新教材2023版高中数学模块质量检测新人教B版选择性必修第一册

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模块质量检测一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝02．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)A．－4B．20C．0D．243．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)A．B．C．D．4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝＝c，＝b，则可表示为(　　)A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．－a－b＋cD．a－b＋c5．双曲线＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是(　　)A．(－10，0) B．(－12，0)C．(－3，0) D．(－60，－12)6．已知椭圆＝1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于(　　)A.2B．4C．8D．7．若实数k满足00)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)A．△ABF是等边三角形B．|BF|＝3C．点F到准线的距离为3D．抛物线C的方程为y2＝6x12．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)、B(0，2)，则(　　)A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝3三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．双曲线＝1的两条渐近线的方程为__________．14．若直线ax－2y＋2＝0与直线x＋(a－3)y＋1＝0平行，则实数a的值为________．15．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝__________．16．设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC＝90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA＝2，则PA与BC的距离是________；点P到BC的距离是________. 四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)[2022·北京期末]已知抛物线C：y2＝2px经过点(1，2)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M, N, 且与抛物线的准线交于点Q.若|MN|＝2|QF|, 求直线l的方程．18．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．19．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B­PD­A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．20．(12分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的短轴长是2，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线y＝kx＋与椭圆C交于M，N两点，点A(2，0).问在直线x＝3上是否存在点P，使得四边形PAMN是平行四边形，若存在，求出k的值．若不存在，说明理由．21．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.(1)求证：PD⊥平面PAB; (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．22．(12分)[2022·北京期末]已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，一个焦点为(2，0)．(1)求椭圆E的方程；(2)设O为原点，直线y＝x＋m(m≠0)与椭圆E交于不同的两点A, B, 且与x轴交于点C，P为线段OC的中点，点B关于x轴的对称点为B1.证明：△PAB1是等腰直角三角形．模块质量检测1．解析：由斜截式可得直线方程为y＝－x－1，化为一般式即为x＋y＋1＝0.故选D.答案：D2．解析：由直线互相垂直可得－eq \f(a,4)·eq \f(2,5)＝－1，∴a＝10，所以第一条直线方程为5x＋2y－1＝0，又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.答案：A3．解析：由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7＝2t－μ，,5＝－t＋4μ，,λ＝3t－2μ.))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝\f(33,7)，,μ＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7)．))答案：D4．解析：∵eq \o(BM,\s\up6(→))＝＋＝c＋eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→)))＝c＋eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.答案：A5．解析：∵双曲线eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率e∈(1，2)，∴1<eq \f(\r(4－k),2)<2，解得－120.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).则|MN|＝x1＋x2＋2＝eq \f(2k2＋4,k2)＋2＝eq \f(4k2＋4,k2).易知Q(－1，－2k)，F(1，0)，所以|QF|＝eq \r(4＋4k2).因为|MN|＝2eq \r(2)|QF|，所以eq \f(4k2＋4,k2)＝2eq \r(2)eq \r(4＋4k2).得k2＝1，即k＝±1.所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.方法二：依题意，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0).联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1）,y2＝4x))，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.易知Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1.易知Q(－1，－2k)，F(1，0)，因为|MN|＝2eq \r(2)|QF|，所以eq \f(|MN|,|QF|)＝2eq \r(2).所以eq \f(|x1－x2|,2)＝2eq \r(2)，即|x1－x2|＝4eq \r(2).即eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝4eq \r(2)，故eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k2＋4,k2)))\s\up12(2)－4)＝4eq \r(2).得k2＝1，即k＝±1.所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.18．解析：(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1.