2023-2024学年福建省三明市五县高二上学期期中联合质检考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省三明市五县高二上学期期中联合质检考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，，则（ ）
A．20B．C．D．8
【答案】C
【分析】直接利用向量的运算法则计算得到答案.
【详解】.
故选：C
2．经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】根据斜率公式求得，结合直线的方向向量的定义，即可求解.
【详解】由点，可得直线的斜率为，
因为经过两点的直线的一个方向向量为，所以.
故选：D.
3．直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．2或
【答案】C
【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解.
【详解】当直线与直线不相交时，，解得，
当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去；
当时，直线，即与直线平行，
所以实数的值为.
故选：C
4．已知四棱雉中，，平面，且四边形是边长为2的正方形，是中点，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量为，结合点面积的向量公式，即可求解.
【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为底面正方形的边长为，，且是中点，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
所以点到平面的距离为.
故选：C.
5．若圆与圆的公共弦长为，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，根据点到直线的距离公式，利用几何法求弦长列出方程，解方程即可.
【详解】圆与圆两式相减，
整理得公共弦所在直线方程为，
又，圆心为，半径为2，公共弦长为，
则圆心到直线的距离
，
化简得，
解得：．验证知符合题意.
故选：A.

6．已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设圆C的半径为R，根据题意，得到，根据双曲线的定义，结合题中条件，求出，即可得出结果.
【详解】设圆C的半径为R，由题意可知，
两圆的圆心为：，∴，
可知点C的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
∴，
则动圆圆心C的轨迹方程为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查双曲线的定义，涉及圆与圆位置关系，属于常考题型.
7．已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设椭圆的左焦点为，由已知条件推导出，当点在的延长线上时，得的最大值．
【详解】解：点为椭圆的右焦点，
，
点为椭圆上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外，
设椭圆的左焦点为，
，
，
，当点在的延长线上时取等号，
，
则的最大值为．
故选：．
二、多选题
8．如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（ ）
A．的最小值为2
B．四面体的体积为
C．有且仅有一条直线与垂直
D．存在点，使为等边三角形
【答案】ABD
【分析】利用异面直线的距离可判定A，利用棱锥的体积公式可判定B，利用特殊位置可排除C，利用坐标法可判定D.
【详解】根据正方体的特征可知面，
又面，所以，
即是异面直线和的公垂线，
当分别与重合时，最小值，最小值为2，故A正确；
易知，所以，故B正确；
易知是等边三角形，所以当是中点，而N与重合时，，
又由A项可知当分别与重合时，，故C错误；
如图所示，建立空间直角坐标系，则，可设，，
若存在点，使为等边三角形，则有，
由，由，
解方程得，
当舍去，
又因为所以符合题意，即D正确.
故选：ABD
9．下列说法错误的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为1
C．直线的倾斜角为
D．过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为
【答案】BD
【分析】计算直线定点得到A正确，计算截距为得到B错误，计算倾斜角得到C正确，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：直线必过定点，正确；
对选项B：取得到，故在轴上的截距为，错误；
对选项C：直线的斜率为，，
故，正确；
对选项D：过点，且与坐标轴截距相等，错误；
故选：BD
10．下列说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．直线的方向向量，平面的法向量，则
C．已知直线经过点，则到的距离为
D．若，则为钝角
【答案】AC
【分析】根据空间向量的定义知A正确，确定，故或，B错误，利用向量计算点到直线的距离得到C正确，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，正确；
对选项B：，，故或，错误；
对选项C：，，
，
故到的距离为，正确；
对选项D：当非零向量时，，，错误；
故选：AC
三、单选题
11．已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定有的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】作图，用对称性即可求解.
