湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知直线,,则“”是“平行于”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为( )
A.B.C.D.
3、某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为
A.14B.16C.20D.48
4、某一电子集成块有三个元件a,b,c并联构成,三个元件是否有故障相互独立.已知至少1个元件正常工作,该集成块就能正常运行.若每个元件能正常工作的概率均为,则在该集成块能够正常工作的情况下,有且仅有一个元件出现故障的概率为( ).
A.B.C.D.
5、设函数的图象上点处的切线斜率为k,则函数的大致图象为( )
A.B.C.D.
6、已知圆和两点,,.若圆C上存在点P,使得,则m的最小值为( )
A.7B.6C.5D.4
7、已知抛物线的焦点F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的交点,若,则( )
A.4B.C.或D.
8、已知函数,当时,若恒成立,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
9、已知的展开式的各项系数之和为1024,则展开式中( )
A.奇数项的二项式系数和为256B.第6项的系数最大
C.存在常数项D.有理项共有6项
10、设是各项为正数的等比数列,q是其公比,是其前n项的积,且,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.与均为的最大值
11、在矩形ABCD中,,,沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角,若,则下列各选项正确的是( )
A.四面体ABCD外接球的表面积为16
B.点B与点D之间的距离为
C.四面体ABCD的体积为
D.异面直线AC与BD所成的角为
12、已知椭圆的焦距为6,焦点为、,长轴的端点为、,点M是椭圆上异于长轴端点的一点,椭圆C的离心率为e,则下列说法正确的是( )
A.若的周长为16,则椭圆的方程为
B.若的面积最大时,,则
C.若椭圆C上存在点使,则
D.以为直径的圆与以为直径的圆内切
二、填空题
13、学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到,则甲班恰有2名同学被选到的概率为______.
14、直线与双曲线相交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之积为9,则离心率=______.
15、已知函数有两个极值点,则实数m的取值范围是______.
16、设等差数列的各项均为整数,首项,且对任意正整数n,总存在正整数m,使得,则这样的数列的个数为______.
三、解答题
17、已知函数,.
（1）求的单调区间;
（2）若,求函数的极值.
18、有3台机床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台机床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
（1）任取一个零件,计算它是次品的概率;
（2）任取一个零件,如果取到的零件是次品的条件下,零件来自第一台机床将损失1万元,来自第二台机床将损失2万元,来自第三台机床将损失3万元.设该工厂的损失为X万元,求X的分布列与数学期望.
19、已知数列的各项均为正数,对任意的,它的前n项和满足,并且,,成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,为数列的前n项和,求.
20、在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形四边形ADPQ是梯形,,,平面ADPQ平面ABCD,且.
（1）求证：QB平面PDC;
（2）求二面角的正弦值;
（3）已知点H在棱PD上,且异面直线AH与PB所成的夹角为,求的取值范围.
21、已知函数.
（1）函数,若存在单调递减区间,求实数m的取值范围;
（2）设,是（1）中函数的两个极值点,若,求的最小值.
22、已知椭圆,,为椭圆C的左、右顶点,,为左、右焦点,Q为椭圆C上任意一点.
（1）求直线和的斜率之积;
（2）直线l交椭圆C于点M,N两点（l不过点）,直线与直线斜率分别是,且,直线和直线交于点.
①探究直线l是否过定点,若过定点求出该点坐标,若不过定点请说明理由;
②证明：为定值,并求出该定值.
参考答案
1、答案：C
解析：由直线平行于得,得或,经验证,
当时,直线与重合,舍去,所以“”是“平行于”的充要条件,
故选C.
2、答案：A
解析：设5人分到的面包数量从小到大记为,设公差为d,
依题意可得,,
,解得,.
故选:A.
3、答案：B
解析：由间接法得,
故选B.
4、答案：A
解析：记事件A为该集成块能够正常工作,事件B为仅有一个元件出现故障,
则为该集成块不能正常工作,
所以,,所以
故选：A.
5、答案：B
解析：可得：.
可得,由于,函数是奇函数,排除选项A,C;
当时,,排除选项D.
故选：B.
6、答案：D
解析：
解析：,点P的轨迹是以AB为直径的圆O,
又点P在圆C上,故点P是圆O与圆C的交点,
因此可得两圆的位置关系是相切或相交,即,
解得：.m的最小值为4.
故选：D.
7、答案：C
解析：依题意,,当时,过Q作,交l于H,
根据抛物线的定义得,.
当时,过Q作,交l于H,
根据抛物线的定义得,.
综上所述,的值为或.
故选：C.
8、答案：A
解析：,,
当时,单调递增,,
若时,,所以在时单调递增,恒成立,
若时,,由单调递增知,存在,使得,
故时,,当 时,,所以在时单调递减,
所以,即在上存在使得,所以时不满足题意.
综上,,
故选：A.
9、答案：BCD
解析：令,得,则或（舍去）.
的展开式的通项.
对于A,,故A错误;
对于B,由题设展开式共11项,第6项的系数最大,故B正确;
对于C,令,解得,故存在常数项为第三项,故C正确;
对于D,当,2,4,6,8,10时,为有理项,故有理项共有6项,故D正确.
