2023-2024学年甘肃省白银市靖远县靖远县第一中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年甘肃省白银市靖远县靖远县第一中学高二上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式求出集合，再求交集可得答案.
【详解】因为，
所以．
故选：D.
2．已知数列的前三项为4，3，2，则的一个通项公式可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，结合选项判断.
【详解】解：因为，
所以的一个通项公式可以为．
而对于A的通项，，不符合题设要求；
对于B中的通项，，不符合题设要求；
对于D中的通项，，不符合题设要求.
故选：C
3．若为纯虚数，则（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】根据复数的运算化简，由于复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0.
【详解】因为为纯虚数，所以且，解得.
故选：B
4．若直线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．7D．
【答案】A
【分析】利用直线垂直的斜率关系计算即可.
【详解】因为直线的斜率为，所以，解得．
故选：A
5．过直线上一点P作圆C：的切线，Q为切点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据相切可得，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】因为圆C的圆心到直线的距离，
所以，
当时，此时，所以的最小值为，
故的取值范围是．
故选：C
6．设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量在向量上的投影向量得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：向量在向量上的投影向量为，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：C
7．直线经过定点A，则点A的横坐标与纵坐标之和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据题意，由直线过定点，即可得到结果.
【详解】由，得，
令得
所以点A的横坐标与纵坐标之和为．
故选：B
8．若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由T数列的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】当时，是单调递减数列，，因为，当时，单调递增，所以是单调递增数列，所以是T数列，故A错误；
当时，易知不是递增数列，因为，所以是单调递增数列，所以是T数列，故B错误；
因为，所以是递减数列，因为，且是单调递增数列，所以是T数列，故C错误；
当时，，所以不是单调递增数列，不是T数列，故D正确.
故选：D
二、多选题
9．甘肃省2017到2022年常住人口变化图如图所示：
则（ ）
A．甘肃省2017到2020年这4年的常住人口呈递增趋势
B．甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的第40百分位数为2501.98万
C．甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的极差为156.41万
D．从2017到2022年这6年中任选1年，则该年的甘肃省常住人口大于2500万的概率为
【答案】BD
【分析】A.由条形图判断；B.利用第百分位数的定义求解判断；C.利用极差的定义求解判断；D.利用古典概型的概率求解判断.
【详解】由图可知，A错误．
甘肃省2017到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列为2490.02，2492.42，2501.98，2625.71，2637.26，2647.43，
因为，所以这6年的常住人口的第40百分位数为2501.98万，B正确．
甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的极差为万，C错误．
从2017到2022年这6年中任选1年，则该年的甘肃省常住人口大于2500万的概率为，D正确．
故选：BD
10．若函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，
C．当时，为偶函数
D．的图象关于直线对称
【答案】ACD
【分析】根据周期公式，可以判断A；代入，两角和的正弦公式化简，可以判断B；
代入，根据奇偶函数定义可以判断C；三角函数对称轴的要求可以判断D.
【详解】，A正确．
当时，，B错误．
当时，，定义域，，所以为偶函数，C正确．
因为，所以的图象关于直线对称，D正确．
故选：ACD.
11．若正项数列是等差数列，且，则（ ）
A．当时，B．的取值范围是
C．当为整数时，的最大值为29D．公差d的取值范围是
【答案】ABC
【分析】对于根据等差数列的定义求出公差的值，即可求出；又数列是正项等差数列，根据，及，即可求出公差的取值范围，继而可以判断
【详解】当时，公差，，A正确．
因为是正项等差数列，所以，即，且，
所以公差的取值范围是，D错误．
因为，所以的取值范围是，B正确．
，当为整数时，的最大值为29，C正确．
故选：
12．已知曲线：，圆：，则（ ）
A．当或时，曲线与圆没有公共点
B．当时，曲线与圆有1个公共点
C．当时，曲线与圆有2个公共点
D．当时，曲线与圆有4个公共点
【答案】ACD
【分析】由得或，分类根据直线与圆的位置关系，判断交点个数即可.
