由题意可知，然后可分当时，当时，当时，进而分类求解即可；（3）根据题意可分当在内部时和当在外部时，进而分类求解即可．【详解】（1）解：如图①，∵，，∴；故答案为15；（2）解：由题意得：，，当时，如图所示：∴，解得：；当时，如图所示：∴，∴，解得：；当时，如图所示：∴D、A、C三点在同一直线上，∴，解得：；综上所述：当与的一边平行时，或15或27；（3）解：当在内部时，如图，∵，∴；当在外部时，如图，∵∴；综上所述：与之间的数量关系为．【点睛】本题主要考查角的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．28．（本题8分）（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．(1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，，则；(2)【性质应用】如图3，和的平分线交于点E，则与、之间存在何种数量关系．请说明理由；(3)【拓展提高】如图4，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，直接写出的度数（用含的式子表示）﹒【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）利用对顶角相等、三角形外角等于不相等两个内角的和即可求解；（2）利用角平分线的性质和三角形外角的性质即可求解；（3）利用角平分线的性质和三角形外角的性质即可求解【详解】（1）解：∵与是对顶三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵ ∴；（2）解：如图，，，∴，∵、分别是、的平分线，∴，.∴，∴；（3）解：∵，∴，∵、是的角平分线，且是和的角平分线，∴，，∵，∴.【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题关键． ∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β＝90°90°<∠β<180°∠β＝180°∠β＝360°∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β＝90°90°<∠β<180°∠β＝180°∠β＝360°
2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题6.5 平面图形的认识（一）（章节复习+能力强化卷）知识点01：直线、射线、线段直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质: ． (2)线段的性质: ．知识要点：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出 ,再 .（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是 ；一种是 .（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：.知识要点：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.（4）线段的延长线：如下图，图①称为延长线段AB，或称为反向延长线段BA；图②称为延长线段BA，或称为反向延长线段AB. 叫做原线段的延长线.知识点02：角1．角的概念及其表示（1）角的定义： 叫做角，这个点叫做角的顶点， 是角的边；此外，角也可以看作 .(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用 表示，二是 的一个大写英文字母表示，三是用 表示.例如下图：知识要点：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.知识要点：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.4.角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2.类似地，还有角的三等分线等.5．余角、补角、对顶角 （1）余角、补角：若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.知识要点：①余角(或补角)是两个角的关系，是 出现的，单独一个角不能称其为 ②一个角的余角(或补角)可以 ，但是它们的 是相同的.③只考虑 ，与 无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．（2）对顶角： ．知识点03：平行与垂直1. 同一平面内的两条直线的位置关系:平行与相交. 平行用符号“∥”表示.知识要点： 叫做相交直线，这个公共点叫做交点.2.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线 ，其中一条直线叫做 ，它们的交点叫 ．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内， 与已知直线垂直．② ．（3）点到直线的距离： ，叫做点到直线的距离．一、选择题（每题2分，共20分）1．（本题2分）（2023春·江苏南通·七年级统考期中）如图，直线相交于点平分．若，则的度数为( ) A． B． C． D．2．（本题2分）（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（本题2分）（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；③若，，点F是线段上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小值为14，其中说法正确的个数有（ ）；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（本题2分）（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）如果两个角的两边分别垂直，而其中一个角的比另一个角少，那么这两个角的度数是（ ）A．和 B．、或、 C．都是 D．、或、5．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，将两个三角尺的直角与顶点O重合在一起，若，OE为的平分线，则的度数为（ ）A．36 B．45 C．60 D．726．（本题2分）（2022秋·七年级单元测试）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的是（ ）①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．A．① B．② C．①②④ D．①②③④7．