专题19 导数之凹凸反转问题（原卷及解析版）

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（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
【解析】（1）由，得恒成立，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以，即，故的取值范围是；
（2）有（1）知时，有，所以.
＝ 1 \* GB3 ①要证，可证，只需证，
易证，所以；
＝ 2 \* GB3 ②要证，可证，
易证，由于，所以，所以，
综上所述，当时，证明：.
2．已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求证：时，；
（2）求证：．
【解析】（1）函数的定义域为，，
又，，所以该切线方程为．
设，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以，即在上单调递增，
所以，故时，；
（2）由（1）知：当时，.
令，则，
所以，
所以，
化简可得，得证.
3．设函数，．
（1）判断函数零点的个数，并说明理由；
（2）记，讨论的单调性；
（3）若在恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）由题意得：，，故在递增；
又（1），（e），故函数在内存在零点，
的零点个数是1；
（2），，
当时，，在递减，
当时，由，解得：（舍取负值），
时，，递减，，时，，递增，
综上，时，在递减，时，在递减，在，递增；
（3）由题意得：，问题等价于在恒成立，
设，若记，则，
时，，在递增，（1），即，
若，由于，故，故，
即当在恒成立时，必有，当时，设，
①若，即时，由（2）得，递减，，，递增，
故（1），而，即存在，使得，
故时，不恒成立；
②若，即时，设，，
由于，且，即，故，
因此，故在递增，
故（1），即时，在恒成立，
综上，，时，在恒成立．
4．已知函数，.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：.
【解析】（1）等价于，即，
记，则，
当时，，在上单调递增，由，，
所以，即不恒成立；
当时，时，，单调递增，不恒成立；
当时，，，在上单调递减，，
所以，即恒成立；
故在上恒成立，实数的取值范围是；
（2）当时，在上成立，即，
令，则，
所以
，
所以
5．设函数，证明．
【解析】证明： ，从而等价于 ．
设函数，则，所以当时，；
当，时，．故在上单调递减，在，上单调递增，
从而在上的最小值为．设函数，则．
所以当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减，
从而在上的最大值为（1）；因为（1），
所以当时，，即．
6．设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
【解析】解：（1）当时，，
当时，；当时，．
在上单调递增，在上单调递减；
在处取得极大值（2），无极小值；
（2）当时，，下面证，即证，
设，则，
在上，，是减函数；在上，，是增函数．
所以，设，则，
在上，，是增函数；在上，，是减函数，
所以，
所以，即，所以，即，
即在上恒成立．
7．已知函数在处的切线方程为.
（1）求；
（2）若方程有两个实数根，且，证明：.
【解析】（1）；
（2）由（1）可知， ，，
设在处的切线方程为，易得，
令， ， 则，
当时，，
当时，设，则，
故函数在上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，即，所以，
设的根为，则，
又函数单调递减，故，故，
再者，设在处的切线方程为，易得，
令，，
当时，，
当时，令，则，
故函数在上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，所以，设的根为，则，
又函数单调递增，故，故，
又，所.
8．已知函数．
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）当时，证明：．
【解析】解：（1）时，，，
注意到与都是增函数，于是在上递增，
又，故时，；故时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值1，无极大值．（6分）
（2）方法一：当，时，，，
，，
故只需证明当时，．当时，在上单增，
又，，故在上有唯一零点．
当时，；当，时，．
从而时，取得最小值．由得：，，
故，
综上，当时，．
方法二：先证不等式与，
设，则，可得在上单减，在上单增，
，即；设，则，
可得在上单增，在上单减，（1），即．
于是，当时，，
注意到以上三个不等号的取等条件分别为：、、，它们无法同时取等，
所以，当时，，即．
9．设函数，，其中，，是自然对数的底数．
（1）设，当时，求的最小值；
（2）证明：当，时，总存在两条直线与曲线与都相切；
（3）当时，证明：．
【解析】解：（1），，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故时，取得最小值；
（2），在处的切线方程为，
，在点处的切线方程为，
由题意得，则，
令，则，
由（1）得时，单调递减，且，
当时，单调递增，又（1），时，，
当时，，单调递减；当时，，单调递减，
由（1）得，
又，
（1），所以函数在和内各有一个零点，
故当时，总存在两条直线与曲线与都相切；
（3）证明：，
令，以下证明当时，的最小值大于0，
求导的，
①当时，，（1），
②当时，，令，
，又（2），
，又（2）
取且使，即，则，
（2），故存在唯一零点，
即有唯一的极值点，又，
且，即，故，
，故是上的减函数，（2），所以，
综上所求，当时，．
10．设函数．
（1）当时，求函数的极值点；
（2）当时，证明：在上恒成立．
【解析】解：（1）由题意得，
当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；
所以是的极大值点，无极小值点
（2）证明：令，则，
令，则因为，
所以函数在上单调递增，在上最多有一个零点，
又因为，（1），所以存在唯一的使得（c），
且当时，；当时，，
即当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，从而（c），
由（c）得即，两边取对数得：，
所以（c），（c），从而证得．
11．函数的图像与直线相切．
（1）求的值；
（2）证明：对于任意正整数，.
【解析】（1）．设直线与曲线相切于点．依题意得：
，整理得，，……（*）
令，．
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减．
当时，取得最小值，所以，即.
故方程（*）的解为，此时．
（2） ＝ 1 \* GB3 ①要证明，即证，
只需证.
由（1）知，，即，
因此，，…，．
上式累加得：，得证；
＝ 2 \* GB3 ②要证明，即证，
只需证.
令，则．
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
当时，取得最大值，即，．
由得：，，…，．
上式累加得：，得证；
综上，.