人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试当堂达标检测题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试当堂达标检测题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( )
A．0°＜α＜45°B．45°＜α＜90°
C．90°＜α＜135°D．135°＜α＜180°
2．在x轴上的截距为2且倾斜角为60°的直线方程为( )
A．y＝x－2B．y＝x＋2
C．y＝－x－2D．y＝－x＋2
3．已知椭圆＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )
A．10B.20
C.2D．4
4．下列曲线中离心率为的是( )
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
5．已知直线l1：2x＋y＋n＝0与l2：4x＋my－4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则m＋n＝( )
A．－3或3 B．－2或4
C．－1或5 D．－2或2
6．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A．B．－
C.8D.－8
7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4；则C的实轴长为( )
A．B．2
C．4D．8
8．已知直线y＝kx＋m(m为常数)与圆x2＋y2＝4交于点M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝( )
A．±1B．±
C．±D．±2
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知点M(1，2)关于直线l：y＝kx＋b对称的点是N(－1，6)，直线m过点M，则( )
A．kb＝－2B．l在x轴上的截距是－8
C．点M到直线l的距离为1D．当m∥l时，两直线间的距离为
10．已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，两圆交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2b
11．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则( )
A．C的焦距为B．C的离心率为
C．圆D在C的内部D．|PQ|的最小值为
12．已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则( )
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．∠PAF2＝45°
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________．
14．已知双曲线C：＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
15．已知P是直线kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为________．
16．双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交曲线C右支于P，Q两点，且PQ⊥PF1，若3|PQ|＝4|PF1|，则C的离心率等于________．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知Rt△ABC的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边所在直线的方程．
18．(12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
19．(12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，求该抛物线的方程及其准线方程．
20．(12分)已知椭圆C：＋y2＝1，过点P(1，0)的直线l交椭圆C于M，N两点．
(1)证明：|MN|≥；
(2)已知两点A1(－2，0)，A2(2，0)．记直线A1M的斜率为k1，直线A2N的斜率为k2，求的值．
21.(12分)已知椭圆E：＝1(a>b>0)过点M，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，过点P(0，2)的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，求·的取值范围．
22．(12分)已知椭圆ω：＝1(a>b>0)过点A(－2，0)，且a＝2b.
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点C(1，0)的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点，求证：|OM|·|ON|为定值．
章末质量检测(二) 平面解析几何
1．解析：因为斜率为1的直线的倾斜角是45°，斜率为2的直线的倾斜角大于45°，倾斜角大于90°且小于180°时，直线的斜率是负值，所以斜率为2的直线的倾斜角α的范围是45°<α<90°，故选B.
答案：B
2．解析：由题可知直线的斜率k＝tan60°＝eq \r(3)，所以直线方程为y＝eq \r(3)(x－2)，即y＝eq \r(3)x－2eq \r(3).
答案：A
3．解析：由题意可得椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,25)＝1的b＝5，c＝4，
a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(41)，
由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
即有△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4eq \r(41).故选D.
答案：D
4．解析：由e＝eq \f(\r(6),2)得eq \f(c2,a2)＝eq \f(3,2)，1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,2)，eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，选B.
答案：B
5．解析：由2m－4＝0，解得m＝2.满足l1∥l2.l2的方程为2x＋y－2＝0，有eq \f(|n＋2|,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5)，则|n＋2|＝3，解得n＝1或－5，故m＋n＝±3.
答案：A
6．解析：∵方程y＝ax2表示的是抛物线，
∴a≠0，∴x2＝eq \f(y,a)＝2·eq \f(1,2a)·y，
∴抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－eq \f(1,2×2a)＝2，
解得a＝－eq \f(1,8)，故选B.
答案：B
7．解析：设等轴双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1和x＝－4得A(－4，eq \r(16－a2))，B(－4，－eq \r(16－a2))，
∴|AB|＝2eq \r(16－a2)＝4eq \r(3)，
∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.
答案：C
8．解析：由题可得圆心为(0，0)，半径为2，
则圆心到直线的距离d＝eq \f(|m|,\r(k2＋1))，
则弦长为|MN|＝2eq \r(4－\f(m2,k2＋1))，
则当k＝0时，弦长|MN|取得最小值为2eq \r(4－m2)＝2，解得m＝±eq \r(3).故选C.
答案：C
9．解析：因为点M(1，2)关于直线y＝kx＋b对称的点是N(－1，6)，线段MN的中点坐标为(0，4)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(6－2,－1－1)·k＝－1，,4＝k×0＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,b＝4，))所以kb＝2，故A错；此时直线l方程为y＝eq \f(1,2)x＋4，令y＝0，解得x＝－8，所以直线l在x轴上的截距是－8，故B正确；由点到直线的距离公式知，点M到直线l的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－2＋4)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋（－1）2))＝eq \r(5)，故C错误；易知直线m的方程为x－2y＋3＝0，又直线l：x－2y＋8＝0，则两直线间的距离为eq \f(|3－8|,\r(1＋4))＝eq \r(5)，故D正确，故选BD.
