福建省福州第一中学2023-2024学年高二上学期第一学段（期中）考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州第一中学2023-2024学年高二上学期第一学段（期中）考试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、椭圆与椭圆的( )
A.长轴相等B.短轴相等C.焦距相等D.离心率相等
2、设,则直线与圆的位置关系为( )
A.相离B.相切C.相交或相切D.相交
3、在空间四边形中,点M在OA上,点N在BC上,且,,则向量等于( )
A.B.
C.D.
4、如图,圆台的高为4,上,下底面半径分别为3,5,M,N分别在上,下底面圆周上,且,则等于( )
A.B.C.D.5
5、已知直线与圆相切,则满足条件的直线l有( )条
A.4B.3C.2D.1
6、某钟楼的钟面部分是一个正方体,在该正方体的四个侧面分别有四个时钟,如果四个时钟都是准确的,那么从零点开始到十二点的过程中,相邻两个面上的时针所成的角为的位置有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
7、若椭圆上存在一点D,使得函数图象上任意一点关于点D的对称点仍在的图象上,且椭圆C的长轴长大于4,则C的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、在三棱锥中,,且.记直线PA,PC,PB与平面ABC所成角分别为,,,已知,当三棱锥的体积最小时,( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知,,是空间的一个基底,则下列说法中正确的是( )
A.若,则
B.,,两两共面,但,,不共面
C.一定存在实数x,y,使得
D.,,一定能构成空间的一个基底
10、若直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的值可以是( )
A.3B.C.D.2
11、如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F,且,则下列结论中正确的有( )
A.当E点运动时,总成立
B.当E向运动时,二面角逐渐变小
C.二面角的最小值为
D.在方向上的投影向量为
12、经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A,C,B,D四点,M为弦AB的中点,下列结论中正确的有( )
A.弦AC长度的最小值为
B.线段BO长度的最大值为
C.点M的轨迹是一个圆
D.四边形ABCD面积的取值范围为
三、填空题
13、若过点直线的倾斜角是直线倾斜角的两倍,则直线的方程为______.
14、已知“经过点且法向量为的平面的方程是”.现知道平面的方程为,则过与的直线与平面所成角的正弦值是______.
15、已知圆,从点向圆M作两条切线,,切点分别为P,Q,若,则点M到直线的最小距离为______.
16、已知正方体棱长为2,动点P在的内切圆圆周上运动,M为棱的中点,现将直线BM绕棱旋转,则在旋转过程中,动点P到动直线BM距离的最小值为______.
四、解答题
17、已知直线同时过椭圆C的右焦点和上顶点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若点P在椭圆C上,且,求的外接圆的方程.
18、已知,由t确定两个点,.
（1）写出直线PQ的方程(答案含t);
（2）在内作内接正方形ABCD,顶点A,B在边OQ上,顶点C在边PQ上.若,当正方形ABCD的面积最大时,求a,t的值.
19、在直三棱柱中,D,E分别是,BC的中点,,,.
（1）求点E到平面的距离;
（2）取靠近的三等分点P,问线段上是否存在点Q,满足面,若有,求出点Q的位置,若没有,说明理由.
20、已知圆O方程为,点A坐标为,以A为圆心的圆A与圆O交于B,C两点.
（1）若圆A的半径为2,过点的直线l与圆A所交的弦长为,求直线l的方程;
（2）求的最小值.
21、如图,在四棱锥,,,E为PC的中点.
（1）证明:直线平面PAD;
（2）若平面平面ABCD,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值.
22、已知在平面直角坐标系xOy中,,,平面内动点P满足.
（1）求点P的轨迹方程;
（2）点P轨迹记为曲线,若C,D是曲线与x轴交点,E为直线上的动点,直线,与曲线的另一个交点分别为M,N,直线MN与x轴交点为Q,求的最小值.
参考答案
1、答案：C
解析：因为中的,
所以,焦距为;
因为中的,
所以,焦距为;
故选:C.
2、答案：C
解析：直线l可化为,
由可得,,所以直线l恒过点.
又,即点A在圆上,
所以,过点A的直线l与圆相交或相切.
故选:C.
3、答案：A
解析：
故选:A.