（本题2分）（2022秋·七年级单元测试）图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（ ）A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，58．（本题2分）（2020秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )A． B． C． D．9．（本题2分）（2021秋·江苏·七年级专题练习）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示∶两条直线相交，三条直线相交，四条直线相交，最多有一个交点，最多有三个交点；最多有6个交点，像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )A．40个 B．45个 C．50个 D．55个10．（本题2分）（2021秋·江苏无锡·七年级校考期中）如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关；④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处．A．①③ B．③④ C．②③ D．②二、填空题（每题2分，共20分）11．（本题2分）（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，直线、相交于点，，．则的度数为 ． 12．（本题2分）（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ．13．（本题2分）（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）一副三角板如图摆放，若，则 °．14．（本题2分）（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，已知线段，点O是线段中点，若点C在线段上，，点P是线段的中点，则线段的长为 ．15．（本题2分）（2023春·江苏扬州·七年级期中）如图，已知，在内部且，下列说法：①如果，则图中有两对互余的角；②如果作平分，则；③如果作平分，在内部，且，则平分；④如果在外部分别作的余角，则；其中正确的有 ．16．（本题2分）（2022秋·江苏南通·七年级校联考期末）如图，，点C是线段延长线上一点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则 ．17．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为 ．18．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，于点O，为内的一条射线，点D在的延长线上，平分，在图中的所有角中，当与互补的角有且只有两个时，则的度数为 ．19．（本题2分）（2023秋·江苏泰州·七年级统考期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．20．（本题2分）（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ．三、解答题（共60分）21．（本题6分）（2023春·江苏南京·七年级统考期中）请结合题意，在横线上填上合适的推理依据．如图，，，求证：． 证明：∵(已知)∴(垂直的定义)∵(已知)∴____________(____________________)∴______(____________________)又∵(已知)∴(____________________)∴(____________________)∴(两直线平行，同位角相等)∴．22．（本题6分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，直线相交于点O，，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．23．（本题8分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点C，D的速度分别是，．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长24．（本题8分）（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在中，，，垂足为，平分． (1)已知，，求的度数；(2)已知，求证：．25．（本题8分）（2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）【阅读材料】：如图1，将线段放在直线上，然后将线段绕点O按如下方式旋转：第1步，从（在上）开始先顺时针旋转锐角至；第2步，从开始继续同向旋转至；第3步，从开始继续旋转至，…．当转到位置时弹回，逆时针向位置旋转；当转到位置时再弹回，继续向位置旋转，…如此反复． 例如：当时， 的位置如图2所示，其中第4步旋转到后弹回，即．【解决问题】：(1)当时，的位置如图3所示．① ， ；②求出的度数．(2)当时, 且，则的值为 ；(3)若在整个旋转过程中， 是第一次经过弹回后而得到的位置，则的范围是 ；（请用“＞”，“＜”，“≥”，“≤”进行表示）26．（本题8分）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为（的值在0到之间，单位：秒）．(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当首次达到时，求的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线垂直射线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．27．（本题8分）（2023春·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考期中）一副三角板（中，，，中，，，）按如图①方式放置，如图②将绕点A按逆时针方向，以每秒5°的速度旋转，设旋转的时间为秒．(1)图①中，______°；(2)在绕点A旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值；(3)在绕点A旋转的过程中，探究与之间的数量关系．28．（本题8分）（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．(1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，，则；(2)【性质应用】如图3，和的平分线交于点E，则与、之间存在何种数量关系．