答案：BD
10．解析：两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，故B正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入2ax＋2by＝a2＋b2得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知：线段AB与线段C1C2互相平分，∴x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D错误．故选ABC.
答案：ABC
11．解析：由eq \f(x2,6)＋y2＝1可知，a2＝6，b2＝1，c2＝5，则焦距2c＝2eq \r(5)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),\r(6))＝eq \f(\r(30),6)；设P(x，y)，圆心D(－1，0)，半径为r＝eq \f(\r(5),5)，则|PD|＝eq \r(（x＋1）2＋y2)＝eq \r(（x＋1）2＋1－\f(x2,6))＝eq \r(\f(5,6)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(6,5)))\s\up12(2)＋\f(4,5))>eq \r(\f(1,5))，故圆D在C的内部；当PD取最小值eq \r(\f(4,5))时，|PQ|的最小值为eq \r(\f(4,5))－eq \r(\f(1,5))＝eq \f(\r(5),5)，综上所述，选项B、C正确，故选BC.
答案：BC
12．解析：因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又2c>2a，4a>2a，所以∠PF1F2＝30°，所以cs∠PF1F2＝eq \f(16a2＋4c2－4a2,2·4a·2c)＝eq \f(\r(3),2)，所以c2－2eq \r(3)ac＋3a2＝0，所以e2－2eq \r(3)e＋3＝0，解得e＝eq \r(3)，A正确；因为e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝3，所以eq \f(b2,a2)＝2，所以eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x，B正确；因为e＝eq \r(3)，所以2c＝2eq \r(3)a，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，所以∠PF2F1＝90°.又|AF2|＝c＋a＝(eq \r(3)＋1)a，|PF2|＝2a，所以|AF2|≠|PF2|，所以∠PAF2≠45°，C错误；联立得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y－2＝0，,\f(x2,a2)－\f(y2,2a2)＝1，))所以2(2－2y)2－y2＝2a2，所以7y2－16y＋8－2a2＝0，所以Δ＝162－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，D正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，则a＋1＝0，∴a＝－1.
答案：－1
14．解析：在双曲线C中，a＝eq \r(6)，b＝eq \r(3)，则c＝eq \r(a2＋b2)＝3，则双曲线C的右焦点坐标为(3，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，即x±eq \r(2)y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为eq \f(3,\r(12＋2))＝eq \r(3).
答案：(3，0) eq \r(3)
15．解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，
则圆心为C(1，－2)，半径为1，则直线与圆相离，如图：S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝eq \f(1,2)|PA|·|CA|＝eq \f(1,2)|PA|，S△PBC＝eq \f(1,2)|PB|·|CB|＝eq \f(1,2)|PB|，又|PA|＝|PB|＝eq \r(|PC|2－1)，
所以当|PC|取最小值时|PA|＝|PB|取最小值，
即S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，
四边形PACB面积的最小值为2eq \r(2)，
S△PAC＝S△PBC＝eq \r(2)，
所以|PA|＝2eq \r(2)，
所以|CP|＝3，
所以eq \f(|k－8－10|,\r(k2＋16))＝3，因为k>0，所以k＝3.
16．解析：
如图，设|PQ|＝4t(t>0)，
由3|PQ|＝4|PF1|可得|PF1|＝3t，
由双曲线定义，有|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝3t－2a，
|QF2|＝|PQ|－|PF2|＝t＋2a，
又|QF1|－|QF2|＝2a，所以|QF1|＝t＋4a，
因为PQ⊥PF1，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|2＋|PQ|2＝|QF1|2，
即(3t)2＋(3t－2a)2＝4c2①，
(3t)2＋(4t)2＝(t＋4a)2②，
由②解得t＝a，代入①得(3a)2＋(3a－2a)2＝4c2，
即10a2＝4c2，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(10,4))＝eq \f(\r(10),2).
答案：eq \f(\r(10),2)
17．解析：(1)解法一：依题意，Rt△ABC的直角顶点坐标为B(－1，－2eq \r(2))，
∴AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1.
又∵A(－3，0)，
∴kAB＝eq \f(0＋2\r(2),－3－（－1）)＝－eq \r(2)，∴kBC＝－eq \f(1,kAB)＝eq \f(\r(2),2)，
∴边BC所在的直线的方程为y＋2eq \r(2)＝eq \f(\r(2),2)(x＋1)，即x－eq \r(2)y－3＝0.
∵直线BC的方程为x－eq \r(2)y－3＝0，点C在x轴上，由y＝0，得x＝3，即C(3，0).
解法二：设点C(c，0)，由已知可得kAB·kBC＝－1，即eq \f(0＋2\r(2),－3－（－1）)·eq \f(0＋2\r(2),c＋1)＝－1，解得c＝3，所以点C的坐标为(3，0).
(2)由B为直角顶点，知AC为直角三角形ABC的斜边．
∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y＝0.