4、答案：A
解析：,,
,,
又.
,
,
.
故选:A.
5、答案：B
解析：的圆心为,半径为1,
则圆心到的距离为,
则,
故或,
所以或,
当时,,,此时直线,
当时,或,,
当,,此时,直线,
当,,此时,直线,
综上:满足条件的直线l有3条.
故选:B
6、答案：D
解析：取正方体的相邻两个面,,它们的中心分别为O,,是对应钟面圆心,
0点时,两个钟面时针分别指向点E,,显然,
直线,分别为正方体相邻两个正方形的面对角线所在直线,它们成的角,
即两个钟面时针分别指向点,时,两个时针所成的角为,
当两个钟面时针分别指向点F,时,有,因此当时针从0点转到3点的过程中,
两个时针所在直线所成的角从逐渐增大到,令成角的位置时针分别指向棱上的点P,,
如图,建立空间直角坐标系,令,则,,
设,显然,则,,,,
,解得,
因此时针从0点转到3点的过程中,相邻两个面上的时针所成的角为的位置有1个,
同理时针从3点转到6点,6点转到9点,9点转到12点,两个时针所成的角为的位置各有1个,
所以从零点开始到十二点的过程中,相邻两个面上的时针所成的角为的位置有4个.
故选:D
7、答案：D
解析：由,即的对称中心为,
要使图象上任意一点关于点D的对称点仍在的图象上,
则点即为的对称中心,故椭圆过,则,
又,故,即,
而,故,又,
所以.
故选:D
8、答案：C
解析：设点P在平面ABC内的投影为,
因为直线PA,PC,PB与平面ABC所成角分别为,,,且,则,
根据线面夹角关系可知,,
所以,由阿波罗尼斯圆可知,投影在圆上运动,以AC为轴,过AC的中点O作垂线,建立如图所示直角坐标系.
令,由题可知,.
则,化简得.
当最小时,最小,即三棱锥的体积最小,则此时,,,
所以.
故选:C
9、答案：ABD
解析：对于A中,若x,y,z不全为,则,,共面,与题意矛盾,所以A正确;
对于B中,由空间中任意两个向量是共面的,可得,,两两共面,
又由,,是空间的一个基底,可得,,不共面,所以B正确;
对于C中,因为,,不共面,则不存在实数x,y,使得,所以C错误;
对于D中,若,,共面,
则存在实数k,,使得,可得,方程组组无解,
所以,,不共面,所以D正确.
故选:ABD.
10、答案：BD
解析：由,则,且,
又恒过,如下图示
只需圆心到直线距离,则,
所以,且直线过为临界,此时,即,
综上,.
故选:BD
11、答案：ACD
解析：对A:因为,,,面,所以面,
因为面,所以,同理可证,
因为,,面,所以平面,
因为平面,所以总成立,故选项A正确;
对B:平面EFB即平面,而平面EFA即平面,所以当E向运动时,
二面角大小不变,选项B不正确;
对C:建立如图所示的空间直角坐标系:
则,,,,,
因为E,F在上,且,故可设,,,
,设平面ABE的法向量为,
又,所以,取,则,
平面的法向量为,所以,
设二面角的平面角为,则为锐角,
故,当,故,所以,当且仅当时取最大值,即取最小值,故C正确;
对D:因为,,所以,故在方向上的投影向量为,
故选项D正确.
故选:ACD.
12、答案：AC
解析：如图所示,
设圆心为,半径,
对于A:当时弦心距最大为,
所以此时弦长最小为,A正确;
对于B:是圆上一点,O是圆内一点,所以,
所以,B错误;
对于C:如上图所示,连接AP,MP,MO,设
因为且M是AB中点,所以,
因为M是AB中点,所以,
所以,即,
化简可得,所以M得轨迹是一个圆,C正确;
对于D:设圆心P到直线AC,BD的距离分别为,,
则,
又,,
,
而,其中,
所以,所以,即,D错误,
故选:AC
13、答案：
解析：设直线的倾斜角为,由题设可得为锐角,设直线的倾斜角为,
因为直线的方程为:,所以,,
所以,,
因为直线过点,所以,即.