请说明理由；(3)【拓展提高】如图4，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，直接写出的度数（用含的式子表示）﹒ 2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习专题6.5 平面图形的认识（一）（章节复习+能力强化卷）知识点01：直线、射线、线段直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间线段最短．知识要点：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：.知识要点：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.（4）线段的延长线：如下图，图①称为延长线段AB，或称为反向延长线段BA；图②称为延长线段BA，或称为反向延长线段AB. 图中延长的部分叫做原线段的延长线.知识点02：角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：知识要点：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.知识要点：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.4.角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2.类似地，还有角的三等分线等.5．余角、补角、对顶角 （1）余角、补角：若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.知识要点：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．（2）对顶角：对顶角相等．知识点03：平行与垂直1. 同一平面内的两条直线的位置关系:平行与相交. 平行用符号“∥”表示.知识要点：只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.2.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②垂线段最短．（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．一、选择题（每题2分，共20分）1．（本题2分）（2023春·江苏南通·七年级统考期中）如图，直线相交于点平分．若，则的度数为( ) A． B． C． D．【答案】C【分析】由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由平角定义即可求出的度数．【详解】解：平分，，，，，故选：C．【点睛】本题考查垂线，角平分线定义，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键．2．（本题2分）（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据同角的余角相等，得到，根据平角的定义，得到，，进而得到，即可得出结果．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴图中与互补的角有，共3个；故选C．【点睛】本题考查补角的判断．正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握同角的余角相等，互补的两角之和为，是解题的关键．3．（本题2分）（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；③若，，点F是线段上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小值为14，其中说法正确的个数有（ ）；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】按照两个端点确定一条线段即可判断①；根据角的和差计算机可判断②；分两种情况讨论：当点F在线段上时点F到点B、C、D、E的距离之和最小，当点F和E重合时，点F到点B、C、D、E的距离之和最大计算即可判断③．【详解】解：①以B、C、D、E为端点的线段、、、、、共6条，故此说法正确； ②由，，根据图形可以求出，故此说法正确；③如图1，当F不在上时，，如图2当F在上时，，如图3当F与E重合时，，同理当F与B重合时，，∵，，∴当F在的线段上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为，故此说法正确． 故选：D．【点睛】本题主要考查了线段的数量问题，角的和差，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4．（本题2分）（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）如果两个角的两边分别垂直，而其中一个角的比另一个角少，那么这两个角的度数是（ ）A．和 B．、或、 C．都是 D．、或、【答案】B【分析】首先由两个角的两边分别垂直，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角的比另一个角少20°得另一个角为，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．【详解】解：设其中一角为x°，∵其中一个角的比另一个角少20°∴另一个角为（x+20）°，∵两个角的两边分别垂直，∴这两个角相等或互补．①若这两个角相等，如下图，则x=x+20，解得：x=30，∴这两个角的度数是30°和30°；②若这两个角互补， 如下图，则180-x=x+20，解得：x=120，∴这两个角的度数是60°和120°．∴这两个角的度数是30°和30°或60°和120°．故选：B．【点睛】此题考查了角度计算与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．5．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，将两个三角尺的直角与顶点O重合在一起，若，OE为的平分线，则的度数为（ ）A．36 B．45 C．60 D．72【答案】D【分析】根据∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD＝4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE的度数，利用∠DOE＝∠COD﹣∠COE即可解答．【详解】解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∴∠AOB+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠AOD＝4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝36°，∵OE为∠BOC的平分线，∴∠COE∠BOC＝18°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣18°＝72°，故选：D．