高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数一课一练

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数一课一练，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为( )
A．720B．360
C．240D．120
2．[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种B．120种
C．240种D．480种
3．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A．120种B．48种
C．36种D．18种
4．重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日．某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( )
A．35B．40
C．50D．70
二、填空题
5．从3名男生和3名女生中选出3人分别担任三个不同学科课代表，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
6．某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有________种不同的选法．
7．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．
三、解答题
8．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队．
(1)若内科医生甲与外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)若甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)若甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？
(4)若医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？
9.生物兴趣小组有12名学生，其中正、副组长各1名，组员10名．现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛．
(1)如果正、副组长2人中有且只有1人入选，共有多少种不同的选派方法？
(2)如果正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？
[尖子生题库]
10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；
(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．
课时作业(六) 组合数的应用
1．解析：确定三角形的个数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ＝120.
答案：D
2．解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种安排方法．故满足题意的分配方案共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ·A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝240(种).
答案：C
3．解析：最后必须播放奥运广告有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) 种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) 种，故共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝36种不同的播放方式．
答案：C
4．解析：六名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组两人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＝50.
答案：C
5．解析：根据题意，分2步进行分析：
①从3名男生和3名女生中选出3人，要求这3人中必须既有男生又有女生，
则有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) －C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) －C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝18种情况，
②将选出的3人全排列，安排担任三个不同学科课代表，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6种情况，
则有18×6＝108种选法．
答案：108
6．解析：若只有1名队长入选，则选法种数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ·C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) ；若两名队长均入选，则选法种数为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) ，故不同选法有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ·C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) ＝714(种).
答案：714
7．解析：6位游客选2人去A风景区，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) 种，余下4位游客选2人去B风景区，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 种，余下2人去C，D风景区，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) 种，所以分配方案共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝180(种).
答案：180
8．解析：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(18)) ＝816(种)选法．
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(18)) ＝8568(种)选法．
(3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(18)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(18)) ＝6936(种)选法．
(4)方法一(直接法)：
至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类：
1内4外；2内3外；3内2外；4内1外．
所以共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(12)) C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(12)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(12)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(12)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) ＝14656(种)选法．
方法二：从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(20)) －(C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(12)) ＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(8)) )＝14656(种)选法．
9．解析：(1)正、副组长2人中有且只有1人入选，
选派方法数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝90.
(2)正、副组长2人都入选，且组员甲没有入选，
选派方法数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) ＝9.
正、副组长2人中有且只有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(9)) ＝72.
所以正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为9＋72＝81.
10．解析：(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4096种不同放法．
(2)分两类：第1类，6个小球分3，1，1，1放入盒中；第2类，6个小球分2，2，1，1放入盒中，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ·A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ·A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝1560(种)不同放法．
(3)方法一：按3，1，1，1放入有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) 种方法，按2，2，1，1，放入有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 种方法，共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝10(种)不同放法．
方法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四组，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝10(种)不同放法．