2023-2024学年海南省文昌市文昌中学、华迈实验中学高二上学期期中段考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年海南省文昌市文昌中学、华迈实验中学高二上学期期中段考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由斜率公式可求得直线斜率，由斜率和倾斜角关系可得直线倾斜角.
【详解】，直线的倾斜角为.
故选：C.
2．已知，，且，则x的值为（ ）
A．B．C．6D．－6
【答案】D
【分析】空间中两向量平行，其对应坐标成比例，故可求之.
【详解】因为，所以，解得.
故选：D.
3．如图，在平行六面体中，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算得到，然后求即可.
【详解】解：，又因，，
∴，
∴，，，
故选：A.
4．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
5．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，，解得，，得到离心率.
【详解】根据题意：，，解得，，
故离心率.
故选：D
6．如图在长方体中，，E，F，G分别是棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面平行，则线段的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，建立方程，表达出，求出最小值.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
，，
设，平面的法向量为，
则，
令得，故，
由，则，
考虑平面内，由两点间距离公式得
，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：C
7．已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用点差法求得m的值，进而可求得椭圆的焦距.
【详解】如图所示，
依题意，直线的斜率为，设，
则，且 ，
由 两式相减得：，
于是，解得，
此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，
所以椭圆的焦距为.
故选：B.
8．点在曲线上，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果.
【详解】如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，，
表示点到直线距离的5倍，
点到直线的距离，即直线与圆相离，
点到直线的距离，
最小值为，最大值为，
则的取值范围为.
故选：B
二、多选题
9．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的倾斜角为
B．直线的横截距为
C．若，则与直线的交点为
D．若，则点关于直线的对称点为
【答案】BD
【分析】对A，由斜率和倾斜角关系可判断；对B，由截距的概念可判断；对C，联立两直线方程可得交点坐标；对D，由对称性列式运算可得解.
【详解】对于A，当时，直线的斜率，即，又，所以直线的倾斜角为，故A错误；
对于B，由，令，得，所以直线的横截距是1，故B正确；
对于C，当时，联立，解得，所以两直线的交点坐标为，故C错误；
对于D，当时，，设点关于直线的对称点为，则，
且线段的中点在直线上，
有，解得，
所以点关于直线的对称点为，故D正确.
故选：BD.
10．关于椭圆 ，下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为4B．短轴长为1
C．焦距为 D．离心率为
【答案】ACD
【分析】结合椭圆的几何性质依次判断即可.
【详解】因为椭圆，所以，，.
长轴长为4 ，故 A正确；
短轴长为，故B 错误；
焦距为，故C正确；
，故 D正确.
故选：ACD.
11．已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】AD
【分析】理解选项中关系式的几何意义，根据直线与圆的位置关系即可以对选项逐一判断.
【详解】设，变形为，此式表示圆上一点 与点 连线的斜率，
由 ，可得，此直线与圆有公共点，则 ，
解得，故 的最大值为，最小值为.故A正确，B错误，
令并将其变形为，
问题可转化为斜率为的直线在经过圆上的点时在轴上的截距的最值.
当直线和圆相切时在轴上的截距取得最大值和最小值，
所以，解得 ，
所以的最大值为，最小值为. 故C错误；
表示圆 上的点到坐标原点的距离，
原点到圆心的距离，
故圆上的点到坐标原点的最大距离为 ，故D正确，
故选：AD.
12．如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，点P为圆弧上一动点（点P与点A， D不重合） ，则（ ）
A．存在值，使得
B．三棱锥体积的最大值为
C．当时，异面直线与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成最大角的正弦值为
【答案】BCD
【分析】利用线面垂直的性质即可判断选项A；根据棱锥的体积计算公式判断选项B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式判断选项C；利用立体几何、平面几何知识将线面角的正弦表达式求出来并通过进一步计算即可判断D.
