江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高二上学期开学数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高二上学期开学数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、椭圆的长轴的长等于( )
A.B.C.2D.4
2、已知复数,则复数z的虚部为( )
A.2B.-2C.D.
3、经过两点,的直线的方程为( )
A.B.C.D.
4、双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
5、若两条直线与相互垂直,则( )
A.B.0C.或0D.-2或0
6、作圆上一点处的切线l,直线与直线l平行,则直线l与m的距离为( )
A.4B.2C.D.
7、若方程有实数解,则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8、已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.3
二、多项选择题
9、已知平面上一点,若直线l上存在点P使,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线中是点M的“相关直线”的是( )
A.B.C.D.
10、将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.在上有2个零点D.在上单调递增
11、已知实数x,y满足方程,则下列说法正确的是( )
A.的最大值为B.的最大值为
C.的最大值为D.的最大值为
12、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是( )
A.以线段AB为直径的圆与直线相交
B.以线段BM为直径的圆与y轴相切
C.当时,
D.的最小值为4
三、填空题
13、已知圆和圆外切,则__________.
14、直线与圆交于A,B两点,则最小值为_____________.
15、直线l被两条直线和截得的线段的中点为,则直线l的斜率为__________.
16、已知,是双曲线左右焦点,过的直线l与双曲线的左右支分别交于A、B两点,若,,则______________.
四、解答题
17、在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若,求角B;
(2)若,求证：.
18、在中,BC边上的高所在直线的方程为,的平分线所在直线方程为,若点B的坐标为.
(1)求点A和点C的坐标;
(2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程.
19、如图,抛物线的顶点在原点,圆的圆心恰是抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程;
（2）一条直线的斜率等于2,且过抛物线焦点,它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点,求的值.
20、已知圆,直线,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若,试求点P的坐标;
(2)求证：经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
21、已知椭圆的左右顶点分别为,,右焦点为F,点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)P为椭圆上不与,重合的任意一点,直线,分别与直线相交于点M,N,求证：.
22、已知双曲线的左、右顶点分别是且经过点,双曲线的右焦点到渐近线的距离是,不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P,Q两点（异于,）,P关于原点O的对称点为S.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线与直线相交于点T,直线OT与直线PQ相交于点R,证明：在双曲线上存在定点E,使得的面积为定值,并求出该定值.
参考答案
1、答案：D
解析：椭圆中,,所以长轴的长.
故选：D.
2、答案：A
解析：,
所以复数z的虚部为2.
故选：A.
3、答案：D
解析：由已知直线斜率为,
所以直线方程为.
故选：D.
4、答案：B
解析：由题意可知,双曲线的焦点在y轴上,所以,即,
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
5、答案：C
解析：因为,则,解得或.
故选：C.
6、答案：A
解析：圆C的圆心为,是圆上一点,
,所以切线l的斜率为,
直线l的方程为,
由于l与m平行,所以,
即直线m的方程为,
所以直线l与m的距离为.
故选：A.
7、答案：C
解析：方程 有实数解等价于 与图像有交点,
即表示等轴双曲线x轴上方的部分,
表示平行直线系,斜率都为2;
当时,把向左平移到 处,m有最小值,即,故;
当时,把向右平移到与双曲线相切时m有最大值,
联立化简可得,
令方程的判别式得,
由题意可得与右支相切时,故
综上：实数m的取值范围是
故选：C.
8、答案：A
解析：设椭圆的焦点在x轴上,方程为,,,
设,由,且,
故,,,
由点D在椭圆上,
故,整理得,
故离心率,
故选：A.
9、答案：BC
解析：对于A,,直线为,所以点到直线的距离为:,
即点M到直线的最小值距离大于4,所以直线上不存在点P使成立.故A错误,
对于B,,直线为,所以点M到直线的距离为,
所以点M到直线的最小值距离小于4,
所以直线上存在点P使成立.故B正确,
对于C,,直线为,所以点到直线的距离为:,
所以点M到直线的最小值距离等于4,
所以直线上存在点P使成立,故C正确,
对于D,,直线为,所以点到直线的距离为:,
即点M到直线的最小值距离大于4,
所以直线上不存在点P使成立.故D错误,
故选：BC.