【详解】由，得或，
设：，：，则过定点，过定点，
圆：的圆心坐标为，半径为，
当与圆相切时，由，得或，
当与圆相切时，由，得或．
当或时，与圆相离，与圆相离，则曲线与圆没有公共点．
当时，与圆相交，与圆相离，则曲线与圆有2个公共点．
当时，与圆相交，与圆相切，则曲线与圆有3个公共点．
当时，与圆相交，与圆相交，则曲线与圆有4个公共点．
故选：ACD
三、填空题
13．若，则 ．
【答案】/
【分析】根据题意，由对数的运算，即可得到结果.
【详解】．
故答案为：.
14．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程： ．
【答案】（答案不唯一，只要方程满足即可）
【分析】求出圆的圆心和半径，利用两圆外切即可求出一个圆C的标准方程.
【详解】由题意，
在中，圆心，半径，
因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M：外切，
设半径为，则圆心
所以圆C的方程为．
∴一个圆C的标准方程：
故答案为：.
四、双空题
15．一个小球从54米高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，则小球第2次落地时，经过的路程是 米；小球第次落地时，经过的路程是 米．
【答案】 90
【分析】先求出通项公式，再利用等比数列的求和公式可得答案.
【详解】设小球第1次落地时经过的路程为，小球从第次落地到第n次落地时经过的路程为米，
则，
所以小球第2次落地时，经过的路程是米，
小球第次落地时，经过的路程是
米．
五、填空题
16．已知正四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，球O的表面积为，且，则正四棱锥的高为 ．
【答案】
【分析】根据题意，设正方形ABCD的中心为H，即可得到，再由勾股定理代入计算，即可得到结果.
【详解】
设正方形ABCD的中心为H，则底面ABCD，球心O在PH上．
设球O的半径为R，则，解得．
因为，所以，
所以由勾股定理得，解得．
故答案为：
六、解答题
17．（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；
（2）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线的斜率．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据平行关系设出直线方程，利用过点的坐标可得答案；
（2）先利用点斜式设出方程，利用截距的关系求出方程.
【详解】（1）依题意可设所求直线的方程为，
将点的坐标代入得，
解得，故所求直线的方程为．
（2）依题意可设所求直线的方程为．
令，得；令，得．
依题意可得，
解得．
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角的正弦公式求解即得.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】（1）在中，由正弦定理、二倍角的正弦公式及，得．
又，因此，而，
所以．
（2）由（1）知，由余弦定理得．
而，则，，解得，
所以的面积．
19．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的知识求得.
（2）利用裂项求和法求得.
【详解】（1）由，得，所以是公差为的等差数列，
因为，所以．所以．
（2）由（1）知，
所以．
20．已知圆．
(1)求的取值范围；
(2)若倾斜角为的直线与圆C相交于，两点，且，求．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）方法一：根据求出参数的取值范围，方法二：将圆的方程配成标准式，再由计算可得；
（2）首先求出直线的方程，从而求出圆心到直线的距离，再由垂径定理与勾股定理表示出弦长，即可求出.
【详解】（1）方法一：，则，所以的取值范围为．
方法二：由，得，
由，解得，所以的取值范围为．
（2）因为直线的倾斜角为，所以，则直线，
圆的圆心到直线的距离，
所以，
整理得，
即，解得或．
21．已知数列满足，且的前n项和为．
(1)求；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)（或）．
【分析】（1）利用递推关系可得答案；
（2）利用错位相减求和可得答案．
【详解】（1）当时，，则，
当时，，
则，
即，所以，
当时，，也满足，所以；
（2）由（1）知，
，，
两式相减得
，
所以（或）．
七、未知
22．在平面直角坐标系中，已知两个定点，，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过直线上一动点作曲线C的两条切线，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点．
【答案】(1)
(2)过定点
【分析】（1）设点，根据列方程化简即可；
（2）先得到M，N都在以CD为直径的圆上，结合已知条件得到圆的方程，由M，N是两圆的公共点，所以直线MN为两圆公共弦所在的直线．进而联立方程化简即可.
【详解】（1）设点，
由，得，
平方化简得，，
即曲线C的方程为
（2）设直线上一点，曲线C的圆心为C，
则，，则M，N都在以CD为直径的圆上．
因为圆心为，半径为，
所以圆的方程为，
即．
因为M，N是两圆的公共点，所以直线MN为两圆公共弦所在的直线．
由
得直线MN的方程为，即．
由得，，所以直线MN过定点
【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：
（1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案.