2023-2024学年河北省石家庄市第二中学教育集团高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市第二中学教育集团高二上学期期中数学试题含答案，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出直线的斜率的取值范围，根据直线斜率与倾斜角的关系可得出该直线倾斜角的取值范围.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
直线的斜率为，
当时，则；
当时，则.
综上所述，该直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
2．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线焦点的位置分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，双曲线焦点位于纵轴上的渐近线方程为；
当时，双曲线焦点位于横轴上的渐近线方程为，
因此双曲线的渐近线方程为，
故选：C
3．若向量，，且，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出的值，由已知可得，结合平面向量数量积的运算性质可求出的值即可.
【详解】由已知，
因为，则，解得.
故选：B.
4．已知，则圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离公式，根据圆心到直线的距离与半径的大小进行判断即可.
【详解】圆心到直线的距离，
因为，
即，所以圆与直线的位置关系是相交，
故选：B
5．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出，，利用空间向量数量积的运算性质可求得的长.
【详解】由已知，二面角等于，即，
所以，，
所以，
，
因此，.
故选：C.
6．将一张坐标纸折叠一次，使得点和点重合，点和点重合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两点关于折线对称，先求出折线方程，再根据与关于折线对称求出即可.
【详解】设点和，线段中点为点,
折线即为线段的中垂线，
则，，所以，
直线的斜率为，则折线斜率为2，
所以折线方程为：，
由题知与关于折线对称，
则两点中点在直线上且两点连线与直线垂直，
所以化简得，
解得，所以.
故选：A
7．如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（ ）

A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得间最小距离即为异面直线与间的距离，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】
因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为
异面直线与间的距离，
建立如图所示空间直角坐标系，则，
则，，
设与异面直线与都垂直的向量，
则，解得，取，则，
所以，则异面直线间的距离为.
即间最小距离为.
故选：C
8．探究函数的图象与性质，发现它的图象是双曲线.可推断出的函数图象均为双曲线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出双曲线的两条渐近线方程，求出两渐近线夹角的正切值，设两渐近线的夹角为，求出的值，即可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】当时，，则，
所以，双曲线的两条渐近线为轴和直线，
设直线的倾斜角为，两渐近线的夹角为，则，则，
则，
另一方面，可得，
因为，则，解得，
因此，双曲线的离心率为.
故选：D.
9．给出下列命题，其中不正确的命题是（ ）
A．向量，，共面，即它们所在的直线共面
B．若是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
C．已知向量，，若，则为钝角.
D．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于130°，则直线与平面所成的角为50°
【答案】B
【分析】根据共面向量定理的定义可判断A,B正误；举特例可判断C；由线面角的定义可判断D.
【详解】对于A，向量量，，可以通过平移后共面，但是它们的所在直线不一定是共面直线，故A不正确；
对于B，假设不是空间向量的一个基底，
所以，
因为是空间向量的一个基底，
所以可得，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立，
所以也是空间的一个基底，故B正确；
对于C，当时，向量，，
，
此时所成角为，则不为钝角，故C不正确；
对于D，因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，
所以直线与平面所成的角等于，故D不正确.
故选：B.
二、多选题
10．下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B．方程表示过点的所有直线
C．当点到直线的距离最大时，的值为
D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据直线的斜率与方向向量之间的关系可判断A选项；根据点斜式方程可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可知，当直线与垂直时，合乎题意，可求出的值，可判断C选项；作出图形，进而根据斜率与倾斜角的变化关系可判断D选项.
【详解】对于A选项，若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，A对；
对于B选项，方程表示过点，且斜率为的直线，但不包括直线，B错；
对于C选项，将直线方程变形为，由可的，
所以，直线过定点，
当直线与垂直时，点到直线的距离最大时，
因为，则，C对；
对于D选项，如图，
，，所以由图可知，或，
则斜率的取值范围是，D对.
故选：ACD.
11．已知双曲线：，左右焦点分别为，若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率
B．若轴，则
C．若双曲线上一点满足，则的周长为
D．存在双曲线上一点，使得点到C的两条渐近线的距离之积为
【答案】BC
【分析】求出渐近线方程，圆心、半径，根据已知列出方程，求出的值，即可得出离心率；求出的方程，代入双曲线得出点坐标，即可得出B项；根据双曲线的定义结合已知求出的值，即可得出C项；设，求出距离之积，结合双曲线的方程，即可判断D项.
