西北工业大学附属中学2023届高三上学期1月期末考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份西北工业大学附属中学2023届高三上学期1月期末考试数学（理）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知复数,则共轭复数在复平面对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2、设函数满足,且,,有,则( )
A.B.
C.D.
3、设集合,则( )
A.B.C.D.
4、“”是“不等式”的( )
A.充分不必要条件B.充分必要条件
C.必要不充分条件D.非充分必要条件
5、若递增等比数列的前n项和为,,,则公比q等于( )
A.2B.C.2或D.无法确定
6、设函数的最小正周期为T,则在上的零点之和为( )
A.B.C.D.
7、一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是( )
A.-2B.-3C.-4D.-5
8、作用在同一物体上的两个力,当它们的夹角为时,则这两个力的合力大小为______N( )
A.30B.60C.90D.120
9、设,,则等于( )
A.B.C.D.
10、从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛,不同组合方法种数为( )
A.B.C.D.
11、已知,是椭圆的左、右焦点,点M在椭圆E上,与x轴垂直,,则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
12、已知数列满足,（且）,数列的前n项和为,则( )
A.B.
C.D.
二、填空题
13、欧拉是科学史上最多才一位杰出的数学家,他发明的公式为,i虚数单位,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式,的最大值为________．
14、在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,则角__________．
15、若点关于x轴对称点为,则的一个取值为____________.
16、曲线上某点处的切线与直线垂直,则该切线方程为____________．
三、解答题
17、某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动,为了了解本次投篮比赛学生总体情况,从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示：
（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数;
（2）估计甲乙两个小组的成绩的方差大小关系;
（3）甲组高于70分的同学中,任意抽取2名同学,求恰好有一名同学的得分在的概率．
18、已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上,且.
（1）求抛物线C的标准方程;
（2）直线l与抛物线C交于M,N两点,若线段MN的中点为,求直线l的方程．
19、已知等差数列中,,.
（1）求的通项公式;
（2）求的前n项和的最大值.
20、如图,在四棱锥,底面正方形ABCD,E为侧棱PD的中点,F为AB的中点,.
（1）求四棱锥体积;
（2）证明：平面PFC;
（3）证明：平面平面PCD.
21、已知数列的首项为1,为数列的前n项和,,其中,,,
（1）求通项公式;
（2）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为）且;
22、已知抛物线的焦点F到准线的距离为2,圆M与y轴相切,且圆心M与抛物线C的焦点重合.
（1）求抛物线C和圆M的方程;
（2）设为圆M外一点,过点P作圆M的两条切线,分别交抛物线C于两个不同的点,和点,.且,证明：点P在一条定曲线上.
23、已知函数,M为不等式的解集.
（1）求M;
（2）证明：当,.
参考答案
1、答案：C
解析：
,
对应的点的坐标为,在第三象限
故选：C.
2、答案：C
解析：由题意知,,都有,
可得函数在上单调递增,
又由函数满足,可得是定义在R上的偶函数,
所以,所以,即,
故选：C.
3、答案：D
解析：因为集合或,且,
所以.
故选：D.
4、答案：A
解析：解不等式得或,
则,而时,不成立.
故“”是“不等式”的充分不必要条件.
所以A选项是正确的.
5、答案：A
解析：.
由.得.
解得或.
因为等比数列为递增数列．
所以.
故选：A.
6、答案：A
解析：因为,所以.
令,得,
所以在上的零点为,,
则所求零点之和为.
故选：A.
7、答案：C
解析：设等差数列的公差为d,,
又数列前六项均为正数,第七项起为负数,,,,
又数列是公差为整数的等差数列,,
故选C.
8、答案：B
解析：如图,,,,
作平行四边形ABCD,则,
因为,所以四边形ABCD是菱形,
又,是等边三角形,．
故选：B．
9、答案：B
解析：,
,即,
故选B.
10、答案：B
解析：分两步进行：第一步,选出两名男选手,有种方法;
第二步,从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对,有种.
故有种.
故选：B.
11、答案：A
解析：由已知,得,则,
又在椭圆中,,
故,
即,
解得,
故选：A.
12、答案： A
解析：因为（且）,
同除以,得,
所以,···,
,
所以,即.
故选：A.
13、答案：3
解析：,
又,
即当时,取得最大值为3,
故答案为：3.
14、答案：
解析：由题意得,
而,
由正弦定理化简得,
故,,得
故答案为：.
15、答案：（答案不唯一）
解析：因为点关于x轴的对称点为,
所以,即,所以,
所以,
即,
故答案为：（答案不唯一）.
16、答案：
解析：,该函数的定义域为,,
直线l的斜率为-1,故所求切线的斜率为1,由,可得,
,故切点为,
所以,所求切线的方程为,即.
故答案为：.
17、答案：（1）68
（2）甲成绩的方差大于乙成绩的方差
（3）
解析：（1）记甲乙两个小组成绩的平均数分别为,
则,
,
所以甲乙两个小组成绩的平均数均为68.
（2）记甲乙两个小组的成绩的方差分别为,
则
,
,
所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差;
（3）由茎叶图可知,甲组高于70分的同学共4名,有2名在,
记为,有2名在,记为,任取两名同学的基本事件有6个：
,,,,,
恰好有一名同学的得分在的基本事件数共4个：
,,,
所以恰好有一名同学的得分在的概率为.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为点在抛物线C上,所以
又因为,解得,故抛物线C的标准方程为;
（2）设,
则,所以,
化为
又因为MN的中点为,所以,
则 ,故直线l的斜率为,所以直线l的方程为,
整理得．
19、答案：（1）
（2）90
解析：（1）等差数列中,
,
,解得,,
的通项公式．
（2）,,
的前n项和．
当或10时,前n项和的最大值90.
20、答案：（1）
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）设四棱锥体积为,
正方形ABCD的面积为,
则．
（2）取PC中点G,连结EG,FG,
因为E、F分别为PD、AB的中点,
所以,,,
所以,,
所以四边形AEGF为平行四边形,
所以．
又平面PFC,平面PFC,
所以平面PFC;
（3）底面正方形ABCD,平面ABCD,
,又,,平面PAD,平面PAD,
所以平面PAD,平面PAD,
所以．又,,平面PCD,平面PCD,
所以平面PCD．
由（2）知,
所以平面PCD,而平面PFC,
所以平面平面PCD．
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）①,②,①-②得,又当时,,故数列为等比数列,首项为1,公比为x,;
（2）,可得,
,在,内至少存在一个零点,
又,在内单调递增,
在内有且仅有一个零点,
是的一个零点,,
即,故;
22、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题设得,
所以抛物线C的方程为.
因此,抛物线的焦点为,即圆M的圆心为
由圆M与y轴相切,所以圆M半径为1,
所以圆M的方程为.
（2）证明：由于,每条切线都与抛物线有两个不同的交点,则.
故设过点P且与圆M相切的切线方程为,即.
依题意得,整理得①;
设直线PA,PQ的斜率分别为,,,则,是方程①的两个实根,
故,②,
由得③,
因为点,,,
则④,⑤
由②,④,⑤三式得：
,
即,
则,即,
所以点P在圆.
23、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）,
时,,无解,
同样时,,无解,
只有时,满足不等式,;
（2）要证,只需证,
即证,即证,
因为,所以,则,
原不等式成立.