哈尔滨市第九中学校2024届高三上学期12月考数学试卷(含答案)

这是一份哈尔滨市第九中学校2024届高三上学期12月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知a为实数,i为虚数单位,若复数为纯虚数,则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2、已知两条直线m,n及平面,则下列推理正确的是( )
A.,B.,
C.,D.,
3、已知直线的倾斜角为,则( )
A.B.C.D.
4、下列命题错误的是( )
A.已知非零向量,,,则“”是“”的必要不充分条件
B.已知x,y是实数,则“”的一个必要不充分条件是“”
C.命题“,”的否定为“,”
D.若命题“,”是真命题,则实数a的取值范围是
5、若直线与直线平行,则它们之间的距离为( )
A.B.C.D.
6、已知函数满足,,且,则的值为( )
A.96B.C.102D.
7、已知点P是圆上的动点,线段AB是圆的一条动弦,且,则的最大值是( )
A.B.C.D.
8、已知M为椭圆:上一点,,为左右焦点,设,,若,则离心率( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知,分别是椭圆的左,右焦点,P为椭圆C上异于长轴端点的动点,则下列结论正确的是( )
A.的周长为10B.椭圆C的焦距为6
C.面积的最大值为D.椭圆C的离心率为
10、已知空间四点,,,,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.点O到直线BC的距离为D.O,A,B,C四点共面
11、下列结论正确的是( )
A.若圆,圆,则圆与圆的公共弦所在直线的方程是
B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C.曲线与曲线恰有三条公切线,则
D.已知圆,P为直线上一动点,过点P向圆C引条切线PA,其中A为切点,则PA的最小值为4
12、如图三棱锥中,点D为边BC中点,点E为线段PD上的动点,则下列说法正确的是( )
A.存在实数使得
B.当PA,PB,PC两两垂直时,
C.当PA,PB,PC两两所成角为且E为中点时
D.当PA,PB,PC两两垂直时,E为PD中点,M是锥体侧面PAB上一点,若,则动点M运动形成的路径长为
三、填空题
13、函数在上的单调递增区间为________
14、对任意的正整数k,直线恒过定点,则这个定点的坐标为________,若点在直线l上,则数列的前10项和为________.
15、三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程.即过点且一个法向量为的平面a的方程为,过点且方向向量为的直线l的方程为.三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题:“已知平面的方程为,直线是两个平面与的交线,则直线l与平面所成的角的正弦值是多少?”想着这次可以难住“诸葛亮”了.谁知“诸葛亮”很快就算出了答案.请问答案是________.
16、如图,直四棱柱中,底面ABCD为平行四边形,,,,,点是半圆弧上的动点(不包括端点),点Q是半圆弧上的动点(不包括端点),若三棱锥的外接球表面积为S,则S的取值范围是________.
四、解答题
17、在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求B;
（2）已知,D为边AB上的一点,若,,求AC的长.
18、给定椭圆,称圆心在原点O,半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为,其短轴的一个端点到点的距离为.
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程;
（2）若点A,B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点,P是椭圆C上的一个动点,求的取值范围.
19、已知圆,两点,.
（1）若,直线l过点B且被圆C所截的弦长为6,求直线l的方程;
（2）若圆C存在点P,使得,求圆C半径r的取值范围.
20、设是数列的前n项和,已知,
（1）证明:是等比数列;
（2）求满足的所有正整数n.
21、如图①所示,长方形ABCD中,,,点M是边CD靠近点C的三等分点,将沿AM翻折到,连接PB,PC,得到图②的四棱锥.
（1）求四棱锥的体积的最大值;
（2）设二面角的大小为,若,求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值.
22、已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）设函数,若恒成立,求n的最大值;
（3）已知,证明:.
参考答案
1、答案：B
解析：最数为纯虚数,
,
复数,在最平面内对应的点的坐标为,位于第二象限.
故选:B.
2、答案：D
解析：对于A,例如在正方体中平面ABCD,平面ABCD,但是与相交,故A错误;
对于B,根据线面平行的判定定理,需要,,,故当时,不能得到,故B错误,
对于C,例如在正方体中,,平面ABCD,但是不能得到平面ABCD,故C错误,对于D,根据线面委直的定义即可判断,,故D正确,
故选:D
3、答案：A
解析：
4、答案：B
解析：对于A,若,则,所以,不能推出,反之时,推出,所以“”是“”的必要不充分条件,正确;
对于B,等价于,即,等价于,所以成立,则一定成立,
反之成立,不一定成立,
从而"的一个充分不必要条件是“”,正确;
对于C,全称量词命题的否定为存在量词命题知,命题“,”的否定为“,",正确;
对于D,命题“,”是真命题,则,恒成立,即,,即实数a的取值范围为,正确.故选:B.
5、答案：B
解析：
6、答案：C
解析：根据题意:函数满足,
可得函数关于点成中心对称,函数满足,
所以函数关于对称,所以函数既关于成轴对称,
同时关于点成中心对称,所以,,
又因为,
所以,,
所以,
所以
故选:C.