10、答案：BCD
解析：曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到;再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线,
所以.
故A错误.
对于B: ,而.
因为,所以,即.故B正确;
对于C:当时,令,解得：或.即在上有2个零点.故C正确;
对于D：当时,,所以在上单调递增.故D正确.
故选：BCD.
11、答案：ABC
解析：根据题意,方程,即,
表示圆心为,半径为的圆,由此分析选项：
对于A,设,即,
直线与圆有公共点,
所以,解得
则的最大值为,故A正确;
对于B,设,其几何意义为圆上的点到原点的距离,
所以t的最大值为,
故的最大值为,故B正确;
对于C,设,则,直线与圆有公共点,
则,解得,
即的最大值为,故C正确;
对于D,设,则,直线与圆有公共点,
则有,解得：,
即的最大值为,故D错误;
故选：ABC.
12、答案：ACD
解析：的焦点,准线方程为,
设A,B,M在准线上的射影为,,,
由,,,
可得线段AB为直径的圆与准线相切,与直线相交,故A对;
当直线AB的斜率不存在时,显然以线段BM为直径的圆与y轴相切;
当直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为,联立,可得,
设,,
可得,,设,,
可得M的横坐标为,MB的中点的横坐标为,,
当时,MB的中点的横坐标为,,显然以线段BM为直径的圆与y轴相交,故B错;
以F为极点,x轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为,
设,,可得,,
可得,又,可得,,
则,故C正确;
显然当直线AB垂直于x轴,可得取得最小值4,故D正确.
故选：ACD.
13、答案：2
解析：圆C的圆心为,半径为r.
圆D的圆心为,半径为.
圆心距为,
由于两个圆外切,所以.
故答案为：2.
14、答案：
解析：直线过定点过,因为点在圆的内部,且,由圆中弦的性质知当直线与OM垂直时,弦长最短,此时结合垂径定理可得,
故答案为：.
15、答案：-3
解析：设直线l与的交点为,直线l与的交点为B.
由已知条件,得直线l与的交点为,
联立,
即,解得,
所以,,,
直线l的斜率,
故答案为：-3.
16、答案：
解析：因为,所以,
因为,所以,
因为,所以,,
因此,
故答案为：.
17、答案：(1);
(2)证明见解析.
解析：（1）,由正弦定理得,
,
,C是三角形内角,,,
B是三角形内角,;
（2）,
所以,
即, ,
,
,显然,,因此A是锐角,,显然,
所以.
18、答案：(1),.
(2)
解析：（1）由已知A应在BC边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点,
由,
得,故,
由,
所以AC所在直线方程为,
BC所在直线方程为,
由,得
所以点A和点C的坐标为,.
（2）由（1）知AC所在直线方程为,
所以直线l的斜率为,
因为,
所以直线l所在的方程为,即,
所以直线l的斜截式方程为.
19、答案：（1）
（2）6
解析：（1）设抛物线方程为,
圆的圆心恰是抛物线的焦点,.
抛物线的方程为：;
（2）依题意直线AB的方程为
设,,则,得,
,.
.
20、答案：(1),或.
(2)证明见解析,定点和
解析：（1）设,
因为PA是圆M的切线,,
所以,,
所以,解得, ,
故所求点P的坐标为,或.
（2）设,MP的中点,
因为PA是圆M的切线,
所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,MQ为半径的圆.
故其方程为,
化简,得,此式是关于m的恒等式,
所以,解得或,
所以经过A,P,M三点的圆必过定点和.
21、答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）由题知：,
将点代入方程得：,解得,
椭圆C的标准方程为.
（2）由(1)知,.
设,则,
直线的方程为,
令,则,即,
直线的方程为,
令,则,即,
,即.
22、答案：(1)
(2)定值为9,证明见解析.
解析：（1）设双曲线的右焦点,一条渐近线为,
则由题意可知,,解得,
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由题意可知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为,,,
则,消去y,得,,
因为,所以,
所以,
所以,
,
所以,
由题意可知,,
由T,S,三点共线可得
即,
由T,Q,三点共线可得
即,
相交可得,
所以直线OT的方程为,
联立,解得,
所以点T在定直线上,
则使得的面积为定值的点E一定为过点M且与直线平行的直线与双曲线的交点,此时,且.