2024年江苏省启东中学创新人才培养实验班自主招生考试数学模拟试卷

这是一份2024年江苏省启东中学创新人才培养实验班自主招生考试数学模拟试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，考试试卷120分钟）
一、选择题（本大题共6题，每小题5分，共30分）
1.设a1=1+112+122，a2=1+122+132，a3=1+132+142，……，an=1+1n2+1(n+1)2．其中n为正整数，则a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2021的值是（ ）
A．202020192020B．202020202021C．202120202021D．202120212022
2.如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A. 5B. 4.5C. 4D. 3.5
3.如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．+B．3C．2+D．+
4.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．4
5.如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6.已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. 或 D. 或
二、填空题（本大题共6题，每小题5分，共30分）
7.第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行.其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人.三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”.某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念.甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 .
8.如图，将两个边长分别为和正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，、则阴影部分的面积为 ．
9.如图，已知在中，，，将绕点A旋转，点B、C分别落在点、处，如果，连接结交边于点D，那么的值为______．
10.如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则PA+PB的最小值为______．

11.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是______．
12.人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．a＝，b＝，记S1＝+，S2＝+，…，S100＝+，则S1+S2+…+S100_______．
三、解答题（本大题共6题，共30分）
13.（本小题14分）
若、、为正有理数，
证明：（1）若为有理数，则、为有理数.
（2）若为有理数，则、、为有理数.

14.（本小题14分）
若直角三角形的边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，求此直角三角形的三边长.
15.（本小题15分）
如图，以为直径的与相切于点A，点C在左侧圆弧上，弦交于点D，连接．点A关于的对称点为E，直线交于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）当点E在上，连接交于点P，若，求的值；
（3）当点E在线段上，，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长．
16.（本小题15分）
如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点．
（1）求证：；
（2）连接．
①当时，求的值；
②如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值．
17.（本小题16分）
以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4．
（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝22，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）
（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：
①BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：
②连线：
观察思考
（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x＝____时，y最大；
（Ⅳ）进一步精想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0），则BC＝____时，AC+BC最大．
推理证明
（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．
问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；
问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ） ；（Ⅳ） BC= ；
问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；
问题4，图②中折线B﹣﹣E﹣﹣F﹣﹣G﹣﹣A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A，B间的距离是4厘米，AG＝BE＝1厘米．∠E＝∠F＝∠G＝90°．平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
18.（本小题16分）
若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1.【答案】D
【分析】根据题意，先求出an=1+1n(n+1)，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵n为正整数，
∴an=1+1n2+1(n+1)2
＝n2•(n+1)2+(n+1)2+n2n2(n+1)2
＝[n(n+1)]2+2n(n+1)+1n2(n+1)2
＝(n2+n+1)2n(n+1)
＝n2+n+1n(n+1)
＝1+1n(n+1)；
∴a1+a2+a3+⋯+a2021
＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4）+…+（1+12021×2022）
＝2021+1﹣12+12−13+13−14+⋯+12021−12022
＝2021+1﹣12022
＝202120212022．
故选：D．
2.【答案】C
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题．
【详解】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM，
∴∠ICM=90°，
∴CM==8，
∵AI=2CD=10，
∴AI=IM，
∵AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE=CM=4，
故选：C．
3.【答案】A
【解答】解：∵一次函数y＝x+的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣，
则A（﹣，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB＝＝2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC＝＝x，
∵旋转，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD＝＝x，
又BD＝AB+AD＝2+x，
∴2+x＝x，
解得：x＝+1，
∴AC＝x＝（+1）＝，
故选：A．
4.【答案】C
【分析】根据三角形OAB是等腰直角三角形，当OB最小时，OA最小，再根据两点间的距离公式解答即可．
【解析】∵三角形OAB是等腰直角三角形，
∴当OB最小时，OA最小，
设A点坐标为（a，），
∴OA＝，
∵≥0，
即：﹣4≥0，
∴≥4，
∴当a2＝时，OA有最小值，
解得a1＝，a2＝﹣（舍去），
∴A点坐标为（，），
∴OA＝2，
∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，
∴OB＝OA＝2．
故选：C．
5.【答案】D
【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明△GBH∽△EDC，得到，即，利用△HEC是等腰直角三角形，求出，再证明△HGB∽△HDF即可求出EF＝3可知③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，求出，再证明∠DEC＝∠EFC，即可知④正确．
【解析】∵△EDC旋转得到△HBC，
∴∠EDC＝∠HBC，
∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，
∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EDC＝135°，故①正确；
∵△EDC旋转得到△HBC，
∴EC＝HC，∠ECH＝90°，
∴∠HEC＝45°，
∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ECD＝∠ECF，
∴△EFC∽△DEC，
∴，
∴EC2＝CD•CF，故②正确；
设正方形边长为a，
∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，
∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，
∵∠GBH＝∠EDC＝135°，
∴△GBH∽△EDC，
∴，即，
∵△HEC是等腰直角三角形，
∴，
∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，
∴△HBG∽△HDF，
∴，即，解得：EF＝3，
∵HG＝3，
∴HG＝EF，故③正确；
过点E作EM⊥FD交FD于点M，
∴∠EDM＝45°，
∵ED＝HB＝2，
∴，
∵EF＝3，
∴，
∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝∠EFC，
∴，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D．
6.【答案】B
【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴，
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴，
∴解得；
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴当时，，
∴解得，
∴，
∴综上所述，
当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．
故选：B．
二、填空题
7.【答案】12，
【详解】先将三个吉祥物进行全排列，则有种；
再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，所以有种，
所以共有种不同的站法，
故：12.
8.【答案】20，
【详解】
，
．
，，
．
故：阴影部分的面积为20．
9.【答案】
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥，如图所示，由题意易得，，，
进而可证，则有，设，则有，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：由题意可作如图所示：
过点D作DE⊥，
∵∠C=60°，∠B=45°，
∴∠CAB=75°，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
10.【答案】
【解析】
【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图所示，