【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是明确∠AOD+∠BOC＝180°．6．（本题2分）（2022秋·七年级单元测试）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的是（ ）①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．A．① B．② C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．【详解】解：如图1，当时如图2，当时因此，的角度不恒为，则①错误如图1，当时由角平分线的定义得如图2，当时由角平分线的定义得因此，的角度恒为定值，则②正确边与三角板的三边所在直线夹角不可能成如图1，当时，设DE与AB的交点为F，即DE只与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次；DB只与三角板的BC边所在直线夹角成，次数为1次如图2，当时，延长DE交AB于点F，即只有DB与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次，则③错误如图3，作，即平分如图4，作显然不平分，则④错误综上，正确的个数只有②这1个故选：B．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，依据正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论一种情况．7．（本题2分）（2022秋·七年级单元测试）图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（ ）A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，5【答案】B【分析】根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．【详解】，，，，，，，，，，则图中互余的角的对数为4对；，，点C是直线AB上一点，，，，又，，，，则图中互补的角的对数为7对，故选：B．【点睛】本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键．8．（本题2分）（2020秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.【详解】解：∵，分别为的中点，∴，∵分别为的中点，∴，根据规律得到，∴，故选A.【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.9．（本题2分）（2021秋·江苏·七年级专题练习）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示∶两条直线相交，三条直线相交，四条直线相交，最多有一个交点，最多有三个交点；最多有6个交点，像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )A．40个 B．45个 C．50个 D．55个【答案】B【详解】解∶第四条直线最多和前三条直线都相交而增加3个交点，第五条直线最多和前四条直线都相交而增加4个交点……第十条直线最多和前9条直线都相交而增加9个交点，所以10条直线相交、最多交点的个数为∶1+2+3+……+9=45．故选∶B【点睛】本题考查了直线、射线、线段． 结合图形，找规律解答．10．（本题2分）（2021秋·江苏无锡·七年级校考期中）如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关；④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处．A．①③ B．③④ C．②③ D．②【答案】A【分析】可结合题意及图形，逐一对四个选项本身进行分析，确定对错即可．【详解】解：①车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，通过测量发现车站的位置设在C点好于B点，故原来的结论正确，符合题意；②车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果不一样，故原来的结论错误，不符合题意；③工厂到车站的距离是线段的长，指的是两点之间的距离，和各段的弯曲的小公路无关，故原来的结论正确，符合题意；④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B处，车站的位置设在BC段公路的最中间处不好于设在点C处，故原来的结论错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了两点之间线段最短的问题，解题关键是具有较强的理解能力及分析能力，实际这道题根本不需要计算．二、填空题（每题2分，共20分）11．（本题2分）（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，直线、相交于点，，．则的度数为 ． 【答案】度/【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．【详解】解：，，，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了对顶角，解题的关键是掌握对顶角相等．12．（本题2分）（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ．【答案】【分析】先分别求出、、的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案．【详解】解：因为线段，是的中点，所以；因为是的中点，所以；因为是的中点，所以；，所以，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．13．（本题2分）（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）一副三角板如图摆放，若，则 °．【答案】【分析】设，则，利用和，构造一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：设，则，∵，∴，∵，∴，∴，解得，∴故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握三角板的意义，构造一元一次方程是解题的关键．14．（本题2分）（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，已知线段，点O是线段中点，若点C在线段上，，点P是线段的中点，则线段的长为 ．【答案】5【分析】列出方程，求得，，根据中点的意义求得和的长，据此即可求解．