专题16 极值点偏移问题（原卷及解析版）

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【解析】由题意，函数的定义域为，且，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
若，则必有，所以，而，
令，
则，
所以函数在为减函数，所以，
所以，即，所以，所以.
2．已知函数有两个零点，.
（1）求证：；
（2）求证：.
【解析】（1）由题意，函数的定义域为，且，
①当时，，所以函数在区间上是增函数，不可能有两个零点；
②当时，当时，；当时，，
所以在区间上递减，在区间上递增.所以的最小值为，
所以，即，解得.
（2）由题意，要证，只要证，由（1）易知，即，
而在区间上是增函数，所以只要证明，
因为，即证，设函数，而，
当时，，
即在区间上是减函数，所以，
而，所以，即，所以.
3．已知函数有两个零点.
（1）求a的取值范围；
（2）设x1，x2是的两个零点，证明：.
【解析】（1）．
设，则，只有一个零点．
设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，取满足且，则
，故存在两个零点．
设，由得或．
若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．
综上，的取值范围为．
（2）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．
由于，而，
所以．
设，则．
所以当时，，而，故当时，．
从而，故．
4．已知
（1）若，求的最大值；
（2）若有两个不同的极值点，，证明:.
【解析】（1）当时，，
所以，则在上是单调递减函数，且有，
当时，，即为上的增函数，
当时，，即为上的减函数，所以.
（2）证明：由题意知：由，
则，即为方程的两个不同的正根，
故而需满足：，解得，
所以
令，，
令，所以；
则为上的减函数，且，
所以当时，，即为上的增函数；
当时，，即为上的减函数，
所以，所以，证毕.
5．已知函数.（，，e是自然对数的底数）
（1）若，当时，，求实数a的取值范围；
（2）若，存在两个极值点，，求证：.
【解析】（1）当，则，
当时，，在，上单调递增，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则，不成立，
实数的取值范围为．
（2）证明：当时，，函数存在两个极值点，
，即，由题意知，，为方程的两根，故，
不妨设，则，，
由（1）知，当，即（当且仅当时取等号），
当时，恒有，
，
又，
令，则，
函数在上单调递增，（1），从而，
综上可得：．
6．已知函数.
（1）若存在单调减区间，求a的取值范围；
（2）若为的两个不同极值点，证明：.
【解析】（1）函数定义域为，根据题意知有解，
即有解，令，
且当时，，单调递增；时，单调递减
；
（2）由是的不同极值点，知是两根(设)
即，①②联立可得：③
要证，即证，即
由③可得
令，问题转化为证明成立(*)
在上单调递增，，(*)成立，得证.
7．已知函数.
（1）当时，证明：有唯一零点；
（2）若函数有两个极值点，（），求证：.
【解析】（1）（）
∵，，所以在，上递增，在递减，
又，时，，
所以有唯一零点；
（2）（），.
若有两个极值点，（），
则方程的判别式且，，因而，
又，∴，即，
设，其中，
由得，由于，
∴在上单调递增，在上单调递减，
即的最大值为，
从而成立.
8．已知函数（）.
（1）若是定义域上的增函数，求a的取值范围；
（2）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围.
【解析】（1）的定义域为，，
∵在定义域内单调递增，∴，即对恒成立.
则恒成立. ∴，∵，∴.
所以，a的取值范围是.
（2）设方程，即得两根为，，且.
由且，得，
∵，， ∴， ∴.
，
∵，∴代入得，
令，则，得，，，
∴而且上递减，从而，
即， ∴.
9．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，求证：．
【解析】（1）的定义域为，．
当时，，则在上是增函数．
当时，；，
所以在上是减函数，在上是增函数．
综上，当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数．
（2）若函数有两个零，点，，根据（1），可得．
不妨设，由，得
两式相减，得，解得，
要证明，即证，即证，
设，则．
则，则，
所以在上为增函数，从而，即成立，
因此，成立．即证.
10．已知函数.
（1）讨论的单调性
（2）若恰有两个不同的零点，，证明：.
【解析】（1）因为，所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，令，得；令，得，
则在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）证明：因为，是的两个零点.所以，，所以，
则，
要证，即证.
不妨设，则等价于.
令，则，设，所以，
所以在上单调递增，则，即对任意恒成立.
故.
11．已知函数.