因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，因此＝(0，－2，2)，＝(2，0，2).所以cos〈AB1，BC1〉＝＝eq \f(0＋0＋4,2\r(2)×2\r(2))＝eq \f(1,2)，设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝eq \f(1,2)，由于θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故θ＝eq \f(π,3).19．解析：(1)设AC，BD交点为E，连接ME.因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点．(2)取AD的中点O，连接OP，OE.因为PA＝PD，所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE.因为ABCD是正方形，所以OE⊥AD.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，0，eq \r(2))，D(2，0，0)，B(－2，4，0)，eq \o(BD,\s\up6(→))＝(4，－4，0)，eq \o(PD,\s\up6(→))＝(2，0，－eq \r(2)).设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up6(→))＝0,n·\o(PD,\s\up6(→))＝0))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－4y＝0,2x－\r(2)z＝0)).令x＝1，则y＝1，z＝eq \r(2).于是n＝(1，1，eq \r(2)).平面PAD的法向量为p＝(0，1，0)，所以cos〈n，p〉＝eq \f(n·p,|n||p|)＝eq \f(1,2).由题知二面角B­PD­A为锐角，所以它的大小为eq \f(π,3).(3)由题意知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2，\f(\r(2),2)))，C(2，4，0)，eq \o(MC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(\r(2),2))).设直线MC与平面BDP所成角为α，则sinα＝|cos〈n，eq \o(MC,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|n·\o(MC,\s\up6(→))|,|n||\o(MC,\s\up6(→))|)＝eq \f(2\r(6),9).所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为eq \f(2\r(6),9).20．解析：(1)由题意得b＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，因为a2＝b2＋c2所以c＝eq \r(3)，a＝2，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.(2)若四边形PAMN是平行四边形，则PA∥MN，且|PA|＝|MN|.所以直线PA的方程为y＝k(x－2)，所以P(3，k)，|PA|＝eq \r(k2＋1).设M(x1，y1)，N(x2，y2).由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\r(3)，,x2＋4y2＝4，))得(4k2＋1)x2＋8eq \r(3)kx＋8＝0，由Δ>0，得k2>eq \f(1,2).且x1＋x2＝－eq \f(8\r(3)k,4k2＋1)，x1x2＝eq \f(8,4k2＋1).所以|MN|＝eq \r(（k2＋1）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq \r(（k2＋1）\f(64k2－32,（4k2＋1）2)).因为|PA|＝|MN|，所以eq \r(（k2＋1）\f(64k2－32,（4k2＋1）2))＝eq \r(k2＋1).整理得16k4－56k2＋33＝0，解得k＝±eq \f(\r(3),2)，或k＝±eq \f(\r(11),2).经检验均符合Δ>0，但k＝－eq \f(\r(3),2)时不满足PAMN是平行四边形，舍去．所以k＝eq \f(\r(3),2)或k＝±eq \f(\r(11),2).21．解析：(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又PD⊥PA，PA∩AB＝A，∴PD⊥平面PAB.(2)取AD中点为O，连接CO，PO.∵CD＝AC＝eq \r(5)，∴CO⊥AD.∵PA＝PD，∴PO⊥AD.又PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，以O为原点，如图建系易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0)，则eq \o(PB,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，eq \o(PD,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，eq \o(PC,\s\up6(→))＝(2，0，－1)，eq \o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－1，0).设n为平面PDC的法向量，令n＝(x0，y0，1)，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PD,\s\up6(→))＝0,n·\o(PC,\s\up6(→))＝0))⇒n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，1))，则PB与平面PCD夹角θ有sinθ＝|cos〈n，eq \o(PB,\s\up6(→))〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·\o(PB,\s\up6(→)),|n||\o(PB,\s\up6(→))|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(1,2)－1－1,\r(\f(1,4)＋1＋1)×\r(3))))＝eq \f(\r(3),3).(3)假设存在M点使得BM∥平面PCD，设eq \f(AM,AP)＝λ，M(0，y′，z′)，由(2)知A(0，1，0)，P(0，0，1)，eq \o(AP,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，B(1，1，0)，eq \o(AM,\s\up6(→))＝(0，y′－1，z′)，由eq \o(AM,\s\up6(→))＝λeq \o(AP,\s\up6(→))⇒M(0，1－λ，λ)，∴eq \o(BM,\s\up6(→))＝(－1，－λ，λ)∵BM∥平面PCD，n为平面PCD的法向量，∴eq \o(BM,\s\up6(→))·n＝0，即－eq \f(1,2)＋λ＋λ＝0，∴λ＝eq \f(1,4).∴综上，存在M点使得BM∥平面PCD，此时eq \f(AM,AP)＝eq \f(1,4).22．解析：(1)依题意，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，c＝2得a＝eq \r(6)，b2＝a2－c2＝2.得eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1.(2)设点C(－m，0), 则点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0)).联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,x2＋3y2＝6))，可得，4x2＋6mx＋3m2－6＝0.依题意，Δ＝36m2－16(3m2－6)>0，得－2eq \r(2)