故答案为:.
14、答案：或
解析：由定义可得,平面的法向量为,
又,,所以,
所以直线与平面所成角正弦值为.
故答案为:
15、答案：
解析：圆的圆心为,半径为2,连接MP,MQ,
则,,又因为,且,
所以,四边形MPNQ正方形,则,
即,即,
所以,点M的轨迹方程为,
即点M的轨迹是以点N为圆心,半径为的圆,
圆心N到直线的距离为,
因此,点M到直线的最小距离为.
故答案为:.
16、答案：或
解析：如下图,将直线BM绕棱旋转,几何体为锥体,截正方体部分锥体如下,
由,面ABCD,面ABCD,则,
又,面,则面,
面,故面面,
所以,圆锥侧面上,面与圆锥交线BE上存在到面距离最短的点,
又,且交线BE上侧的点到面距离比下侧到面面距离要远,
要使在旋转过程中,动点P到动直线BM距离最小,
只需内切圆最下侧的点,即AC中点O到BE距离最小,即为所求,
而,,故,
所以中点到距离.
故答案为:
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为直线过点和,
可得且,则,
所以所求椭圆的方程为.
（2）若点P在椭圆上,根据椭圆的定义,可得,
因为,可得,
又因为,可得,则,即是直角三角形,
所以的外接圆心为,半径,
所以外接圆方程为.
18、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意知当直线斜率存在时,,
当时,直线PQ的方程为,
当时,直线PQ的方程为.
直线PQ的方程为.
（2）由和四边形ABCD为正方形可知,
,,,
因为点在直线PQ上,
所以,
所以,
而正方形ABCD的面积最大,即最大,
所以当时,,此时图中阴影部分的面积最大.
19、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为为直三棱柱,则平面ABC,且,
以C的原点,,,分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,,且D,E分别是,BC的中点,
则,,,,,,
所以,,
设面的法向量为,则,取,则面的一个法向量为,
且,则点E到平面的距离.
（2）假设线段上存在点Q,使面,设,
因为P是靠近的三等分点,且,,
,,则,
由（1）知:平面的一个法向量为,
由于面,所以,则,∴,
故存在点Q满足面,且点Q为靠近C的三等分点.
20、答案：（1）或
（2）
解析：（1）依题意得:圆A的方程为,
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为:,代入,得,此时直线与圆A所交的弦长为,符合题意;
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:,即,则圆心A到直线l的距离,又,∴,即,解得,故直线l的方程为;
综上,直线l的方程为或.
（2）由圆的对称性,设,,则,
所以,因为,所以当时,取得最小值为.
21、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）取CD的中点M,连接EM,BM,
因为,所以.
因为,,所以,,.
又因为平面PAD,平面PAD,所以平面PAD
因为E为PC的中点,M为CD的中点,所以.
又因为平面PAD,平面PAD,所以平面PAD
又因为,,所以平面平面PAD.
而平面BEM,故平面PAD.
（2）因为平面平面ABCD,连接AC交BD于点O,连PO,由对称性知,O为BD中点,且.
如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,过点O作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,.
设,则,,得,,.
设平面PCD的一个法向量为,
由于,,
则得,
令,得,,故,
设直线AB与平面PCD所成角为,由于,
则,
故直线AB与平面PCD所成角的正弦值为.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）设,
由可得,
,
化简得.
所以,点P的轨迹为以为圆心,2为半径的圆,方程为.
（2）解可得,,
设,,显然直线的斜率存在,
设直线CE的方程为,显然,
代入可得,E点的坐标为,
所以,直线DE的方程为.
联立直线CE与圆的方程,得,
由题意知方程有两解,,
且,所以,,
则.
联立直线DE与圆的方程得,
,
由题意知方程有两解,,
且,即,,,
且.
①当时,直线MN的斜率,
直线MN的方程为,
即,所以;
②当时,,此时直线MN垂直于x轴.
又,
所以直线方程为,也过定点.
综上,直线MN恒过定点,所以,.
根据圆的性质可知,
又,
所以,
所以,所以有,
所以,
当且仅当,即时等号成立,此时,
所以,轴,
所以的最小值为.