【详解】对于A项，由，可得双曲线的渐近线方程为.
圆的圆心为，半径为.
因为双曲线的渐近线与圆相切，
所以有到的距离，解得，
所以双曲线的方程为，，，，
所以，离心率，故A项错误；
对于B项，由A知，，所以的方程为.
代入双曲线方程可得，，所以，故B项正确；
对于C项，由已知，
根据双曲线的定义可知，，所以有.
又，所以的周长为，故C项正确；
对于D项，设，双曲线的渐近线方程为，
则点到直线的距离，到直线的距离，所以.
又在双曲线上，所以有，，故D项错误.
故选：BC.
12．在棱长为的正方体中，点为正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）
A．当为棱的中点时，则四棱锥的外接球的表面积为
B．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．点是线段的中点，当点在平面内，且时，点的轨迹为一个圆
【答案】ABD
【分析】分别确定四边形与三角形的外接圆圆心，进而确定外接球球心与半径，可判断A选项，由线面夹角为，可知，进而确定点轨迹长度，建立空间直角坐标系，利用坐标法确定点的轨迹，进而判断C选项，由平面设垂足为，可确定点，即可确定轨迹.
【详解】A选项：由正方体可知平面平面，
又正方形的中心为，所以球心满足平面，
在中，，，，
所以外接圆半径，且平面，
所以四棱锥外接球半径，
所以外接球表面积，A选项正确；
B选项：由直线与平面所成的角为，且平面，则，
可知点在以顶点，为轴，为母线长的圆锥表面，
所以当点在平面时，点的轨迹为线段，长度为，
同理当点在平面时，点的轨迹为线段，长度为，
当点在平面时，由，所以，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆上，长度为，
点在其他平面时不成立，综上所述，点的轨迹长度为，B选项正确；
C选项：如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，
又，，，，则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，
又平面，则，即，则，
所以，，
所以当时，取最小值为，C选项错误；
D选项：由正方体可知平面平面，所以平面的法向量为，
且平面，又，，
所以点与G到平面的距离分别为，，
所以，，
则，
则，所以，，所以，，
又由正方体可知，即为正三角形，且为中心，
所以点到三角形三边的距离为，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，D选项正确；
故选：ABD.
【点睛】（1）求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
三、填空题
13．已知向量，，则在方向上的投影向量坐标为 .
【答案】.
【分析】先求解出在上的投影数量，然后再求解出同方向的单位向量，二者的乘积即为最终结果.
【详解】在上的投影数量为，
因为，，
所以同方向的单位向量为，
所以在方向上的投影向量坐标为，即为，
故答案为：.
14．过点且横纵截距相等的直线方程为 .（写成一般式方程）
【答案】或
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，在第一种情形下，直接求出直线的斜率，结合点斜式可得出所求直线的方程；在第二种情形下，设所求直线方程为，将点的坐标代入直线方程，求出的值，可得出直线的方程，综合可得结果.
【详解】当直线过原点时，直线的斜率为，此时，直线的方程为，即；
当直线不过原点时，设所求直线的方程为，即，
将点的坐标代入直线方程可得，此时，直线的方程为.
因此，所求直线方程为或.
故答案为：或.
15．在棱长为2的正方体中，动点E在正方体内切球的球面上，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】取的中点为，连接，由数量积可得，求出的最大值和最小值，即可得出答案.
【详解】取的中点为，连接，则，
所以
，
正方体内切球的半径为，即，
设正方体内切球的球心为，面的中心为，连接，
由正方体的性质知：面，所以面，
所以，所以，所以，
所以，，
所以的取值范围是：.
故答案为：.
16．已知点是椭圆外一点，过点M作椭圆两条切线，且两条切线恰好互相垂直，，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先确定的轨迹方程为，再设，再求圆心到这条直线的距离小于半径即可.
【详解】设过的一条切线
联立，另，即
得到，
因为直线为椭圆的切线，判别式等于零，
所以
把再代回上式，得，
整理得，
因为两切线均过，即均适用此式，又两条切线垂直，则，
由韦达定理可知，
则的轨迹方程为；
设，
则
所以原问题等价于直线与圆有两个交点，
所以圆心到直线的距离小于半径，
则，
解得，
故答案为：
四、解答题
17．已知圆过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆：相交于两点，求两个圆公共弦的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）通过解方程组求出交点坐标，结合两点间距离公式进行求解即可..