故选：BCD.
10、答案：BD
解析：由题意知,
A：由得,由得,所以,又,所以,故A错误;
B：由得,故B正确;
C：因为是各项为正数的等比数列,,有,
所以,所以,故C错误;
D：,则与均为最大值,故D正确.
故选：BD.
11、答案：ACD
解析：如图,因为和都是以AC为斜边的直角三角形,
则AC为四面体ABCD外接球的直径.因为,,则,
所以四面体ABCD外接球的表面积为,故A正确;
分别作,,垂足为E,F,则.
由已知可得,,,.因为,则
,所以,故B错误;
因为,则.同理.又,,AD,BD平面ABD,则CD平面ABD,所以,故C正确;
由已知可得,,,
则,
则,得,所以异面直线AC与BD所成的角为,故D正确,
故选：ACD.
12、答案：ABD
解析：对于A选项,的周长为,则,,
即椭圆的方程为,所以A正确;
对于B选项,当的面积最大时,点M在短轴顶点处,又,所以在中,,所以B正确;
对于C选项,设点,,,
,因为点M在椭圆C上,则,
可得,所以,,
得,由于,可得,所以,,
即,可得.因此,椭圆C的离心率的取值范围是,C选项错误;
对于D选项,设的中点为N,设圆N与圆O的半径分别为、,则,
则两圆的连心线的距离为,
所以两圆内切,D正确.
故选：ABD.
13、答案：
解析：从12名候选人中选4名同学组成学生会,有种选法;
12人中有2名人来自甲班,有种选法.
所以甲班恰有2名同学被选到的概率为.
故答案为：.
14、答案：
解析：由A,B两点在直线上,设,
因为A,B两点关于原点对称,所以,
由A,B两点的横坐标之积为-9得,解得,所以,
代入双曲线方程得,所以,
所以,所以离心率为.
故答案为：
15、答案：
解析：因为,所以,令,得,
要使函数有两个极值点,只需有两个不同根,
从而函数与的图象由两个交点,,
令,则在上单调递减且,
当时,,即,在上单调递增;
当时,,即,在上单调递减,故,
令得,当时,,,当时,,,
若有两极值点,只要和的图象在上有两个交点,
所以,故实数m的取值范围是.
故答案为：.
16、答案：3
解析：设等差数列的公差为d,
由条件知(k是某个正整数),则,
即,因此必有,且,
而对任意正整数n,可得
,
即的表示式满足等差数列的通项公式的结构,
又n,n-1为一奇一偶,即为整数,
所以为等差数列中的项,
因为等差数列的各项均为整数,所以只要且）为整数,
那么就是中的一项,
易知：可取1,3,即,对应可得到3个满足条件的等差数列.
故答案为:3.
17、答案：（1）答案见解析
（2）极大值为-3,无极小值
解析：（1）,,,,
当时,,所以在区间上单调递增;
当时,取,解得（舍去负值）,
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
综上所述：当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
（2）当时,,取,解得（舍去负值）,
当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减,
所以有极大值为,无极小值.
18、答案：（1）0.0525
（2）分布列见解析,期望为
解析：（1）设B=“任取一个零件为次品”,“零件为第i台车机床加工”,,2,3,
则3,且,,两两互斥,
依题意得,,,,.
由全概率公式,得
.
（2）由题意得X的可能取值为1,2,3,
则,,,
所以随机变量X的分布列为
所以数学期望.
19、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）对任意,有①
当时,有,解得或2.
当时,有②,
①-②并整理得.
数列的各项均为正数,.
数列是公差为3的等差数列,
当时,,此时成立;
当时,,此时不成立,舍去..
（2）.
,
.
20、答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）平面ADPQ平面ABCD,平面ADPQ平面,
PD平面ADPQ,.直线PD平面ABCD.
由题意,以点D为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正向建立如图空间直角坐标系,则可得：,,,,,.
因为四边形ABCD是正方形,所以.
因为,,PD面PDC,CD面PDC,所以AD面PDC.
所以是平面PDC的一个法向量.
又,,又直线QB平面PDC,QB平面PDC.
（2）,.
设为平面PBC的法向量,则即
不妨设,可得.设为平面PBQ的法向量,
又,,则即
不妨设,可得,.
二面角的正弦值为.
（3）设,则,又,
又,即,.
令,,
所以恒成立,所以在区间上单调递增,
所以,所以.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,
又因为在上有解,令,则,
只需即,或,由得,
而不等式组的解集为空集,所以;
（2）由,令,即,
两根分别为,,则.
又因为
.
令,由于,所以.又因为,,
即,即,所以,解得或,即.
令,,
所以在上单调递减,.
所以的最小值为.
22、答案：（1）;
（2）①是,;②证明见解析,.
解析：（1）设点,,,则,
设直线和的斜率为,,则;
（2）①设点,直线,
联立方程得,整理得,
,,
,
所以,
即,
因为,所以,
化简整理可得,即,所以直线l过定点;
②设直线和直线的斜率为,,
由（1）得,由①得,所以,所以.
X
1
2
3
P