【详解】对于A选项，由题意知，
若，，平面，
则平面，
又平面，
所以，不成立，故A不正确；
对于B选项，在三棱锥中，半圆面，
所以，
三棱锥即三棱锥是为高，为底面的三棱锥，
当点是半圆弧的中点时，三棱锥的底面积S△PAD取得最大值，
三棱锥的体积取得最大值为，故选项B正确；
对于选项C：当时，则为的中点，以的中点为原点，
以分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，可得，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为，所以C正确；
对于D选项，
取的中点，过点P作于点，连接，
由题意知，平面，平面，，
又因为，，平面，
可得平面，
所以为在平面内的射影，则为直线与平面所成的角，
设，则，
在Rt中，，
又平面，平面，
所以，
又面，
所以面，
又面，
所以，
所以，
故，
令，则，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，则，
所以直线与平面所成最大角的正弦值为.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题的综合性比较强，关键在于充分利用立体几何常规方法、向量方法以及一些平面几何知识相结合，且有一定的计算要求.
三、填空题
13．已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用两圆的方程相减，即可求得两圆公共弦所在的直线方程.
【详解】由圆和圆，
两圆的方程相减，可得，
即圆与圆的公共弦所在的直线方程为.
故答案为：.
14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
【答案】，
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义，结合向量坐标运算求解作答.
【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量是，
所以向量在向量上的投影向量的坐标是.
故答案为：
15．已知直线，圆，圆上恰有4个点到直线的距离为1，则b的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得圆心到直线的距离小于1，再利用点到直线距离即可求出b的取值范围．
【详解】圆上恰有4个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离小于1，
则，即，
所以b的取值范围为．
故答案为：．
16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.

四、解答题
17．如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算证明直线与平面平行；
（2）利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）
证明：如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．
则,,,，,,．
所以,
因为平面，所以平面的一个法向量为，
因为，所以，因为平面，
所以平面.
(2)，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则
所以
设平面的一个法向量为，
则
令， 则， 所以,
平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．在中，内角所对的边分别为且．
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；
（2）由的面积为可得，再根据余弦定理即可得，进而求得周长.
【详解】（1）由正弦定理，即，由余弦定理，且，故.
（2）由题意，解得.
由余弦定理，可得.
故的周长为
19．某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

请完成以下问题：
(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；
(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
【答案】(1)93分
(2)
【分析】(1）先利用频率之和为1，计算出，进而求出平均值即可；(2）利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽2人，分别记为，需在内抽3人，分别记为.，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率．
【详解】（1）由，
得.
数学成绩在：
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
样本平均值为：
可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分．
（2）由题意可知，分数段的人数为（人），
分数段的人数为（人）.
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽2人，分别记为，
需在分数段内抽3人，分别记为.
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件 A，
则样本空间共包含10个样本点而 A 的对立事件包含3个样本点，
所以．
即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为
20．已知直线l：和以点C为圆心的圆.
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长.
【答案】(1)证明见解析
(2)，最短弦长为
【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立即可求得直线恒过的定点；
（2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解值及弦长.
【详解】（1）由直线l：，得，
联立，解得，所以直线l恒过一定点；
（2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则，
圆C：，可得，半径为，则，
所以，解得，又，
此时最短弦长为.
21．如图，四面体中，，，，E为的中点．
(1)证明：⊥平面；
(2)设，，，点F在上，若与平面所成角的正弦值为，求点F到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，根据F的位置设出的坐标，然后根据线面夹角的向量公式条件求出F的坐标，最后利用点到面的距离的向量公式求出答案.
【详解】（1）证明：因为，E为的中点，所以，
在和中，，所以，
所以，又E为AC的中点，所以，
又平面BDE，，
所以⊥平面.
（2）由（1）可知⊥平面，且，
所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ，
所以，
设面的一个法向量为，则
，
取，则所以，
又，，
设，，所以，
设与平面所成的角为θ，
因为，
所以，解得，
由点到平面的距离公式得
22．已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1) ;(2)为定值.
【详解】试题分析：（1）根据离心率、直线与圆相切建立关于的方程组，过得，从而得到椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为，联立椭圆方程消去，得到关于的方程，再利用韦达定理得到之间的关系，从而得到的关系．
试题解析：（1）由题意得解得故椭圆的方程为．
（2）设，，直线的方程为，由
得．
∴，，
由，，三点共线可知，，所以；
同理可得
所以．
因为，
所以．
【解析】1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、椭圆的几何性质；3、直线的斜率．
【方法点睛】解答直线与椭圆的位置关系的相关问题时，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，再应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式＝或＝解决，往往会更简单．