【详解】（1）设圆的标准方程为，
所以有；
（2）由，或，即，
所以.
18．如图，在棱长为2的正方体中，点M是的中点.

(1)求到平面的距离；
(2)求证：平面平面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，先求解出平面的一个法向量，然后利用公式即可求解出到平面的距离；
（2）先求解出平面的一个法向量，然后根据的运算结果判断的位置关系，由此完成证明.
【详解】（1）以为坐标原点，以为轴建立如图所示空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，
令，则，所以，
设到平面的距离为，
所以.
（2）因为，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，
令，则，所以，
又因为平面的一个法向量，
所以，所以，
所以平面平面.
19．如图，在四棱台中，四边形和均为正方形，四边形为直角梯形，，已知，，.
(1)求证：平面.
(2)若二面角的正弦值为，求该四棱台的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用平面几何的知识证得，从而利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；
（2）依题意，建立空间直角坐标系，由二面角的正弦值求得，即四棱台的高，从而利用台体的体积公式即可得解.
【详解】（1）连接分别与交于，
易得为与的中点，又，所以，
因为在正方形中，，
又，平面，所以平面，
又平面，则，
又，平面，所以平面.
（2）由（1）知平面，，故两两垂直，
以点为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，设，则，
故，
设平面法向量为，则，
取，则，故，
设平面法向量，则，
取，则，故，
所以，
因为，所以，
则，即，
即，即，则，故，
而四边形面积，四边形面积，
所以该四棱台的体积为.
20．椭圆的左右焦点分别为、，为椭圆上一个动点，的外心为，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（斜率不为）与椭圆交于不同的两点、.在轴上是否存在点，使得过且垂直于轴的直线平分?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，且点的坐标为
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算求出，由椭圆的离心率可求得的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，分析可知，，利用斜率公式结合韦达定理求出的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：易知的外心在轴上，设点，
又因为、，，，
所以，，则，因为，则，
所以，，因此，椭圆的方程为.
（2）解：设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，解得或，
由韦达定理可得，，
假设在轴上是否存在点，使得过且垂直于轴的直线平分，
则，即，
即，解得，
因此，在轴上是否存在点定点，使得过且垂直于轴的直线平分.
【点睛】关键点点睛：本题考查点的存在性问题，解题的关键就是将题干中的条件转化，结合韦达定理求解.
21．如图，在四棱锥中，平面，且，为的外心，，.
(1)求证：平面；
(2)若点在线段（不含端点）上运动，设平面面，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，通过长度以及角度关系证明出，结合线面平行的判定定理即可完成证明；
（2）记，先根据条件证明出，然后建立合适空间直角坐标系，用向量法确定出直线与平面所成角取最大值时的位置，最后再通过向量法先求二面角的余弦值，则二面角的正弦值可求.
【详解】（1）如图下所示，连接，
因为为的外心，所以，
又因为，所以，
所以，
所以均为等边三角形，所以，
所以四边形为菱形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）记，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面面，平面，所以，
如下图所示，以为坐标原点，以过点平行方向为轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，
则，
所以，
因为点在线段（不含端点）上运动，设，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
当且仅当，即时取等号，即此时为中点，
所以，，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，
令，则，所以，
所以，
设二面角的平面角为，
所以，所以，
所以二面角的正弦值为.
22．在平面直角坐标系中，设双曲线的左、右焦点分别为，，一条过的直线交双曲线的右支于P，Q两点，M为线段的中点.
(1)若M在直线上，求.
(2)设是的内心，求证：O，I，M共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理以及中点坐标公式得出，进而由弦长公式得出；
（2）由韦达定理得出，由内心的性质结合定义、弦长公式得出，进而得出点的坐标，利用斜率相等证明O，I，M共线.
【详解】（1）由题意知直线斜率不为，，
设，直线的方程为，
由，得.
则，解得.
由韦达定理得，
，解得.
经检验，当时，直线交双曲线于右支两点
此时.
（2）设，直线的倾斜角为，
，则.
因为内心I是角平分线交点，，
所以由切线长定理可知，的内切圆切边于点.
设内心，内切圆半径为，
的面积.
即，则.
整理得，
，
所以，即三点共线.

【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由斜率相等证明三点共线，将几何问题转化为代数问题.