【详解】解：∵，，∴，即，∴，，∵点O是线段中点，∴，∵点P是线段的中点，∴，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了线段中点的定义，解一元一次方程，熟悉线段的加减运算是解题的关键．15．（本题2分）（2023春·江苏扬州·七年级期中）如图，已知，在内部且，下列说法：①如果，则图中有两对互余的角；②如果作平分，则；③如果作平分，在内部，且，则平分；④如果在外部分别作的余角，则；其中正确的有 ．【答案】②④/④②【分析】先求出，再根据互余的角的定义即可判断①错误；设，根据角平分线定义以及角的和差定义求出，即可判断②正确；设，则，根据角平分线的定义得到．求得，得到不一定等于，故③错误；设，根据角的和差定义可得，，即可判断④正确．【详解】解：，，．①，，，，，，，，图中有4对互余的角，故①错误；②设，则，．平分，，，，故②正确；③设，则，平分，．，，不一定等于，即不是的平分线，故③错误；④设，则，，，，，，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线定义以及角的计算，设，用含的代数式表示相关角度是解题的关键．16．（本题2分）（2022秋·江苏南通·七年级校联考期末）如图，，点C是线段延长线上一点，在线段上取一点N，使，点M为线段的中点，则 ．【答案】【分析】根据题意设，则，由点M为线段的中点，表示出的长度，进而表示出的长度，然后代入求解即可．【详解】解：设，则，，∴，∵点M为线段的中点，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系．17．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为 ．【答案】4或16【分析】根据题意分两种情况画图解答即可．【详解】解：①如图，，，点是折线的“折中点”，点为线段的中点，；②如图，，，点是折线的“折中点”，点为线段的中点，．综上所述，的长为4或16．故答案为：4或16．【点睛】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是根据题意画出两个图形进行解答．18．（本题2分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，于点O，为内的一条射线，点D在的延长线上，平分，在图中的所有角中，当与互补的角有且只有两个时，则的度数为 ．【答案】【分析】由图形可知，与互补，要求互补的角有且只有两个，是的补角，得到，进而得到，再利用平分，得到，求得，即可得到的度数．【详解】解：，，，与互补，与互补的角有且只有两个，是的补角，，，，平分，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查补角的定义，角平分线的定义，培养几何直观的能力，得出与互补是解题前提．19．（本题2分）（2023秋·江苏泰州·七年级统考期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．【答案】或【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒；∴运动的时间相同；设运动时间为秒，则：，∵，∴，当时：，∴，，∴，∴，∴，即：；当，在上方时：如图，，∴，，∴，∴，∴，即：；当，在下方时：如图2，，∴，，∴，∴，∴，即：；综上：与之间的数量关系为或；故答案为：或．【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键．20．（本题2分）（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ．【答案】或2或【分析】设三条线段的长分别是，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可．【详解】∵三条线段的长度之比为，∴设三条线段的长分别是，∵到5的距离是6，∴，解得，∴三条线段的长分别为，，3，如图所示：①当时，折痕点表示的数是；②当时，折痕点表示的数是；③当时，折痕点表示的数是；综上所述：折痕处对应的点表示的数可能是或2或．故答案为：或2或【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．三、解答题（共60分）21．（本题6分）（2023春·江苏南京·七年级统考期中）请结合题意，在横线上填上合适的推理依据．如图，，，求证：． 证明：∵(已知)∴(垂直的定义)∵(已知)∴____________(____________________)∴______(____________________)又∵(已知)∴(____________________)∴(____________________)∴(两直线平行，同位角相等)∴．【答案】 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 等量代换 同旁内角互补，两直线平行【分析】根据垂直的定义、平行线的判定与性质、等量代换等进行填空即可．【详解】∵(已知)∴(垂直的定义)∵(已知)∴ (同位角相等，两直线平行)∴(两直线平行，内错角相等)又∵(已知)∴(等量代换)∴(同旁内角互补，两直线平行)∴(两直线平行，同位角相等)∴．【点睛】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质、等量代换等知识点，解题的关键是熟知并能灵活运用这些知识点．22．（本题6分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，直线相交于点O，，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平分，可得，即可求解；（2）根据，可设，则，再由，可求出x的值，然后根据，即可求解．【详解】（1）解：∵平分，， ∴，∴．（2）解：∵，∴可设，则，∵，∴，∴．即，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，对顶角相等，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．23．（本题8分）（2022秋·江苏·七年级专题练习）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点C，D的速度分别是，．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长【答案】(1)①12；②(2)【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得；②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得；（2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得．