延长，
依题意
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
则为的中点
如图所示，

设的中点分别为，
则
∴当点在上运动时，在上运动，
当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，
∴到的距离相等，
则，
此时
此时和的边长都为2，则最小，
∴，
∴
∴.
11.【答案】
【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，和至少有一个交点，
令，整理得：，
则，解得，
，
∴，
∴或
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综上，c的取值范围是，
12.【答案】5050.
【分析】：利用分式的加减法则分别可求S1＝1，S2＝2，S100＝100，…，利用规律求解即可．
【解析】∵a＝，b＝，
∴ab＝×＝1，
∵S1＝+＝＝1，
S2＝+＝＝2，
…，
S100＝+＝＝100，
∴S1+S2+…+S100＝1+2+…+100＝5050，
故答案为：5050．
三、解答题
13.【解析】（1）设(为正有理数)
∴
∴
∴
∴，为有理数.
（2）设，则
∴
∴
∴.
把看成（1）中的，看成（1）中的，
由（1）知为有理数，为有理数，为有理数
∵
∴为有理数 由（1）知、为有理数
∴、、为有理数.
14.【解析】
（1）若，则，得或
当，则，所以，解得
当，则，所以等式不成立；
（2）若，则不是正整数，与已知矛盾；
（3）若，则，得
∴ ∴不可能是正整数，舍
综上可得：，，此时直角三角形的第三边长为或.
15.【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）设CD与AB相交于点M，由与相切于点A，得到，由，得到，进而得到，由平行线的性质推导得，，，最后由点A关于的对称点为E得到即可证明．
（2）过F点作于点K，设AB与CD交于点N，连接DF，证明得到，再证明得到；最后根据及得到和，最后根据平行线分线段成比例求解．
（3）分情况进行讨论．
【小问1详解】
证明：如图，设CD与AB相交于点M，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：过F点作于点K，设AB与CD交于点N，连接DF，如下图所示：
由同弧所对的圆周角相等可知：，
∵为的直径，且，由垂径定理可知：，
∴，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴，即，
∴，
由同弧所对的圆周角相等可知：，且，
∴，
∴，
∵，AB与CD交于点N，
∴．
∵，，
∴，
∴，设KE=2x，EN=5x，
∵点A关于的对称点为E，
∴AN=EN=5x，AE=AN+NE=10x，AK=AE+KE=12x，
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：分类讨论如下：
情况一：当E在线段AO上时，如下图1所示，设AB与CD交于点N，连接BC，此时，
设AN=NE=x，则AE=2x，OE=OA-AE=1-2x，
∵，
∴，
∴．
∵为的直径，为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，，，
∴，即，化简解得，
即．
情况二：当E在线段AO上时，如下图2所示，此时，
设AN=NE=x，则AE=2x，OE=OA-AE=1-2x，
由情况一中可知，．
∵，
∴，
∵（2）中已证，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
在中，
∵，，，，
∴，解得，
∵，
∴，故，
∴．
16.【答案】（1）证明见解析；
（2）；或．
【解析】
【分析】（）设，则，根据等腰三角形的性质和角度和差即可求解；
（）过作于点，根据正方形的性质证明，得出，从而可证明是的平分线，通过角平分线的性质和等面积法即可求解；
分当时和当时两种情况讨论即可．
【小问1详解】
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
设，则，
∴，，
∴；
【小问2详解】
如图，过作于点，则，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即是的平分线，
∴，
∴，
当时，如图，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（）得，则，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
当时，如图，过作于点，

∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∵，
∴，
综上可知：的正切值为或．
17.【分析】问题1：利用那地方解决问题即可．
问题2：利用图象法解决问题即可．
问题3：设BC＝x，AC﹣BC＝y，根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．
问题4：延长AM交EF的延长线于C，过点A作AH⊥EF于H，
过点B作BK⊥GF于K交AH于Q．证明FN+FM＝EF+FG﹣EN﹣GM＝BK+AH−33−3=BQ+AQ+KQ+QH−433=BQ+AQ+2−433，求出BQ+AQ的最大值即可解决问题．
【解析】问题1：函数图象如图所示：
问题2：（Ⅲ）观察图象可知，x＝2时，y有最大值．
（Ⅳ）猜想：BC=2a．
故答案为：2，BC=2a．
问题3：设BC＝x，AC﹣BC＝y，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°
∴AC=AB2−BC2=4a2−x2，
∴y＝x+4a2−x2，
∴y﹣x=4a2−x2，
∴y2﹣2xy+x2＝4a2﹣x2，
∴2x2﹣2xy+y2﹣4a2＝0，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴b2﹣4ac＝4y2﹣4×2×（y2﹣4a2）≥0，
∴y2≤8a2，
∵y＞0，a＞0，
∴y≤22a，
当y＝22a时，2x2﹣42ax+4a2＝0
∴（2x﹣2a）2＝0，
∴x1＝x2=2a，
∴当BC=2a时，y有最大值．
问题4：延长AM交EF的延长线于C，过点A作AH⊥EF于H，过点B作BK⊥GF于K交AH于Q．
在Rt△BNE中，∠E＝90°，∠BNE＝60°，BE＝1cm，
∴tan∠BNE=BEEN，
∴NE=33（cm），
∵AM∥BN，
∴∠C＝60°，
∵∠GFE＝90°，
∴∠CMF＝30°，
∴∠AMG＝30°，
∵∠G＝90°，AG＝1cm，∠AMG＝30°，
∴在Rt△AGM中，tan∠AMG=AGGM，
∴GM=3（cm），
∵∠G＝∠GFH＝90°，∠AHF＝90°，
∴四边形AGFH为矩形，
∴AH＝FG，
∵∠GFH＝∠E＝90°，∠BKF＝90°
∴四边形BKFE是矩形，
∴BK＝FE，
∵FN+FM＝EF+FG﹣EN﹣GM＝BK+AH−33−3=BQ+AQ+KQ+QH−433=BQ+AQ+2−433，
在Rt△ABQ中，AB＝4cm，
由问题3可知，当BQ＝AQ＝22cm时，AQ+BQ的值最大，
∴BQ＝AQ＝22时，FN+FM的最大值为（42+2−433）cm．
18.【分析】（1）①由题意求出M＝6066，N＝2022，再由定义可求h的值；
②分两种情况讨论：②当k＞0时，M＝kt+k+b，N＝kt﹣k+b，h＝k；当k＜0时，M＝kt﹣k+b，有N＝kt+k+b，h＝﹣k；
（2）由题意t﹣≥1，M＝，N＝，则h＝，所以h有最大值；
（3）分四种情况讨论：①当2≤t﹣时，M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝t﹣2；②当t+≤2时，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝2﹣t，；③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2；④当t＜2≤t+，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2，画出h的函数图象，结合图象可得＝4+k，解得k＝﹣．
【解析】（1）①∵t＝1，
∴≤x≤，
∵函数y＝4044x，
∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，
∴h＝2022；
②当k＞0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b，有最小值N＝kt﹣k+b，
∴h＝k；
当k＜0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b，有最小值N＝kt+k+b，
∴h＝﹣k；
综上所述：h＝|k|；
（2）t﹣≥1，即t≥，
函数y＝（x≥1）最大值M＝，最小值N＝，
∴h＝，
当t＝时，h有最大值；
（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，
∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，
①当2≤t﹣时，即t≥，
此时M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，
∴h＝t﹣2，
此时h的最小值为；
②当t+≤2时，即t≤，
此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，
∴h＝2﹣t，
此时h的最小值为；
③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，
此时N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝（t﹣）2，
④当t＜2≤t+，即≤t＜2，
此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝（t﹣）2，
h的函数图象如图所示：h的最小值为，
由题意可得＝4+k，
解得k＝﹣；
综上所述：k的值为﹣．
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2