【详解】如图所示，BCD三项的直线均和对称
而椭圆关于原点对称，故弦长都相同
故选：BCD
四、多选题
12．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别切圆于点．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦直线方程为
C．直线过定点
D．最短时，弦长为
【答案】ACD
【分析】确定圆心和半径，，计算得到A正确，确定为直径的圆方程，得到弦直线方程，B错误，代入验证得到C正确，利用面积法计算得到D正确，得到答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
对选项A：连接，的面积，
当最小时面积最小，，此时，正确；
对选项B：设，则以为直径的圆方程为：
，
是两圆的公共弦，两圆方程相减得到方程：，
，当最小时最小，与直线垂直，
方程为：，，解得，即，
代入得到直线方程为，错误；
对选项C：方程，当时，，
故直线过定点，正确；
对选项D：，，此时，
此时，故，正确；
故选：ACD.
五、填空题
13．已用，，则在方向上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】用在方向上的投影乘以与同向的单位向量可得结果.
【详解】在方向上的投影向量为.
故答案为：
14．直线交椭圆于，两点，若线段的中点坐标为.则直线的方程为 .
【答案】
【分析】利用点差法即得.
【详解】设，，代入椭圆方程有，，
两式相减得，
又线段的中点坐标为，
所以，即，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
15．已知两定点，且点是直线上任意一点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】确定点关于直线的对称点为，，计算得到答案.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
，当且仅当共线时等号成立.
故答案为：.
六、双空题
16．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
七、解答题
17．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求：
(1)直线的一般式方程；
(2)求的边的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直确定，再计算直线方程得到答案.
（2）设，根据的中点在直线上，结合在上，得到答案.
【详解】（1）边上的高所在的直线方程为，斜率，故，
直线方程为，即；
（2）设，则的中点坐标为，
则，解得，即，.
18．已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义，求双曲线方程；（2）结合余弦定理和双曲线的定义，求.
【详解】（1）由椭圆方程可知，
，，
,
，，
双曲线的方程；
（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，
，
变形为，
19．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设．
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，求直线与夹角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据空间向量的运行法则得到答案.
（2）计算，，，再根据向量的夹角公式计算即可.
【详解】（1）
；
（2），故，
，
，
，
，
直线与夹角的余弦值为，
直线与夹角的正弦值为.
20．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线轴上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点的动直线与圆相交于，两点．当时，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．
【分析】（Ⅰ）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
（Ⅱ）对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论，利用，其中为圆心到直线的距离，即可求出直线的斜率，从而求出直线的方程．
【详解】解：（Ⅰ）设圆心，则，
∵圆经过点和，
，
解可得，，，即圆心，，
故圆的方程为：；
（Ⅱ）∵圆的方程为：，圆心，，
①当直线的斜率不存在时，直线方程为：，
此时，
∴符合题意，
②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，即，
∴圆心到直线的距离，
∴，∴，
∴直线的方程为：，
综上所求，直线的方程为：或．
【点睛】本题考查了求圆的方程，考查了已知圆的弦长求直线方程问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.
21．如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
(1)求平面与平面所成的角的余弦值；
(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）证明，建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
（2）假设存在，设，确定，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）连接，，是的中点，故，
平面平面，平面平面，平面，
故平面，平面， 故，
三角形为正三角形，故，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，所以，
轴与平面垂直，故是平面的一个法向量，
所以，
故平面与平面所成的角的余弦值为.
（2）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，
，，设，，
则，
直线与平面所成的角为，，
则，由，解得，
故在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，且.
22．椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入椭圆方程，并结合右焦点是，解出和的值，即可得解；
（2）当直线斜率不存在时，可得其方程为，求出，当直线斜率存在时，设其方程为，结合韦达定理、平面向量数量积推出及，再由，计算可得的取值范围，从而得解．
【详解】（1）焦点为，则，即，
点在椭圆：上，即，
解得或（舍去），则，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线斜率存在时，设其方程为，，，
联立，可得，
则①，
又②，③
以为直径的圆过原点即，
化简可得，
代入②③两式，整理得，
即④，
将④式代入①式，得恒成立，则，
设线段中点为，由，所以，
又，
又由，则点坐标为，
化简可得，
代入椭圆方程可得，即，
则
，
当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴，易得，，，
综上，四边形面积的取值范围为.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.