（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的单调区间；
（2）当时，若，且，证明：.
【解析】（1），，
则，，
令，得或；令，得；
所以的单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）证明：，，
令，则，所以在上为增函数；
，，
与同号，
不妨设，设，
则，
，，，
在上为增函数，，
，，
又在上为增函数，，即.
12．已知函数．
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）若函数有两个不同的零点、，证明：．
【解析】（1），定义域为，，，.
因此，函数的图象在处的切线方程为，即；
（2）令，得，由题意可得，
两式相加得，两式相减得，
设，可得，，
要证，即证，即，
令，即证.
构造函数，其中，，
所以，函数在区间上单调递增.
当时，，所以，.因此，.
13．已知函数．
（1）当时，判断函数是否有极值，并说明理由；
（2）若函数有两个极值点，，且，证明：．
【解析】（1）当时，，，
令，则，
由，得，由，得，
所以在内单调递增，在内单调递减，
所以时，取得最大值为，所以，
所以在内单调递减，所以函数没有极值.
（2）因为，所以有两个不同的零点，所以，，所以，
因为，所以，要证，
等价于证明，
等价于证明，等价于证明，
等价于证明，因为，所以，
所以等价于证明，设，即证，
设，则，当时， ，
所以在内单调递减，所以，即，
所以.
14．已知函数在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求的取值范围；
（2）设两个极值点分别为：，，证：.
【解析】（1）由题意可知，的定义域为，且，令，
则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在区间内至少有两个不同的零点；
由可知，当时，恒成立，
即函数在上单调，不符合题意，舍去.
当时，由得，，即函数在区间上单调递增；
由得，，即函数在区间上单调递减；
故要满足题意，必有，解得.
（2）证明：由（1）可知，，故要证，
只需证明，即证，不妨设，即证，
构造函数，其中，由，
所以函数在区间内单调递减，所以得证，
即证.
15．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程，并证明：；
（2）当时，方程有两个不同的实数根，证明：.
【解析】（1），所以，，即切线方程：.
下证：，令
因为：，显然在单调递增，，
所以易得在递减，递增，所以，所以.
（2），则为方程的两根，
不妨设，显然在时单调递增，
由，，所以存在，使，
当，，递减，，，递增，
由（1）得，，所以：，∴，
要证：，需证：，即证：，
因为：，所以，即证：，
即：，
令，
，，
显然在单调递增，且，
因为在单调递增，所以，即不等式成立.
16．已知函数，其中a为正实数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，，求证：.
【解析】（1）因为函数，
所以，函数的定义域为，令，
①若，即时，则，此时的单调减区间为；
②若，即时，令，得，
当或时，，
当时，，
此时的单调减区间为，，单调增区间为.
（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，，且，.
因为，
，
要证，只需证.构造函数，
则，
在上单调递增，又，，且在定义域上不间断，
由零点存在定理，可知在上唯一实根，且.
则在上递减，上递增，所以的最小值为
因为，当时，，则，
所以恒成立.所以，所以，得证.
17．已知有两个零点
(1)求a的取值范围
(2)设是的两个零点,求证：
【解析】（1），当时，，此时在单调递增，
至多有一个零点.当时，令，解得，
当时，，单调递减，当，，单调递增，
故当时函数取最小值当时，，即，
所以至多有一个零点.当时，，即
因为，所以在有一个零点；
因为，所以，，
由于，所以在有一个零点.
综上，的取值范围是.
（2）不妨设，由（1）知，，.
构造函数， 则

因为，所以，在单调递减.
所以当时，恒有，即
因为，所以
于是
又，且在单调递增，
所以，即
18．设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；
（3）若方程有两个不相等的实数根，，求证：．
【解析】（1）．．
当时，，函数在上单调递增，即的单调递增区间为．
当时，由得；由，解得．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）可得，若函数有两个零点，则，且的最小值，即．
，．令，可知在上为增函数，且（2），
（3），所以存在零点，，
当时，（a）；当时，（a）．所以满足条件的最小正整数．
又当时，（3），（1），时，由两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数的值为3．
（3），是方程得两个不等实数根，由（1）可知：．
不妨设．则，．
两式相减得，
化为．，当时，，当时，．
故只要证明即可，即证明，即证明，
设，令，则．
，．在上是增函数，又在处连续且（1），
当时，总成立．故命题得证