【详解】（1）解：①依题意得：，，点仍在线段上，∴，故答案为：；②设运动时间为，则，∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点，∴，∴，故答案为：．（2）解：设运动时间为，则，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键．24．（本题8分）（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在中，，，垂足为，平分． (1)已知，，求的度数；(2)已知，求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理，角平分线以及垂直的定义进行计算即可；（2）利用角平分线的定义，三角形内角和定理以及等量代换即可得出结论．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵平分．∴，又∵，∴，∵，∴，∴；（2）证明：由可得， ，，．【点睛】本题考查角平分线，三角形内角和定理，垂直的定义，掌握角平分线的定义，垂直的定义以及三角形内角和是是正确解答的前提．25．（本题8分）（2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）【阅读材料】：如图1，将线段放在直线上，然后将线段绕点O按如下方式旋转：第1步，从（在上）开始先顺时针旋转锐角至；第2步，从开始继续同向旋转至；第3步，从开始继续旋转至，…．当转到位置时弹回，逆时针向位置旋转；当转到位置时再弹回，继续向位置旋转，…如此反复． 例如：当时， 的位置如图2所示，其中第4步旋转到后弹回，即．【解决问题】：(1)当时，的位置如图3所示．① ， ；②求出的度数．(2)当时, 且，则的值为 ；(3)若在整个旋转过程中， 是第一次经过弹回后而得到的位置，则的范围是 ；（请用“＞”，“＜”，“≥”，“≤”进行表示）【答案】(1)①；；②(2)；；(3)【分析】（1）①当时，利用，即可得到答案，②先求出，即可得到，（2）分三种情况讨论即可得到答案；（3）根据在整个旋转过程中，是第一次经过弹回后而得到的位置，分情况讨论即可得到的范围．【详解】（1）解：①当时，，，故答案为：；；②∵，∴，故答案为：（2）①当都不从弹回时，则，∴， ②当在右边时，则，解得③当在左边时，则，解得综上可知，的值为或或，故答案为：；；（3）当在或的右边时，则，解得，当在与 之间时，则，解得，当在或者与之间时，则，解得，当在或或与之间时，则，解得，若在整个旋转过程中， 是第一次经过弹回后而得到的位置，则的范围是，故答案为：【点睛】此题考查了角度的计算，理解题意正确列式是解题的关键．26．（本题8分）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为（的值在0到之间，单位：秒）．(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当首次达到时，求的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线垂直射线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，的值为15秒或45秒．【分析】（1）利用旋转角等于速度乘以时间得出时间与角度关系，再进行共顶点角度计算即可；（2）用时间结合速度求出时间与角度的关系，再利用列方程求出的值；（3）根据时间范围，大致推算的可能位置情况，再进行计算和验证即可．【详解】（1）解：，，，；（2）解：首次到达故得，（秒）；（3）解：首次到达时，，（秒）；第二次到达时，如图：，（秒）；秒，故不再有其他垂直的情况，综上所述的值为15秒或45秒．【点睛】本题考查共顶点角度的计算，结合旋转速度，明确位置关系和用时间表示角度是解题的关键．27．（本题8分）（2023春·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考期中）一副三角板（中，，，中，，，）按如图①方式放置，如图②将绕点A按逆时针方向，以每秒5°的速度旋转，设旋转的时间为秒．(1)图①中，______°；(2)在绕点A旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值；(3)在绕点A旋转的过程中，探究与之间的数量关系．【答案】(1)15(2)当与的一边平行时，或15或27(3)【分析】（1）根据角的和差关系可进行求解；（2）由题意可知，然后可分当时，当时，当时，进而分类求解即可；（3）根据题意可分当在内部时和当在外部时，进而分类求解即可．【详解】（1）解：如图①，∵，，∴；故答案为15；（2）解：由题意得：，，当时，如图所示：∴，解得：；当时，如图所示：∴，∴，解得：；当时，如图所示：∴D、A、C三点在同一直线上，∴，解得：；综上所述：当与的一边平行时，或15或27；（3）解：当在内部时，如图，∵，∴；当在外部时，如图，∵∴；综上所述：与之间的数量关系为．【点睛】本题主要考查角的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．28．（本题8分）（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．(1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，，则；(2)【性质应用】如图3，和的平分线交于点E，则与、之间存在何种数量关系．请说明理由；(3)【拓展提高】如图4，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，直接写出的度数（用含的式子表示）﹒【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）利用对顶角相等、三角形外角等于不相等两个内角的和即可求解；（2）利用角平分线的性质和三角形外角的性质即可求解；（3）利用角平分线的性质和三角形外角的性质即可求解【详解】（1）解：∵与是对顶三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵ ∴；（2）解：如图，，，∴，∵、分别是、的平分线，∴，.∴，∴；（3）解：∵，∴，∵、是的角平分线，且是和的角平分线，∴，，∵，∴.【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题关键． ∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β＝90°90°<∠β<180°∠β＝180°∠β＝360°∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β＝90°90°<∠β<180°∠β＝180°∠β＝360°
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