18．解析：(1)将圆C的方程化为标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0，1)，半径r＝eq \r(5)，圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝eq \f(|0－1＋1－m|,\r(m2＋1))＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))＜1＜eq \r(5)，因此直线l与圆C相交．
(2)设圆心C到直线l的距离为d，
则d＝eq \r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2).
又d＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))，则eq \f(|m|,\r(m2＋1))＝eq \f(\r(2),2)，解得m＝±1，所以所求直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
19．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为y＝x－eq \f(p,2)，与y2＝2px联立，得y2－2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝2p.
由题意知y1＋y2＝4，∴p＝2.
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
20．解析：(1)①当直线l的斜率不存在时，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2)))，或Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2))).
此时|MN|＝eq \r(3).
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(8k2,1＋4k2)，,x1x2＝\f(4k2－4,1＋4k2)．))
所以|MN|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝eq \f(4\r(3k4＋4k2＋1),1＋4k2).
设m＝1＋4k2，则m≥1.
所以|MN|＝eq \f(\r(3（m－1）2＋16m),m)＝eq \f(\r(3m2＋10m＋3),m)>eq \f(\r(3m2),m)＝eq \r(3).
综上|MN|≥eq \r(3).
(2)当直线l的斜率不存在时，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2)))，或Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，
此时都有eq \f(k1,k2)＝eq \f(1,3).
直线A1M的斜率为k1＝eq \f(y1,x1＋2)，直线A2N的斜率为k2＝eq \f(y2,x2－2).
方法一：eq \f(k1,k2)＝eq \f(y1（x2－2）,y2（x1＋2）)
＝eq \f(（x1－1）（x2－2）,（x2－1）（x1＋2）)
＝eq \f(x1x2－2（x1＋x2）＋x2＋2,x1x2－（x1＋x2）＋3x2－2)
＝eq \f(（4k2－4）－2×8k2＋（1＋4k2）x2＋2（1＋4k2）,（4k2－4）－8k2＋3（1＋4k2）x2－2（1＋4k2）)
＝eq \f(－2（1＋2k2）＋（1＋4k2）x2,－6（1＋2k2）＋3（1＋4k2）x2)＝eq \f(1,3).
方法二：eq \f(k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) （x2－2）2,y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) （x1＋2）2)
＝eq \f(（4－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ）（x2－2）2,（4－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ）（x1＋2）2)
＝eq \f(（2－x1）（2－x2）,（2＋x1）（2＋x2）)
＝eq \f(x1x2－2（x1＋x2）＋4,x1x2＋2（x1＋x2）＋4)
＝eq \f(（4k2－4）－2×8k2＋4（1＋4k2）,（4k2－4）＋2×8k2＋4（1＋4k2）)＝eq \f(1,9).
又eq \f(k1,k2)＝eq \f(y1（x2－2）,y2（x1＋2）)>0，
所以eq \f(k1,k2)＝eq \f(1,3).
综上，eq \f(k1,k2)＝eq \f(1,3).
21．解析：(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(（\r(3)）2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2),b2)＝1,\f(c,a)＝\f(\r(3),2),a2＝b2＋c2))，
∴a2＝4，b2＝1.
故椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，A(0，1)，B(0，－1)，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－1.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2,\f(x2,4)＋y2＝1))，
消去y，整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ>0，可得4k2>3，
且x1＋x2＝－eq \f(16k,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(12,1＋4k2)，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－1＋eq \f(17,1＋4k2)，
则－1综上，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(13,4))).
22．解析：(1)因为椭圆ω过点A(－2，0)，
所以a＝2.
因为a＝2b，
所以b＝1.
所以椭圆ω的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1.
不妨设此时Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2)))，
所以直线AP的方程为y＝eq \f(\r(3),6)(x＋2)，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3))).
直线AQ的方程为y＝－eq \f(\r(3),6)(x＋2)，即Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(3),3))).
所以|OM|·|ON|＝eq \f(1,3).当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,\f(x2,4)＋y2＝1))得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
依题意，Δ>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(8k2,4k2＋1)，x1x2＝eq \f(4k2－4,4k2＋1).
又直线AP的方程为y＝eq \f(y1,x1＋2)(x＋2)，
令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝eq \f(2y1,x1＋2)，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2y1,x1＋2))).
同理，得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2y2,x2＋2))).
所以|OM|·|ON|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4y1y2,（x1＋2）（x2＋2）)))
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4k2（x1－1）（x2－1）,（x1＋2）（x2＋2）)))
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4k2[x1x2－（x1＋x2）＋1],x1x2＋2（x1＋x2）＋4)))
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4k2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k2－4,4k2＋1)－\f(8k2,4k2＋1)＋1)),\f(4k2－4,4k2＋1)＋\f(16k2,4k2＋1)＋4)))
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4k2（4k2－4－8k2＋4k2＋1）,4k2－4＋16k2＋16k2＋4)))
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(12k2,36k2)))
＝eq \f(1,3).
综上，|OM|·|ON|为定值，定值为eq \f(1,3).