7、答案：D
解析：圆的圆心为,半径为,
圆的圆心为,半径为2,
如图,过点C作,垂足为D,连接CB,
所以D为AB中点,即,又,
所以,
故点D的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,则点D的轨迹方程为
因为D是AB中点,所以,
则,
所以的最大值为,
故选:D.
8、答案：B
解析：
9、答案：AB
解析：椭圆,
,,,
的周长为,
A正确;
面积的最大值为:
,B正确;
椭圆C的焦距为:,C错误;
椭圆C的离心率为,D不正确.
故选:AB.
10、答案：BD
解析：对于A,
,,
,故A错误;
对于B,,,,
,故B正确;
对于C,,,
,
,
∴点O到直线BC的距离为,故C错误;
对于D,,,
,,是共线向量,
,A,B,C四点共面,故D正确.
故选:BD.
11、答案：ABC
解析：对于A,显然两圆相交,且两方程相减可得:,也即,故A正确;
对于B,圆的圆心到直线的距离,
所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1,故B正确;
对于C,曲线可化为,曲线可化为,若曲线表示圆,则有,因为曲线与曲线恰有三条公切线,所以两圆相外切,则,解得:,满足,故C正确;
对于D,根据题意,显然,当PA最小时,则PC最小,
其最小值为到直线的距离,即,
所以PA的最小值为2,故D错误,
故选:ABC.
12、答案：BC
解析：对于A,若存在实数使得,则,AP,BE确定平面APB,平面APB,这与条件矛盾,故A错误;
对于B,,,,PB,平面PBC,
平面PBC,平面PBC,,故B正确;
对于C,,
,
,
故,故C正确;
对于D,如图,以PA,PB,PC为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则,即,在xPy平面内,AB直线方程为,则,解得,,
路径长为,故D错误.
故选:BC.
13、答案：
解析：
14、答案：;
解析：直线即,令,解得,所以直线l恒过点,
因为点在直线l上,
所以,解得
所以,
则数列的前10项和,
故答案为:;.
15、答案：
解析：因为平面的方程为,故其法向量可取为,平面的法向量可取为,
平面的法向量可取为,
直线l是两个平面与的交线,设其方向向量为,
则,令,则,
故设直线l与平面所成的角为,,
则,
故答案为:.
16、答案：.
解析：
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
即,
所以,因为,
所以,所以,
因为,所以.
（2）因为,,,
根据余弦定理得,
所以,
因为,
所以,
在中,由正弦定理知,,
所以,
所以,,
所以.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为椭圆C的一个焦点为,
所以,
因为椭圆C短轴的一个端点到点F的距离为,
所以,
则,
故椭圆C的方程为,其“准圆”方程为;
（2）不妨设,
因为点P为椭圆C上的一个动点,
所以,
不妨设,,
此时,,
所以,
因为,
所以,
则的取值范围是.
19、答案：（1）或
（2）
解析：（1）过点B且与圆相交的直线斜率必存在,设直线l斜率为k,则直线l方程为,即,圆心到的距离,因为直线被圆所截的弦长为6,且圆的半径,故,所以,解得,故直线l的方程为或
（2）设圆C上一点,使得,则有,整理得,即,故点P在以为圆心,且半径为2的圆上.又因为.当两圆外切时,,这时,当两圆内切时,,,当两圆相交时,,这时.综上所述,r的取值范围是
20、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:由题意,
可知,
两边同时减去2,
可得,
,,
,
数列是以为首项,为公比的等比数列.
（2）由（1）,可得,
则,
,
,
,
,
当时,单调递减,且,,,
满足的所有正整数n为1,2.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）取AM的中点G,连接PG,
,,
当平面平面ABCM时,P点到平面ABCM的距离最大,四棱锥的体积取得最大值,
此时平面ABCM,且,
底面ABCM为梯形,面积为,
则四棱锥的体积最大值为;
（2）连接DG,由,得,
为的平面角,即,过点作平面ABCD,
以D为坐标原点,分别以DA,DC,DZ所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,
过作于点,由题意得平面ABCM,
设,
则,
即,
,,
设平面PAM的法向量为,
由,
取,得;
设平面PBC的法向量为,
,,
由,
取,得.
设两平面夹角为,
则.
令,,则,得.
,
当且仅当,即时,有最小值.
平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为.
22、答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）因为,所以,
当,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
所以单调递减区间为,单调递增为;
（2）,则,
所以,所以在上单调递增,
又,,
故存在唯一的实数,使得即成立.
故时;时.
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以,
其中,令,,
因为,,
所以在上单调递减,所以即,
故,故所求n的最大值为.
（3）证明:由（1）可得,则,
可得,即,即,
令,所以,所以,即,
所以,,
令,则,且不恒为零,
所以,函数在上单调递增,故,则,
所以,,
所以